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Ein Zufallsexperiment mit zwei Würfeln – Bestimmung der Häufigkeitsverteilung der Augensumme zweier Würfel

Unterrichtsentwurf im Fach Mathematik in Klasse 2

Unterrichtsentwurf 2010 25 Seiten

Didaktik - Mathematik

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1.Zur Ausgangslage des Unterrichts
1.1. Institutionelle Bedingungen
1.2. Zur Situation der Klasse
1.3. Lern- und Leistungssituation der Klasse
1.4. Unterrichtsorganisatorische Aspekte

2. Überlegungen und Entscheidungen zum Unterrichtsgegenstand
2.1. Klärung der Sache
2.2. Didaktische Überlegungen
2.3. Einordnung in den Bildungsplan
2.4. Einordnung in die Unterrichtseinheit

3. Intentionen des Unterrichts

4. Überlegungen zum Lehr-Lernprozess – Methodische Überlegungen

5. Verlaufsplanung des Unterrichts

6. Literaturverzeichnis

7. Anhang
7.1. Spielregel-Plakat
7.2. Arbeitsblatt
7.3. Tabelle für Gruppenarbeit
7.4. Gruppenaufträge für die Gruppen 1 bis
7.5. Tafelbild

1. Zur Ausgangslage des Unterrichts

1.1. Institutionelle Bedingungen

Die Grundschule liegt … Der Ausländeranteil im Einzugsgebiet … ist recht gering, weshalb kaum Schüler mit Migrationshintergrund die Grundschule besuchen.

Die reine Grundschule ist zwei- bzw. dreizügig und hat insgesamt … Schüler[1], die von … Lehrkräften in 10 Klassen unterrichtet werden.

1.2. Zur Situation der Klasse

Die Klasse 2 besteht aus 21 Schülern, die sich aus 11 Mädchen und 10 Jungen zusammensetzen.

Bis auf wenige Ausnahmen zeigen sich die Schüler, unabhängig der Inhalte, motiviert und engagiert. Die vereinbarten Regeln werden zumeist eingehalten.

In der Klasse herrscht ein lebendiges Unterrichtsklima. Das Sozialverhalten der Klasse ist grundsätzlich positiv geprägt. Demokratische und soziale Verhaltensweisen, wie zum Beispiel gegenseitige Rücksichtnahme, Hilfestellung und Gruppenbewusstsein sind in großem Maße vorhanden. Die Kinder gehen hilfsbereit miteinander um und sind bei Gruppen- oder Partnerarbeit meist in der Lage eigenständig und ohne Streitereien ihre jeweilige Gruppe zu organisieren und kooperativ zusammenzuarbeiten. Gleichzeitig lernen die Kinder durch die Sitzeinteilung an den Gruppentischen sich in einer Gruppe einzufügen und haben außerdem die Möglichkeit, aufgrund der regelmäßigen Sitzordnung, mit allen Kindern in Kontakt zu kommen. Es gibt keinen Schüler, der von den anderen ausgegrenzt oder auffällig geärgert wird. Alle werden in das soziale System mit einbezogen. Die Schüler haben gelernt sich gegenseitig anzunehmen, selbst die „Problemkinder“ sind in die Klassengemeinschaft integriert und akzeptiert.

Allerdings gibt es in der Klasse auch durchaus lebhafte Kinder, die zeitweise durch unangemessenes Verhalten auffallen und den Stundenverlauf dadurch beeinträchtigen.

Die Schüler sind mit den Arbeitsformen des Stationsbetriebs und des Stationslernens vertraut und durch die regelmäßige Arbeit mit Laufzetteln im Mathematikunterricht sind auch Freiarbeitsphasen bekannt. Die Arbeit mit Laufzetteln ist gut eingeübt und für die meisten Schüler problemlos.

