Simulierte Ultraschallbildgebung und in der medizinischen Diagnostik auftretende Artefakte

Inhalt

I Physikalische und technische Grundlagen

1 Grundlagen der Wellenlehre
1.1 Der harmonische Oszillator
1.2 Entstehung von Wellen
1.3 Das Huygenssche Prinzip
1.4 Die Energie der Welle
1.5 Dämpfung
1.6 Medien
1.7 Reflexion und Transmission
1.8 Brechung
1.9 Dopplereffekt
1.10 Hinweise zur Literatur

2 Ultraschalltechnik
2.1 Einfache Schallquellen
2.2 Phased-Arrays
2.3 Linear-Arrays
2.4 Signale
2.5 Bildgebende Verfahren

II Simulationsverfahren

3 Faltung mit Kugelwellen
3.1 Datenstruktur und Wellenfunktion
3.2 Evolution der Wellenfunktion
3.3 Die Elementarwellen im Ortsbereich
3.4 Diskreter Raum: Das Problem der Informationsdichte
3.5 Die Elementarwellen im Frequenzbereich
3.6 Bewertung der Faltungsmethode

4 Eine Randelementemethode
4.1 Mathematische Formulierung
4.2 Kugelwellen exakt
4.3 Heterogene Medien
4.4 Interaktion an Grenzschichten
4.5 Partitionierung des Simulationsraums
4.6 Die Randelementemethode in der Praxis
4.7 Planare Elementarwellen: Raytracing

5 Vom Federmodell zur Wellengleichung
5.1 Modellierung der Dynamik
5.2 Anfangswerte und Randbedingungen
5.3 Medieneigenschaften
5.4 Herleitung der Wellengleichung

6 Numerisches Lösen der Wellengleichung
6.1 Approximation durch finite Differenzen
6.2 Iterative Berechnung
6.3 Abtastung und numerische Stabilität
6.4 Die Wellengleichung mit Dämpfung
6.5 Behandlung der Randwerte
6.6 Einsetzbarkeit

III Anwendung der Simulationssoftware

7 Experimentelle Verifikation
7.1 Energiebilanz
7.2 Phasengeschwindigkeiten
7.3 Dämpfung
7.4 Reflexion und Transmission
7.5 Zusammenfassung

8 Bildgebung
8.1 Echodetektion
8.2 Signalextraktion
8.3 B-Bild-Erzeugung
8.4 Fokussierter Empfang

9 Artefakte
9.1 Physikalische Artefakte
9.2 Technische Artefakte
9.3 Simulative Artefakte

IV Anhang

A Alternative Diskretisierungen der Wellengleichung
A.1 Finite Differenzen verfeinert
A.2 Andere Approximationsverfahren

B Beschreibungssprache für Schallexperimente
B.1 Syntax der Experimentbeschreibung
B.2 Simulationsverfahren
B.3 Medien
B.4 Signale
B.5 Phantomerzeugung
B.6 Schallquellen
B.7 Datengewinnung
B.8 Einige Beispiele

C Referenz der Klassenbibliothek
C.1 Basisklassen
C.2 Containerklassen
C.3 Klassen für geometrische Objekte
C.4 Klassen für Medien
C.5 Klassen für Ultraschallgeräte
C.6 Der Beschreibungsparser
C.7 Lexikalische Scanner-Klasse
C.8 Klassen für Sonarexperimente
C.9 Klassen für die Randelementemethode
C.10 Headerdateien
C.11 Externe Pakete

D Datenformate
D.1 Erweitertes pgm-Format
D.2 3D-Bilddateien
D.3 Ultraschallphantome
D.4 Meßreihen
D.5 B-Scans

E Laufzeiten der Simulationen

Bezeichnungen

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Literatur

Index

Teil I Physikalische und technische Grundlagen

Kapitel 1 Grundlagen der Wellenlehre

Betrachten wir zunächst einige grundlegende Prinzipien und Effekte, die bei der Ausbreitung von Wellen von Bedeutung sind. Dies ist gleichsam als Einstieg für diejenigen Leser zu verstehen, die auf diesem Gebiet über keine ausreichenden Vorkenntnisse verfügen.

Gleichzeitig geben die betrachteten Modelle Hinweise darauf, wie eine physikalisch fundierte Simulation der Wellenausbreitung vonstatten gehen könnte. Insofern dient dies auch als Rechtfertigung und Referenz für die den implementierten Verfahren zugrundeliegenden Modellannahmen. Wir werden in den entsprechenden Kapiteln jeweils darauf zurückkommen.

Schließlich definieren die beschriebenen beobachtbaren Phänomene noch den Rahmen dessen, worauf die zu entwickelnden Modelle sich maximal werden stützen können. Allerdings werden nicht alle Modelle auch tatsächlich von allen Voraussetzungen Gebrauch machen. Weitere, insbesondere hier nicht erwähnte Effekte wie beispielsweise die Beugung von Schallwellen, sollten sich dann in der Simulation als Konsequenz einer korrekten Modellierung gleichsam ”vonselbst“einstellen.

1.1 Der harmonische Oszillator

Gegeben sei ein System, in dem ein Teilchen eine Kraft F erfährt, die linear mit seinem Abstand s von einem bestimmten Punkt zunimmt. Es gelte also zu jeder Zeit t

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit einer geeigneten Konstante K > 0. Dies könnte etwa die Federkonstante der Kinematik sein. Wird das betrachtete Teilchen ausgelenkt, so erfährt es durch diese Kraft entsprechend der Bewegungsgleichung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] eineBeschleunigung a. Da beide Kräfte gleich groß sein müssen, erhält man so die Differentialgleichung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Deren allgemeine Lösung ist

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dies ist eine harmonische Schwingung, weshalb das so schwingende System als harmonischer Oszillator bezeichnet wird.

1.2 Entstehung von Wellen

Kraft und Gegenkraft sind betragsmäßig gleich. Die gleiche Kraft, die den Schwinger im vorigen Abschnitt in die Gleichgewichtslage zurückzieht, wirkt also in umgekehrter Richtung auch auf das anziehende Objekt. Ist dieses nicht fixiert sondern selbst ein Schwinger, so werden offensichtlich beide aufeinander zu beschleunigt. Die Auslenkung eines Schwingers wird, wenn viele derartige Objekte miteinander gekoppelt sind, somit jeweils zu dessen Nachbarn übergeben (und von diesen weiteran ihre Nachbarn).

Ein Störung pflanzt sich also durch die gesamte Anordnung fort, Energie und damit Information wird transportiert. Man sagt auch: Es breitet sich eine Welle aus. Die Gesamtheit der gekoppelten Schwinger bildet hierfür das Medium.

Die Geschwindigkeit, mit der der Energie der Welle durch den Raum weitergeleitet wird, heißt Ausbreitungsgeschwindigkeit oder auch Phasengeschwindigkeit der Welle.

