Das Zinsänderungsrisiko in Kreditinstituten

Inhaltsverzeichnis

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

TABELLENVERZEICHNIS

KAPITEL I
1 EINLEITUNG
1.1 RISIKOKATEGORIEN
2 GRUNDLEGENDE BEGRIFFE DER FINANZMATHEMATIK
2.1 BARWERTBERECHNUNG ALS BEWERTUNGSANSATZ
3 GRUNDLEGENDE BEGRIFFE DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE
3.1 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT UND UNABHÄNGIGKEIT
3.2 ERWARTUNGSWERT UND VARIANZ
3.3 SCHIEFE UND WÖLBUNG
3.4 QUANTILE
3.5 KOVARIANZ UND KORRELATION
3.6 SCHÄTZER
4 DAS ZINSÄNDERUNGSRIS IKO
4.1 ANALYSE DES ZINSÄNDERUNGSRISIKOS
4.1.1 Ermittlung der Sensitivit ä tsparameter
4.1.2 Der Gapbarwert laut Zinsbindungsbilanz
4.1.3 Price Value of Basis Point (PVBP)
5 VALUE-AT-RISK
5.1 VARIANZ-KOVARIANZ-ANSATZ
5.2 VERKNÜPFUNG MARKTORIENTIERTER SENSITIVITÄTS- UND RISIKOPARAMETER
6 EMPIRISCHE UNTERSUCHUNG VON ZEROBONDS
6.1 DATEN
6.2 INTERPRETATION

