A Teoria de Prova de Leibniz

A Teoria de Prova de Leibniz.

Sumário. Leibniz propöe que demonstrates sejam reformuladas como deduçôes a partir de identidades, e que proposiçôes do tipo A=A sejam a fonte única de verdade. Neste ensaio procuro explicar essa teoria de prova (e conhecimento), assim como seus conceitos elementares - os de identidade, verdade (ou possibilidade) e proposiçao (inclusive a teoria leibniziana de redutibilidade a proposiçôes sujeito-predicado).

Palavras chave: Leibniz, prova, identidade, verdade, possibilidade, redutibilidade.

Abstract. Leibniz proposed that demontrations be reformulated as deductions from identities, and that propositions of the type A=A be the only source of truth. In this essay, I set out to explain this theory of proof (and knowledge), as well as its elementary concepts, such as identity, truth (or possibility) and proposition (including Leibniz’s theory of reducubility to subject-predicate form).

Key words: Leibniz, proof, identity, truth, possibility, reducibility.

Admitir-se-á, entao, que todos os enunciados de todos esses teoremas, que enchem tantos volumes, sao, simplesmente, maneiras indiretas de dizer AéA?

Henri Poincaré

Este ensaio tem por propósito explicar a teoria de prova de Leibniz, assim como seus conceitos básicos - ou seja, de identidade, verdade e proposiçao. Sua teoria difere, ao menos superficialmente, daquela sugerida pela silogística de Aristóteles e a geometria euclidiana. Leibniz propos que as ciências demonstrativas (a matemática e a geometria) fossem reelaboradas a partir de somente très ingredientes: definiçôes (expressas como igualdades ou identidades), identidades explícitas (proposiçôes de forma A=A), e uma regra de inferência (a permissao de substituir qualquer ocorrência de um lado de uma identidade pelo outro).

A inspiraçao e modelo desse modo de estruturar as ciências demonstrativas foi, sem dúvida, a aritmética. Nao irei avaliar a possibilidade de realizar o projeto leibniziano; com respeito à geometria, nao há registro de um empenho por Leibniz em realizá-lo, salvo sugestöes sobre como algumas suposiçôes de Os elementos poderiam ser transformadas em identidades2. Todavia, veremos que sua apreciaçao do alcance ou importancia de ciências demonstrativas (especialmente a geometria) difere marcadamente da dos seus contemporáneos e antecessores. Pelo menos nesse respeito, sua teoria de prova merece atençao. A. O axioma de identidade.

Em Primae veritates, Leibniz propos como a fonte última da verdade de teoremas de ciências demonstrativas o “axioma de identidade”. Leibniz formula esse principio de varias maneiras; por exemplo, “A é idéntico a A”, “A é o mesmo que A”, “A nao é nao A”, “Cada coisa é o que é” e “Cada coisa é igual a si mesma”. Entretanto, a versao predominante do axioma em alguns escritos que registram seus esforços em lógica simbólica3 é a fórmula “A=A” - ou seja, “A é igual (ou idéntico) a A”. De acordo com o axioma de identidade, todas as sentenças desses tipos sao verdadeiras.

Por chamar “A=A” de “axioma”, Leibniz talvez quisesse evocar a teoria da ciéncia de Aristóteles. No Segundos analíticos4. Aristóteles reserva o termo “axioma” para qualquer sentença ou regra suposta por todas as ciências; ele chama de “teses” as suposiçôes - definiçôes ou hipóteses - especificas de cada ciéncia. Dentre os exemplos de axioma oferecidos por Aristóteles, encontramos os chamados principios do meio excluido e de contradiçao - duas suposiçôes necessárias do silogismo, a forma básica de inferéncia científica, segundo a sua teoria da ciéncia. De maneira análoga, os conceitos leibnizianos de demonstraçao e de ciéncia demonstrativa sao moldados por seu axioma de identidade. Leibniz argumenta que qualquer ciéncia demonstrativa pode ser transformada num sistema, também de caráter dedutivo, cuja base consiste inteiramente de identidades - de identidades explícitas (do tipo A=A) e definiçôes (ou identidades supostas ou “implícitas”)5. Segundo seu conceito de demonstraçao, a verdade de uma tese será estabelecida se for mostrado que ela segue dedutivamente de um conjunto de definiçôes e de pelo menos uma identidade do tipo A=A. Definiçôes sao simbolizadas pela equaçao “A=BC” - em que A é o defìniendum e a conjunçao de B e C, o definiens - e tém por funçao facultar a substituiçao de um defìniendum por seu definiens, e vice A possibilidade de uma geometria de feiçao leibniziana, com toda a riqueza da versao euclidiana, tem sido questionada. Veja, por exemplo, H. Poincaré, A ciéncia e a hipótese, Capitulo I (EditoraUniversidade de Brasilia, Brasilia, 1984).