Diese Bezeichnungen – die im folgenden synonym verwendet werden – verdeutlichen den konzeptionellen Unterschied zu der Geschwindigkeit, mit der die einzelnen Schwinger um ihre Ruhelage oszillieren.

Ein anderer Kennwert für die Geschwindigkeit derWellenausbreitung ist dieWellenzahl k. Für eine Welle mit der Wellenlänge λ ist

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Wellenlänge λ wiederum läßt sich unter Verwendung der Phasengeschwindigkeit c und der Frequenz ν schreiben als

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Damit ist nun k insbesondere von c abhängig: Ist k0 die Wellenzahl zu einer Phasengeschwindigkeit c0, so ist für eine andere Geschwindigkeit c die zugehörige Wellenzahl

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

denn die Frequenz ν bleibt beim übergang der Welle in ein anderes Medium konstant.

1.3 Das Huygenssche Prinzip

Das Huygenssche Prinzip erklärt auf elementarer Ebene die Ausbreitung von Wellen. Zentrales Element dieses Modells sind die sogenannten Elementarwellen. Es handelt sich hierbei um Kugelwellen, die von infinitesimal dicht liegenden Punkten im Raum ausgehen. Die Kernaussage des Huygensschen Prinzips in der Formulierung nach [Str90, S.313] ist die folgende:

Jeder Punkt einer Phasenfläche ist gleichzeitig Ausgangspunkt einer neuen Elementarwelle. Die tangierende Hüllfläche aller Elementarwellen gleicher Phase ergibt eine neue Lage der Phasenfläche der ursprünglichen Welle.

Will sagen: Wird ein Punkt durch eine Schwingung in seiner Umgebung ebenfalls zu einer Schwingung angeregt, so wird er für seine Nachbarn hierdurch selbst zum Erreger. Er ist also gleichsam Ausgangspunkt einer Kugelwelle.

1.3.1 Kugelwellen

Mathematisch betrachtet ist eine Kugelwelle eine sich ausbreitende Störung, deren Form zur Zeit t an einem beliebigen Ort x allein durch dessen Abstand r von einem festen Punkt x0 bestimmt wird. Man kann eine solche Welle daher als eine Funktion ψ der folgenden Form darstellen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hierbei ist f eine beliebige Funktion, die den Signalverlauf der Erregung definiert. Ist t die Zeit und c die Phasengeschwindigkeit der Welle, so ist ψ offensichtlich auf konzentrischen Kugeloberflächen jeweils konstant. Hierdurch erklärt sich auch der Name ”Kugelwelle“.

Der Faktor A0 heißt Quellstärke der Kugelwelle und ist die Amplitude der Schwingung im Abstand 1 vom Zentrum. Der Quotient[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gibt somit die Amplitude im Abstand r an. Wie dies zustande kommt, ist unter anderem Thema von Abschnitt 1.4.

1.3.2 Komplexe Wellenfronten

Eine Frage bleibt noch zu klären: Wie entstehen nach diesem Modell Wellen, die nicht kugelsymmetrisch sind? Die einfache Antwort: Durch die nicht-symmetrische Anordnung vieler Kugelwellen.

Exakter: Makroskopische, komplexe Wellenfronten entstehen durch Überlagerung von Kugelwellen der gleichen Phase. Entlang der Wellenfront verstärken sich die Elementarwellen dabei gegenseitig, in allen anderen Richtungen löschen sie sich aus. Dies ist die Aussage des zweiten Teils des oben zitierten Prinzips.

Beliebige Wellen lassen sich aufgrund der Linearität der Wellenausbreitung in Elementarwellen zerlegen, die dann jede für sich betrachtet werden können. Alle Wellenphänomene lassen sich durch die Anwendung dieses Verfahrens erklären. Allerdings geschieht das um den Preis, daß die Anzahl der zu betrachtenden Einzelwellen geradezu explosionsartig anwächst, je weiter eine Störung sich ausbreitet.

1.4 Die Energie der Welle

Wie aus der eingangs dieses Kapitels dargestellten mechanistischen Erklärung der Wellenausbreitung ersichtlich, ist diese eng mit dem Transport von Energie verbunden. Im Federmodell etwa tritt ein ständiger Wechsel zwischen kinetischer Energie der Schwingerbewegung und potentieller Energie der gespannten Federn auf.

Eine wesentliche Frage ist nun, wie sich dies auf andere Energieformen übertragen läßt. Solche könnten zum Beispiel elektrische und magnetische Feldenergie bei elektromagnetischen Wellen oder das Produkt aus Druck und Volumen bzw. Druck und Volumenänderung bei Schallwellen sein.

Betrachten wir den Spezialfall des harmonischen Schwingers. Die allgemeine Lösung seiner Schwingungsgleichung ist in (1.3) angegeben. Da Energieerhaltung gilt, muß die Gesamtenergie des Systems eine Invariante dieser Gleichung sein.

Für jeden der beiden Summanden ist sein Betragsquadrat eine solche Invariante, denn es gilt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da A die Amplitude der Schwingung ist, hat man damit einen heißen Kandidaten für ein Energiemaß, nämlich das Amplitudenquadrat:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dies ist auch physikalisch insofern plausibel, als etwa die potentielle Energie einer gespannten Feder und die kinetische Energie einer bewegten Masse jeweils proportional zum Quadrat von Auslenkung bzw. Geschwindigkeit sind. Für andere Energieformen gilt entsprechendes.

Bleibt noch zu klären, wie sich die Energie bei der Ausbreitung der Welle auf den Raum verteilt. Der wichtigste Spezialfall wurde bereits im vorhergehenden Abschnitt angekündigt: Die Kugelwelle.

Es dürfte unmittelbar einleuchten, daß die Energieverteilung einer kugelsymmetrischen Welle sich ebenfalls kugelsymmetrisch verhält. Das heißt, auf einer geschlossenen Kugeloberfläche um das Zentrum der Welle ist die Energieflußdichte, die transportierte Energie pro Fläche, überall gleich.

Die Oberfläche Ar einer solchen Kugel ist nun proportional zum Quadrat des Radius r.

Damit nimmt die Energiedichte [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] umgekehrt proportional dazu ab:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dies liefert die versprochene Rechtfertigung für die Amplitudenverteilung der Kugelwelle aus Gleichung (1.7). Allerdings sind wir bisher stillschweigend von der Annahme ausgegangen, die Welle verliere während ihrer Fortpflanzung keinerlei Energie. In der Realität allerdings ist diese Vereinfachung nicht gerechtfertigt.

1.5 Dämpfung

Mit der Fortpflanzung in einem realen Medium verliert eine Welle fortwährend Energie, die etwa durch die Reibung der Moleküle aneinander in Wärme umgewandelt wird. Dieser Verlust erfolgt zumeist exponentiell mit der zurückgelegten Entfernung und wird als Dämpfung bezeichnet.

