Charakterisierung der Kapazität bis zur Resonanzfrequenzverschiebung und chaotisches Verhalten des Dünnschichtenkondensators PZT(30/70)

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Physikalische Grundlage
2.1 Ferroelektrizität in dünnen Schichten
2.1.1 Ferroelektrizität
2.1.2 Piezoelektrischer Effekt
2.2 Elektrodenbegrenzter Ladungstransport
2.3 Kapazität von Dünnschichtkondensatoren
2.4 Der nichtlineare Schwingkreis
2.5 Elastische Gibbssche Energie und Elektrisches Feld
2.6 Chaotisches Verhalten

3 Herstellung der Probe und experimenteller Aufbau
3.1 Herstellung der Probe
3.1.1 Die Abscheidung aus chemischer Lösung
3.1.2 Herstellung der PZT(30/70)-Dünnschicht
3.2 Struktureigenschaften der Probe
3.2.1 Die Perowskitstruktur
3.2.2 Das binäre Diagramm vom PZT-System
3.3 Aufbau des Messplatzes .
3.4 Beschreibung des Messungsprogrammes
3.4.1 Lock-In -Verstärker
3.4.2 LCR Brücke
3.4.3 Das Programm „Pulsanalysator“

4 Messungsergebnis und Diskussion
4.1 Homogenität der Kapazität von Dünnschichten
4.2 Kapazität in Abhängigkeit von Frequenz
4.3 Kapazität in Abhängigkeit von Spannung
4.3.1 Kapazität-Spannung UDC Charakteristik
4.3.2 Kapazität-Spannung UAC Charakteristik
4.4 Amplitude-Frequenz-Charakteristik (AFC)
4.4.1 Anregungsspannungsverfahren
4.4.2 Anregungsfrequenzverfahren
4.4.3 AFC bei unterschiedlichen Elektrodenflächen
4.5 Chaotisches Verhalten
4.5.1 Variation der Anregungsfrequenz
4.5.2 Variation der Anregungsspannung
4.5.3 Chaotisches Verhalten bei unterschiedlicher Elektrodenfläche

5 Zusammenfassung

[V] Verteilung der Elektroden auf PZT

[T] Tabellenverzeichnis

[B] Bilderverzeichnis

[A] Abbildungsschaltung

Literaturverzeichnis ..

Kapitel 1
Einleitung

Der moderne Lebensbedarf der Menschen erfordert viele interessante Beiträge zur Forschung und Entwicklung von elektrokeramischen Werkstoffen. Neben elektrischen Eigenschaften besitzen einige Materialien auch noch besondere Eigenschaften wie Piezoelektrizität oder Ferroelektrizität. Mit neuen und modernen Technologien können die neuartigen Bauelemente im mikroelektronischen bis nanoelektrischen Bereich gebaut werden.

Die ferroischen Materialien besitzen hohe bis sehr hohe relative Dielektrizitätskonstanten (r) im Bereich zwischen 100 und 100.000, weshalb sie als Material für Keramikkondensatoren mit hoher Volumenkapazität verwendet werden. Normalerweise ersetzen sie zunehmend die Keramikkondensatoren mit einem Widerstand (R) und einem Spule (L). Dabei haben sie allerdings Nachteile, z.B. die starke Temperaturabhängigkeit und die hohen dielektrischen Verlustfaktoren. Mit hohen Dielektrizitätskonstanten werden sie auch in der Halbleitertechnologie interessant, wo für kleinere Speicherschaltkreise (RAM) hohe Kapazitäten auf engstem Raum benötigt werden. Der Hauptvorteil bei der Verwendung von sogenannten FeRAM (ferroelektrischen RAM) ist, dass diese ihren Ladungszustand im Vergleich zu derzeit (2008) hauptsächlich eingesetzten DRAMs quasi nicht verlieren.

Der Aufbau einer DRAM-Zelle besteht aus einem Kondensator und einem Transistor. Die Information wird als elektrische Ladung im Kondensator gespeichert. Jede Speicherzelle speichert ein Bit.

Ein Bit von diesem herkömmlichen FeRAM besteht aus einem Kondensator und aus einem Transistor, welches einen ferroelektrischen Film anstelle eines isolierenden Films des Gatters des einzelnen Feldeffekttransistors benutzt. Der Bereich, der für eine Einzelzelle erforderlich ist, ist lediglich der Raum, der durch den Transistor besetzt ist.

