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Das Bayes' sches Theorem. Totale und bedingte Wahrscheinlichkeit

Ausarbeitung 2011 13 Seiten

Mathematik - Stochastik

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Vorstellen des Bayestheorems

3. Einführung in das Urnen-Kugelmodell

4. Ereignisbaum.

5. Einfache Wahrscheinlichkeitsrechnung

6. Die bedingte Wahrscheinlichkeit

7. Der Multiplikationssatz

8. Unterschiede Wahrscheinlichkeitsbezeichnungen

9. P(A|S) wird analog eingeführt

10. Nachweis von P(A|S) durch Gleichsetzen

11. Das Additionsgesetz

12. Die totale Wahrscheinlichkeit

13. Überführen in die Allgemeine Form

14. Schluss

15. Quellenangabe

Das Bayestheorem, totale und bedingte Wahrscheinlichkeit

1.Einleitung

Diese Aufarbeitung des Themas soll Ihnen einen gut verständlichen Einblick in die Wahrscheinlichkeitsrechnung nach dem Bayestheorem geben. Es soll Schritt für Schritt der Ursprung und das Entstehen dieser Rechnung erarbeitet werden, um letztendlich alle Erkenntnisse zusammenzutragen und auf das eigentliche Bayestheorem und seine Funktionsweise zu kommen. Die Aufarbeitung ist weniger wie ein Mathematik-Lehrbuch, das einem möglichst kompakt und allgemein eine Rechenvorschrift zur Verfügung stellt, mit der viele nichts anfangen können, sondern soll vielmehr auch für Leser ohne jegliche Vorkenntnisse oder Ahnung von Mathematik einen gut nachvollziehbaren und verständlichen Einblick geben und das Interesse am Thema wecken. Lassen Sie den Text daher vollkommen stressfrei auf sich wirken, lesen Sie in Ruhe Absatz für Absatz durch und lassen Sie diesen Revue passieren. Und Sie werden sehen, dass vieles sehr viel einfacher ist als es scheint.

2.Vorstellen des Bayestheorems

Das Bayestheorem ist nach dem englischen Mathematiker Thomas Bayes benannt, der dieses 1763 erstmals in seinem Schriftwerk „Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances“ veröffentlichte (Q1).

Das Bayestheorem basiert auf der totalen und der bedingten Wahrscheinlichkeit. Damit lassen sich Wahrscheinlichkeiten berechnen, wie der Name schon erahnen lässt, denen eine bestimmten Bedingung vorausgesetzt ist. So z.B. die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt, unter der Bedingung oder auch Voraussetzung, dass zuvor ein anderes Ereignis eingetreten ist.

3. Einführung des Urnen-Kugelmodells

Üblicherweise lassen sich die Grundzüge dieser Wahrscheinlichkeitsrechnungen am besten anhand von simplen Beispielen mit Urnen und Kugeln erklären. In unserem Beispiel möchten wir daher nun zwei Urnen betrachten, in denen sich Kugeln befinden. Wir benennen diese Urnen, um sie deutlich voneinander unterscheiden zu können. Die erste Urne wird mit „A“ bezeichnet. Die zweite Urne nennen wir „B“.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nun werden beide Urnen mit jeweils 10 Kugeln gefüllt. Es gibt jedoch zweierlei Kugeln mit unterschiedlichen Farben. Schwarze Kugeln (benannt mit „S“), und weiße Kugeln (benannt mit „W“). So sind in Urne „A“ 3 schwarze, und 7 weiße Kugeln. In Urne „B“ hingegen sind es 6 schwarze und 4 weiße Kugeln. Die praktische Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten lässt sich durch mehrmaliges Wiederholen von Experimenten mit zufälligem Ergebnis ermitteln. Für unsere Rechnung möchten wir das Ganze mit unseren Urnen auf theoretischem Wege angehen. Wir nehmen wie in der Realität an, dass wir zufällig eine Kugel aus einer der beiden Urnen ziehen. Dabei betrachten wir bei jedem Schritt welche möglichen Ereignisse es gibt und wie groß die Wahrscheinlichkeiten dafür sind.

Wir möchten zunächst herausfinden, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass wir zufällig in Urne „A“ greifen und eine schwarze Kugel ziehen. Dazu gehen wir zwei einzelne Schritte, die wir später verknüpfen.

Die Benennung der Wahrscheinlichkeit die wir betrachten möchten ist besonders wichtig. Weshalb wird klar wenn wir die ersten Rechnungen vollendet haben und uns alles einmal ganz genau anschauen.

4. Ereignisbaum

Um das Vorgehen des Rechenweges besser nachvollziehen zu können, eignet sich ein sogenannter Ereignisbaum am besten. Wir werden uns zwischendurch auf diesen Ereignisbaum beziehen, um Klarheit über den Stand der Betrachtung zu bekommen. (Q2 S.51)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

5. Einfache Wahrscheinlichkeitsberechnung

Wir beginnen bei der Wurzel des Baumen und stehen quasi an der ersten Stufe unseres Ereignisbaums vor unseren zwei Urnen. Und die erste Frage die sich stellt ist, in welche Urne werden wir greifen.