KAPITEL II

7 STOCHASTISCHE PROZESSE

7.1 MOMENTE DES STOCHASTISCHEN PROZESSES

7.2 TRANSFORMATION VON ZEITREIHEN DURCH FILTER

7.2.1 Gleitende Durchschnitte

7.2.2 Differenzenfilter

7.2.3 Back-Shift-Operator

8 MOVING-AVERAGE-PROZESSE

8.1 MA[1]-PROZESS

8.2 MA[2]-PROZESS

9 AUTOREGRESSIVE PROZESSE

9.1 SCHÄTZUNG DER PARAMETER

9.2 AR[1]-PROZESS

9.3 AR[2]-PROZESS

10 AUTOREGRESSIVE-MOVING-AVERAGE-PROZESSE

10.1 ARMA[1,1]-PROZESS

11 AUTOREGRESSIVE-INTEGRIERTE-MOVING-AVERAGE-PROZESSE

11.1 SCHÄTZEN UND TESTEN

11.1.1 Vergabe einer allgemeinen Modellklasse

11.1.2 Identifikation eines speziellen Modells

11.1.3 Sch ä tzung der Modellkoeffizienten

11.1.4 Prüfung der Ad ä quatheit

11.1.5 Prognose

12 BEWERTUNG DES DATENSATZES MIT ARIMA-MODELLEN

KAPITEL III

13 ARCH-PROZESSE

13.1 DIE RANDVERTEILUNG VON ARCH-PROZESSEN

13.2 DIE AUTOKORRELATIONSFUNKTION

13.3 ARCH[1] -PROZESS

13.4 SCHÄTZEN VON ARCH[P]-MODELLEN

14 GARCH-PROZESSE

14.1 GARCH[1,1]-PROZESS

14.2 DIE RANDVERTEILUNG EINES GARCH-PROZESSES

14.3 DIE AUTOKORRELATIONSFUNKTION QUADRIERTER GARCH-PROZESSE

14.4 SCHÄTZEN VON GARCH-MODELLEN

14.5 TESTSTATISTIK

14.6 PROGNOSE

14.7 E-GARCH

14.8 GARCH MIT T -VERTEILUNG

15 MULTIVARIATE GARCH-PROZESSE

16 AUSWERTUNG MIT GARCH-MODELLEN

16.1 VA R-RESÜMEE

17 EINFLUSSFAKTOREN UND VOLATILITÄTEN

18 FAZIT

LITERATURVERZEICHNIS

Abbildungsverzeichnis

Abb. 1.1 Risikoarten

Abb. 2.1: Zinsstrukturkurve

Abb. 3.1: Verteilungsdichte

Abb. 4.1: Vorgehensweise zur Bestimmung des Value-at-Risks

Abb. 4.2: Cashflow-Mapping

Abb. 11.1: ACF

Abb. 11.2: PACF

Abb. 11.4: Residuenanalyse

Abb. 13.1: Likelifunktion eines ARCH[1] -Prozesses

Abb. 14.1: Lineare und geometrische Lag-Verteilung

Abb. 14.2: ACF der standardisierten Residuen vom CHF10Y

Abb. 14.3: ACF der quadrierten standardisierten Residuen vom CHF10Y

Abb. 16.1: Residuentest von CHF8Y mit GARCH-Modell

Abb. 16.2: Residuentest von CHF8Y mit EGARCH-Modelle bei t-Verteilung

Tabellenverzeichnis

Tab. 2.1 Emmision einer Anleihe

Tab. 2.2 Zahlungsflüsse

Tab. 2.3: Cashflows

Tab. 3.1: Quantil

Tab. 4.1: Laufzeiten

Tab. 4.2: Vereinfachtes Beispiel einer Zinsbindungsbilanz

Tab. 4.3: Vereinfachtes Beispiel einer kummulierten Zinsbindungsbilanz

Tab. 6.1: Datensatz

Tab. 6.2: Cashflows laut Zinsbindungsbilanz

Tab. 6.3: Risikofaktoren bei Normalverteilung

Tab. 6.4: Risikofaktoren bei Historischer Simulation

Tab. 11.1: Vorgehensweise für Schätzen und Testen

Tab. 12.1: Modellordnung lt. AIC und zugehörige Schätzer

Tab. 12.2: Prognostizierte Risikofaktoren

Tab. 16.1: Modellordnung und Koeffizienten der GARCH-Modelle

Tab. 16.2: Risikofaktoren der GARCH-Modelle

Tab. 16.3: Modellordnung und Koeffizienten der EGARCH-Modelle anhand der t-Verteilung

Tab. 16.4: Risikofaktoren der EGARCH-Modelle anhand der t-Verteilung

Tab. 16.5: Value-at-Risk und Eigenkapitalhinterlegung für die verschiedenen Modelle

WIDMUNG UND DANKSAGUNG

Ich möchte mich bei allen bedanken, die mir während meiner Studienzeit geholfen, mich in schwierigen Zeiten immer wieder unterstützt und auch seelisch aufgerichtet haben. Es sind dies vor allem meine Eltern, meine Schwester, meine Lebensgefährtin Sonja und mein Freund Widi.

Mein besonderer Dank gilt meiner Mutter, die mich während meines Studiums nicht nur finanziell unterstützt hat, sondern ihr eigenes Leben völlig uneigennützig hinter meines gestellt hat. Da diese Diplomarbeit größtenteils ihr Verdienst ist, widme ich sie ihr.

Besonders bedanken möchte ich mich auch bei Herrn Univ. Prof. Dr. Jürgen Pilz für die persönliche Betreuung meiner Arbeit. Bedanken möchte ich mich weiters bei meiner Studienkollegin Claudia, mit der ich in Teamarbeit die letzten Jahre des Studiums absolviert habe. Und last, but not least, möchte ich mich bei meinem Freund, Studien- und auch Arbeitskollegen Werner für die technische und bei meiner besten „Sekretärin“ Sylvia für die organisatorische Unterstützung bedanken.

Gleichzeitig will ich diese Arbeit auch allen Wirtschaftstreibenden, Börsianern, Finanzanalysten und Brokern widmen, die dieser Tage durch einen furchtbaren Terroranschlag auf das World Trade Center getötet worden sind.

Kapitel I

Das 1. Kapitel besch ä ftigt sich mit dem Begriff Risiko bzw. Risikomanagement in Kreditinstituten. Es werden die Risikoarten spezifiziert und definiert und insbesondere das Zins ä nderungsrisiko aus der Sicht einer Bank n ä her beleuchtet. Auch werden die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie n ä her gebracht, und Begriffe wie Erwartungswert, Standardabweichung und Korrelation erkl ä rt. In einem weiteren Schritt stellen wir dann die finanzmathematischen Methoden vor, um das Risiko quantifizieren zu k ö nnen. Schlie ß lich werden dann Einzelrisiken, basierend auf verschiedenen Zeitr ä umen der Zinsbindung, zu einer Gesam trisikomesszahl, dem Value-at-Risk aggregiert.