Lange Konzentrationsphasen bei Formen des Frontalunterrichts oder bei langen Phasen im Stuhlkreis sind in dieser Klasse allerdings nicht immer erfolgreich, da die Schüler sehr schnell unaufmerksam und unruhig werden. Auch bei langen Stillarbeitsphasen müssen die Schüler immer wieder zur Ruhe ermahnt werden.

1.3. Lern- und Leistungssituation der Klasse

In der Klasse 2 lässt sich in sehr gemischtes Interesse am Mathematikunterricht feststellen.

Der Großteil der Schüler zeigt jedoch großen Eifer, viel Freude und Ehrgeiz im Mathematikunterricht, sowie ein großes Spektrum an Sach-, Selbst- und Sozialkompetenz, was sich insbesondere darin zeigt, dass Anregungen angenommen und individuell umgesetzt werden. Besonders beliebt sind Matheübungen, die spielerisch, meist in Gruppen- oder Partnerarbeit, umgesetzt werden. Auch bei offenen Unterrichtsangeboten zeigen die Schüler Motivation und Engagement, versehen die Inhalte mit Ideenvielfalt, erkunden und entdecken eigene Lösungen.

Hinsichtlich des mathematischen Niveaus weisen die Kinder der Klasse 2 unterschiedliche Ausprägungen auf. Im Gesamtbild beurteile ich – soweit mir dies bis hierhin möglich ist – die mathematischen Fähigkeiten der Klasse als recht gut. Die meisten Schüler besitzen gute Rechenfähigkeiten, kreatives Denken und eine schnelle Auffassungsgabe. Insgesamt erfahre ich die Mitarbeit der Schüler als aufgeschlossen und interessiert.

Einige Schüler fallen im Mathematikunterricht aber insbesondere durch starke Defizite im Bereich des Rechnens und im Begreifen und Anwenden neuer Inhalte auf. Dies lässt sich besonders in den Freiarbeitsphasen des Unterrichts beobachten. Zu diesen leistungsschwächeren Schülern gehört in erster Linie …. Es fällt ihm schwer, Arbeitsaufträge zu verstehen und diese auszuführen, wodurch er erheblich mehr Bearbeitungszeit und Hilfe als die anderen Schüler der Klasse benötigt. Zumeist ist er überfordert, weshalb er schnell die Lust und das Interesse am Unterrichtsgegenstand verliert. Wie ich erfahren habe, wird Justin das zweite Schuljahr wiederholen müssen.

Zu den begabten Schülern gehört neben einigen anderen (siehe unten) …. Anders als …, ist … deshalb häufig unterfordert und dadurch gelangweilt. Er fällt so regelmäßig durch Störungen im Unterricht auf, redet herein, nimmt Lösungen vorweg und lenkt andere Schüler ab. Zu den leistungsstarken Schülern gehören weiterhin …. Sie benötigen häufig weiterführende, differenzierte Übungsaufgaben.

Ich sehe meine Aufgabe in erster Linie darin, durch differenzierte Arbeitsanweisungen und Hilfen auf die Leistungsunterschiede der Kinder einzugehen, so dass sich alle Kinder gleichermaßen am Unterricht beteiligen können.

Abhängig von der mathematischen Begabung und von den außerschulischen Vorerfahrungen der Schüler sind die im Rahmen dieser Unterrichtsstunde grundlegenden mathematischen Fähigkeiten und Fertigkeiten – wie etwa das Problemlösen, das Argumentieren, das Kommunizieren sowie das Darstellen – vermutlich ebenfalls sehr unterschiedlich ausgeprägt.

Inhaltlich greift die Unterrichtsstunde zudem die Kenntnisse der Schüler zu Zerlegungs- und Tauschaufgabe aus der 1. Klasse auf.

