Faktor-basierte Tradingstrategien

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

1 Einleitung

2 Tradingstrategien
2.1 Klassische Anlagekriterien
2.2 Grundlagen
2.3 Systematisierung

3 Faktormodelle
3.1 Definition und Verwendungszweck
3.2 Systematisierung
3.3 Klassische Vertreter
3.4 Verwendete Schätzmethode

4 Hauptkomponenten-Analyse
4.1 Grundlagen
4.2 Bestimmung der Anzahl der Hauptkomponenten

5 Empirischer Teil
5.1 Erhobene Daten
5.2 Untersuchte Aktien
5.3 Reaktionsstufen zur Generierung von Tradingsignalen
5.4 Implementierung anhand Capital Asset Pricing Modell .
5.5 Implementierung anhand Marktmodell
5.6 Implementierung anhand Arbitrage Pricing Theory Modell .
5.7 Implementierung anhand HK-Modell mit eigens ermittelten Faktoren .
5.8 Analyse der Robustheit der Schätzer
5.9 Fazit

6 Schlusswort

Literatur

Verwendete Variablen und Abkürzungen

Abbildungsverzeichnis

1 Magisches Dreieck des Investments

2 Arten von Anlagestrategien

3 Arten von Faktormodellen

4 Faktor-basierte Tradingstrategien und ausgew ä hlte Instrumente

5 Beispielhafter Scree-Test

6 Renditen von Bundesschatzbriefen als risikolose Verzinsung

7 Renditen der EURIBOR als kurzfristige Geldanlagem ö glichkeit

8 Vergleich der Renditen zwischen Bundesschatzbriefen und EURIBOR.

9 Entwicklung der w ö chentlichen stetigen Renditen

10 Verteilungen der Renditen

11 Gesch ä tzter Beta-Faktor im CAPM - VW

12 Entwicklung der besten CAPM-Tradingstrategie - VW

13 Gesch ä tzter Beta-Faktor im CAPM - Metro

14 Entwicklung der besten CAPM-Tradingstrategie - Metro

15 Gesch ä tzte Parameter im Indexmodell - VW

16 Entwicklung der besten Indexmodell-Tradingstrategie - VW

17 Gesch ä tzte Parameter im Indexmodell - Metro

18 Entwicklung der besten Indexmodell-Tradingstrategie - Metro

19 Gesch ä tzte Parameter im APT-Modell - VW

20 Entwicklung der besten APT-Modell-Tradingstrategie - VW

21 Gesch ä tzte Parameter im APT-Modell - Metro

22 Entwicklung der besten APT-Modell-Tradingstrategie - Metro

23 Gesch ä tzte Parameter im 3-Jahres HK-Modell - VW

24 Gesch ä tzte Parameter im 5-Jahres HK-Modell - VW

25 Gesch ä tzte Parameter im 3-Jahres HK-Modell - Metro

26 Gesch ä tzte Parameter im 5-Jahres HK-Modell - Metro

Tabellenverzeichnis

1 Varianz-Kovarianz-Matrix

2 Korrelations-Matrix des DAX 30

3 Statistische Kennzahlen

4 Sharpe Ratios

5 Reaktionsstufen auf Abweichungen der Renditen

6 Beispiel: Generierung eines Tradingsignals

7 Beispiel: Handlungplan f ü r eine konkrete Reaktionsstufe

8 Performance im CAPM - VW

9 Performance im CAPM - Metro

10 Performance im Indexmodell - VW

11 Performance im Indexmodell - Metro

12 Performance im APT-Modell - VW

13 Performance im APT-Modell - Metro

14 Beispielhafte Performance bei einer ex-post HKA

15 Standardisierte Eingangsvariablen in die HKA

16 Eigenwerte bei 3-Jahres HKA

17 Korrelationsmatrix ρ j (HK, U rspr ü nglich) f ü r 3-Jahres-Sch ä tzer - VW.

18 Performance im dreij ä hrigen HK-Modell - VW

19 Korrelationsmatrix ρ j (HK, U rspr ü nglich) f ü r 5-Jahres Sch ä tzer - VW.

20 Performance im f ü nfj ä hrigen HK-Modell - VW

21 Korrelationsmatrix ρ j (HK, U rspr ü nglich) f ü r 3-Jahres Sch ä tzer - Metro.

22 Performance im dreij ä hrigen HK-Modell - Metro

23 Korrelationsmatrix ρ j (HK, U rspr ü nglich) f ü r 5-Jahres Sch ä tzer - Metro.

24 Performance im f ü nfj ä hrigen HK-Modell - Metro

25 Statistische Kennzahlen der OLS-Sch ä tzungen - VW

26 Statistische Kennzahlen der OLS-Sch ä tzungen - Metro

27 Ü bersicht aller Sharpe Ratios - VW

28 Ü bersicht aller Sharpe Ratios - Metro

1 Einleitung

Insbesondere im hektischen und unübersichtlichen Börsenumfeld stellen Tradingstrategien oft eine wesentliche Vereinfachung der Wirklichkeit auf konkrete Handlungsanweisungen dar. Jede Tradingstrategie benötigt für ihre Implementierung jedoch gewisse Instrumente, mit welchen die für den Handel in Frage kommenden Wertpapiere näher analysiert werden. Eine mögliche Lösung ist die Verwendung eines Faktormodells zur Realisierung einer Anlagestrategie, wobei in diesem Fall von einer faktor-basierten Tradingstrategie gesprochen wird. Solch ein Vorgehen soll anhand der vorliegenden Arbeit näher analysiert und selbst implementiert werden.