Betrachten wir exemplarisch die Intensität (auch Energieflußdichte) des Wellenfeldes an einer bestimmten Position. Dies ist die Leistung, die durch ein Flächenstück übermittelt wird. Ist I(0) die Intensität am Ausgangspunkt der Welle und I(x) diejenige im Abstand x, so gilt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der durch das Medium bestimmte Parameter µ heißt Dämpfungskoeffizient und kann umgekehrt definiert werden durch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zwei Dinge sind in diesem Zusammenhang zu beachten:

- Offensichtlich ist I(1) abhängig von der verwendeten Längeneinheit. Es ist daher darauf zu achten, daß bei der Anwendung von Gleichung (1.12) die gleiche Einheit verwendet wird, wie bei der Definition von µ durch (1.13).
- Die Definition von µ erfolgt anhand der Intensität , also im wesentlichen der Energie des Wellenfeldes. Wird die Amplitude der zugrundeliegenden Schwingung betrachtet, ist wegen der quadratischen Abhängigkeit zwischen Energie und Amplitude

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Entsprechend berechnet sich die Amplitude im Abstand x als

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1.6 Medien

Die Ausbreitung von Wellen wird ganz erheblich davon bestimmt, in welchem Medium sie erfolgt. Die hierbei bestimmenden Parameter sind

- Phasengeschwindigkeit c,
- Massendichte ̺,
- Dämpfungskoeffizient µ.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1.1: Parameter der Wellenausbreitung in verschiedenen Körpergeweben (Quellen: [Mor95], [Nat96]).

Medizinisch interessant sind als Medien natürlich in erster Linie die verschiedenen Körpergewebe. Für einige von diesen sind in Tabelle 1.1 die relevanten Parameter zusammengefaßt. Der Parameter Z ist der sogenannte Wellenwiderstand und wird im nächsten Abschnitt eingeführt werden.

- Zu beachten ist, daß der Dämpfungskoeffizient µ von der Frequenz der Schwingung

abhängig ist. Für die uns interessierenden Gewebearten ist dieser Zusammenhang näherungsweise linear. Dies erklärt auch das Auftreten der Einheit MHz im Nenner der Maßeinheit.

1.7 Reflexion und Transmission

An der Grenzschicht zwischen zwei Medien wird nur ein Teil der Energie einer Welle von einem Medium ins andere übertragen oder transmittiert. Ist E0 die gesamte Energie der Welle, so breitet sich eine Welle der Energie

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

in das andere Medium aus. Der Faktor T heißt Transmissionskoeffizient. Andererseits wird aber auch ein Teil ER der Energie an der Grenzschicht reflektiert. Analog zur Transmission sei hierbei

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Reflexionskoeffizient R ist also der Bruchteil der Energie, der an der Grenzschicht reflektiert wird und somit im Ausgangsmedium verbleibt. Da bei dem gesamten Vorgang natürlich keine Energie verlorengeht, ergibt sich aufgrund der Energieerhaltung an Grenzschichten die Beziehung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die tatsächlichen Werte für T und R hängen von einem Kennwert der beiden beteiligten Medien ab. Dieser wird als Wellenwiderstand (oder Impedanz) Z bezeichnet und ist wie folgt definiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Wellenwiderstand ist also proportional sowohl zur Dichte des Materials als auch zur Phasengeschwindigkeit der Welle.

Betrachten wir konkret zwei Medien mit den Wellenwiderständen Z1 und Z2. Eine Welle treffe auf die Grenzschicht zwischen diesen beiden Medien. Dann berechnet sich R als

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Offensichtlich ist R (und damit nach (1.18) auch T ) invariant unter Vertauschung von Z1 und Z2. Es macht also keinen Unterschied, in welcher Richtung die Übertragung der Energie erfolgt. In Tabelle 1.2 ist daher für jedes Medienpaar nur ein Wert für Reflexionsund Transmissionskoeffizient angegeben.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1.2: Reflexionskoeffizienten (linke untere Hälfte) und Transmissionskoeffizienten (rechte obere Hälfte).

- Es ist von größter Wichtigkeit zu beachten, daß R und T sich auf Bruchteile der

Energie der Welle beziehen. Rechnet man jedoch mit Amplituden, sind anstelle von (1.16) und (1.17) folgende Gleichungen zu verwenden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dies folgt aus der im Abschnitt 1.4 hergeleiteten Beziehung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] mit

Proportionalitätsfaktor ϑ, denn es gilt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Reflexion am festen Ende

Betrachtet man Wellen, die ein Seil entlanglaufen, so beobachtet man, daß an dessen Ende die Wellen reflektiert werden und zurücklaufen. Es macht hierbei einen wesentlichen Unterschied, ob das Seilende fixiert ist oder frei schwingen kann.

Im Fall eines fixierten Endes nämlich löschen sich - da das Ende ja unbewegt bleibt - hin- und rücklaufende Welle dort aus. Daraus folgt, daß bei der Reflexion am festen Ende ein Phasensprung auftritt, bzw. die Amplitude negiert wird.

Nun gibt es bei der Ausbreitung von optischen und akustischen Wellen im engeren Sinne kein festes Ende. Allerdings haben die Medien, in denen sich diese Wellen fortpflanzen, eine Eigenschaft, die als akustische Dichte¹ bezeichnet wird. Diese entspricht dem Brechungsindex n (auch Brechzahl) des jeweiligen Mediums, der wie folgt definiert ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Brechungsindex ist also der Quotient aus der Phasengeschwindigkeit c0 in einem Referenzmedium, in der Optik etwa die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, und derjenigen im interessierenden Medium. Da praktisch in allen denkbaren Problemen nur Quotienten von Brechungsindizes auftreten, ist die Wahl des Referenzmediums dabei belanglos.

Ein Medium mit höherer Brechzahl heißt akustisch dichter als eines mit niedrigerer Brechzahl. Analog zu Seilwellen zeigt sich nun, daß auch bei Schallwellen (und ebenso bei Licht) ein Phasensprung auftritt, wenn eine Welle am akustisch dichteren Medium reflektiert wird.

1.8 Brechung

Mit der Aufteilung der Energie einer Welle an der Grenzfläche zweier Medien in reflektierten und transmittierten Anteil stellt sich noch eine weitere Frage: In welcher Richtung breiten sich die beiden resultierenden Teilwellen im weiteren Verlauf aus?

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1.1: Reflexion und Brechung. Die Welle trifft im Winkel α1 zum Lot auf die Grenzschicht, die transmittierte Welle breitet sich im Winkel α2 zum Lot aus.

Für den reflektierten Anteil ist die Antwort einfach: Nach der bekannten Regel ”ReflexionswinkelgleichEinfallswinkel“wirddieWelleimgleichenWinkelreflektiert, mit dem sie auf die Grenzfläche trifft.