In der vorangegangen Stunde haben die Schüler durch Würfeltätigkeiten mit einem Würfel bereits erste Erfahrungen zur Untersuchung von Wahrscheinlichkeiten gemacht und dabei das Anfertigen und Auswerten von Strichlisten kennen gelernt. Zudem wurden die wichtigsten Begriffe zur Verständigung über Fragen der Wahrscheinlichkeit eingeführt: „Zufall“ und „Chance“, „wahrscheinlich“ und „unwahrscheinlich“, „möglich“ und „unmöglich“ sowie „sicher“. Bei diesem Zufallsexperiment konnten die Schüler feststellen, dass beim Werfen mit einem „fairen“ Würfel eine Gleichverteilung der Wahrscheinlichkeiten vorliegt und somit jede Augenzahl bei jedem Wurf die gleiche Chance hat, geworfen zu werden.

1.4. Unterrichtsorganisatorische Aspekte

Das Klassenzimmer der Klasse 2a befindet sich im Hauptgebäude. Die Tische sind zu fünf Gruppentischen zusammengestellt, an denen jeweils vier, einmal drei Schüler sitzen. Zwei Schülerinnen sitzen gemeinsam an einem Einzeltisch. Die Sitzordnung wechselt jeweils nach den Schulferien, sodass die Zusammensetzung der Schüler an den Gruppentischen stets variiert.

Die Mathematikstunde, in der der Unterrichtsbesuch stattfindet, liegt in der dritten Stunde direkt im Anschluss an die große Pause, so dass die Möglichkeit besteht, für die Besuchsstunde im Klassenzimmer für die Schüler unbemerkt schon einiges vorzubereiten. So werde ich bereits den Stuhlkreis aufstellen, mit bzw. in dem ich die heutige Stunde beginne und auch schon die später benötigte Zahlenleiste an der Tafel anbringen, um den Schülern so letztlich mehr Zeit für die wichtige Erarbeitungsphase einräumen zu können.

2. Überlegungen und Entscheidungen zum Unterrichtsgegenstand

2.1. Klärung der Sache

Die Inhalte der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind eng verbunden mit der Kombinatorik. Zusammen mit dieser und der mathematischen Statistik bildet sie das mathematische Teilgebiet der Stochastik („Kunst des vernünftigen Vermutens“).

Die Inhalte der Wahrscheinlichkeitsrechnung bieten ebenso wie die der Kombinatorik viele Möglichkeiten des handelnden Entdeckens von mathematischen Beziehungen.

Im Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung unterscheidet man mathematisch die folgenden Begriffe: Beim Werfen von zwei Spielwürfeln liegen die Augensummen zwischen 2 und 12. Würfelt man einmal, dann führt man ein Zufallsexperiment durch, da der Ausgang dieses Zufallsversuchs nicht vorhersagbar ist. Das Ergebnis eines Zufallsexperimentes wird Ausfall oder Ausgang genannt (z.B. eine 5). Beim Würfeln mit zwei Würfeln sind elf verschiedene Ausfälle möglich. Die Menge dieser Ausfälle heißt Ergebnisraum.[2]

Die Würfelergebnisse 2 und 12 kommen dabei nur recht selten vor, die Augensumme 7 wird dagegen am häufigsten erreicht. Oder anders ausgedrückt: Die Augensummen 7 und 8 haben eine größere Chance, gewürfelt zu werden als die Augensummen 2 oder 12.

Von 2 nach 7 steigt die Häufigkeit deutlich an, um dann von 7 nach 12 in einem ähnlichen Umfang wieder abzufallen. Anhand der folgenden Abbildung[3] (Additionstabelle) der jeweils möglichen Augensummen bei sämtlichen möglichen Würfelkombinationen mit zwei verschiedenen Würfeln lässt sich dies kombinatorisch begründen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung: Würfelkombinationen beim Werfen mit zwei unterschiedlich gefärbten Würfeln