Dazu ist es notwendig, zunächst den Blick auf Tradingstrategien für private Investoren im Allgemeinen zu richten. Nach einer Definition und einem Marktüberblick über verschie- dene Arten von Strategien wird der Schwerpunkt der Analysen auf die Erzeugung von Tradingsignalen mit besonderem Fokus auf Faktormodelle gelegt. Solche Tradingsignale sind der Output hierfür geeigneter Modelle und präsentieren dem Anwender eine passende Anlagetaktik, mit welcher der Nutzen aus dem Investment maximiert werden soll (Nowak, 1994; Becker, 2011).

Im Anschluss wird eine Einführung in die Theorie der Faktormodelle gegeben. Dabei wird deutlich, dass manche Faktormodelle keine explizit vorgegebenen erklärenden Variablen enthalten, weshalb diese selbst anhand verschiedener statistischer Instrumente der Faktorer- mittlung identifiziert werden müssen. Konsequenterweise wird deshalb das Grundverständnis der Hauptkomponenten-Analyse, einer in der Praxis weitverbreiteten Methode zur Aufde- ckung erklärender Faktoren, verdeutlicht.

Die Gesamtheit der vermittelten Kenntnisse werden für den empirischen Teil der Arbeit benötigt, in welchem sämtliche relevanten Modelle des theoretischen Teils auf ausgewählte Aktien des DAX angewendet werden. Durch Messung der Performance dieser Investments können Aussagen über die Effizienz bestimmter faktor-basierter Tradingstrategien getroffen werden. Im Rahmen der Implementierung werden klassische Vertreter, sowie Modelle mit selbst ermittelten Faktoren angewendet.

Aus diesem Grund ist es das Ziel dieser Arbeit, folgende Forschungsfragen für einzelne

Anlagen zu beantworten:

- Können ausgewählte faktor-basierte Tradingstrategien eine höhere Performance als eine Anlage in das Marktportfolio oder in ausgewählte Aktien realisieren?
- Kann diese berechnete Performance durch eine Variation der Schätzmethode oder Strategie stark beeinflusst werden?

Natürlich sind dadurch keine allgemeingültigen Aussagen über faktor-basierte Tradingstra- tegien zu erwarten. Vielmehr sollen die zugrunde liegenden Methoden anhand empirischer Beispiele näher untersucht werden.

2 Tradingstrategien

2.1 Klassische Anlagekriterien

Eine optimale Tradingstrategie erlaubt es ihrem Anwender, seinen individuellen Nutzen zu maximieren. Maßeinheiten dieses Nutzens stellen dabei vor allem die klassischen Anlagekri- terien Rendite, Risiko und Liquidität dar. Diese stehen, wie durch das „magische Dreieck“ in Abbildung 1 verdeutlicht, in einem Spannungsverhältnis zueinander. Die Kunst einer geeigne- ten Tradingstrategie ist es nun, der Zielperson einen Handelsplan von Wertpapieren mittels der Generierung von Tradingsignalen aufzuzeigen, mit welchem eine geeignete Kombination der drei Anlagekriterien erzielt werden kann (Böttcher et al., 2009).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Magisches Dreieck des Investments, Quelle: Böttcher et al. (2009)

Die genannten Parameter sollen zunächst definiert und kurz erläutert werden. Als Renditemaß werden in dieser Arbeit stetige Renditen der Form

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

verwendet, wobei R i,t die Rendite eines Wertpapiers i zum Zeitpunkt t und K i,t den Kurs des Wertpapiers i zum Zeitpunkt t darstellen. Die Wahl der stetigen Rendite als geeignetes Renditemaß ergibt sich aus ihren positiven Eigenschaften in Längsschnittanalysen, was im empirischen Teil der Arbeit noch einige Vorteile bieten wird. Die stetige Rendite gibt die logarithmierte Wertveränderung des Wertpapiers, ausgedrückt in Prozent des Kurses der letzten Periode, an.

Das Risikoausmaß einer Kursänderung wird in der Portfoliotheorie fast ausschließlich durch die Volatilität der Renditen ausgedrückt. Dieser Norm folgt auch die vorliegende Arbeit und definiert das Risiko demnach als Wurzel der mittleren quadratischen Abweichung vom Erwartungswert, wobei R den Mittelwert aller stetigen Renditen darstellt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Liquidität eines Investments als drittes Anlagekriterium bezeichnet die Möglichkeit, die Anlage schnell in Bargeld umzuwandeln. Da in den vorliegenden Analysen lediglich hochliquide und an der Börse gehandelte Aktien betrachtet werden, kann der Aspekt der

Liquidität bei der Entwicklung einer Tradingstrategie außer Acht gelassen werden (Böttcher et al., 2009).