Eine wichtige Entwicklung war der Aufbau eines nanostrukturierten Kondensators. Woo Lee (Max Planck Institut für Physik der Struktur in Halle), hat zusammen mit einem koreanischen Kollegen lithographische Techniken benutzt, um die Herstellung von Arrays von einzeln adressierbaren Metall / Ferroelektrikum / Metall Nanokondensators (Pt/PZT/Pt, PZT ist BleiZirkonat-Titanat) mit einer Dichte von 176 Milliarden Stück auf einem Quadratzoll zu errei- chen, sie wurden im Juni 2008¹ in der Öffentlichkeit vorgestellt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1: Nano-Strukturen eines ferroelektrischen Kondensators¹ (PZT)

In dieser Arbeit wird eine Blei-Titanat-Zirkonat Schichtstruktur auf seine nichtlinearen dielektrischen Eigenschaften hin studiert. Dazu werden experimentelle Messungen mit

verschiedene Schaltungsvorstellungen verglichen und diskutiert. Danach kann man der Nachteil sowie der Vorteil der Dünnschicht finden und anwendet man diese ferroelektrischen Kondensator in elektrische Schaltungen.

In Kapitel 2 findet man die physikalische Grundlage der PZT-Dünnschichtenkondensatoren. Es beginnt mit der Ferroelektrizität und dem piezoelektrischen Effekt. Weiter werden die Landau´sche Theorie sowie der Phasenübergang zwischen ferroelektrischen und paraelektrischen Phasen beschrieben. Der Ladungstransport und die Kapazität von Dünnschichtenkondensatoren haben auch sehr interessante Eigenschaften. Zum Schluss betrachten wir einen speziellen nichtlinearen Effekt: die Verschiebung von Resonanzfrequenz im Serienschwingkreis sowie das chaotische Verhalten.

Im Kapitel 3 werden die Herstellung von PZT und der Aufbau des Messplatzes beschrieben. Der wichtigste Teil des Versuches ist die Beschreibung des Messprogrammes und dem Messverfahren.

Die Ergebnisse des Versuches werden im Kapitel 4 vorgestellt und diskutiert. Dort findet man die Abbildungen und Tabellen des Versuches. Am Ende werden die Ergebnisse noch einmal zusammengefasst.

Die wichtigen und interessanten Ergebnisse finden sich abschließend in Kapitel 5.

Kapitel 2 Physikalische Grundlage

2.1 Ferroelektrizität in dünnen Schichten

2.1.1 Ferroelektrizität

Kristalle ,die ohne angelegtes äußeres Feld eine spontane elektrische Polarisation [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] besitzen, deren Richtung durch ein elektrisches Feld geändert werden kann. Die Eigenschaft der Ferroelektrizität verschwindet oberhalb einer charakteristischen Temperatur [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] , der Curie Temperatur. Diesen Übergang bezeichnet man als Phasenübergang. Im ferroelektrischen Zustand sind die Zentren positiver und negativer Ladung, d.h. beispielsweise die Anionen und die Kationen relativ zueinander verschoben.

Wenn das angelegte elektrische Feld variiert und gegen die Polarisation aufgetragen wird, erhält man eine Hysteresekurve (Abb. 2.1). Ihr entnimmt man in der skizzierten Weise die Wer- te der spontanen und der permanenten Polarisation [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bzw. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und die Koerzitivfeldstärke [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] .

Die Sättigungspolarisation P ist bei Ionenverschiebung nicht unbedingt sinnvoll, da durch Sat höhere E-Felder eine immer größere Verschiebung des Kristalls erzielt werden kann. Die Komponenten des dielektrischen Verschiebungsvektor D berechnen sich nach

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei die Dielektrizitätskonstante im Vakuum, der Suszeptibilitätstensor und der Die- lektrizitätskonstanten des Materials ist. Die Polarisation P setzt sich zusammen aus der Pola- i risierbarkeit des Materials

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2.1 Hysteresekurve eines Ferroelektrikums, dabei ist

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Fängt die Hysteresekurve im Punkt A an, so steigt die Polarisation bis Punkt B. Dort erreicht die Polarisation ihren Maximalwert. ACB nennt man häufig Neukurve. Die spontane Polarisation erhält man durch Extrapolieren der Linie B-C auf die P-Achse für E = 0. Deutlich sinkt die Polarisation bei E = 0 auf remanente Polarisation P . Die Kurve schneidet die E-Achse

weiter in zwei Punkten [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] .