Die Betrachtung des transmittierten Anteils erfordert mehr Aufwand: Hier hängt die Richtung von den Brechzahlen der beiden beteiligten Medien ab. Sind diese n1 bzw. n2, so gilt zwischen den Winkeln der beteiligten Wellen zum Einfallslot bei Brechung die Beziehung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ein interessanter Spezialfall tritt ein, wenn in Abb. 1.1 einfallende und gebrochene Welle vertauscht werden und α2 eine gewisse Grenze überschreitet. Gilt nämlich

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

so kann wegen sin α1 ≤ 1 das Brechungsgesetz (1.25) offensichtlich für kein α1 erfüllt sein. In diesem Fall kommt es daher gar nicht zur Brechung der Welle. Diese wird stattdessen an der Grenzschicht vollständig zurückgeworfen; es erfolgt eine sogenannte Totalreflexion.

1.9 Dopplereffekt

Wellen, die von bewegten Körpern reflektiert wurden, sind in ihrer Frequenz in Abhängigkeit von der Relativgeschwindigkeit des Reflektors verschoben. Dieses Phänomen trägt den Namen Dopplereffekt.

Mit den Bezeichnungen aus Bild 1.2 berechnet sich die Frequenzverschiebung νD eines Signals der Wellenlänge λ als

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Offensichtlich tritt also nur die Komponente der Fließgeschwindigkeit vF bei diesem Effekt in Erscheinung, welche in Richtung der Wellenausbreitung verläuft.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1.2: Dopplereffekt.

1.10 Hinweise zur Literatur

Detailliertere Einführungen in die Materie dieses Kapitels bietet allgemeine physikalische Literatur wie [Str90]. Insbesondere der mechanistische Ansatz über gekoppelte Schwinger kann hier nachgelesen werden. Tiefer gehen speziell auf Schwingungen und Wellen ausgerichtete Werke, etwa [Cra89].

Eine verständliche Einführung in die mathematischen Methoden zur Behandlung von Wellen mit einer ausführlichen Darstellung der Kugelwellen findet man in [Hec89, S.13ff]. Kompakt und sehr empfehlenswert als Sammlung von Werkzeugen und Resultaten aus den verschiedensten Gebieten der Wellenlehre ist [CJ77]. Hier finden sich auch Listen mit Lösungen der homogenen und inhomogenen Wellendifferentialgleichung (vgl. Kapitel 5) mit oder ohne Dämpfung.

Speziell auf die Phänomene bei der Ausbreitung von Ultraschall ausgerichtet ist das entsprechende Kapitel in [Mor95, S.191ff]. Anders als bei den vorgenannten Quellen werden hier auch die technischen und medizinischen Randbedingungen der Ultraschalltechnik dargestellt.

Kapitel 2 Ultraschalltechnik

2.1 Einfache Schallquellen

Die gebräuchlichste technische Ultraschallquelle sind sogenannte Schallwandler, oder kurz Wandler. Hierbei handelt es sich um Kolbenschwinger, die den Ultraschall mit Hilfe einer bewegten Membran abgeben. Zum Bewegen der Membran bedient man sich zumeist des piezoelektrischen Effekts: Bestimmte Kristalle dehnen sich aus oder ziehen sich zusammen, wenn eine Spannung an sie angelegt wird. Den höchsten Wirkungsgrad erzielt man dabei, wenn die Frequenz der anliegenden Wechselspannung gerade die Eigenfrequenz des verwendeten Kristalls ist.

Umgekehrt entstehen elektrische Spannungen, wenn piezoelektrische Kristalle deformiert werden. Diese Spannungen lassen sich über dieselben Kontakte abgreifen, mit denen der Kristall sich in Schwingungen versetzen läßt. Wird ein Wandler gerade nicht angeregt, kann er daher wahlweise auch als Meßgerät für den Schalldruck im angrenzenden Medium eingesetzt werden.

Schallfeld

Bei der Abstrahlcharakteristik von Wandlern ist zwischen Nahfeld und Fernfeld zu unterscheiden: Das Nahfeld unterliegt starken räumlichen Schwankungen, während das Fernfeld einen relativ gleichmäßigen Kegel bildet. Dabei ist auch das Signal von Bedeutung, mit dem der Wandler angeregt wird.

Bei kontinuierlicher harmonischer Anregung entstehen starke Intensitätsschwankungen im Nahfeld sowie ausgeprägte Nebenkeulen im Fernfeld. Diese Effekte lassen sich durch Aussenden eines gepulsten Signals verringern, denn die Interferenz der Schallwellen von unterschiedlichen Punkten auf der Wandlermembran ist dann auf ein enges zeitliches Fenster beschränkt. Details zu den verschiedenen Signalformen folgen in Abschnitt 2.4.

Bild 2.1 zeigt Schnitte durch die simulierten Schallfelder eines ebenen, runden Wandlers für beide Signalformen. Man erkennt deutlich den natürlichen Fokus beimÜbergang vom Nah- zum Fernfeld sowie die gleichmäßigere Energieverteilung bei gepulster Anregung.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.1: Schallfeld eines ebenen, runden Wandlers am linken Bildrand. Dargestellt ist ein Schnitt durch einen 3D-Datensatz. Die Intensitäten stellen die über die Zeit maximierte Energie in jedem Punkt dar.

2.2 Phased-Arrays

Eine sehr einfach zu realisierende Möglichkeit, gerichtete Ultraschallsignale zu erzeugen, sind Phased-Arrays. Hierbei handelt es sich um eine Anordnung mehrerer Wandler nebeneinander. Durch geeignete Wahl der Phasenverschiebung zwischen deren Signalen läßt sich eine Wellenfront in eine bestimmte Richtung erzeugen. Vorteilhaft dabei ist vor allem, daß die einzelnen Wandler weder ihre Lage zueinander, noch ihre absolute Position im Raum verändern müssen.

Stattdessen entstehen durch die Zeitverzögerung der einzelnen Signale virtuelle Schallquellen. Da die zeitliche Verzögerung sich elektronisch sehr genau kontrollieren läßt, können die gewünschten Winkel ausgesprochen zuverlässig vorbestimmt werden.

Bei einer einzustellenden Abstrahlrichtung α gilt für die notwendige Verzögerung τj des j-ten gegenüber dem ersten Wandler (j = 0) im Array

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wie in Abbildung 2.2 illustriert, ist s der Abstand der beiden äußersten Wandler zueinander. Weiter bezeichnet c die Phasengeschwindigkeit des Signals im jeweiligen Medium. Nun ist allerdings selten bekannt, in welches Medium das Signal weitergeleitet wird, bzw. es ist sogar zu erwarten, daß verschiedene Medien sich abwechseln werden. Daher wählt man im allgemeinen fest die Phasengeschwindigkeit des Signals in Wasser, also c ≈1500m/s. Abbildung 2.3 zeigt die Simulation der von einem Phased-Array ausgehenden Wellenfronten.