2.2 Grundlagen

Tradingstrategien besitzen im Gegensatz zur Tradingidee einen langen Zeithorizont und entstehen durch eigene Intuition, Marktbeobachtung oder der Vermutung einer Marktan- omalie, wie etwa unterbewerteten Wertpapieren. Sie sind optimalerweise dazu in der Lage, sich wiederholende oder außergewöhnliche Muster in Aktienpreisen zu erkennen und anhand dieser Informationen Kauf- oder Verkaufsignale zu generieren, wodurch ein Handlungsplan für den Anwender der Strategie entsteht. Diese Techniken, die das Aufspüren verborgener Relationen in Aktienrenditen ermöglichen, können von sehr simpler Natur sein, jedoch auch komplexen mathematischen Herleitungen folgen. Das Ziel jeder verwendeten Technik bleibt aber das Gleiche: Eine Überrendite über derer vergleichbarer Anlagen mit ähnlicher Rendite/Risiko-Kombination zu erzeugen (Fabozzi et al., 2010; Brock et al., 1992). Diese Überrendite wird auch als abnormale Rendite bezeichnet. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wird zur Beurteilung der Performance der implementierten Strategien die Sharpe Ratio verwendet, eine Kennzahl, welche neben der erzielten Rendite auch das damit verbundene Risiko bewertet (Steiner und Bruns, 2002). Sie ist definiert als

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und demnach als Risikoprämie pro Einheit übernommenen Gesamtrisikos zu interpretieren. Aus diesem Grund ist die Sharpe Ratio dazu geeignet, die durch die Strategie verursachte Rendite/Risikokombination mit der Performance alternativer Anlagen zu vergleichen.

Grundgedanke aller Tradingstrategien ist, dass die Hypothese effizienter Märkte, wie sie von Fama (1970) formuliert worden ist, nicht jederzeit volle Gültigkeit besitzt. Die strenge Hypothese effizienter Märkte besagt, dass die Renditen eines Wertpapiers vollkommen durch marktübliche Risikofaktoren erklärt werden können. Grund dafür ist eine perfekte Infor- mationsverarbeitung durch den Kapitalmarkt, weshalb sich sämtliche für die Bepreisung eines Wertpapiers relevanten Informationen im Preis dessen widerspiegeln. Somit wäre es auf effizienten Märkten unmöglich, Überrenditen bei gleichem Risiko zu erwirtschaften, in anderen Worten den Markt zu schlagen. Die Ablehung dieser Hypothese ist demnach Grundvoraussetzung für die wirksame Anwendung von Tradingstrategien (Bonenkamp, 2010; Murschall, 2007).

2.3 Systematisierung

Neben Faktormodellen bestehen auch weitere Instrumente, mit welchen Strategien für eigene Investments geschaffen werden können, indem Kauf- und Verkaufzeitpunkte identifiziert werden. Daher soll an dieser Stelle ein kurzer Überblick über die zwei dominierenden Quellen von Tradingstrategien gegeben werden, der technischen Anlage und der fundamentalen Anlage. Auch wird im Rahmen dieser Systematik die Methodik der Faktormodelle näher spezifiziert, was durch Abbildung 2 am Ende dieses Abschnitts nochmals verdeutlich wird.

2.3.1 Technische Anlage

Die technische Anlage wird häufig als die ursprüngliche Form der Investmentanalyse bezeich- net, wobei deren Anfänge in das frühe 19. Jahrhundert zurückgehen. Erst das umfangreiche Angebot an öffentlich zugänglichen Finanzinformationen von Unternehmen ermöglichte die alternative fundamentale Anlage (Brock et al., 1992).

Innerhalb der technischen Anlage werden Heuristiken oder mathematische bzw. ökono- metrische Modelle benutzt, welche Tradingsignale mittels historischer Daten generieren und auf einen kurz- bis mittelfristigen Anlagehorizont beruhen. Ziel dieser Anlageform ist es, zukünftige Aktienkurse aus der historischen Entwicklung eines Wertpapiers und anderer, passender Faktoren zu schätzen (Ahn et al., 2003). Die Daseinsberechtigung der technischen Analyse zur Prognose künftiger Preise kann dadurch begründet werden, dass eine vollstän- dige Erhebung aller Einflussfaktoren und der damit verbundenen Auswirkungen auf den Unternehmenswert unmöglich ist. Daher bedient man sich vereinfachender Schätzmethoden, welche Preisbewegungen der Vergangenheit als Schätzgrundlage benutzen (Swensen, 2005; Murschall, 2007). Auf die identische Schlussfolgerung kam Murphy (1999) mit seiner Aussa- ge:“[Befürworter der technischen Anlage] glauben, dass alles, was den Preis .. in irgendeiner Weise beeinflussen kann, bereits im Marktpreis reflektiert wird. Daraus folgt, dass eine genaue Studie der Preisbewegung genügt [, um Aussagen über künftige Preisentwicklungen zu treffen.]“

2.3.2 Fundamentale Anlage

Die fundamentale Anlage als mittel- bis langfristige Anlageform benutzt im Gegenzug aktuelle Marktdaten, mit welchen sie versucht, unterbewertete Wertpapiere mittels zuvor bestimmter Kennzahlen aufzuspüren und damit Tradingsignale zu entwickeln. So bedient sich diese Herangehensweise fundamentaler Informationen über Unternehmen, wie etwa Kennzahlen aus Geschäftsberichten, sowie makroökonomischer Faktoren, um die faire Bewertung eines Investments zu evaluieren. Konkrete Methoden, wie eine Fehlbepreisung einer Aktie identifi- ziert werden kann, stellen theoretische Modelle wie beispielsweise das Dividend Discount Model oder das Discounted Free Cash Flow Modell dar (Bonenkamp, 2010).