Für dieses Kapitel wurden vor allem die Werke von Schierenbeck und Beike, Schlütz herangezogen. ¹

1 Einleitung

Ertragsorie ntiertes Bankmanagement ist im Grunde auf Rentabilität aus. Da aber die unternehmerischen Entscheidungen mit einer gewissen Unsicherheit getroffen werden, sind die Gefahren einer Rentabilitätsverschlechterung zu berücksichtigen. Deshalb muss Bankmanagement auch immer Risiko-Controlling beinhalten. Dies wird auch von der Bankenaufsicht und dem Bankwesengesetz vorgeschrieben. Grundsätzlich darf Risiko nur mit Blick auf die Risikotragfähigkeit und dem Eigenkapital auf sich genommen werden.

1.1 Risikokategorien

Grundsätzlich soll in Erfolgs- oder Liquiditätsrisiken unterschieden werden. Erfolgsrisiken mindern, sobald sie schlagend werden, den Erfolg einer Bank oder führen sogar zum Verlust. Liquiditätsrisiko bedeutet vor allem, dass Zahlungsströme in der Zukunft nicht ausreichend zur Sicherung der Liquidität aufrechterhalten werden können.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.1 Risikoarten

Des Weiteren wird eine Einteilung der Erfolgsrisiken in Gegenpartei- und Marktrisiko vorgenommen:

Zu den Gegenparteirisiken zählt das Kredit (Ausfalls-) und das Kontrahentenrisiko. Das Kreditrisiko ergibt sich aus dem Umstand, dass die Gegenpartei nicht zahlungsfähig oder zahlungswillig ist. Dieses Risiko wird direkt durch die Bonität des Kunden determiniert.

Im Unterschied zum Ausfallsrisiko im Kreditgeschäft beziehen sich beim Kontrahentenrisiko die Risiken aus dem Handelsgeschäft nicht auf das Nominalvolumen. Vielmehr ergibt sich die Höhe des Ausfallsrisikos grundsätzlich aus den aktuellen Wiederbeschaffungskosten.

Marktrisiko bedeutet dabei die Veränderung des Wertes des bilanziellen oder außerbilanziellen Einzelgeschäfts bzw. der Gesamtunternehmung aufgrund von Veränderungen der Marktpreise an den Währungs-, Zins-, Aktien- und Edelmetall- märkten (Risiko / Chance der zukünftigen Ertragsminderung /-vermehrung). Das Risiko tritt vor allem durch die Volatilität der Preise (Zinsen, Währungen, Aktien) auf.

Das Währungsrisiko kann dabei als das Risiko der offenen Fremdwährungspositionen angesehen werden.

Ein Portfolio ist eine Kombination mehrer Finanzinstrumente, deren Wert- entwicklung als Ganzes gesehen wird. Ein einzelnes Finanzinstrument in einem Portfolio wird auch Position genannt. Ein Investor nimmt eine Long-Position ein, wenn er ein Finanzinstrument kauft und eine Short-Position, wenn er es verkauft. Wenn man jetzt von einer offenen (Short- oder Long)-Position spricht, meint man damit den Saldo von Short und Long in einem Portfolio oder einer Währung.

Das Aktienkursrisiko bezeichnet die Gefahr des Abschreibungsbedarfs aus Aktienportfolios im engeren Sinn und des Kursverlustes im weiteren Sinn.

Das Zinsänderungsrisiko kann als eine Verlustgefahr gesehen werden, die durch Änderung des Marktzinssatzes oder durch nicht vorhersehbare Änderungen der herrschenden Zinsstruktur hervorgerufen werden.

2 Grundlegende Begriffe der Finanzmathematik

Eine Bankbilanz kann als Portfolio von Verträgen verstanden werden, die Rechte und Pflichten in Bezug auf zukünftige Zahlungsströme festlegt. Die Martwertänderungen von Bilanzpositionen aufgrund von Zinsänderungen lassen sich am Beispiel einer Anleihe darstellen:

Staaten, Banken und große Industrieunternehmen können Anleihen begeben, d. h. bei einer Vielzahl von Investoren einen Kredit aufnehmen. Die Aussteller - Emittenten - verpflichten sich, diesen Kredit an die Inhaber dieser Papiere zurückzuzahlen und zusätzlich Zinszahlungen zu leisten.