Aus der Hysterese-Kurve kann man die Größe der spontanen Polarisation und die Koerzitivfeldstärke bestimmen. Im Punkte C sind alle Domänen in einer Richtung orientiert. der Gerade BC schneidet die P-Achse an einem Punkt, nennt man die Polarisation in diesem Punkt die spontanen Polarisation².

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2.2 Struktur von Bleititanat zwischen ferroelektrischem Zustand (Rechts) und paraelektrischem Zustand (Links)

Ferroelektrische Materialien besitzen häufig eine Perowskit-Struktur ABO , wie in der Abb.

2.2 am Beispiel von Blei-Titanat PbTiO dargestellt ist. Bei dem Phasenübergang zwischen

dem ferro- und paraelektrischen Zustand ist die Struktur der Einheitszelle von Blei-Titanat geändert.

Im paraelektrischen Zustand ist Barium-Titanat kubisch mit Pb-Ionen an den Ecken, O-Ionen auf den Flächenmitten und Ti-Ionen im Zentrum, im ferroelektrischen erfolgt eine Verzerrung entlang der polaren Achse in eine tetragonale Symmetrie. Das positiv geladene Ti-Ion verschiebt sich gegenüber dem es umgebenden negativ geladenen Sauerstoff-Oktaeder, so dass ein Dipolmoment entsteht. Bei niedrigeren Temperaturen kann es zu weiteren strukturellen Phasenübergängen kommen, bei denen sich die polare Achse ändert. Bleititanat (PbTiO ) be- sitzt vier Kristallstrukturen. Bei oberhalb 492°C ist es kubisch, unterhalb 492°C tetragonal, orthorhombisch und rhomboedrisch.

2.1.2 Piezoelektrischer Effekt

Bei Kristallen mit mindestens einer polaren Achse tritt durch mechanischen Druck zwischen vorderem und hinterem Ende der polaren Achse eine elektrische Spannung auf. Dieses bezeichnet man als piezoelektrischen Effekt oder kurz als Piezoeffekt. Dieser wurde 1880 von den Brüdern Jacques und Pierre Curie entdeckt.

Der Piezoeffekt beschreibt die Wechselwirkung zwischen den mechanischen Größen Spannung, Dehnung und den elektrischen Größen Polarisation und elektrischem Feld. Es wird durch die Verschiebung von Ionen in Kristallen ohne Symmetriezentrum verursacht. Wirkt auf einen piezoelektrischen Kristall eine Kraft, so verschieben sich die Ionen in den Einheitszellen und verursachen eine elektrische Polarisation, legt man an zwei sich gegenüberliegende Flächen eine Spannung an, so wird der Kristall deformiert. Dies wird als reziproker bzw. inverser Piezoeffekt bezeichnet. Dabei unterscheidet man den Längs- und den Quereffekt, je nachdem ob die resultierende Kristalldehnung parallel bzw. senkrecht zur elektrischen Feldstärke gerichtet ist.

Der direkte piezoelektrische Effekt beschreibt die lineare Beziehung zwischen einer mechanischen Spannung Z und der elektrischen Polarisation[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei d der Tensor des piezoelektrischen Koeffizienten ist. Diese Gleichung beschreibt das Entstehen einer Polarisation beim Angelegen einer mechanische Spannung. Umgekehrt bewirkt ein äußeres angelegtes elektrisches Feld eine mechanische Verzerrung des Kristalls, was durch den inversen piezoelektrischen Effekt beschrieben wird:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit der Dehnung S

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Verzerrung des piezoelektrischen Materials wird nach der Beziehung beschrieben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und U ist also die angelegte elektrische Spannung U. die Dipolmomente müssen in einem starken äußeren elektrischen Feld ausgerichtet werden. Die Zahl 3 des Piezokoeffizienten (Piezomodul) d ist die Polungsrichtung.