2.3.3 Kombination aus technischer und fundamentaler Anlage

Die technische, wie auch die fundamentale Anlageform verfolgen beide das Ziel, die Bewe- gungsrichtungen zukünftiger Kurse von Wertpapieren zu prognostizieren, bestreiten dafür aber unterschiedliche Wege: Vertreter der technischen Anlage studieren die Effekte von Marktbewegungen und historischer Daten, wohingegen fundamentale Investoren versuchen, Gründe für die Marktbewegungen in möglichen Fehlbepreisungen zu finden. Dennoch ist eine strikte Trennung technischer und fundamentaler Anlageformen in der Praxis oftmals nicht sinnvoll. Aus diesem Grund bestehen viele Tradingstrategien aus technischen und fundamentalen Bestandteilen, wobei vor allem die Unterschiedlichkeit der beiden Arten viele Vorteile bringen kann: Durch eine Kombination verschiedener Techniken zur Ermittlung von Tradingsignalen lassen sich möglicherweise besonders hochwertige Wertpapiere identifizieren, sofern mehrere unterschiedliche Verfahren die identischen Tradingsignale für das Wertpapier generieren.

Auch Faktormodelle stellen eine Kombination der beiden Anlagearten dar: Hier werden historische Daten bestimmter Faktoren als Schätzgrundlage für zukünftige Aktienkurse verwendet, was einer klaren technischen Analyse entspricht. Die Faktoren hingegen können erklärende Variablen fundamentaler Natur darstellen, wie beispielsweise Kennzahlen aus dem Accounting- oder Finanzbereich eines Unternehmens, sowie auch makroökonomische Daten. Daher sind für Tradingzwecke eingesetzte Faktormodelle als eine primär technische Anlageart mit der Möglichkeit fundamentaler Faktoren anzusehen. Jedes Faktormodell ist hierbei als eigene, abgegrenzte faktor-basierte Tradingstrategie zu verstehen, mittels welcher Tradingsignale generiert werden sollen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Arten von Anlagestrategien

Im Folgenden wird eine allgemeine Einführung in die Thematik der Faktormodelle durchge- führt, um diese als bevorzugtes Instrument zur Erzeugung solcher Tradingsignale nutzen zu können.

3 Faktormodelle

3.1 Definition und Verwendungszweck

Finanzwirtschaftliche Faktormodelle sind statische oder dynamische¹ kapitalmarkttheoreti- sche Modelle in der Form linearer Regressionsmodelle, welche die Renditen unterschiedlich riskanter Anlageformen anhand der Sensitivität verschiedener Faktoren zu erklären oder zu prognostizieren versuchen. Mit Hilfe dieser Bepreisung kann die erwartete und tatsächli- che Rendite eines Wertpapiers verglichen werden, woraus Tradingsignale entstehen können.

Bereits aus dieser sehr knappen Definition geht klar die Bedeutung des Risikoaspekts bei der Verwendung von Faktormodellen hervor, weshalb diese auch oft als Risikomodelle be- zeichnet werden. Es soll mit Hilfe der Modelle den Anwendern die Information verschafft werden, welche Rendite bei welchem Level von Risiko erwartet werden darf und ob womöglich abnormale Renditen erzielbar sind. Die damit ermöglichten Renditeprognosen dienen der Generierung von Tradingsignalen, was zu einer höheren Performance im Portfolio führen soll. Die Wirksamkeit dieses Vorgehens wurde für ausgewählte Strategien bereits empirisch belegt (Amenc und LeSourd, 2003; Deetz et al., 2009).

Ohne die Verwendung eines Faktormodells können Informationen über die Gesamtrisikostruktur eines Portfolios nur durch Schätzung der Portfoliovarianz σ² P ortf olio gewonnen werden. Diese ist stark von den Kovarianzen σ i,i +1 zwischen den einzelnen Wertpapieren abhängig, wie auch anhand folgender Formel ersichtlich ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei stellt x i den Anteil des Wertpapiers i am gesamten Portfolio dar. Die Kovarian- zen geben das Ausmaß des gemeinsamen Gleichlaufs verschiedener Wertpapiere an. Ist dieser Gleichlauf gering, so ist eine merkliche Risikooptimierung im Portfolio möglich. Sämtli- che Beziehungen zwischen den Aktien werden dabei durch die Varianz-Kovarianz-Matrix ausgedrückt, welche eine Form wie in Tabelle 1 besitzt (Bruns und Meyer-Bullerdiek, 2008).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1: Varianz-Kovarianz-Matrix

Es wird deutlich, dass für die Ermittlung einer Portfoliovarianz zahlreiche Renditen und Varianzen von Wertpapieren, sowie die Kovarianzen zwischen den einzelnen Anlagen geschätzt werden müssen. Die insgesamte Anzahl an benötigten Daten beläuft sich auf [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] wobei n die Anzahl an Wertpapieren im Portfolio darstellt. In Zahlen ausgedrückt sind für ein Portfolio bestehend aus 100 Wertpapaieren 5150 Schätzungen notwendig. Dieser enorme Schätzaufwand war Grund für die Entwicklung von Faktormodellen. Die Verwendung solcher bietet hier eine merkliche Reduktion der zu schätzenden Parameter auf 2 n + 2 k + n · k Stück, wobei k für die Anzahl der im Faktormodell verwendeten erklärenden Faktoren steht. Dadurch kann auch der Einfluss möglicher Schätzfehler aufgrund der geringeren Anzahl an Schätzungen verringert werden (Steiner und Bruns, 2002; Becker, 2011). Bei einer realistischen Anzahl von drei Regressoren werden demnach für ein Portfolio aus 100 Aktien lediglich 506 Berechnungen notwendig. Aus diesen soll die unbekannte historische Kovarianzmatrix möglichst genau reproduziert werden. (Nowak, 1994; Gothein, 1995).

