Matrizen zur Beschreibung von Zustandsänderungen

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Matrizen - Mathematische Grundlagen
2.1 Definitionen
2.2 Rechenoperationen
2.2.1 Addition und Subtraktion
2.2.2 Multiplikation mit einem Skalar
2.2.3 Multiplikation zweier Matrizen
2.3 Inverse

3 Anwendungsbeispiele
3.1 Bedarfsplanung
3.1.1 Beispiel einer einstufigen Produktion
3.1.2 Beispiel für einen mehrstufigen Produktionsprozess
3.1.3 Behandlung praxisrelevanter Erzeugnisstrukturen
3.2 Stochastische Prozesse - Markow-Ketten
3.2.1 Ein einführendes Beispiel
3.2.2 Die Berechnung der Grenzverteilung
3.3 Populationsprozesse - Zyklische Prozesse
3.3.1 Ein einführendes Beispiel
3.3.2 Aussagen zur Populationsentwicklung

4 Zusammenfasung

5 Literatur

1 Einleitung

Eine Vielzahl von ökonomischen, technischen bzw. naturwissenschaftlichen Fragestellungen lassen sich modellhaft durch lineare Gleichungssysteme¹ abbilden. Zur Behandlung solcher Gleichungssysteme in kompakter Form werden sogenannte Matrizen genutzt. Auch werden oft größere Datenblöcke, die häufig in den Wirtschaftswissenschaften vorkommen, in Matrizenform verarbeitet,² da sich die Beziehungen zwischen den Datenblöcken durch die Schreibweise übersichtlicher darstellen und berechnen lassen. Die Bezeichnung Matrizen und das Rechnen mit ihnen führen auf den Mathematiker Arthur Cayley (1821-1895) zurück.³ Die Betrachtung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen ist Gegenstand der Linearen Algebra.⁴

Das erste Kapitel soll die mathematischen Grundlagen für das Thema Matrizen schaffen, d.h. die erforderlichen Definitionen zu Matrizen erläutern und die im späteren Verlauf der Arbeit genutzten Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation) allgemein sowie an einfachen Beispielen erklären.

Im Hauptkapitel meiner Arbeit stelle ich unterschiedliche Anwendungsbeispiele vor, bei denen Matrizen zur Problembeschreibung und -lösung eingesetzt werden können.

Als erste Anwendung wird ein Ansatz zur Bedarfsplanung als Teilaufgabe der Produktionsplanung untersucht. Zentraler Begriff ist hierbei die Bedarfsmatrix. Die Grundidee des Verfahrens soll anhand verschiedener Beispiele und Fragestellungen dargestellt werden.

Der zweite Anwendungsfall beschäftigt sich mit stochastischen Prozessen. Als besondere Klasse von stochastischen Prozessen sollen für sogenannte Markow-Ketten mit Hilfe der Matrizenrechnung ausgewählte Fragestellungen beleuchtet werden. In diesem Zusammenhang soll der Begriff der Übergangsmatrix eingeführt werden.

Die Untersuchung von Populationsprozessen, die als stochastische zyklische Prozesse zu verstehen sind, dient als letztes Anwendungsfeld von Matrizen. Auch hier sollen mittels eines einführenden Beispiels unterschiedliche Fragestellungen und deren mathematische Lösung vermittelt werden. Zum Abschluss soll als Zusammenfassung eine kurze Bewertung der Anwendungsfälle erfolgen.

2 Matrizen - Mathematische Grundlagen

2.1 Definitionen

Ein rechteckiges Schema von m [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] n geordneten Elementen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] wird Matrix A genannt.⁵ „Die Indizes i und k eines Elementes [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bestimmen den Platz in dem geordneten Schema. Hierbei ist der erste Index i die Zeilennummer und der zweite Index k die Spaltennummer in der das Element steht.