Insgesamt gibt es 6*6, also 36 verschiedene Würfelkombinationen, die beim Würfeln mit zwei unterschiedlich gefärbten Würfeln auftreten können. Die Augenzahlen jedes einzelnen der beiden Würfel sind gleich verteilt, ebenso die Paare der Würfelergebnisse. Aber die Augensummen rühren von unterschiedlich vielen Paaren der Würfelergebnisse her: Die Paare für die Augensummen 2 bzw. 12 kommen beispielsweise jeweils nur einmal vor, wenn nämlich beide Würfel eine Eins bzw. eine Sechs zeigen. Somit ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ausfalles 2 im Ergebnisraum 2 bis 12 also 1/36. Die Würfelsumme 3 kommt dagegen bereits zweimal vor, nämlich wenn der erste Würfel eine Eins und der zweite eine Zwei aufweist sowie im umgekehrten Fall. Die Würfelsumme 7 kommt am häufigsten vor, nämlich bei insgesamt sechs verschiedenen Paaren bzw. Kombinationen (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1). Somit tritt die Würfelsumme 7 beim Werfen von zwei verschieden farbigen Würfeln mit der Wahrscheinlichkeit 6/36 = 1/6 auf.[4]

Führt man Zufallsexperimente sehr oft durch, dann kann man mit der Wahrscheinlichkeit der Ausfälle rechnen. Ein sicheres Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1 (zum Beispiel beim Werfen von zwei Würfeln eine Augensumme 2 bis 12 zu bekommen), ein unmögliches Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0 (zum Beispiel beim Werfen von zwei Würfeln die Augensumme 1 zu bekommen).[5] Eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 bedeutet, das Ergebnis ist möglich, aber nicht sicher.

„Experimente zur Wahrscheinlichkeit dienen nicht einem mathematischen Selbstzweck, sie dienen vielmehr dem Ziel des Umweltverständnisses auch schon von Grundschulkindern, des realistischeren Einschätzenkönnens von Vorgängen oder Ereignissen als nur über Glück oder Zufall.“[6]

Man unterscheidet verschiedene Zugangsmöglichkeiten zum Wahrscheinlichkeitsbegriff:

- subjektive Wahrscheinlichkeiten
- objektive (frequentistische) Wahrscheinlichkeiten
- Laplace-Wahrscheinlichkeiten

Eine subjektive Einschätzung von Wahrscheinlichkeiten, die in der Regel auf Erfahrung oder Intuition beruht, kann manchmal hilfreich, manchmal aber auch hinderlich sein (Fehlvorstellungen). Für eine kritische Beleuchtung eigener Vorstellungen zur Wahrscheinlichkeit und gegebenenfalls für eine Revidierung von Fehlvorstellungen kann der Blick auf die objektive Wahrscheinlichkeit sinnvoll sein: Das 100-malige Werfen eines Würfels kann anregen, subjektive Erfahrungen wie z.B. „die Augenzahl 6 kommt weniger oft vor“ zu revidieren.

Objektive Wahrscheinlichkeiten können über das Zählen (Strichlisten) ermittelt werden. Die Darstellung von Häufigkeiten in Tabellen oder Diagrammen liefert eine Verbindung mit dem Bereich „Daten“, der durch die Bildungsstandards erheblich an Bedeutung gewonnen hat. Aussagen zur Wahrscheinlichkeit können bei diesem Zugang aus den Experimentierergebnissen abgeleitet und im Nachhinein analysiert werden: „Offensichtlich ist es wahrscheinlicher, beim Werfen mit zwei Würfeln die Augensumme 7 zu erhalten als die Augensumme 3. Warum ist das so?“ Eine Analyse der Würfelergebnisse dieser Art führt zur Erkenntnis, dass manche Ergebnisse aufgrund verschiedener Ereignisse entstehen können und deshalb häufiger auftreten als Ergebnisse, die nur aufgrund eines Ereignisses entstehen. Für die in weiterführenden Schuljahren anstehende Berechnung von Wahrscheinlichkeiten (Anzahl der günstigen Ereignisse / Anzahl der möglichen Ereignisse) wird so bereits ein Grundstein gelegt.