3.2 Systematisierung

Zur Erleichterung des Einstiegs in die Thematik wird ebenso die Gesamtheit der Faktor- modelle systematisiert. Faktormodelle können je nach Anzahl und Charakteristika der als Regressoren verwendeten Faktoren unterschieden werden. So ist eine Einteilung in Einfaktor- und Mehrfaktormodellen, sowie in implizite und explizite Modelle üblich. Einen abschließen- den Gesamtüberblick liefert Abbildung 3.

3.2.1 Einfaktormodelle

Einfaktormodelle versuchen, die Rendite eines Wertpapiers durch nur einen einzigen Faktor

zu erklären. Sie folgen demnach der mathematischen Form des Regressionsmodells

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Faktormodelle dieser Art sind für Querschnittsanalysen Mittel der Wahl, in welchen ver- schiedene Wertpapiere i zu einem gemeinsamen Zeitpunkt analysiert werden. Da innerhalb der Berechnungen dieser Arbeit jedoch die Entwicklung der Rendite eines Wertpapiers im Zeitablauf beobachtet werden soll, werden Faktormodelle gewählt, welche für Längsschnitt- analysen bzw. Zeitreihenanalysen geeignet sind. Hierdurch wandelt sich der Wertpapierindex i zum Zeitindex t um und das Modell besitzt die funktionale Form

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es wird bei dieser Berechnung ein stochastischer Prozess mit Unabhängigkeit der Variablen im Zeitablauf ohne dynamischen Effekt unterstellt, weshalb die Methoden der statischen Faktormodelle verwendet werden können. Dabei stellt α eine wertpapierspezifische Konstante, also quasi eine eigene abnormale Rendite, die vom Niveau des zu erklärenden Faktors unab- hängig ist, dar. Aufgrund ihrer Eigenschaft als Konstante ändert sie sich im Zeitablauf nicht und besitzt daher keinen Zeitindex. Die Komponente β t wird als die Sensitivität der Rendite R _t bezüglich des Regressors F _t,j bezeichnet. Dieser besitzt im Falle von Zeitreihendaten ebenfalls einen Zeitindex t, da sich der Wert im Laufe der Zeit ändern kann. Weil ein Regressionsmodell im Regelfall nicht die komplette Streuung einer Zufallsvariablen erklärt, muss zusätzlich ein Störterm ϵ t integriert werden, welcher sämtliche Abweichungen in sich aufnimmt. Gerade die Unkontrollierbarkeit der Residuen ist dafür verantwortlich, dass für Prognosezwecke in der Regel die erwartete Rendite E (R _t) geschätzt wird. Diese integriert sich in die gesamte Rendite R _t wie folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die gesamte Rendite besteht somit aus einem erwarteten und einem unerwarteten Teil.

Weicht die durch das Modell ermittelte erwartete Rendite eines Wertpapiers von der reali- sierten Rendite ab, können dadurch Tradingsignale generiert werden. (Nowak, 1994).

3.2.2 Mehrfaktormodelle

Sinn der komplexeren Mehrfaktormodelle ist es, mögliche Beziehungen zwischen den Variablen adäquat bei der Generierung von Tradingsignalen zu berücksichtigen. Diese Herangehensweise ist konsistent mit der ursprünglichen Motivation von Faktormodellen, da solche Korrelationen ebenfalls durch die möglichst genau zu schätzenden Kovarianzen ausgedrückt werden. Es wird demnach versucht, durch die Aufnahme weiterer erklärender Faktoren das Gesamtrisiko in seine Einzelbestandteile zu zerlegen, um ein größeres Verständnis und somit eine höhere Güte des Modells zu erzielen (Steiner und Bruns, 2002). Die Formel eines Mehrfaktormodelles ist daher eine Erweiterung der Formel (2) und lässt sich schreiben als

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.2.3 Implizite Faktormodelle

In impliziten Faktormodellen wird angenommen, dass Faktoren nicht direkt beobachtbar bzw. vorgegeben sind. Stattdessen wird angenommen, dass diese unbeobachtbaren aber erklärenden Faktoren eine Art von Spur hinterlassen, mittels welcher auf jene geeigneten Faktoren geschlossen werden kann. Aus diesem Grund werden in impliziten Faktormodellen verschiedene Faktorermittlungsverfahren zur Erschaffung geeigneter Variablen verwendet. Der Nachteil dieser Methode besteht darin, dass die gefundenen Faktoren oftmals nicht eindeutig identifiziert und damit interpretiert werden können. In der praktischen Anwendung ist vor allem die Hauptkomponenten-Analyse gebräuchlich, weshalb diese im Rahmen des nächsten Kapitels genauer spezifiziert wird. (Amenc und LeSourd, 2003).

3.2.4 Explizite Faktormodelle

Im Gegenzug dazu gehen explizite Faktormodelle von einem informationseffizienten Markt aus, aufgrunddessen Faktoren nicht mittels statistischer Verfahren, sondern durch ökonomi- sche und nachvollziehbare Überlegungen exogen festgelegt werden können. In diesem Fall stehen die verwendeten Faktoren bereits vor Beginn der Analysen fest und werden nicht erst im Rahmen dieser ermittelt. Bei den Faktoren handelt es sich vor allem um makroökono- mische und fundamentale Kennziffern. Die bekanntesten expliziten Faktormodelle stellen verschiedene Varianten des Capital Asset Pricing Modell (CAPM) dar. Dieses und weitere klassische Vertreter von Faktormodellen werden im Folgenden näher vorgestellt, um sie für eine Implementierung im empirischen Teil verwenden zu können (Fabozzi et al., 2010).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3: Arten von Faktormodellen