Umgekehrt legt der Käufer einer Anleihe zur Zeit t0 einen Betrag Bt0 an und erhält am Ende tn der Laufzeit diesen Betrag zurück. Weiters erhält er während der Laufzeit Couponzahlungen (Zinszahlungen) Ci in regelmäßigen Abständen (1/4-, 1/2-, 1/1- jährlich)

Bei jährlicher Verzinsung mit Zinssatz i ergibt sich

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Werden Zinsen k- mal jährlich mit dem geringeren Zinssatz i/k bezahlt, so steigt das Kapital nach n Jahren auf

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

DEFINITION 2.1 (festverzinslich)

Eine Anleihe ist festverzinslich, wenn der unterlegte Zinssatz für die gesamte Laufzeit fix ist.

DEFINITION 2.2 (variabel)

Eine Anleihe ist variabel, wenn der Zinssatz nur für eine bestimmte Periode fix ist (3 Monate, 6 Monate). Dieser Zinssatz setzt sich aus einem Referenzzinssatz (z. B. Euribor) und dem so sogenannten Spread zusammen, der dem Referenzzinssatz aufgeschlagen wird.

DEFINITION 2.3 (Zerobond)

Ein Zerobond ist eine festverzinsliche Anleihe ohne Couponzahlungen. Der Käufer legt zum Zeitpunkt t0 einen Betrag Bto an und erhält am Ende der Laufzeit den Betrag Btn, der sich aus der Summe von Bto und dem Zinsertrag für die gesamte Laufzeit ergibt.

2.1 Barwertberechnung als Bewertungsansatz

Um eine Anleihe bewerten zu können, muss der heutige Wert dieser Anleihe berechnet werden, d. h. den Barwert aller zukünftigen Zahlungen.

Beispiel 2.1 (Emission einer Anleihe)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tab. 2.1 Emmision einer Anleihe

Die Anleihe notiert am 21.08.1995 zu einem Kurs von 110,30 Euro.

Grundlegende Begriffe der Finanzmathematik 7

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DEFINITION 2.4 (Cashflows)

Unter Cashflows , kurz CF, versteht man sämtliche Zahlungsflüsse einer Geldanlage.

Der anschaulicheren Betrachtung wegen werden die Cashflows in der folgenden Form geschrieben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tab. 2.3: Cashflows

Der Barwert wird ermittelt, indem man alle zukünftigen Anleihenzahlungen (Cashflows) auf den heutigen Tag abzinst.

Zinsgeschäfte sind Verschiebungen von Cashflows auf der Zeitachse. Die Ermittlung von Barwerten bildet die Grundlage für die Vergleichbarkeit von verschiedenen Zahlungsströmen. Ob es sich bei den zu analysierenden Zahlungsströmen um Cashflows aus Krediten, Wertpapieren oder Zinsgeschäften handelt, ist für den beabsichtigten Vergleich unerheblich.

Um die Zahlungsströme von verschiedenen Zeitpunkten untereinander vergleichbar zu machen, muss deren Wert zu einem bestimmten Zeitpunkt ermittelt werden. Eine Möglichkeit, die sich dabei anbietet, ist die Ermittlung von Gegenwartswerten.

Eine Zahlung Z1 die in einem Jahr erfolgt, hat bei einem Zinssatz r den folgenden Gegenwartswert (Barwert):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Damit Zahlungen unterschiedlicher Laufzeiten miteinander verglichen werden können, wird deren Barwert errechnet, indem man alle Cashflows CF auf den heutigen Zeitpunkt abzinst:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Als nächstes stellt man sich die Frage, welche Renditen zum Abzinsen verwendet werden sollen.

DEFINITION 2.5 (abitragefrei)

Eine Geschäftsanlage ist abitragefrei, wenn es am gesamten Markt keine Alternativanlage gibt, bei der mit dem gleichen Risiko mehr Ertrag erwirtschaftet werden kann.

Es muss am vollkommenen Weltmarkt Abitragefreiheit gelten. Andernfalls könnte man mit der ersten Anlage eine Short-Position und mit der Alternativanlage eine Long-Position eingehen und hätte damit einen risikolosen Gewinn.