Alle Elemente [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] einer Zeile i haben den gleichen Zeilenindex i. Alle Elemente [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] einer Spalte k haben den gleichen Spaltenindex k. So stehen alle Elemente [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] in der zweiten Zeile und alle Elemente [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] in der dritten Spalte der Matrix A.“⁶

Wenn nicht anderes festgelegt ist, sind Matrizenelemente reelle Zahlen. Um das Schema werden runde Klammern gesetzt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1 m × n -Matrix

Das Format oder Typ einer Matrix a wird durch das angeord- nete Paar (m,n) definiert. Zwei Matrizen A und B sind gleich- artig, wenn sie vom selben Typ sind.⁷

Zwei Matrizen A und B sind gleich, wenn sie das gleiche Format haben und alle entsprechenden Elementen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]=[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] übereinstimmen, sodass man schreiben kann: A = B.⁸

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Stimmen die Zeilenanzahl n und die Spaltenanzahl m überein, liegt eine quadratische Matrix vor.⁹ Die Diagonale einer Matrix verläuft von links oben nach rechts unten und besteht somit aus den Elementen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]¹⁰

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Vertauscht man alle Zeilen und Spalten einer Matrix A miteinander (d.h. die erste Zeile wird die erste Spalte, die zweite Zeile wird die zweite Spalte usw.), erhält man eine transponierte Matrix [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].¹¹

Es gilt: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Eine quadratische Matrix A mit der Eigenschaft [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]=[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] für alle Index- paare heißt symmetrisch. Für eine symmetrische Matrix gilt: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]¹²

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Man spricht von einer Nullmatrix 0, wenn sämtliche Elemente Null sind.¹³

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine quadratische Matrix [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], bei der alle Elemente außerhalb der Diagonalen den Wert Null haben, für die dementsprechend [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] für alle Indexpaare mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gilt, heißt Diagonalmatrix.¹⁴ )

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine Diagonalmatrix mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]= 1 für alle i, ist es eine Einheitsmatrix E.¹⁵

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Matrizen mit nur einer Zeile oder nur einer Spalte werden als Vekto-ren bezeichnet.¹⁶ Eine Matrix, die nur durch eine einzige Spalte definiert ist, heißt Spaltenvektor. Eine Matrix, die nur durch eine einzige Zeile definiert ist, ist ein Zeilenvektor.¹⁷

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ein Paar¹⁸ (A, B) von Matrizen heißt verkettet, wenn die Spaltenzahl der Matrix A gleich der Zeilenzahl der Matrix B, wenn also A von einem Typ (m, p) und B von einem Typ (p, n) ist.¹⁹

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.2 Rechenoperationen

2.2.1 Addition und Subtraktion

Addieren und Subtrahieren ist nur für Matrizen des gleichen Typ möglich.

Man addiert zwei Matrizen A und B mitein- ander, indem man die Summe entsprechen- der Elemente der Matrizen bildet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zwei Matrizen A und B werden subtrahiert, indem die entsprechenden Elemente vonein- ander subtrahiert werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

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Beim Addieren zweier Matrizen A und B gelten:

- Das Kommuntativgesetz: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

- Das Assoziativgesetz: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

- Bei transponierten Matrizen:: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]²⁰

[...]

¹ Lineares Gleichungssystem: Ein System linearer Gleichungen, die mehrere unbekannte Größen (Variable) enthalten.

² Holland, Heinrich; Holland, Doris (2006), S. 168f

³ M. Koecher (1997)

⁴ Holland, Heinrich; Holland, Doris (2006), S. 161

⁵ Matrizen werden durch große lateinische Buchstaben bezeichnet.

⁶ Larek, Emil (2000), S.27

⁷ Larek, Emil (2000), S.27f

⁸ Feldmann, Dietrich; Kruse, Arian; Merziger, Peter; Mühlbach, Günter; Wirth, Thomas (1985), S.108f

⁹ Freudigmann, Hans u.a. (2009), S.304

¹⁰ Kneis, Gert (2005), S.39

¹¹ Larek, Emil (2000), S.29

¹² Larek, Emil (2000), S.29

¹³ Kamps, Udo; Cramer, Erhard; Oltmanns, Helga (2009), S.229

¹⁴ Kneis, Gert (2005), S.41

¹⁵ Luderer, Bernd; Würker, Uwe (2009), S.132

¹⁶ Larek, Emil (2000), S.28

¹⁷ Luderer, Bernd; Würker, Uwe (2009), S.135

¹⁸ Bei einem Paar ist die Reihenfolge im Gegensatz zu einer zwei-elementigen Menge signifikant.

¹⁹ Larek, Emil (2000), S.33

²⁰ Tietze, Jürgen (2005), S.454f