3.3 Klassische Vertreter

3.3.1 Capital Asset Pricing Modell

Das CAPM war lange Zeit dominierendes Modell zur marktgerechten Bewertung verschie- dener Anlagewerte. Einziger erklärender Faktor stellt die Rendite eines effizienten und voll-diversifizierten Marktportfolios dar, welches ausschließlich aus systematischen, d. h. nicht diversifizierbaren Risikokomponenten besteht. Das Marktportfolio ist eine Vereinigung sämtlicher am Markt gehandelter Anlagen. Die Sensitivität der Rendite des Wertpapiers zur Marktrendite wird im Rahmen des CAPM auch als Beta-Faktor β CAPM i bezeichnet. Sie gibt an, wie stark ein Wertpapier auf Kursschwankungen des Marktes reagiert und ist demnach ein Indikator für das systematische Risiko der Anlage. Lediglich dieser systemati- sche Risikoanteil wird durch eine erhöhte erwartete Rendite prämiert. Der unsystematische, wertpapierspezifische Risikobestandteil einzelner Aktien lässt sich bei ausreichend großen Portfolien nahezu komplett eliminieren und liefert demnach keine Risikoprämie (Steiner und Bruns, 2002). Eine weitere Komponente des Modells stellt der risikolose Zinssatz rf t als eine für sämtliche Aktien identische Konstante dar. Dadurch kann eine Kombination mit einem individuellen Investment in das Marktportfolio durchgeführt werden, wodurch für jedes beliebige Risikoniveau eine mit dem Markt konsistente Rendite ermittelt werden kann.

Die Modellgleichung des CAPM lautet somit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Rendite des Marktportfolios zum Zeitpunkt t darstellt. Demnach ist[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] als erwartete abnormale Rendite des Marktes über der einer risikolosen Anlage oder auch als Risikoprämie für die Übernahme des Marktrisikos zu interpretie- ren. Je höher nun das systematische Risiko β CAPM t einer Aktie ist, desto mehr antizipiert diese an der Überrendite des Marktes, wodurch eine höhere erwartete Rendite E (R _t) pro- gnostiziert wird. Ein β CAPM t von 1 entspricht dem systematischen Risiko des Marktportfolios.

Am CAPM werden häufig die theoretischen Annahmen wegen ihrer fehlenden Praxistaug- lichkeit als Kritik genannt. So wird beispielsweise nur ein Risikofaktor zur Erklärung der Aktienrenditen verwendet. Zudem erscheint die Annahme der vollständigen Eliminierung unsystematischer Risiken durch Diversifikation sehr restriktiv (Bruns und Meyer-Bullerdiek, 2008; Amenc und LeSourd, 2003). Kritik wird vor allem auch an den in der Praxis nicht vorhandenen voll-diversifizierten Marktportfolio geäußert, für welches lediglich ein Proxy verwendet werden kann. Darunter leidet die eindeutige Testbarkeit zur Bestätigung oder Falsifizierung der Aussagen des CAPM. Dennoch wird das CAPM noch immer als das be- kannteste Modell zur Erklärung des Zusammenhangs zwischen erwarteter Rendite und Risiko angesehen. Für die Generierung von Tradingsignalen sind CAPM-Verfahren theoretisch nur bedingt zu verwenden, da sie der Prämisse des effizienten Marktes folgen. Somit sollten höhere Renditen nur durch höhere Risiken erkauft werden können. Die Eignung des CAPM für faktor-basierte Tradingstrategien wird im empirischen Teil der Arbeit näher untersucht.

Aufgrund der genannten Probleme wurde der Ruf nach einem Modell mit weniger pro- blematischen Annahmen laut, was zu verschiedenen Alternativen zum CAPM führte.

3.3.2 Indexmodell von Sharpe (Marktmodell)

Sharpe benutzt in seinem Indexmodell eine ähnliche Vorgehensweise wie das CAPM, for- muliert aber eine differenzierte Regressionsfunktion, welche sich nicht direkt auf den Ka- pitalmarkt bezieht. Demnach lässt sich die erwartete Rendite eines Wertpapiers berechnen als

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Rendite eines Index und α eine konstante, aber im Gegensatz zum CAPM unternehmensindividuelle Rendite darstellt.² Dadurch ist es Aktien möglich, höhere Renditen als der Markt bei gleichem systematischen Risiko zu erzeugen, also den Markt zu schlagen.

Fachsprachlich wird dies auch die Generierung von „Alpha“ genannt. Eine solche Möglichkeit besteht im CAPM nicht, da dieses von der Hypothese effizienter Märkte ausgeht. Daher ist das Indexmodell dazu geeignet, Wertpapiere auf signifikante α -Werte zu testen und somit eine Outperformance zu beurteilen. Auch eine Aufteilung des Risikos in einen systematischen und unsystematischen Anteil ist möglich (Steiner und Bruns, 2002). Dennoch bleibt beim Indexmodell unklar, welcher Index am zweckmäßigsten für eine Erklärung von Renditen ist, wobei in der praktischen Anwendung meistens ein Marktindex verwendet wird, was auch den Namen Marktmodell erklärt. In diesem Fall ist der geschätzte Betafaktor β t vergleichbar mit β CAPM t , dem Beta-Faktor des CAPM.

3.3.3 Arbitrage Pricing Theory Modell

Das Arbitrage Pricing Theory Modell (APTM) stellt die zentrale Alternative zum CAPM dar, da es auf weniger restriktiven Annahmen wie der Existenz eines voll-diversifizierten Marktportfolios beruht. Stattdessen integriert das APTM die Idee der Arbitragefreiheit in seine Aussagen, indem für jeden verwendeten Faktor ein Arbitrageportfolio gebildet wird.