Abb. 2.3 Schematische Darstellung des piezoelektrischen Effektes³ bei SiO2

2.2 Elektrodenbegrenzter Ladungstransport

Man betrachtet PZT-Dünnschicht als ein p-typische Halbleiter mit großer Energielücke. Ein Schottky-Kontakt bildet sich, wenn der Abstand von Leitungsband zu Vakuumniveau des Ferroelektrikums mit n-Leitung kleiner als der von Ferminiveau zu Vakuumniveau der Elektrode ist. Beim Zusammenbringen gehen die Elektronen vom n-leitenden Material in das Metall über. An der Grenzfläche baut sich eine Raumladungszone auf. In diesem Bereich befinden sich keine frei beweglichen Elektronen mehr, sondern nur noch die positiv geladenen Donatoren.

Die Bewegung der Ladungsträger über die Barriere kann man in zwei unterschiedliche Prozesse aufteilen. Bei einer dünnen Barriere können die Ladungsträger durch die Barriere tunneln. In diesem Fall spricht man von Fowler-Nordheim-Tunneln.

Im anderen Fall geht man davon aus, dass Ladungsträger bei endlicher Temperatur auch thermische Energie besitzen. Können diese Ladungsträger die Barriere überwinden, dann spricht man von Schottky-Emission

a) Fowler-Nordheim-Tunneln⁴

Der Tunneleffekt ist sehr stark von der Dicke und der Höhe des Potentialwalls abhängig. Die Elektronen können bei sehr dünner Schichtdicke von der Metalloberfläche in das Leitungsband des Ferroelektrikums tunneln.

Abb. 2.4 Schemadarstellung der Fowler-Nordheim -Emission⁴

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Stromdichte hängt von der Zahl der Elektronen mit ausreichender Energie an der Metalloberfläche und der Barrierenform ab. Mit der Bedingung E = konstant und U >>B berechnen wir die Stromdichte bei T = 0 K nach der Gleichung (2.6), wo man Fermi-Energie finden kann. Dann gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

B bezeichnet die Höhe der zu durchtunnelnden Barriere, meff die effektive Masse von Elektronen und h das Planck'sche Wirkungsquantum.

b) Schottky-Emission^{5 6 7}

Wie in der Beschreibung von Fowler-Nordheim-Tunneln, existieren bei endlichen Temperaturen immer einige Ladungsträger, die ausreichende thermische Energien besitzen, um die Barriere an der Grenzfläche Elektrode-Ferroelektrikum zu überwinden. Durch die thermische Emission von Elektronen wirkt eine elektrostatische Kraft aus dem Metall in das Ferroelektrikum. Diese Anziehungskraft ist die Grundlage für die Barrierenabsenkung, sie nennt man die Schottky-Emission.

Abb. 2.5 Schnittebene von Metall-Ferroelektrikum-Kontakt,

Ist (x) die Ladungsdichte, p(T) ist Konzentration vom Loch im neutralen Volumen, w ist der Bereich vom Erschöpfungsgebiet, d ist der Abstand von der Polarisationsladung bis zur physikalischen Schnittstelle mit der Elektrode. Neff ist die effektive Ladungsdichte.

Abb. 2.6 Energieband-Diagramm an der Grenzfläche Metall-Ferroelektrikum bei der Schottky-Emission a) mit U = 0. b) mit U > 0⁵

Hier schreibt man noch einmal die Poisson-Gleichung für einen MFM-Struktur

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei E(x) das elektrische Feld ist, ρ(x) ist die Ladungsdichte, ε0 ist die Dielektrizitätszahl des freien Raumes, und εst ist bei geringer Frequenz gemessen. die Dielektrizitätskonstante. An der Schnittstelle Metall-Ferroelektikum- Schottky-Kontakt ist das elektrische Feld maximal (E(0) = Em) und das elektrische Feld in dem neutralen Volumen ist gleich Null (E(w) = 0). Das sind die Randbedingungen für ein Energieband-Diagramm.

Weiter hat man noch die Beziehung zwischen dem elektrischen Feld und dem Potenzial

E(x) = -dU(x)/dx, setzen wir diese Beziehung in die Gleichung 2.7 ein und machen wir eine Integration des elektrischen Feldes über die Schichtdicke, dann erhält man:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ubi ist das Potential, in das Fehler der Polarisationsladung (englisch: built-in potential Vbi), und d ist die PZT-Schicht-Dicke. Für das neutrale Volumen ist die Dichte (x) Null, die Integration ist auch gleich Null.