Eine Alternativanlage zu Anleihen wären vor allem Zerobonds von risikolosen Bundesanleihen. Jeder Cashflow, der zu einem bestimmten Zeitpunkt fällig ist, kann mit einem Zerobond verglichen werden. Weil der Markt abitragefrei ist, spielt es keine Rolle, ob sich der Cashflow aus der Kuponzahlung einer Anleihe ergibt oder ob er aufgrund der Fälligkeit eines Zerobonds stattfindet. Betragsmäßig gleich große Cashflows zu einem bestimmten Zeitpunkt sind bei gegebener Zinsstruktur immer gleich viel wert. Für jede Laufzeit muss mit einer eigenen Zerobondrendite abgezinst werden. Die Zerlegung eines Papiers in seine Cashflows ist damit dasselbe wie die Zerlegung in Zerobonds.

DEFINITION 2.6 (Zinsstrukturkurve)

Unter einer Zinsstrukturkurve versteht man die Fristigkeitsstruktur der Renditen von bonitätsrisikofreien Zerobonds.

Bei einer flachen Zinsstrukturkurve sind die Renditen für alle Fristigkeiten gleich hoch. Man spricht von einer normalen Zinsstrukturkurve, wenn man für längere Fristigkeiten auch höhere Renditen bekommt, andernfalls von einer inversen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2.1: Zinsstrukturkurve

Die laufzeitspezifischen Renditen einer Zinsstrukturkurve werden auch Spot-Rates genannt.

Für eine Anlage ergibt sich der Barwert nun folgend:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Man erkennt, dass der Barwert, der den theoretischen Kurs der Anleihe darstellt, in engem Zusammenhang mit den Zerobondrenditen steht. Der Marktwert der Anleihe sinkt, wenn das Zinsniveau steigt, und umgekehrt steigt der Marktwert einer Anleihe bei fallendem Zinsniveau. Dieser Zusammenhang lässt sich auf sämtliche zinsreagiblen Bilanzpositionen übertragen. Zinsschwankungen bewirken sowohl für die Gläubiger als auch für die Schuldnerposition einer Bank Wertänderungen.

3 Grundlegende Begriffe der Wahrscheinlichkeits- theorie

Sei X eine Zufallsgröße, die z. B. als Modell für den Kurs oder die Zinsen einer Anleihe Werte in den reellen Zahlen annimmt. Die Einschätzung, mit welchen Werten von X eher und mit welchen weniger gerechnet wird, wird durch die

Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse { a < X < b } angegeben.

Genauer gesagt, die Funktion F, die jeder reellen Zahl x die Wahrscheinlichkeit P (X £ x) zuordnet, nennt man Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable X einen Wert kleiner x oder gleich x annimmt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für stetige Zufallsvariablen wird die Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion f(x) ersetzt. Zwischen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion besteht folgender Zusammenhang:

1. Für diskrete Zufallsvariable X mit Werten x, x,K, gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2. Für die stetige Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion f(x) gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Damit folgt für die Wahrscheinlichkeit, dass die stetige Zufallsvariable X mit der Verteilungsfunktion F(x) einen Wert in dem Intervall größer als a und kleiner oder gleich b annimmt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine der wichtigsten Dichtefunktionen ist die der Normalverteilung,[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]die durch die Parameter m und s gekennzeichnet ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wie wir sehen, wird die Normalverteilung durch die Parameter m und s vollständig beschrieben.

Die Verteilung mit m = 0, s ² = 1 heißt Standardnormalverteilung, kurz N(0,1).

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist gegeben mit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

die Verteilungsfunktion durch

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3.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

Unter der bedingten Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E2, unter der Vorraussetzung, dass Ereignis E1 schon eingetreten ist - geschrieben[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]verstehen wir die Wahrscheinlichkeit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gilt

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sind die 2 Ereignisse stochastisch unabhängig. Es gilt dann

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In Worten heißt das, dass die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse E1 und E2 gleichzeitig auftreten, gleich dem Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten ist.

3.2 Erwartungswert und Varianz

Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße X, die die Werte xk mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten P(xk) annehmen kann, ist definiert durch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Erwartungswert einer stetigen Zufallsgröße X mit der Dichtefunktion f(x) ist definiert durch

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wenn das Integral absolut konvergent ist.

Für Zufallsvariablen X1,X2,...,Xn mit endlichem Erwartungswert gilt:

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sind sie “stochastisch unabhängig”, dann gilt[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Die Streuung oder Varianz einer Zufallsgröße X ist definiert durch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für die diskrete Zufallsvariable X ergibt sich

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Für eine stetige Zufallsgröße X ergibt sich die Varianz

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

vorausgesetzt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] existiert und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist endlich.

