Bestimmung des Elastizitätsmoduls

Inhaltsverzeichnis

1. Versuchsaufbau und Versuchsgrundlagen

2. Grundlagen

3. Berechnungen

4. Fehlerdiskussion

Aufgabenstellung:

Aus der Messung der Durchbiegung eines zweiseitig gelagerten Stabes (als Biegebalken) ist der Elastizitätsmodul zu bestimmen.

1. Versuchsaufbau und Versuchsdurchführung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1: Versuchsaufbau der Apparatur

Aufbau:

Der Versuchsaufbau erfolgt nach Abb.1. Der Aluminiumstab wird auf die beiden mittleren Schneidenlager gelegt (kurzer Abstand) und die beiden Stahlstäbe liegen auf den äußeren Schneidenlagern auf (langer Abstand). In der Mitte des Stabes liegt die Belastung. Über eine dünne Stange werden die Gewichte auf den flachen Stab übertragen. Direkt darunter befindet sich eine empfindliche Messuhr. Sie misst auf 0.01mm genau, was aber bei einem solchen versuch auch von Nöten ist.

Durchführung:

Zuerst werden alle Vermessungen durchgeführt. Die Dicke und die Breite des Stabes werden mit einem Messschieber bestimmt und der Abstand der Schneidenager mit einem Zollstock. Jede Messung wird jeweils 5-mal durchgeführt, um den Messfehler zu verringern. Ist dies erledigt wird der erste flache Stab auf die dafür vorgesehenen Schneidenlager gelegt und mit 310 g belastet. Bevor man jedoch die 310 g auflegt sollte man paar Gramme Vorbelastung auflegen, um den Stab wirklich auf die Messuhr drücken zu lassen und um eine evtl. Krümmung „nach oben“ auszuschließen. Ist das Material nun mit den 310 g plus Vorbelastung belegt, wird die Messuhr exakt auf Null eingestellt. Um eventuelle Verschmutzungen o.ä. zwischen de Messuhr und dem Stab zu entfernen, so dass die volle Durchbiegung angezeigt wird, klopft man nun orthogonal zur Durchbiegung an die Versuchsapparatur. So wird ein deutlich besseres Messergebnis erreicht. Nun wird die Masse stufenweise um 50g verringert, bis man die Vorbelastung erreicht hat erreicht hat. Hierbei misst man nun den größten wert. Diese Messreihe war die so genannte Entlastung. S folgt dann die Belastung. Die Uhr wird nun bei nur vorliegender Vorbelastung auf Null justiert und stufenweise mit 50g belastet. Dies ist die Messung der Belastung.

2. Grundlagen

„Wirken auf einen festen Körper äußere Kräfte, die im Gleichgewicht sind (andernfalls Beschleunigung!), so tritt eine Änderung der Form und des Volumens ein. Form- und Volumenänderung gehen vollständig zurück, wenn die Kräfte aufhören zu wirken, sofern die Deformation eine bestimmte Grenze nicht überschritten hat: Der Körper ist elastisch.“Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Grenze ist leicht in dem Spannungs-Dehnungs-Diagramm anhand der

Hook´schen Geraden zu erkennen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bis zu dem Punkt Rp ist eine Gerade zu erkennen. Dies ist die Hook´sche Gerade und kennzeichnet den elastischen Bereich. Der Rest ist der irreversible plastische Bereich.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

„In Fig. 2.15a, b ist ein Quader der Länge l und der Fläche A dargestellt, normal zu A wirkt eine Zug- (a) bzw. Druck- (b) Kraft Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Ist diese Kraft gleichmäßig übe den Querschnitt A verteilt, so sagt man, dass eine Zug- bzw. Druckspannung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

herrscht. Unter dem Einfluss dieser Spannung erfährt der Körper eine Verlängerung (Verkürzung)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

die relative Längenänderung oder „Dehnung“ positiv oder negativ!) ist proportional zur wirkenden Spannung. Die Proportionalitätskonstante E wird Elastizitätsmodul genannt. Die Einheit von E ist [E]=N/m². Die Gleichung (2) heißt das Hookesche Gesetz, es gilt in einem BereichAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, der Proportionalitätsbereich genannt wird.“Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten…“Mit der Dehnung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalteneines Körpers (Fig. 2.15) tritt gleichzeitig eine Verminderung der Dicke Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenum Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenauf (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltensenkrecht zu Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten). Man nennt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenQuerkontraktion. Zwischen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenund Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenbesteht ein Zusammenhang der Form:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Biegung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wird ein rechteckiger Träger oder Stab der Höhe h und der Länge l auf zwei Schneidenlager aufgelegt und in der Mitte mit einer bestimmten Kraft F belastet, so tritt eine Durchbiegung der Größe f und eine damit verbundene Längenänderung des Stabes oder Trägers auf. Hierbei erfährt die obere Schicht eine Druckkraft wie in Fig. 2.15 (b), so dass die Länge jener Schicht zusammengepresst und verkürzt wir. Die untere Schicht wird einer Zugkraft wie in Fig. 2.15 (a) ausgesetzt und ist so nach Belastung verlängert worden. Genau zwischen diesen beiden Schichten liegt die neutrale Faser. Sie erfährt keine Längenänderung. Sie schneidet den Querschnitt in einer Schwerelinie. Die Zug- und Druckkräfte erzeugen ein Drehmoment, das mit dem Moment der äußeren Kraft im Gleichgewicht steht. Die Krümmung des Stabes oder Trägers ist proportional u dem Drehmoment der äußeren Kraft. Bedenkt man dies alles, kann man die Durchbiegung bei vorliegender Belastung berechnen. Es ergibt sich für die maximale Durchbiegung f folgende Formel:

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