Von der Dirac-Funktion wird über Erschöpfungsgebiet mit dem Bereich w integriert. Man erhält die Gleichung 2.8:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei ist Neff (Neff = NA + ND) die effektive Ladungsdichte in dem Erschöpfungsgebiet mit der Akzeptor-Konzentration NA und der Donatoren-Konzentration ND, P ist die ferroelektrische Polarisation. Daher kann ein scheinbares „Built-in“ Potenzial Ubi´(in Englisch ist apparent built-in Potential Vbi´) mit offensichtlichen Möglichkeiten um die Polarisation definiert werden. Dann folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Vergleichen wir das „built-in“ potential Ubi mit dem normalen Metall-Halbleiter-Fall, dann gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei ΦB ist die potenzielle Barrierenhöhe auf Null, k ist die Boltzmann-Konstante; T die Temperatur, die konstant angenommen wird; NV ist die Zustandsdichte in dem Valenzband, p(T), die Loch-Konzentration bei der Temperatur T.

Der Bereich vom Erschöpfungsgebiet sowie anderer Kenngrößen des Schottky-Kontaktes kann berechnet werden, so dass diese durch das Potential U und das „apparent Built-in“ Potential Ubi´ ersetzt werden müssen.⁵ Das maximale elektrische Feld an der Schnittstelle ist ebenfalls interessant:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei Grenzflächen zwischen PZT und Elektrode Pt bildet sich eine Dünnschicht mit einer Raumladungszone. Die Ortfestladung in Raumladungszone ist immer negative. Wenn die Polarisationsladung gleiche Vorzeichen mit der Ortfestladung in der Raumladungszone hat, wird das Vorzeichen der Polarisationsladung auf der Elektrode in der Plus-Polarität vorgenommen wird. Dann gilt „+“ in Gleichung (2.13). Wenn die Polarisationsladung entgegengesetzt Vorzeichen mit der Ortfestladung in der Raumladungszone hat, wird das Vorzeichen der Polarisationsladung auf der Elektrode in der Minus-Polarität vorgenommen wird. Dann gilt „-“ in Gleichung (2.13). Zum Schluss kann die spezifische Kapazität der erschöpften Region berechnet werden

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Strom-Spannungs-(I-U)- Charakteristika sind auch interessant zur experimentellen Untersuchung von Transport-Mechanismen in ferroelektrischen Dünnschichten. Bei der SchottkyEmission erhält man die gesamte Stromdichte im angelegten elektrischen Feld durch die Gleichung (2.15)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

A* ist die effektive Richardson-Konstante. Diese wird im Fall der thermischen Emission von Elektronen vom Metall ins Vakuum gleich der Richardson-Dushman-Konstanten A. Dabei sind:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei der Zusammenfassung von Gleichungen (2.13), (2.15) und (2.16) lässt sich einfach ableiten, dass ln(J) proportional zu (U + Ubi´)¹ /⁴ ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Steigung b der Darstellung wird durch Gleichung (2.20) beschrieben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

op ist die dynamische Dielektrizitätskonstante bei hoher Frequenz.

2.3 Kapazität von Dünnschichtkondensatoren

Neben dem Ladungstransport⁴ von Dünnschichten ist die Stromdichte interessant. Man wird nun die Kapazität so wie die Dielektrizitätskonstante von dünnem Film betrachten. In Abhängigkeit vom Geometrieaufbau ist die Kapazität von diesem Kondensator in drei Teile geteilt. Es bilden sich drei Kondensatoren wie in einer Reihenschaltung. Dieses ist ein sogenanntes „dead layers" Modell. Die Gesamtkapazität Cg der MFM-Struktur (Metall-FerroelektrikumMetall) ist durch folgende Gleichung definiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

d: Dicke der Dünnschicht A : Flächen der Elektrode

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei der Grenzfläche zwischen PZT und Elektroden Pt bildet sich eine Dünnschicht PbPtPhase. Diese Grenzschicht beeinflusst auch die elektrischen Eigenschaften der Dünnschicht. Als Ersatzschaltbild bildet sich die Gesamtkapazität Cg aus der Ferroelektrikum-Kapazität CF und zwei Grenzschichtkapazitäten CM. Zusammen mit dem elektrischen Ersatzschaltbild ist die reziproke Gesamtkapazität die Summe von den drei reziproken Kapazitäten, dieses ist in Gleichung (2.22) formuliert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2.7 Ersatzschaltung einer MFM-Schicht