Sind bei einem Experiment alle Ereignisse gleich wahrscheinlich (z.B. das Werfen einer Münze, das Werfen eines Würfels), so spricht man von Laplace-Wahrscheinlichkeiten. Beim Werfen mit 2 Würfeln handelt es sich also nicht um ein Laplace-Experiment.[7]

2.2. Didaktische Überlegungen

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung schon in der Grundschule zu behandeln, ist längst verbreitet. Verbindlichkeit erhält dieses Thema durch die von der Kultusministerkonferenz herausgegebenen Bildungsstandards für das Fach Mathematik, die den Umgang mit Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit – bisher allerdings erst für die Jahrgangsstufe 4 – festlegen. Auch in den seit 2009 für alle Grundschulen in Baden-Württemberg verbindlichen VERA Diagnosearbeiten in Klasse 3 bildet der Bereich „Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit) einen der fünf Testbereiche.

Es ist durchaus wichtig, den Kindern frühzeitig, auch schon zu Beginn der Grundschulzeit, Erfahrungen im Umgang mit zufälligen Ereignissen und Wahrscheinlichkeiten zu ermöglichen, dazu gezielte Lernanlässe zu schaffen und zu nutzen, denn:

- Fragen aus dem Bereich „Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit“ sind für Kinder jeder Klassenstufe interessant.
- Zufall und Wahrscheinlichkeit begegnen Kindern alltäglich (Bezug zur Lebenswirklichkeit der Kinder). Sie machen bereits lange vor dem Schuleintritt Erfahrungen mit Wahrscheinlichkeiten, etwa wenn sie Spiele spielen, die auf dem Zufallsprinzip basieren (z.B. Mensch ärgere dich nicht). Auch wenn die 6 schon dreimal gewürfelt wurde, ist die Wahrscheinlichkeit für eine 6 beim nächsten Wurf nicht geringer als vorher. Solche Erfahrungen ermöglichen es den Kindern, sich zu Wahrscheinlichkeiten und Zufall ihre eigenen Theorien und Intuitionen aufzubauen – etwa: Bekommt man beim Würfeln eine Eins genauso häufig wie eine Sechs? Solche Erfahrungen sollten im Unterricht gezielt aufgegriffen werden, um Grundvorstellungen von Wahrscheinlichkeit frühzeitig aufzubauen und mögliche Fehlvorstellungen (zum Beispiel „die 6 ist schwieriger zu würfeln, weil sie höher ist“) abzubauen.
- Der spielerisch-experimentelle Zugang eignet sich in erster Linie für die Grundschule. Spielerische Aktivitäten sind hervorragende Anlässe, mit zufälligen Ereignissen umzugehen, denn viele Spiele verdeutlichen den Zufalls- und Wahrscheinlichkeitsbegriff. Die Kinder erfahren beispielsweise, dass es neben den unmöglichen und sicheren Ereignissen auch solche gibt, die möglich, aber durchaus nicht sicher sind. Im Spiel erleben Kinder auch, dass bestimmte Ereignisse weniger häufig eintreten als andere. Spiele wirken motivierend auf Kinder, sodass das Lernen aufgrund der intrinsischen Motivation erfolgt. Ohne systematische spielerische Erfahrungen würden wichtige Elemente für das Erlernen des Wahrscheinlichkeitsbegriffs verloren gehen.

Die Thematik der heutigen Unterrichtsstunde bietet entsprechend dem Lehrplan umfangreichen Erfahrungsraum und Experimentiercharakter („entdeckendes Lernen“) und baut sich um den allen Schülern aus verschiedenen Spielen bekannten Zufallsgenerator „Würfel“ auf. Dadurch birgt das Thema einen hohen Aufforderungscharakter und einen engen Umweltbezug.