In der medizinischen Anwendung üblich sind Phased-Arrays mit etwa folgenden Parametern:

- Scanwinkel: 40-45◦
- Apertur: 14-28 mm

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.2: Geometrie eines Phased-Array. Die τi geben die Zeitverzögerung der i-ten Schallquelle an, wenn die Richtung der emittierten Wellenfront einen Winkel α zur Mittelsenkrechten der Anordnung haben soll. Die Apertur der gesamten Anordnung ist s.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.3: Fünf Pulse eines Phased-Array aus vier einzelnen Wandlern. Die Wandler befinden sich übereinander am linken Bildrand angeordnet. Das Array sendet im Abstand von jeweils 6 µs Wellenfronten über einen Bereich von insgesamt 17◦ aus. Die Ausbreitung der Wellen findet in Wasser statt, die Seitenlänge des Bildausschnittes beträgt 6 cm × 3 cm, die Signalfrequenz ist 1 MHz. Alle Bilder sind Schnitte von 3D-Datensätzen.

- Anzahl der Elemente: 48-128
- Frequenz: 2,5-7 MHz

2.2.1 Fokussierter Empfang

Wie erwähnt dienen Wandler nicht nur als Schallquellen, sondern auch als Meßeinrichtung. Ebenso läßt sich auch eine Anordnung mehrerer Wandler zu einem Meßgerät zusammenfassen. Verzögert man die Meßwerte der einzelnen Wandler geeignet, so kann das Phased-Array auch beim Empfang von Signalen eine bestimmte Richtung fokussieren.

Die hier gültige Beziehung zwischen Winkel der Fokusachse und notwendiger Verzögerung ist die gleiche wie beim Aussenden von Signalen.

2.2.2 Dynamische Tiefenfokussierung

Durch geeignete Verzögerung der empfangenen Ultraschallsignale kann nicht nur die Richtung sondern auch die Tiefe des Empfangsfokus variiert werden. So ist es zum Beispiel möglich, während des Scanvorganges die Verzögerungszeiten ständig so anzupassen, daß der Fokus der virtuellen Empfängeranordnung sich immer in der Tiefe befindet, aus der gerade die Echos einlaufen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.4: Dynamische Tiefenfokussierung. Die τi bezeichnen die Verzögerungszeiten des i-ten Empfängers.

2.3 Linear-Arrays

ÄhnlichwiebeimPhased-ArraysindauchbeimLinear-ArraymehrereWandler nebeneinander angeordnet. Jedoch sind hierbei nicht alle gleichzeitig phasenverschoben aktiv, sondern nur einer oder höchstens eine Gruppe aus (i.a. wenigen) benachbarten Elementen. Da diese dabei in Phase aktiviert werden, senden Linear-Arrays parallele

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.5: Linear-Array aus vier einzelnen Wandlern. Die Wandler sind übereinander am linken Bildrand angeordnet. Der Simulationsraum entspricht dem aus Abbildung 2.3. Auch hier sind alle Bilder Schnitte durch 3D-Datensätze.

Signale aus, die lediglich linear verschoben sind. Abbildung 2.5 zeigt dies in der Simulation.

Einen entsprechenden Effekt könnte man auch mit einem einzigen, linear verschobenen Wandler erreichen. Die Verwendung eines elektronisch angesteuerten Arrays ermöglicht jedoch eine wesentlich schnellere und kontrolliertere Weiterschaltung als eine räumliche Bewegung dies könnte. In der Simulation sind beide Varianten aber absolut äquivalent.

Gebräuchliche Dimensionen für Linear-Arrays sind:

- Anzahl der Elemente: 60-196
- Elementbreite: 1-4 λ
- Gruppenbreite: 8-128 Elemente
- Frequenz: 3,5-7 MHz

2.4 Signale

An die piezoelektrischen Elemente der Schallwandler können beliebige Spannungsverläufe angelegt werden. Es lassen sich deshalb damit fast ebenso beliebig modulierte Schallsignale aussenden.

2.4.1 Kontinuierliches harmonisches Signal

Die einfachste Signalform ist eine permanente Sinusschwingung mit zeitlich konstanter Amplitude. Ein solches Signal ist für bildgebende Verfahren aber kaum geeignet.

Zum einen wird das Schallfeld derart angeregter Wandler durch die zeitlich unbegrenzte Interferenz sehr unregelmäßig und erhält starke Nebenkeulen, wie dies in Abbildung 2.1 (linkes Bild) zu erkennen ist.

Wichtiger noch ist aber, daß auch die Echos von Grenzschichten innerhalb der untersuchten Objekte zeitlich nicht begrenzt sind. Hierdurch vermehren sich wiederum die Interferenzen, und eine Laufzeitbestimmung wird zumindest schwierig.

2.4.2 Gauß-Pulse

Die Lösung für die im vorhergehenden Abschnitt beschriebenen Probleme ist die Verwendung gepulster Signale: Außerhalb eines eng begrenzten Zeitfensters werden die Wandler nicht angeregt. Das Resultat ist das zum Beispiel von der U-Boot-Ortung bekannte ”Ping“.

Um hochfrequente Störanteile zu Beginn und Ende eines Pulses zu vermindern, moduliert man die Amplitude der Sinusschwingung mit einer Gaußglocke. Der zeitliche Verlauf des so erhaltenen gepulsten Signals ist in Bild 2.6 dargestellt. Bei einer Periodendauer T folgt die Auslenkung der Membran der folgenden Gleichung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Dauer eines solchen Pulses beträgt - wie dies in der technischen Anwendung üblich ist - das 212 -fachederPeriodendauerdesSignals.DerParameterσbeeinflußtdieSteilheit der Flanken der Einhüllenden. Je größer σ, umso schärfer ist das Signal lokalisiert, umso höherfrequente Anteile sind aber auch enthalten.

2.4.3 Codierte Signalfolgen

Mittels gepulster Signale lassen sich (eine Abstraktionsebene über der Signalform) auch codierte Signalfolgen übertragen. Hierzu könnte man etwa einen Binärcode definieren, der durch die im vorigen Abschnitt dargestellten Pulse übertragen wird.

Im Falle fehlerkorrigierender Codes ließen sich damit möglicherweise Echos von Rauschen unterscheiden. Bisher wird dies in der Praxis allerdings noch nicht angewandt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.6: Gepulste Signale mit glockenförmigen Hüllen.

2.5 Bildgebende Verfahren

2.5.1 A-Mode-Verfahren

Beim A-Mode werden gepulste Ultraschallsignale ausgesandt und die Amplitude (daher ”A-Mode“)zurückkommenderEchosaufgezeichnet.AusderZeitbiszumEintreffender Echos läßt sich schließen, in welchen Tiefen Mediengrenzen Reflexionen erzeugt haben.

Dabei wird die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Signale in Wasser zur Umrechnung von Laufzeit in Tiefe verwendet.

Trägt man während eines A-Scans die Amplitude der gemessenen Echos gegen die Zeit auf, erhält man damit also gewissermaßen ein medizinisches ”Echolot“.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.7: A-Mode-Verfahren.

2.5.2 B-Bildverfahren

Bei der Klasse der B-Bildverfahren werden nacheinander die beim A-Mode beschriebenen Signale in verschiedene Richtungen ausgesandt und die Echos ebenfalls aus diesen Richtungen aufgezeichnet. In Anlehnung an die Terminologie der Computertomographie bezeichnen wir jede derart durchgeführte Messung nachfolgend als Sicht. Die Meßdaten jeder Sicht enthalten also die Information über die Tiefe von Mediengrenzen in einer bestimmten Meßrichtung.