Es gilt:[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] mit den reellen Konstanten c und k. Wenn die Zufallszahlen Xi unabhängig sind, gilt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Die Standardabweichung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist die Quadratwurzel der Varianz

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.3 Schiefe und Wölbung

Des Weiteren kann man mögliche Abweichungen von der Normalverteilung mit den Größen Schiefe und Wölbung in den Griff bekommen:

Ausgangspunkt zur Berechnung dieser Abweichungen sind die so genannten zentralen Momente r-ter Ordnung (m) mit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für r = 2 ergibt sich die Varianz.

Die Schiefe a3 (r = 3) baut auf dem 3. Moment auf:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Wölbung bzw. Kurtosis a4 definiert man gemäß

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für eine symmetrische Verteilung gilt a3 = 0, für die Normalverteilung a4 = 0. Wenn a3 positiv ist, liegt eine linksseitige Schiefverteilung vor, andernfalls ist sie rechtsseitig schief.

Wenn a4 positiv ist, liegt Hochgipfligkeit (leptokurtische Dichtefunktion) - steiler als die Normalverteilung - vor, dafür aber mit breiteren Ausläufern. Andernfalls liegt eine flachere als die der Normalverteilung (platykurtische Dichtefunktion) vor.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 3.1: Verteilungsdichte²

3.4 Quantile

Ein Quantil ist ein Lokalisationsmaß, das im stetigen Fall durch F(x) = q definiert ist: xq ist also derjenige Wert einer stetigen Verteilung, bei dem die Wahrscheinlichkeit für einen kleineren Wert genau p und die Wahrscheinlichkeit für einen größeren Wert genau 1 - p beträgt.

Sei X eine Zufallsgröße mit der Verteilungsfunktion F und der Dichte p(x). Dann heißt die Zahl xq mit 0<q<1 das Quantil der Ordnung q (oder q-Quantil), wenn gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Quantil bei Normalverteilung ergibt sich mit (3.9) aus

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei zq das q-Quantil von N(0,1) ist.

Einige Werte (Quantile) der Verteilungsfunktion F(z) der Standardnormalverteilung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tab. 3.1: Quantil

3.5 Kovarianz und Korrelation

Wenn man gleichzeitig mehrere Zufallsgrößen X1 ,X2 , ... ,Xn - z. B. die Renditen von Anleihen - und die Abhängigkeiten voneinander analysiert, so betrachtet man R .

Sind 2 Zufallsgrößen X und Y normalverteilt, kann man den Grad ihrer linearen Abhängigkeit durch die Kovarianz

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(X1 ,X2 , ... ,Xn) als zufälligen Punkt im n

oder die Korrelation

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

ausdrücken.

Es gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Korrelation nimmt Werte von -1 bis 1 an. Bei gemeinsam normalverteilten Zufallsgrößen bedeutet eine Korrelation von 0 die völlige Unabhängigkeit, bei einer Korrelation von 1 (X1 ist groß, wenn X2 groß) oder -1 (X1 ist klein, wenn X2 groß) die totale Abhängigkeit.

3.6 Schätzer

Im Folgenden versuchen wir, aufgrund einer Stichprobe (x 1,K, x n) auf die Grundgesamtheit zu schließen, d. h. die für die zu bestimmende Verteilungsdichte relevanten Parameter sind zu schätzen:

Sowohl für die diskrete als auch für die stetige Verteilung ergibt sich als Schätzer für

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Als Schätzer der Varianz für diskrete Zufallsvariablen Xi ergibt sich dann

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das geschätzte Quantil bei Normalverteilung ergibt sich mit (3.9) aus

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Schätzfunktion der Korrelationskoeffizienten r (X, Y) ist gegeben mit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für die Schätzung des Momentkoeffizienten der Schiefe a3 (r = 3) ergibt sich

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

für den Momentkoeffizienten der Wölbung bzw. der Kurtosis a4 (r = 4)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei ist n die Anzahl der Beobachtungen.