Es gibt genau zwei Möglichkeiten, die eine ist in Urne „A“ zu greifen und die andere ist in Urne „B“ zu greifen. Wenn eine der beiden Möglichkeiten eintritt, nennt man das ein Ereignis. Da wir in der Theorie den optimalen, neutralen Fall betrachten, ist die Wahrscheinlichkeit in Urne „A“ zu greifen genau so groß wie in Urne „B“ zu greifen.

Die theoretische Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich errechnen, indem man zunächst das Eine betrachtete Ereignis durch die Anzahl aller möglichen Ereignisse teilt (Q2 S.40-41). Bei der Wahrscheinlichkeit in welche Urne wir greifen, teilen wir deshalb die Anzahl des betrachteten Ereignisses, also Wahl der Urne „A“ gleich 1, durch die Anzahl aller Möglichkeiten, also Urne „A“ und „B“ gleich 2. So ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von =0,5 oder 50%, dass wir in Urne „A“ greifen.

Wir benennen Wahrscheinlichkeiten mit P (probabilite)(Q2 S.36), also ist die Wahrscheinlichkeit, in Urne „A“ zu greifen P(A)=0,5=50%, gesprochen Wahrscheinlichkeit von A, oder auch P von A.

Jetzt sind wir auf der zweiten Stufe unseres Ereignisbaums, haben die Hand in der Urne „A“ , und wollen wissen wie groß jetzt die Wahrscheinlichkeit ist, eine schwarze statt einer weißen Kugel zu ziehen. Die schwarzen Kugeln benennen wir mit „S“ und die weißen mit „W“. Gesucht ist also nun P(S).

Wir möchten wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, eine der 3 schwarzen Kugeln aus allen 10 Kugeln zu ziehen. Es gibt 10 Möglichkeiten, 3 davon sind eine schwarze Kugel zu ziehen, und 7 sind eine weiße Kugel zu ziehen. Die Wahrscheinlichkeit errechnet sich wie gewohnt aus Anzahl des betrachteten Ereignisses durch Anzahl aller möglichen Ereignisse (Q2 S.40-41).

Jetzt ist die Möglichkeit unser betrachtetes Ereignis zu wählen, eine schwarze Kugel ziehen, aber nicht mehr gleich 1, sondern gleich 3. Weil wir drei schwarze Kugeln haben, und die Chance höher ist eine schwarze Kugel zu ziehen, als wenn es nur eine schwarze Kugel gäbe.

Daher teilen wir die Anzahl der betrachteten Ereignisse durch die Anzahl aller möglichen Ereignisse, also 3 durch 10. So erhalten wir die Wahrscheinlichkeit in der Urne eine schwarze Kugel zu ziehen P(S)==0,3=30%. (Q2 S.40-41)

Damit haben wir auch schon die ersten großen Schritte gemacht und das Wesentliche gelernt, nämlich Wahrscheinlichkeiten auszurechnen. Wer bisher den Überlegungen folgen konnte, wird sicher auch weiterhin keine Probleme haben.

Dadurch, dass es nie mehr betrachtete Ereignisse als mögliche Ereignisse geben kann, liegt eine Wahrscheinlichkeit immer zwischen 0 und 1 bzw. zwischen 0% und 100% (Q2 S.46). Dabei bedeutet eine Wahrscheinlichkeit von 1 bzw. 100% das sichere Eintreten des Ereignisses, und eine Wahrscheinlichkeit von 0 bzw. 0% ein sicheres Nichteintreten des Ereignisses.

6. Die bedingte Wahrscheinlichkeit

Da unsere ursprüngliche Frage ja ist, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, in Urne „A“ zu greifen und eine schwarze Kugel zu wählen, dürfte jetzt klar werden, dass in die Urne „A“ zu greifen, die Voraussetzung oder Bedingung ist, um eine schwarze Kugel ziehen zu können. (Q2 S.47)

Dies ist der eigentliche Schlüssel zum Verständnis der bedingten Wahrscheinlichkeit. Denn es dürfte logisch erscheinen, dass die Wahrscheinlichkeit in Urne „A“ zu greifen, die Wahrscheinlichkeit eine schwarze kugel zu ziehen, beeinflusst. Denn sollten wir in Urne „B“ greifen, ist die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel zu ziehen durch die Verteilung der Kugeln ganz anders.

[...]

Details

Seiten
13
Jahr
2011
ISBN (eBook)
9783656730552
ISBN (Buch)
9783656730545
Dateigröße
509 KB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v187119
Institution / Hochschule
Technische Hochschule Mittelhessen
Note
Schlagworte
Bayes Theorem Wahrscheinlichkeit bedingte totale Wahrscheinlichkeitsrechnung

Autor

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Titel: Das Bayes' sches Theorem. Totale und bedingte Wahrscheinlichkeit