Praktikumsauswertung zum Quanten-Hall-Effekt

Theorie

Klassischer Hall-Effekt

Der klassische Hall-Effekt beschreibt das Verhalten von Elektronen in einem eindimensionalen Leiter, der von einem Magnetfeld durchströmt wird. Liegt an besagtem Leiter eine Spannung, so werden die Elektronen beschleunigt. Da sie immer wieder Stöße erfahren (thermische Bewegung) und die Bewegungsrichtung nach dem Stoß zufällig ist können wir ihre Bewegung durch die Driftgeschwindigkeit vd beschreiben. Liegt nun ein Magnetfeld senkrecht zum Leiter, so wirkt auf die Elektronen die Lorentzkraft

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wodurch die Ladungsträger getrennt werden. Hier ist q die Ladung der Ladungsträger, vd die Driftgeschwindigkeit und В das angelegte Magnetfeld. Diese Trennung verursacht ein elektrisches Feld Eh senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, das der Ladungstrennung entgegenwirkt bis sich ein Gleichgewicht einstellt:

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Wir legen unser Koordinatensystem so, dass vd = (vd, 0, 0) und В = (0, 0, В) gilt. Auflösen ergibt für das elektrische Feld Eh = (0, Bvd, 0). Setzen wir für die Driftgeschwindigkeit die Stromdichte ein Qx= nqvd), so erhalten wir für das Hall-Feld

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Mit der Ladungsträgerdichte n und der Ladung pro Ladungsträger q. RH = (nq)"1 ist die sogenannte Hallkonstante. Der Ladungstransport findet also in x-Richtung statt. Daraus folgt für den Hallwiderstand

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Wobei R(B) = B/nq ist¹. Da wir im weiteren Elektronen betrachten, setzen wir q = e.

Landau Niveaus

Wenn wir nun statt eines eindimensionalen Leiters ein zweidimensionales Elektronengas verwenden können wir bei sehr hohen Magnetfeldern und sehr tiefen Temperaturen den sogenannten Quanten­Hall-Effekt beobachten. Betrachten wir dabei ein zweidimensionales Elektronengas in einem starken, senkrecht zum Gas stehenden, Magnetfeld quantenmechanisch, so können wir eine Aufspaltung in sogenannte Landau Niveaus beobachten. Dazu betrachten wir den Hamiltonoperator für ein zweidimensionales Gas. Verwenden wir wieder obige Beziehung für das B-Feld so gilt mit der Coulombeichung B = rot(A) mit А = (Ο,Βχ,Ο) womit der Hamiltonoperator für ein Elektron in zwei Dimensionen

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wird, wobei wir die Zyklotronfrequenz шс = еВ/m eingesetzt und im letzten Schritt quadratisch erweitert.haben. Dieser Hamiltonoperator entspricht gerade dem eines eindimensionalen, harmonischen Oszillator (unter Vernachlässigung des Spins), der um den Faktor Py / mroc verschoben wurde (was an den Energieeigenwerten aber nichts ändert). Die Eigenwerte, die die Elektronen annehmen können, nennt man Landau-Niveaus

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Bei dieser Herleitung haben wir den Spin nicht berücksichtigt. Der Spin verursacht eine zusätzliche Aufspaltung der Landau-Niveaus durch den Zeemann-Effekt. Diese Eigenwerte E¡ sind jedoch entartet. Aufgrund der Randbedingungen für einen endlichen Halbleiter kann die Quantenzahl ky = Py / h die Werte ky = 2uj/Ly annehmen (für alle natürlichen Zahlen j). Zusätzlich dazu muss die Ruhelage des harmonischen Oszillators (x0 = Py/mroc) natürlich auch innerhalb des Halbleiters liegen:

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wobei j die Anzahl der Werte für ky zu einem Landau-Niveau ist (und dadurch die Entartung). Ist ein Landau-Niveau also vollständig gefüllt, so ist es eBLxLy/h-Fach entartet. Hierbei haben wir die zusätzliche Entartung durch den Spin vernachlässigt. Beachten wir die Spinentartung, so spaltet ein Landau-Niveau in zwei Unterniveaus auf (Zeeman-Effekt), da sich die Energie des Elektrons je nach Spinausrichtung gegenüber dem Magnetfeld vergrößert oder verringert.

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gs ist der Landé-Faktor ist und für Elektronen ungefähr gleich 2, μΒ ist das Bohr'sche Magneton und mz die magnetische Quantenzahl des Spins in z-Richtung wobei mz für Elektronen nur die Werte +/- U annehmen kann. Es entstehen, die Energie eines Landau-Niveaus wird also um diesen Betrag geändert und es entstehen, wie bereits erwähnt, zwei Untemiveaus für jedes Landau-Niveau. Die tatsächliche Entartung eines Landau-Niveaus ist also nichtj, sondern 2j.

Der Füllfaktor ist demnach die Anzahl der möglichen Energiewerte des Elektronengases, die vollständig gefüllt sind. Im Fall eines Elektronengases ist also ist der Füllfaktor doppelt so groß wie die Anzahl der gefüllten Landau-Niveaus.

Zustandsdichte eines zweidimensionalen Elektronengases (ohne Magnetfeld)

Für das Elektronengas können wir den Ansatz einer ebenen Welle ψ(χ,γ) = C exp[-i(kxx + kyy)] machen. Wir nehmen nun an, dass das Elektronengas eine periodische Wellenfunktion aufweist. Es soll also gelten ψ(χ + Lx,y) = ψ(χ,γ + Ly) = ψ(χ,γ). Daraus folgt für die Werte von kx und ky:

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[...]

¹ Da wir uns in einem zweidimensionalen Gas befinden ist der Strom nicht mehr die Stromstärke über den Querschnitt integriert, sondern lediglich über die Breite, da es sich beim Strom letztendlich um die Zahl der Elektronen handelt, die durch eine Fläche (oder hier entsprechend über eine bestimmte Querschnittslinie) bewegt werden.