2.5. Bildgebende Verfahren 19

Die Amplitude des einlaufenden Echos wird nun in einem Bildgebungsprozeß in die Helligkeit von geeignet angeordneten Bildpunkten umgesetzt. Daher erklärt sich auch der Name des Verfahrens, denn ”B“stehtfür ”Brightness“.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.8: B-Bildverfahren (Linearscan).

In der Bildebene entsprechend den Richtungen der einzelnen Sichten angeordnet, ergeben die Einzelmessungen ein Schnittbild durch das untersuchte Objekt. Jeder Sicht wird also eine Gerade im Raum zugeordnet und jeder Ankunftszeit eines Echos ein Punkt auf dieser Geraden.

Führt man mehrere B-Scans nacheinander durch, wobei die Schnittebene jeweils verschoben oder gekippt wird, lassen sich so auch dreidimensionale Informationen gewinnen.

Interpretation von B-Bildern

Zum Verständnis von B-Bildern ist es wichtig, sich eines ständig vor Augen zu halten: Die Aufzeichnung der Reflexionen eines Ultraschallsignals erfolgt gegen die bis zum Eintreffen der Echos verstrichene Zeit, nicht gegen die (unbekannte!) Tiefe der reflektierenden Struktur im Objekt.

Wenn also ein Echo aufgezeichnet wird, so heißt das nicht, daß in der entsprechenden Tiefe im Objekt tatsächlich eine Mediengrenze vorhanden wäre. Vielmehr ist dies so zu interpretieren, daß es einen Weg durch das Objekt zurück zum Sender gibt, den zurückzulegen der Schall genau so lange braucht, wie Zeit bis zum Eintreffen des Echos verstrichen ist.

Dies ist eigentlich selbstverständlich, führt aber immer wieder zu Verwirrung. Bestimmte Arten von Objekten fördern diese Art von Fehlinterpretation durch besonders angeordnete Reflektoren. In Kapitel 9 werden einige solche Phänomene mit der noch vorzustellenden Simulationssoftware nachgebildet.

Das Gesagte gilt natürlich völlig analog für den A-Mode. Allerdings ist dieser zum einen in der medizinischen Diagnostik nicht annähernd so verbreitet, zum anderen ist die Gefahr der Fehlinterpretation bei B-Bildern durch ihre weitgehend intuitive Verständlichkeit wesentlich größer.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.9: Rohdaten eines B-Scans. Vertikal sind die einzelnen Messungen des B-Scans (Linearscan) aufgetragen, horizontal die Zeit. Abgebildet ist die jeweils von der Meßanordnung empfangene Energie. Das resultierende B-Bild ist in Abb. 9.1 dargestellt.

2.5.3 Scanverfahren

Nach der Art, wie die Richtungen der aufeinanderfolgenden Pulse zueinander gewählt sind, unterscheidet man verschiedene Scanverfahren. Die gebräuchlichsten sind die in Abbildung 2.10 schematisch dargestellten:

1. Linearscan: Die aktive Schallquelle wird linear verschoben. Alle Signale werden parallel ausgesandt. Anstelle eines bewegten Wandlers kann ein Linear-Array verwendet werden. Die Simulation erlaubt genau dies.
2. Sektorscan: Alle Signale gehen von einem gemeinsamen Punkt in verschiedene Richtungen aus. Es kann ein gedrehter Schallwandler verwendet werden, alternativ aber auch ein Phased-Array. In der Simulation ist Drehen von Wandlern nicht vorgesehen, so daß nur die zweite Möglichkeit in Frage kommt.
3. Convexscan: Die einzelnen Wandler sind auf einer konvexen Linie angeordnet. Ansonsten erfolgt der Abtastvorgang wie beim Linearscan. Da die Berührungsfläche von Schallkopf und Objekt hierbei nicht eben ist, kann die Simulation dieses Verfahren nicht nachbilden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.10: Scanverfahren.

2.5.4 Tiefenabhängige Verstärkung

Je länger ein Ultraschallsignal Körpergewebe oder andere dämpfende Medien durchläuft, umso mehr Energie geht ihm verloren. Je später darum Echos aus der Tiefe eines Objektes beim Empfänger eintreffen, umso schwächer sind sie.

Diesen Effekt auszugleichen ist die Aufgabe der tiefenabhängigen Verstärkung. Eine solche Einrichtung verstärkt einlaufende Echos auf elektronischem Wege mit zeitlich wachsendem Verstärkungsfaktor. Dieser Faktor V wird festgelegt als Kehrwert der angenommenen Dämpfung. Wie in Gleichung (1.12) verwendet ist dies also

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mit der Phasengeschwindigkeit c und der Signallaufzeit t. Wie in Abschnitt 1.5 eingeführt, ist µ auch hier der durch (1.13) definierte Dämpfungskoeffizient des durchlaufenen Mediums. In Abbildung 2.11 sind die resultierenden B-Bilder mit verschiedenen Einstellungen für µ gezeigt.

Um die gewünschte Funktion zu gewährleisten, müssen offenbar Annahmen über die Dämpfung der durchlaufenen Medien gemacht werden. Da dies exakt praktisch nicht machbar ist, kommt es zu unkorrekten Darstellungen, wenn Medien im Signalweg liegen, deren Dämpfungskoeffizienten stark von der Schätzung abweichen. Solche Artefakte sind Gegenstand von Abschnitt 9.1.2 im Teil III dieser Arbeit.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.11: Tiefenabhängige Verstärkung. Die gestrichelten Linien zeigen die Umrisse der im Raum vorhandenen Objekte. In verschiedenen Tiefen wurde ein Wasserquader simuliert; das umgebende Medium ist Fett mit dem Dämpfungskoeffizienten µ = 0,5 dB/(MHz cm). Wird in der B-Bild-Erzeugung zum Ausgleich der Dämpfung µ zu klein gewählt, unterdrückt die Bildgebung tiefere Schichten (Bilder (a) und (b)), bei zu großem µ dagegen werden die zuerst einlaufenden Echos unterbewertet (Bild (d)). Mit der korrekten Einstellung erscheinen die Echos aus allen Tiefen etwa gleich stark (Bild (c)).

Teil II Simulationsverfahren

Kapitel 3 Faltung mit Kugelwellen

3.1 Datenstruktur und Wellenfunktion

Jedem Punkt x im Raum kann zu jeder Zeit t ein Schwingungszustand in Form einer komplexen Zahl zugeordnet werden. In der Realität repräsentieren Real- und Imaginärteil beispielsweise Auslenkung und Geschwindigkeit von elastisch verbundenen Schwingern, Druck und Druckveränderung in Luft, elektrische und magnetische Feldstärke oder andere vergleichbar gekoppelte physikalische Größen. Die sich so ergebende Funktion

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wird als Wellenfunktion bezeichnet, da sie die gesamte Information über sich ausbreitende Wellen enthält.