Aus No-Arbitrage-Überlegungen darf die erwartete Rendite eines solchen Portfolios nicht von 0% abweichen. Dennoch werden Anleger versuchen, Arbitragegewinne durch das Aufspüren von Fehlbewertungen zu realisieren. Durch die Eingriffe dieser Arbitrageure stellt sich eine im Sinne des APTM faire Bewertung des Wertpapiers ein. Der Bewertungvorgang kann dabei formal geschrieben werden als:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ausgehend von diesen Überlegungen ist die Rendite eines Wertpapiers R _t daher abhängig vom risikolosen Zinssatz rf t, sowie k zuvor bestimmten erklärenden Faktoren F _t,j, welche mit den Faktorsensitivitäten β _t,j gewichtet werden. Die Risikokomponenten F _t,j werden nicht genauer spezifiziert, weshalb es sich um ein implizites Faktormodell handelt. Ferner bewertet die APT-Gleichung, wie auch das CAPM, lediglich das in den Faktoren enthaltene systematische Risiko. Hieraus wird deutlich, dass das APTM sehr ähnlich wie das CAPM bzw. Indexmodell interpretiert werden kann, jedoch eine vollkommen unterschiedliche Fundierung besitzt: Anstatt ein Marktportfolio zu verwenden, erfolgt die Berechnung im APTM anhand verschiedener Arbitrageportfolios (Bruns und Meyer-Bullerdiek, 2008).

3.4 Verwendete Schätzmethode

Für die Bestimmung der Parameter α und β j wird im Rahmen dieser Arbeit die Kleinst- Quadrate-Schätzmethode, auch Ordinary Least Squares (OLS) - Schätzer genannt, verwendet. Dieser Schätzer minimiert die quadrierten Residuen ϵ² t, sodass die geschätzten Renditen E (R _t) möglichst nah an den wahren Renditen R _t liegen (Zimmermann, 1997). Die Schät- zungen der Sensitivitäten, formal als α t und β _t,j beschrieben, folgen den Gleichungen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Ausdruck ρ t (R t , F t,j) stellt hierbei die Korrelation zwischen Rendite und Faktorausprä- gung der Variablen j zum Zeitpunkt t dar. Die verwendeten Faktoren F _j variieren dabei je nach vorliegenden Modell. Im Rahmen des CAPM stellt der einzige Faktor F die Rendite eines voll-diversifizierten Marktportfolios R Markt t dar, wofür in dieser Arbeit der DAX 30 als Proxy verwendet wird (Zimmermann, 1997). Aus diesem Grund kann der Betafaktor berechnet werden als

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der identische Betafaktor wird auch für das Indexmodell benutzt. Der einzige Unterschied zum CAPM besteht somit in der Verwendung einer Konstanten α t anstatt dem risikolosen Zinssatz rf t. Dadurch kann der Effekt der Integrierung einer aktienspezifischen Komponente in die Implementierung faktor-basierter Tradingstrategien untersucht werden.

Für das zu benutzende APT-Modell werden im Vorfeld zwei Faktoren festgelegt, eine Marktrendite identisch mit der des CAPM und zusätzlich die Rendite einer Industriebranche R Branche t. Die Interpretation dieser ist konsistent mit der Marktrendite mit dem Unterschied, dass R Branche t lediglich die Renditen von Aktien der gleichen Branche für die Schätzung des damit verbundenen Betafaktors β Branche t benutzt. Dadurch können Brancheneffekte, die nicht den gesamten Markt betreffen, mit in die Berechnung der erwarteten Rendite integriert werden.

Alle im Rahmen dieser Arbeit durchgeführten Schätzungen werden als eine sogennante rollende Regression realisiert. Hierbei wird die ein-, drei- oder fünfjährige Stichprobe im Zeitablauf jeweils um eine Beobachtung verschoben, sodass ein konstantes Schätzfenster mit fester Breite entsteht, welches aber im Zeitablauf „rollt“. Die durch die veränderten Stichpro- ben ausgelösten Abweichungen in den Schätzungen der Parameter stellen die Grundlage für die Erzeugung von Kauf- und Verkaufsignalen dar.

Einen Gesamtüberblick über den bisherigen Weg, den die Arbeit in Richtung faktor-basierter Tradingstrategien bestritten hat, liefert Abbildung 4. Die darin rot markierten Modelle und Verfahren werden im empirischen Teil implementiert. Hierfür ist noch die Herleitung des letzten Bestandteiles, der Hauptkomponenten-Analyse, notwendig, um das Verfahren des Hauptkomponenten-Modells (HK-Modell) nachvollziehen zu können. Dies wird innerhalb des nächsten Kapitels durchgeführt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4: Faktor-basierte Tradingstrategien und ausgew ä hlte Instrumente

4 Hauptkomponenten-Analyse

Der Erfolg eines Faktormodelles hängt in erster Linie von der Wahl der Risikofaktoren und der Schätzmethode ab. Die Risikofaktoren können dabei statistischer, makroökonomischer oder fundamentaler Natur sein, je nachdem ob es sich um ein implizites oder explizites Faktormodell handelt. Wie bereits erläutert müssen die statistischen Faktoren impliziter Modelle zunächst anhand geeigneter Verfahren ermittelt werden. Dazu bieten sich auf Plausibilitätsüberlegungen aufbauende Vorabspezifikationen und statistische Faktoranalysen an. Vorabspezifikationen bestreiten einen ähnlichen Weg wie explizite Modelle, indem sie im Vorfeld anhand ökonomisch-logischer Überlegungen passende Faktoren für exakt die vorliegende Problemstellung bestimmen. Die statistische Faktoranalyse hingegen benutzt mathematische Modelle, um geeignete Faktoren aus einer Vielzahl beobachteter Faktoren zu extrahieren bzw. die beobachteten Faktoren auf ihre Kernkomponenten zu reduzieren. Dieses Verfahren wird im Folgenden anhand der Hauptkomponenten-Analyse (HKA), dem verbreitesten Verfahren zur Faktorermittlung, näher vorgestellt (Alexander, 2008b).