4 Das Zinsänderungsrisiko

Im Folgenden betrachten wir Anleihen und zinsreagible Geschäfte nicht mehr einzeln, sondern das Portfolio bzw. die Bilanz, der diesen Geschäftspositionen zugrunde liegen. Wir versuchen, das Zinsänderungsrisiko der Gesamtbank zu quantifizieren. Auf eine nähere Erklärung der Bilanzpositionen wird hier verzichtet und auf einschlägige Literatur³ verwiesen.

Neben dem Ausfallsrisiko wird dem Zinsänderungsrisiko die größte Bedeutung beigemessen.

DEFINITION 4.1 (Zinsänderungsrisiko)

Im Allgemeinen wird unter Zinsänderungsrisiko die Gefahr durch Marktzinsänderungen herbeigeführten, negativen Abweichungen einer realisierten von einer erwarteten Zinsergebnisgröße verstanden.

Bevor wir uns mit der Frage beschäftigen, was Zinsänderungsrisiko im Speziellen bedeutet, müssen wir uns zuerst damit auseinandersetzen, welche Ergebnisgröße berücksichtigt werden soll.

Bezüglich des Zinsänderungsrisikos lassen sich das Marktwertrisiko und das Zinsspannenrisiko unterscheiden. Beim Marktwertrisiko steht die Vermögensbetrachtung bzw. die Bilanz im Vordergrund. Aktivseitig besteht das Risiko darin, dass Zinsen steigen und dadurch die aktivischen Marktwerte fallen und das zu kalkulatorischen und realisierten Kursverlusten führt. Umgekehrt besteht auf der Passivseite das Risiko darin, dass durch fallende Zinsen die Marktwerte der Passivpositionen steigen.

Betrachtet man die Aktiv- und Passivseite einer Bilanz gleichzeitig, besteht das Marktwertrisiko darin, dass sich der Marktwert des Eigenkapitals, der sich als Saldo von aktivischem und passivischem Marktwert ausdrückt, aufgrund von Zinsänderungen verschlechtert. Detailliert besteht das Risiko darin, dass bei fallenden Zinsen der absolute Anstieg passivischer größer als der Anstieg aktivischer Marktwerte ist. Analog dazu besteht das Risiko darin, dass bei steigenden Zinsen der Verlust aktivischer Marktwerte absolut stärker ausfällt als der passivische.

Vom Marktwertrisiko zu unterscheiden ist das Zinsspannenrisiko, bei dem die Ertragsbetrachtung bzw. der Gewinn und Verlust im Vordergrund steht. Es besteht die Gefahr, dass sich die Bruttozinsspanne einer Bank vermindert. Sie entsteht, wenn der durchschnittliche Aktivzins stärker fällt als der durchschnittliche Passivzins bzw. wenn der Passivzins stärker steigt als der Aktivzins.

Für die jahresablußorientierte Sichtweise ist für die Höhe des gesamten Zinsänderungsrisikos immer die Summe beider Ergebnisse - Marktwertrisiko und Zinsspannenrisiko - zu berücksichtigen.

Die marktwertorientierte Sichtweise sieht nur eine Untersuchung bezüglich einer potentiellen Änderung der Marktwerte sämtlicher bilanzwirksamer und bilanzunwirksamer (Derivate) Geschäftspositionen einer Bank vor, indem man die Schwankungen sämtlicher diskontierter Cashflows betrachtet.

Da in modernen Analyse-Ansätzen grundsätzlich die letztgenannte Bewertungsmethode empfohlen wird, soll im weiteren das Zinsspannenrisiko unberücksichtigt bleiben und mit Zinsänderungsrisiko das Marktwertrisiko gemeint sein.

4.1 Analyse des Zinsänderungsrisikos

Die Hauptaufgabe der Zinsrisikomessung liegt darin, die negativen Abweichungen in Hinblick auf ihre Eintrittswahrscheinlichkeit zu analysieren. Das heißt, es soll die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Marktzinsänderungen spezifiziert werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 4.1: Vorgehensweise zur Bestimmung des Value-at-Risks⁴

Im ers ten Schritt bestimmt man die Schwankungen, auch Volatilitäten genannt, die sich durch die Ermittlung der Risikoparameter der jeweiligen Veränderungsraten von Marktzinsen ergeben. Mit diesen spezifischen Zinsvolatilitäten werden dann in einem zweiten Schritt die laufzeitspezifischen Zinsrisiken ermittelt. Im dritten Schritt soll dann unter Berücksichtigung der Korrelationen zwischen den laufzeitspezifischen Zinsänderungen ein Gesamtrisiko ermittelt werden.