Zusätzlich benötigen wir, konzeptionell getrennt von der Wellenfunktion, eine Notation für die extern angeregten Schwingungen im System. Diese unterliegen nicht der deterministischen zeitlichen Entwicklung der Wellenfunktion, sondern werden von außen dem System aufgezwungen. Eine solche Anregung sei für jeden Ort x und jede Zeit t bezeichnet mit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Findet an einem Ort x0 zur Zeit t0 keine äußere Erregung statt, so wird dies durch [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ausgedrückt. Werden in den nachfolgenden Darstellungen mehrere Wellenfunktionen bzw. erzwungene Schwingungen benötigt, so werden hierfür φ bzw. Φ verwendet.

3.2 Evolution der Wellenfunktion

Nehmen wir an, die oben eingeführte Wellenfunktion sei in einem Punkt x und zur Zeit t bezeichnet mit ψ(x, t). Für einen festen Punkt x0 sei eine Anregung Ψ zur Zeit 0 gegeben als

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

in allen anderen Punkten[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Zu einem späteren Zeitpunkt t wird aufgrund dieser Anregung in einer Umgebung von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Wellenfunktion von 0 verschieden sein. Ohne irgendeine Einschränkung (außer [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]versteht sich) läßt die gesamte Wellenfunktion zur Zeit t sich schreiben als

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hierbei ist a(x, t) die relative Amplitude und ϕ(x, t) die relative Phase im Punkt x zur Zeit t. Beide Funktionen sind festgelegt durch die Art, in der sich Störungen im betrachteten Medium fortpflanzen, also etwa durch Ausbreitungsgeschwindigkeit, Dämpfung und räumliche Strukturen.

3.2.1 Kugelwellen

Zur Abkürzung der folgenden Darstellungen sei nun eine Funktion W definiert, welche die Verteilung von relativer Phase und Amplitude um den Erreger beschreibt. W bezeichnet also nichts anderes als die sich ausbreitende Welle.

In der Realität sind alle Richtungen des Raumes zunächst gleichberechtigt, so daß wir davon ausgehen können, es mit einem bezüglich des Koordinatenursprungs punktsymmetrischen W zu tun zu haben. Es handelt sich also speziell um eine Kugelwelle, die wir in Abhängigkeit vom Abstand [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] von ihrem Ausgangspunkt x0 schreiben können als

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit einer geeigneten Funktion W0(r, t). Diese gibt die relative Amplitude der Welle zur Zeit t im Abstand r vom Erreger an. In Gleichung (3.4) kann damit die zeitliche Entwicklung von ψ bis zu einem Zeitpunkt t einfach beschrieben werden als das Produkt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Fanden zur Zeit 0 noch an anderen Punkte als x0 Anregungen statt, so entwickeln sich von diesen aus ebenfalls Wellen, und die Nachfolgezustände sind durch die Summe der Einzelentwicklungen gegeben. Entsprechendes gilt für die Multiplikation der Wellenfunktion mit konstanten Faktoren. So ergibt sich für zwei beliebige Wellenfunktionen ψ und φ und komplexe Faktoren a und b

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Evolution einer beliebigen Welle kann damit insbesondere auf die einzeln zu betrachtenden Entwicklungen solcher Wellen zurückgeführt werden, die von genau einem Punkt ausgehen. Die insgesamt resultierende Welle ist die Summe der getrennt betrachteten Teilwellen. Dieser Sachverhalt heißt die Linearität der Wellenausbreitung.

Ein entsprechendes Superpositionsprinzip gilt im Falle einer zeitlichen Ausdehnung, also für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Dann ist

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dies kann man schreiben als eine Faltung *t über die Zeit t:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.2.2 Homogene Medien

Ein besonders einfacher Spezialfall liegt vor, wenn die Entwicklung der Wellenfunktion an allen Orten im Raum gleich erfolgt. In diesem Fall muß W nur entsprechend verschoben werden. Sind unter dieser Annahme etwa [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten],so ist

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Im kontinuierlichen Fall wird analog zu (3.8) aus der Summe über die Teilwellen das Integral über den gesamten Raum

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

was offenbar gerade einer Faltung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] in der ersten (mehrdimensionalen) Variablen entspricht:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Läßt man nun noch die oben erhobene Forderung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] fallen,

so erhält man aus der Kombination von (3.9) und (3.12) das doppelte Faltungsintegral

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.2.3 Kugelwellen und heterogene Medien

Aus Formel (3.13) ergibt sich die Idee für eine Methode zur Simulation der Wellenausbreitung: Bestimme W (x, t) für jeden gewünschten Zeitpunkt t und falte die Wellenfunktion zur Zeit 0 damit. Dies ist so lange einfach machbar, wie die Grundannahme gültig bleibt, ψ entwickele sich an allen Stellen im Raum gleich. Unter dieser Annahme handelt es sich bei W , wie bereits bemerkt, um eine einfache Kugelwelle.

Problematisch wird die Situation, wenn Mediengrenzen ins Spiel kommen. Dann nämlich sind an einigen Orten die Ausbreitungseigenschaften nicht mehr in allen Raumrichtungen identisch. Die Idee ist nun, die Welle sich nur so lange ausbreiten zu lassen, bis sie auf eine Grenzschicht trifft und dann neue Wellen von ihrem Rand ausgehen zu lassen, so wie das Huygenssche Prinzip es vorsieht.

Damit handelt man sich jedoch zunächst eine ganze Kollektion verschiedener, genauer gesagt verschieden weit ausgedehnter, Kugelwellen ein. Für jeden Punkt im Raum müßte diejenige dieser Wellen in Betracht gezogen werden, deren Radius der Entfernung zur nächsten Mediengrenze entspricht.

Auch gibt man damit die einfache lineare Zeit auf, denn je weiter eine Welle sich bis zu einer Mediengrenze ausbreiten kann, umso längere Zeit benötigt sie hierfür. Trotzdem kann man natürlich eine solche Simulation in Betracht ziehen. Im nächsten Kapitel wird genau dies geschehen, wenn auch noch weiter vereinfacht.

3.2.4 Infinitesimale Elementarwellen

Ein einheitlicher Wellentyp läßt sich beibehalten, indem grundsätzlich (also unabhängig von Mediengrenzen) die Wellen sich nur ein infinitesimal kleines Stück ausbreiten dürfen, ehe sie in neue Kugelwellen aufgehen. Gesucht ist nun also im homogenen Medium eine hinreichend gering ausgedehnte”Elementarwelle“w,diebeiwiederholterAnwendung die Evolution von W möglichst gut nachbildet.