Für diese kurze Einheit benötigen die Kinder jedoch keinerlei Vorerfahrungen im Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Doch sollten sie daran gewöhnt sein, sich auf eine Sache einzulassen und Lösungswege selbst zu entdecken.

Den motivierenden Einstieg bildet ein Würfelspiel, das eine ausführliche Phase des konkreten Handelns ermöglicht. Wichtig ist, dass die Kinder die Handlungen, das Würfeln, selbst ausführen und nicht nur gezeigt bekommen.

Im Spiel erfahren die Kinder, dass der Ausgang nicht allein von „Glück“ und „Pech“ abhängt, sondern dass bestimmte Ereignisse weniger häufig eintreten als andere. Daraus erwächst die Frage, ob das Zufall ist oder ob es dafür eine Erklärung gibt. Die Suche nach der Antwort veranlasst die Kinder, das Spiel näher zu betrachten und zu analysieren. Solche mathematischen Sprechanlässe dienen im Rahmen von Anwendungs- und Übungssituationen dem Aufbau und Verständnis mathematischer Beziehungen.

Gleichzeitig bauen die gewählten spielerischen und handlungsorientierten Arbeitsformen eine positive Einstellung zur Mathematik auf und fordern die Kinder heraus, sich intensiv auf Sachinhalte einzulassen und Lösungswege selbst zu entdecken.

Durch Partner- und Gruppenarbeit fassen die Kinder ihre Gedanken in Worte, lernen, eigene Ideen und Strategien zu verbalisieren, und entwickeln somit ein argumentatives und reflektiertes Lösungsverhalten.

Die Thematik gewährleistet auf Grund der inneren Differenzierung, dass alle Schüler zum Unterrichtsverlauf beitragen können. Schwächere Schüler werden die unterschiedlichen Häufigkeiten der Augensummen vermutlich nicht begründen können bzw. können auf ihrem Niveau Begründungen für einen komplexen Sachverhalt entwickeln. Zudem können sie sich in der Arbeitsphase gleichwertig an dem Experiment beteiligen – würfeln und die Augensummen durch Anlegen einer Strichliste erfassen – und in der Reflexionsphase („Rechenkonferenz“) die Ergebnisse beschreiben (Vergleich der ermittelten Häufigkeiten der einzelnen Augensummen).

Gerade für rechenschwache Kinder bieten sich die Würfelbilder auch als bevorzugte Veranschaulichungsmaterialien an, da sie als Zahl-Mengen-Bild relativ gut wahrnehmbar sind und sich die für die heutige Stunde wichtige Zahlzerlegung an ihnen ohne Zählen gut aufzeigen lässt.

Des Weiteren wir mit diesem Unterrichtsgegenstand den Schwerpunkten im neunen Lehrplan Rechnung getragen.

[...]


[1] Aus Gründen der Vereinfachung wird im vorliegenden Unterrichtsentwurf stellvertretend für den weiblichen und männlichen Plural die maskuline Form verwendet. Der Begriff ‚Schüler’ ist demnach geschlechtsunspezifisch zu verstehen und beinhaltet keinerlei Wertung.

[2] Grundschule Mathematik 2006 (9): Glossar S.43

[3] Radatz/Schipper (2007): Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen S.176

[4] Vgl. Zahlenbuch Lehrerband S.40f

[5] Vgl. Heckmann/Padberg (2008): Unterrichtsentwürfe Mathematik Primarstufe S.220ff.

[6] Vgl. Radatz/Schipper (2007): Handbuch für den Mathematikunterricht, 3. Schuljahr S.118f

[7] Vgl. Zahlenzauber (2009) Lehrerband S.26f

Details

Seiten
25
Jahr
2010
ISBN (eBook)
9783656088486
ISBN (Buch)
9783656088837
Dateigröße
1.1 MB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v182562
Note
Schlagworte
zufallsexperiment würfeln bestimmung häufigkeitsverteilung augensumme würfel unterrichtsentwurf fach mathematik klasse

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