4.1.1 Ermittlung der Sensitivitätsparameter

Die Analyse der Sensitivitätsparameter hat das Ziel, die in absoluten Zahlen ausgedrückte Veränderung der Barwerte aufgrund der absoluten Veränderung der laufzeitspezifischen Zinsen zu ermitteln.

Alle zukünftigen aktivischen und passivischen Cashflows werden ermittelt. Vorraussetzung für diese Cashflows ist, dass die Höhe und der Zeitpunkt schon heute feststehen.

Diese große Anzahl von Cashflowkombinationen würde aber dazu führen, dass sie sehr schwer miteinander vergleichbar wären und in Hinblick auf die Volatilitäten und Korrelationen das Portfolio unüberschaubar wäre. Deshalb versucht man, jeden Cashflow auf ein vorher definiertes Set von Laufzeiten aufzuteilen ( zu mappen). Ein Beispiel dafür wäre:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tab. 4.1: Laufzeiten

Unter Mapping versteht man, dass der Cashflow durch lineare Interpolation auf 2 benachbarte von vornherein definierte Laufzeiten aufgeteilt wird (Abb. 4.2):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 4.2: Cashflow-Mapping

Es gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dadurch wird erreicht, dass ein Portfolio von Instrumenten in ein Portfolio von Standard-Cashflows übergeführt wird.

Als nächstes werden die Gap-Barwerte der „gemappten“ Cashflows errechnet. Als Gap bezeichnet man dabei den Saldo von aktivischem und passivischem Cashflow zur Zeit t. Es spielt dabei keine Rolle, ob zuerst der Gap gebildet wird und dann abgezinst oder umgekehrt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Bewertung allein gibt aber noch keine Auskunft über das aktuelle Zinsänderungsrisiko der Bank. Als Risikomaß kann die potentielle Vermögens- änderung aufgrund einer vorgegebenen Zinsänderung aufgefasst werden. Der Gap- Barwert ist also nichts anderes als der Vermögenswert des Aktiv- /Passivbestandes.

4.1.2 Der Gapbarwert laut Zinsbindungsbilanz

Da es sehr mühsam sein kann, alle Cashflows einer Bank zu bestimmen, greift man auf die Zinsbindungsbilanz zurück, Man versucht unter der Berücksichtigung von gewissen Annahmen, auf approximierte Cashflows zu kommen.

In einer Zinsbindungsbilanz sind die Nominalbeträge aller Bilanzpositionen mit ihrer Zinsfälligkeit erfasst. Es sollen alle Cashflows, die aus sämtlichen Zinszahlungen samt Tilgungen bestehen, erfasst werden. Es ist folgendermaßen vorzugehen:

Die Nominalbeträge laut Zinsbindung sind mit ihren Durchschnittszinssätzen zu multiplizieren, um die jeweiligen Zinserträge und -zahlungen je Laufzeitband zu ermitteln. Da diese Zinserträge bzw. -zahlungen aber auch in den vorangegangenen Perioden auftreten, müssen diese in der Zinsbindungsbilanz von hinten nach vorne kumuliert werden. Schließlich müssen auch noch die Tilgungen, die auch einen Zahlungsfluss darstellen, berücksichtigt werden. Dies wird erreicht, indem man aufgrund der Zinsbindungsbilanz die Nominalbeträge je Laufzeitband zu den Zinsen je Laufzeitband addiert.

Dabei wird unterstellt:

- Jährliche Zinszahlungen
- Emission zum Nennwert
- Einmalige Tilgung bei Endfälligkeit zum Nennwert
- Elastizität vom Zerobond gegenüber Kundenzinssatz = 1, d. h. verändert sich der Kundenzins um x Prozent, ändert sich auch die Rendite des Zerobonds um x Prozent

Dazu das stark vereinfachte Beispiel einer Zinsbindungsbilanz:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tab. 4.2: Vereinfachtes Beispiel einer Zinsbindungsbilanz

[...]

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¹ Siehe Literaturverzeichnis

² Siehe: Walter Sanddorf-Köhle (1996) Abbildung 2.1, S10

³ Folf Beike/Johannes Schütz

⁴ Siehe: Schierenbeck (1997) Abb. 42, S 67