Genauer: Wenn w eine Elementarwelle nach einer (kurzen) Zeitspanne Δt bezeichnet, so wird für n ∈ N aus (3.13)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ein Vergleich mit (3.9) zeigt, daß dieser Gleichung die folgende Korrespondenzzugrundeliegt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Form löst ganz nebenbei noch ein weiteres Problem, das bisher nicht in Erscheinung getreten ist: Es ist hiermit möglich, inkrementell zu simulieren. Anstatt immer von den Anfangsbedingungen ausgehen zu müssen, genügt die Kenntnis der Wellenfunktion zum vorhergehenden Zeitpunkt. Dies drückt sich darin aus, daß w im Gegensatz zu W keinen Zeitparameter besitzt, also insbesondere nicht für jeden Zeitpunkt neu bestimmt werden muß.

Wie leicht überprüft werden kann, ist die Wellenfunktion zum nächsten betrachteten Zeitpunkt konkret zu schreiben als

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Man ersetzt also die exakte Entwicklung durch eine wiederholte schrittweise Evolution des Systems. Die kann allerdings für jedes konkrete Δt nur eine mehr oder weniger gute Näherung sein. Wie w dabei auszusehen hat, ist nun klar, denn für j = 1 folgt aus (3.15)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine sinnvolle Wahl für w ist damit die Kugelwelle, die sich nach einer Zeitspanne Δt um einen Erreger gebildet hat. Nach dem Huygensschen Prinzip war nichts anderes zu erwarten.

Die aufwendige wiederholte Berechnung der Faltungsintegrale in (3.16) erspart man sich unter Zuhilfenahme der Faltungseigenschaft der Fouriertransformation

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Man berechnet also statt der Faltung im Ortsbereich nur das punktweise Produkt der jeweiligen Fouriertransformierten im Frequenzbereich. Für weitere Details konsultiere der interessierte Leser [B+87].

3.3 Die Elementarwellen im Ortsbereich

Wie sieht nun die Kugelwelle genau aus? Ein bestimmender Parameter der Simulation ist die Zeitdauer Δt zwischen zwei aufeinanderfolgenden Schritten. Das Medium, in dem die Ausbreitung stattfindet, sei charakterisiert durch die Phasengeschwindigkeit c und die Dämpfung µ.

Der Darstellung in Abschnitt 1.3.1 folgend bezeichne wieder f (t) den Signalverlauf der Erregung. Speziell gelte allerdings f (t) = 0 für alle t < 0, da außerhalb der Wellenfront keine Information vorhanden sein kann.

Beginnt die Ausbreitung der Welle zum Zeitpunkt 0 im Punkt x0, so hat sie sich zum Zeitpunkt Δt zu einer Kugel mit dem Radius cΔt ausgedehnt. Dabei verhält sich die Amplitude umgekehrt proportional zum Radius dieser Kugel. Bezieht man nun noch die exponentielle Dämpfung der Welle mit ein, erhält man zur Zeit t = Δt an einem beliebigen Ort x den Wert

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hierbei ist δ die Indikatorfunktion von x = 0. Gleichung (3.19) definiert also die Wellenfront, die von einer zeitlich scharf lokalisierten Erregung ausgeht. Die Gesamtwelle ist, wie oben dargestellt, die Summe aller dieser Teilwellen.

3.4 Diskreter Raum: Das Problem der Informationsdichte

Diskretisiert man den Simulationsraum, so breiten sich die Kugelwellen in jedem Zeitschritt von jedem Gitterpunkt zu seinen direkten Nachbarn aus. Eine Ausbreitung um geringere Entfernungen ist offenbar nicht möglich, da Abtastwerte der Wellen nur an Gitterpunkten vorliegen und eben nicht zwischen diesen.

Ausbreitung um mehr als einen Gitterpunkt pro Simulationsschritt ist ebenfalls nicht sinnvoll, da die von Erregern ausgehenden Wellenfronten zeitlich und damit auch räumlich scharf lokalisiert sind. Wählt man die zeitliche Schrittweite so, daß pro Schritt jede Welle sich um mehrere Gitterpunkte ausbreitet, entstehen gleichsam Löcher in den Wellen; als einheitliche Objekte gehen sie verloren.

Nun ergibt sich aber folgendes Problem: Durch die unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien müßten die Gitterpunkte je nach Medium unterschiedlich weit voneinander entfernt sein. Eine einheitliche Diskretisierung des Simulationsraums wird unmöglich.

Diskretisiert man dagegen adaptiv, so müssen an den Grenzen verschiedener Medien die Wellen von einem Gitterabstand auf einen anderen umgesetzt werden. Da die Mediengrenzen potentiell sehr komplex sein können, ist dies ausgesprochen aufwendig.

Trotzdem könnte aber die Simulation nie besser sein, als sie es in einem homogenen Medium wäre. Tatsächlich ist eher eine deutliche Verschlechterung durch die notwendige Interpolation beim Wechsel der Gitterweite zu erwarten. Bereits in homogenen Medien sind jedoch die Ergebnisse der Kugelwellenfaltung unbefriedigend, so daß der zusätzliche Aufwand sich nicht rechtfertigen läßt.

3.5 Die Elementarwellen im Frequenzbereich

Eine Möglichkeit, die infinitesimalen Elementarwellen flexibel zu skalieren und damit unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten zu ermöglichen, nutzt die Dehnungseigenschaft der Fouriertransformation

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

bzw. ihre mehrdimensionale Verallgemeinerung. Da es sich ohnehin aus Effizienzgründen anbietet, die Faltung mit der Kugelwelle im Frequenzbereich durchzuführen, kann anstelle der Kugelwelle selbst ihre Fouriertransformierte skaliert werden. Für die praktische Anwendung wäre es dabei ideal, könnte man die Fouriertransformierte der Kugelwelle geschlossen angeben. Leider ist dies nicht gelungen.

Eine andere Möglichkeit, die Darstellung der Kugelwelle im Frequenzbereich zu bestimmen besteht darin, ein Bild der skalierten Welle zu erzeugen und dieses mittels FFT zu transformieren. Dann wären allerdings nur Skalierungen der Phasengeschwindigkeit um Zweierpotenzen möglich, und diese würden den Speicherbedarf des Wellenbildes geradezu explodieren lassen. Da von den berechneten Daten dann ohnehin nur die wenigsten Verwendung fänden, scheidet auch diese Alternative aus.

Schließlich könnte man noch die Transformierte einer hinreichend großen Kugelwelle berechnen und die Skalierung durch Interpolation approximieren. Aber auch die Ergebnisse dieses Ansatzes sind nicht überzeugend.

3.6 Bewertung der Faltungsmethode

Zusammenfassend läßt sich feststellen, daß zumindest für eine Simulation der Wellenausbreitung auf der Basis des Huygensschen Prinzips die äquidistante Diskretisierung des Raumes ein nicht zu behebendes Problem darstellt. Eine adaptive Diskretisierung in Abhängigkeit von Medieneigenschaften wiederum schafft andere Probleme, die zu behandeln der zu erwartende Erfolg nicht rechtfertigt. Auch das Ausweichen auf den Frequenzbereich bringt keine Lösung. Der Faltungsansatz wird daher nicht weiter verfolgt.

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¹ Bei Licht entsprechend optische Dichte.