4.1 Grundlagen

Das allgemeine Ziel der HKA ist es, einen komplexen mehrdimensionalen Datensatz auf eine zweidimensionale Struktur zu reduzieren und dadurch unbeobachtbare Trends in den Daten zu identifizieren. Im Zuge der HKA werden alle analysierten Faktoren umgewandelt, sodass die gleiche Anzahl an neuen Faktoren mit vereinfachter Struktur entsteht. Eine solche Transformation ermöglicht eine sehr viel einfachere Interpretation. Im Prinzip wird hierbei eine beliebig-dimensionale Punktewolke anhand ihrer beiden längsten Achsen beschrieben. Dadurch kann eine Menge untereinander korrelierter Variablen in eine geringere Anzahl an unkorrelierten Variablen umgewandelt werden (Alexander, 2008a). Angewendet auf un- sere Problemstellung stellt die HKA eine Methode dar, mehrere beobachtbare Faktoren auf diejenigen bedeutsamen Komponenten (den Hauptkomponenten) zu reduzieren und zu verdichten, welche den größten Anteil der Varianz in den Variablen erklären. Die dadurch gewonnenen Hauptkomponenten (HK) stehen im Anschluss als Regressoren für ein implizites Faktormodell für Tradingzwecke, dem HK-Modell, zur Verfügung (Elliott et al., 2006).

Grundgedanke einer HKA ist, dass beobachtete Variablen in den meisten Fällen redundante Bestandteile besitzen, welche mit anderen Faktoren stark korreliert sind und deswegen keine neuen Zusatzinformationen liefern. Aus diesem Grund sollten solche unnötigen Komponenten herausgefiltert werden, um die Anzahl der verwendeten Regressoren in einem Regressionsmo- dell auf ein normales Niveau zu senken, wobei in der Literatur von maximal fünf Faktoren die Rede ist (Alexander, 2008b). Anderenfalls würde ein Multikollinearitätsproblem zwischen den Variablen entstehen,³ was die Varianz der Parameterschätzer stark erhöht und somit weitere Analysen, wie etwa statistische Tests, verzerrt. Auch können durch die Reduktion diejenigen Faktoren mit der höchsten Erklärungsgüte identifiziert werden. Diese Filterung in der Form einer Faktorreduktionsprozedur soll im Folgenden näher vorgestellt werden. Zunächst muss eine ausreichend lange Zeitreihe an Daten aller zu untersuchenden Faktoren ermittelt werden, wobei für jeden Faktor mindestens Stichprobenergebnisse der Anzahl 100 oder der fünffachen Menge aller analysierten Faktoren vorliegen sollten. Verschiedene statistische Programme erlauben es, eine sogenannte Eigenschätzung der Daten vorzunehmen, was deren Eigenwert als Output erzeugt. Zur Ermöglichung dieser Schätzung wird die oben genannte Reduzierung in die niedrigere Dimension durchgeführt, wodurch k untersuchte Komponenten in k „neue“ Variablen umgewandelt werden. Die dabei resultierenden Eigenwerte stellen den Anteil der erklärten Varianz durch einen neugeschaffenen Faktor in Relation zu der Gesamtvarianz aller neuen Faktoren dar.⁴ Je höher dieser Eigenwert ist, desto bedeutsamer ist der dazugehörige Faktor. Demnach erklärt die Komponente mit dem höchstem Eigenwert den maximalen Anteil der Varianz und ist aus diesem Grund mit einigen unwichtigen Faktoren korreliert. Die zweithöchste Komponente erklärt den maximalen Anteil der verbleibenden Varianz und sollte mit dem ersten bedeutsamen Faktor unkorreliert, d. h. orthogonal sein. Als Konsequenz wird eine Rangfolge von umgewandelten Variablen produziert, welche einen abnehmenden Anteil der Varianz erklären und untereinander unkorreliert sind. Alle Faktoren, deren Eigenwert unter einem bestimmten Niveau liegt, werden als unwichtig oder keine neuen Informationen stiftend betrachtet und somit aus der Grundgesamtheit aller in Frage kommenden Variablen herausgefiltert (Fabozzi et al., 2010; Smith, 2002). Verschiedene Methoden, wie die Filterung basierend auf den Eigenwerten durchgeführt werden kann, werden im nächsten Abschnitt vorgestellt.

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¹ In dieser Arbeit werden lediglich die in der Praxis gebräuchlichen statischen Faktormodelle behandelt.

² Die Konstante α wird auch „Jensens Alpha“ genannt.

³ Dieses entsteht, wenn die erklärenden Variablen untereinander zu stark korreliert sind.

⁴ Die Gesamtvarianz aller neuen Faktoren beträgt exakt k, da im Zuge der Umwandlung jeder neue Faktor auf eine Varianz von 1 standardisiert wird.