Posteriores ao Generales inquisitiones de analysi notionum et veritatum de 1686 (G. W. Leibniz, LogicalPapers. Clarendon Press,Oxford, 1966).

Livro I, Capitulo 2.

“... as significaçôes dos termos, isto é, as definiçôes, junto aos axiomas idénticos exprimem os principios de todas as demonstraçôes ... “. G. W. Leibniz, (Novos ensaios sobre o entendimento humano. Nova Cultural, Sao Paulo, 1999: 431). versa6. Por sua vez, identidades explícitas säo caracterizadas por Leibniz como verdades autoevidentes; e, segundo alguns dos seus escritos, todos os teoremas de uma ciência demonstrativa ou säo identidades explícitas ou devem a sua verdade a tais identidades7. Ou seja, a fórmula A=A seria uma espécie de premissa universal de ciências demonstrativas de feiçâo leibniziana.

B. Provas por reduçâo a um identidade.

Chamaremos o tipo de prova delineada por Leibniz em Primae veritates e Novos ensaios de “reduçâo a uma identidade” (RAI) devido a sua relaçâo estreita com provas por “reduçâo ao absurdo” (RAA). Leibniz sugere dois métodos de prova por RAI: pelo método canónico (ou “sintético”), a proposiçâo a ser provada é deduzida de identidades; pelo método analítico, uma identidade é derivada da proposiçâo a ser provada. No entanto, devemos salientar que ele somente apresenta resumos e modelos de argumento na forma canónica, e que, quando fala de “reduçâo” a identidades, talvez tenha apenas tais argumentos em mente.

Em Primae veritates, Leibniz nos oferece uma prova por RAI da proposiçâo “Uma parte do todo é menor que o todo”; ou por outras, para facilitar a compreensäo da prova, “Dado qualquer agregado, B, uma parte de B é menor que B”. Seguem os passos da sua prova desta lei pelo método canónico:

Embora definiçôes sejam vistas como permissôes de substituiçâo, Leibniz defende posiçôes prima facie conflitantes sobre definiçôes qua portadores de valores de verdade. Em Primae veritates, Leibniz sustenta que definiçôes säo identidades “implícitas”, e, por isto, verdades (G. W. Leibniz, Philosophical writings. J. M. Dent, Londres, 1995: 87-8). No entanto, ele escreve em Novos ensaios: “Que um mais um faz dois, näo é propriamente uma verdade, mas a definiçâo de dois” (Novos ensaios sobre o entendimento humano, IV, vii, §6; Nova Cultural, Säo Paulo, 1999: 408). Isto sugere que Leibniz considera o definiendum de uma definiçâo como uma maneira contingente ou apenas convencionada de designar um conceito (ou um gènero, ou, como veremos, um existente possível), e que o principio do meio excluido näo se aplica a convençôes propostas. Mesmo assim, dado uma definiçâo expressa como uma identidade, a afirmaçäo da identidade dos designados pelo definiendum e defimiens deve ser verdadeira (a verdade de uma definito consiste na afirmaçäo da identidade de designados idénticos - ou seja, definiçôes qua proposiçôes säo identidades do tipo A=A camufladas). Consideremos o exemplo de sempre: a sentença “solteiros säo homens näo casados” näo é uma sentença declarativa (ou um portador de valor de verdade) se entendida como uma proposta - a saber, a de usar a palavra “solteiro” no sentido indicado. No entanto, uma vez aceita a proposta, a mesma sentença pode ser lida como uma afirmaçäo verdadeira, visto que os designados pelos termos “solteiro” e “homens näo casados” devem ser exatamente os mesmos.

Em Primae veritates, ele escreve: “Todas as outras verdades säo reduzidas ás primeiras verdades [ou seja, a identidades explícitas] por meio de definiçôes - quer dizer, pela análise de conceitos; e isto constitui uma prova a priori, independente da experiéncia”. (G. W. Leibniz, Philosophical writings. J. M. Dent, London, 1995: 87).