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Das Drei-Körper-Problem der Himmelsmechanik

Facharbeit (Schule) 2011 25 Seiten

Physik - Astronomie

Leseprobe

Inhaltsangabe

1. Einführung

2. Darstellung des allgemeinen n-Körper-Problems
2.1. Grundlagen
2.2. Die 10 Bewegungsintegrale
2.3. Die Lösung des Zwei-Körper-Problems

3. Die Erweiterung auf das Drei-Körper-Problem
3.1. Die Lagrange-Punkte
3.2. Satz über die Nichtexistenz von elementaren Integrale von Poincarné
3.3. Das Euler-Verfahren
3.4. Astronomische Störungsrechnung

4. Schluss

5. Anhang/Quellen
5.1. Literaturverzeichnis
5.2. Abbildungsverzeichnis

1. Einführung

Das Drei-Körper-Problem tauchte zum 1. Mal Ende des 18. Jahrhunderts auf und genießt seitdem ungebrochenes Interesse von Generationen von Mathematikern und Physikern. Schon I. Newton warf dieses Problem mit seinem Gravitationsgesetz auf:

Wie bewegen sich drei Körper nur durch den Einfluss ihrer gegenseitigen Gravitation?

Da dieses Problem streng mathematisch nicht lösbar ist, versuchte Euler und Lagrange es durch Einschränkungen zu lösen. L. Euler erkannte bereits 1772 die Komplexität und die Unlösbarkeit dieses Problems und versuchte es durch bestimmte Annahmen zu vereinfachen und lösbar zu machen. Er betrachtete das sogenannte eingeschränkte Drei- Körper-Problem (problème restreint): Wie bewegen sich drei Körper nur durch den Einfluss ihrer gegenseitigen Gravitation, wenn der dritte Körper wesentlich leichter ist als die anderen zwei und somit die Bewegung der beiden schweren Körper nur „ stört “ ?

Weitere Spezialfälle, die exakt lösbar sind hatte J.-L. Lagrange erforscht. Der bekannteste Fall sind die Lagrange- oder Liberationspunkte.

Trotz der Bemühungen bekannter Forscher wie Newton, Euler und Lagrange konnte dieses Problem bisher nicht mathematisch sauber und korrekt gelöst werden. Schließlich gelang es einen Herren namens H. Poincaré 1898 in seinen Werk „ Les m é thodes nouvelles de la m é canique c é leste “ 1 ) zu zeigen, dass es außer den 10 bekannten Bewegungsintegrale keine weiteren gibt, so dass es nicht möglich ist, die zur analytischen Lösung der Bewegungsgleichungen nötigen 16 Integrale herauszufinden. Deshalb konzentrierten sich seitdem die nachfolgenden Wissenschaftler auf Annäherungsmethoden.

Als ein wichtiges Hilfsmittel entstand Anfang des 20. Jahrhunderts die astronomische Störungsrechnung. Man fokussiert sich auf den eingeschränkten Fall des Drei-Körper- Problems und verbesserte bereits vorhandene Näherungsverfahren wie dem EulerVerfahren zu moderneren Algorithmen, mit deren und der Hilfe moderner Leistungscomputer ist es heutzutage möglich numerisch-iterativ beliebig exakt die Bahnen von Himmelskörpern auszurechnen.

Obwohl es viele Versuche gab eine mathematisch einwandfreie Lösung zu finden, müssen wir uns wohl oder übel mit einem Näherungsverfahren anfreunden. Im folgenden soll genauer auf das Problem eingegangen werden.

2. Darstellung des allgemeinen n-Körper-Problems

Das Drei-Körper-Problem ist ein Spezialfall des allgemeinen n-Körper-Problems der Himmelsmechanik. Das allgemeine Problem der klassisch-theoretischen Mechanik heißt: Wie bewegen sich n Körper im gegenseitigen Gravitationsfeld?

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für n=1 ergibt sich das sogenannte Ein-Körper-Problem.

Nach dem Trägheitssatz Newtons bewegt sich ein Körper ohne äußere Krafteinflüsse entweder mit gleichbleibender Geschwindigkeit und Richtung oder er ist in Ruhe. Für n=2 das Zwei-Körper-Problem und n=3 das Drei-Körper-Problem; diese werden im folgenden noch näher beschrieben.

2.1. Grundlagen

a) Inertialsystem:2 )

Es existiert ein solches Bezugssystem, in dem sich ein völlig sich selbst überlassener („kräftefreier“) Körper im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung befindet. Ein solches System wird Inertialsystem genannt, und die weiteren Gesetze der Mechanik wurden auf dieses bezogen.

D.h. ein Inertialsystem ist ein System, in dem die Gesetze der klassischen Mechanik (nach Newton) gelten.

b) konservatives Feld:2 )

Ein konservatives Feld ist ein rein ortsabhängiges (zeitlich konstantes) Kraftfeld F=F(r), das sich als negativer Gradient einer eindeutigen Skalarfunktion V=V(r)=V(x,y,z) der potentiellen Energie darstellen lässt.

In einem konservativen Kraftfeld ist die längs irgendeiner geschlossenen Kurve zwischen den Punkten P1 und P2 geleistete Arbeit W=0. Bei einer offenen Kurve mit hängt sie nur von der Lage des Anfangs- und Endpunktes ab, ist somit vom Weg unabhängig und gleich der Differenz der potentiellen Energie im Anfangs- und Endpunkt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

c) Zentralkraftfeld:2 )

Es gilt für die felderzeugende Kraft: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

d) Bewegung im Gravitationsfeld (Planetenbewegung):3 )

1. Newtons Gravitationsgesetz/allgemeines Massenanziehungsgesetz:[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

2. spezielle Form für 3 dimensionale Räume:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Masse m hat im Gravitationsfeld der Masse M die potentielle Energie [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] analog für Y, Z

e) Keplersche Gesetze:3

1. Keplersches Gesetz:

Die Bewegungen im Weltall werden durch Kegelschnitte mit der Zentralmasse in einem der beiden Brennpunkte beschrieben. Je nach dem ob die numerische Exzentrizität ε kleiner als 1, gleich 1 oder größer als 1 ist, können Ellipsen, Parabeln oder Hyperbeln entstehen. In unserem Sonnensystem gilt ε<1, deshalb sind die Planetenbahnen Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

2. Keplersches Gesetz:

Flächensatz: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]const.

Der von der Sonne nach einem Planeten gezogene Ortsvektor überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

[...]


1 ) Henri Poincaré: Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Paris 1892/93

2 ) Andreas Wipf: Theoretische Mechanik Vorlesungsskript, Jena 2002/03

3 ) Hildegard Hammer, Karl Hammer: Physikalische Formeln und Tabellen, München 2007

Details

Seiten
25
Jahr
2011
ISBN (eBook)
9783640819867
ISBN (Buch)
9783640823000
Dateigröße
1 MB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v166233
Institution / Hochschule
Sigmund-Schuckert-Gymnasium Nürnberg
Note
14 Punkte
Schlagworte
Astronomie Physik Körper Mechanik Lagrange Poincaré Euler Störung

Autor

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Titel: Das Drei-Körper-Problem der Himmelsmechanik