Es ergibt sich die Gleichung (2.23):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei der Zusammenfassung von zwei Gleichungen (2.21) und (2.23) erhält man eine neue Beziehung mit gleichen Flächen A für drei Kondensatoren. Die A/Cg und die d/g sind abhängig von dem Dicken d:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

oder

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

die Dicke der Dünnschicht ist dünner als die Gesamtdicke der PZT-Schicht (d >> 2x), dann werden 2x in der zweiten Term von Gleichungen (2.24) und (2.25) auslassen, daraus resultiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.4 Der nichtlineare Schwingkreis

Nun werden wir die nichtlineare⁸ Beziehung zwischen elektrischem Feld E und dielektrischer Verschiebung für ein Ferroelektrikum mit Hilfe eines Serienschwingkreises untersuchen. Ein nichtlinearer Kondensator wird mit einer Spule und einem Widerstand an eine Wechselspannung U angelegt.

Abb. 2.8 Nichtlinearer Serienschwingkreis

Man erhält folgende Differentialgleichung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit D =q/A und E =U/a (q:die Ladung, A:Elektrodenfläche der Probe, a: Probendicke) ergibt sich die Differentialgleichung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch diese Beschreibung wird ENL am ferroelektrischen Kondensator ermittelt. Man kann drei verschiedene Fälle unterscheiden:

a) paraelektrisches Phase mit T > Tc
b) ferroelektrisches Phase ohne Umschaltprozess mit T < Tc; E <<Ec
c) ferroelektrisches Phase mit Umschaltprozess mit T < Tc; E > Ec

dabei T:Temperatur Tc: Curie-Temperatur, Ec: Koerzitivfeldstärke

2.5 Elastische Gibbssche Energie und elektrisches Feld

Im Ferroelektrikum (TGS) findet⁸ bei der Curie-Temperatur Tc ein ferroelektrischer Phasenübergang 2. Ordnung statt und wird durch folgende elastische Gibbsche Energie beschrieben

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

dabei ist = ( T - Tc) und = const > 0, mit Gleichung (2.30) man kann die elektrische

Feldstärke (ENL in Abschnitt 2.5) bestimmen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei Temperaturen oberhalb der Phasenumwandlungstemperatur des Ferroelektrikums ist

= (T-Tc) positiv. Die elastische Gibbssche Energie (2.30) wird durch Abb 4 beschrieben

Abb 2.9 : Thermodynamisches Potential für T > Tc

Aus erster Ableitung von G1 kann man die nichtlineare Feldstärker bestimmen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

bei der Gleichgewichtslage des Potentials, erfüllt es die Bedingung ENL = 0 Dmin = 0.

Aus der zweiten Ableitung von G1 lässt sich also der Koeffizienten der Potentialentwicklung bestimmen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Setzen wir Gleichung (2.31) in Gleichung (2.29) ein. bekommen wir einen neue Differentialgleichung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei Gleichung (2.33) handelt sich um die sogenannte Duffing´sche Differentialgleichung für eine nichtlineare Schwingung. Weiter untersuchen wir das Resonanzphänomen .Für diese Schwingkreis ist die Resonanzfrequenz von Anregungsspannung U abhängig. Dann gilt die Beziehung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

dabeio2= a. /(A.L):Resonanzfrequenz des linearen Falles, Q =o.L/R:Güte des Schwingkreis. Durch Gleichung (2.34) kann man den Koeffizienten der Potentialentwicklung (2.30)

experimentell bestimmen. Für den Fall des paraelektrischen TGS ist und positiv

b) T < Tc; E < Ec

Bei der Temperatur Tc hat der Koeffizient das Vorzeichen gewechselt. Das Potential hat ein Doppelminimum. Die Gleichgewichtswerte der elektrischen Verschiebung ergeben sich aus der erste und zweite Ableitung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2.10 Thermodynamisches Potential für T < Tc

Regt man den Schwingkreis mit geringer Amplitude an, so wird die dielektrische Verschiebung um die Gleichgewichtslagen schwingen. Im diesem Fall wird das Potential G1 um die Gleichgewichtslage D1 entwickelt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

dabei ist D - D D . Damit lässt sich die Feldstärke im Kondensator bestim- men:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Setzen wir Gleichung (2.38) in Gleichung (2.29), erhalten wir:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hier existiert auch eine Verschiebung der Resonanzfrequenz in Abhängigkeit von der Amplitude der Eingangsspannung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]