Repräsentationswechsel beim Arbeiten mit Funktionen

Inhaltsverzeichnis:

1. Einleitung
1.1 Beweggründe der Arbeit
1.2 Aufbau der Arbeit

2. Grundvorstellungen in der Mathematik
2.1 Die Grundvorstellungsidee Rudolf vom Hofes
2.2 Aufbau von Grundvorstellungen
2.3 Betrachtungsweisen von Grundvorstellungen
2.4 Fehlvorstellungen

3. Funktionales Denken
3.1 Gliederung des Kapitels Funktionales Denken
3.2 Der Funktionsbegriff - Geschichte, Definitionen und Begriffsgenese
3.2.1 Der Funktionsbegriff in der Didaktik
3.3. Sinnkonstituierung beim funktionalen Denken
3.4. Aufbau von Repräsentationen - Repräsentationsebenen von Funktionen
3.4.1 Grafische Repräsentationsebene
3.4.2 Numerische Repräsentationsebene
3.4.3 Symbolische Repräsentationsebene
3.4.4 Situative Repräsentationsebene
3.5 Anwendung des Begriffs auf die Wirklichkeit
3.5.1 Typen des Repräsentationswechsel
3.5.2 Der Modellierungsprozess
3.5.3 Grundkenntnisse
3.6 Lösungsprozesse in der Schule - Die geschickte Wahl passender Repräsentationen

4. Qualitative Studie
4.1 Allgemeine Fragestellung und Auswahl der Forschungsmethode
4.2 Strukturierende Inhaltsanalyse nach Mayring
4.2.1. Bestimmung der Analyseeinheiten
4.2.1.1 Festlegung des Materials
4.2.1.2 Analyse der Entstehungsgeschichte
4.2.1.3 Formale Charakteristika
4.2.1.4 Transkriptionsregeln
4.2.2. Theoriegeleitete Festlegung der inhaltlichen Hauptkategorie
4.2.2.1 Theoriegeleitete Kategorien
4.2.2.2 Forschungsfragen
4.2.3 Theoriegeleitete Bestimmung der Ausprägungen
4.3 Auswertung
4.3.1 Reflexion der Datenerhebung
4.3.2 Ergebnisse
4.3.3 Ausblick

5. Fazit

6. Literaturverzeichnis

1. Einleitung

1.1 Beweggründe der Arbeit

Ausschlaggebend für die Themenwahl dieser Zulassungsarbeit war das Auffinden der StudiVZ-Gruppe „Mathe ist ein Arschloch“ (www.studivz.net) mit aktuell circa 60.000 Mitgliedern. Im Internet ist eine Vielzahl von Foren dieser Art anzutreffen. Ich möchte zu Beginn zwei durchaus typische Foreneinträge zitieren:

„Ich hasse Mathe auch wie die Pest!! Dass ist das bescheuertste unwichtigste Scheissfach, dass es gibt!! Das bringt mir gar nix, weil ich will sicher keinen Beruf, der auch nur des geringste mit Mathe zu tun hat!!!!!!!!!!!!!!“

„ICH WERDE NIEMALS MATHE BRAUCHEN. Kann mir jemand verraten wozu ich Mathematik brauche, wenn ich mal Schmuck- /Möbel- /Werbedesign machen möchte? Na zu gar nichts brauche ich das!“^[1]

Woher kommt diese starke Antipathie gegenüber der Mathematik? Die Ursachen sind sicherlich vielseitig. Ich vermute jedoch, dass ein wichtiger Grund der unzureichende Aufbau mathematischer Grundvorstellungen und der damit einhergehende fehlende Sinnbezug ist.

„Fehlen die Grundvorstellungen, dann ist der gesamte mathematische Formalismus mehr oder weniger nutzlos, er ist ein totes Wissen, das man nie anwenden können wird. Er ist genau genommen nur ein Ballast, den man mit sich herumschleppt und berechtigterweise schnell vergisst“ (Malle 2000: 1).

Fehlen Grundvorstellungen im Denken der Schüler, ist es ihnen nicht möglich, in ihren mathematischen Handlungen einen Sinn zu erkennen. Sie werden ferner Schwierigkeiten haben, mathematische Strukturen in ihrer Umwelt zu begreifen. Man kann davon ausgehen, dass auch für ein Studium z.B. im Schmuck-, Möbel-, Werbedesign mathematische Kenntnisse vielseitig anwendbar sind. Um Schülern die Chance zu geben, inner- und außermathematische Sinnzusammenhänge zu verstehen, sollte der Mathematikunterricht zum Aufbau von Grundvorstellungen anregen.

“Nur so kann die Fähigkeit entwickelt werden, im Leben nach der Schule wirklich die Mathematik als Orientierung in unserer komplexen Welt nutzen zu können und den Transfer zwischen realen Problemen und Mathematik zu leisten. Nur so können Lernende selbst zu eigenen Urteilen über relevante Fragen kommen und als spätere Entscheidungsträger dazu beitragen, dass Mathematisierungen umwelt- und sozialverträglich ablaufen“ (Henn/Kaiser 2000: 373).

In dieser Arbeit, soll das Arbeiten mit Funktionen auf Basis von Grundvorstellungen untersucht werden. Gerade mithilfe von Funktionen kann man Zusammenhänge in unserer Umwelt abstrahiert darstellen. Durch Grundvorstellungen können diese Verbindungen zu den vielseitigen Vorkommnissen von Funktionen in der Realität erkannt, mathematisiert und zur Lösung von Problemen genutzt werden.

1.2 Aufbau der Arbeit

Ziel der vorliegenden Arbeit ist ein Erkenntnisgewinn bezüglich folgender Frage:

Welche Bedeutung haben Grundvorstellungen beim Arbeiten mit Funktionen, insbesondere beim Wechsel zwischen Darstellungsebenen?

Ich werde diese Fragestellung auf mehreren Ebenen behandeln. Kapitel 2 und 3 fassen aktuelle Erkenntnisse bezüglich mathematischer Grundvorstellungen und dem Arbeiten mit Funktion zusammen.

Dabei wird in Kapitel 2 einleitend die Grundvorstellungsidee vom Hofes und daran anknüpfend der Aufbau sowie unterschiedlichen Betrachtungsweisen von Grundvorstellungen thematisiert. Abschließend werden Fehlvorstellungen untersucht, die man als falsch verknüpfte Grundvorstellungen bezeichnen könnte.

Kapitel 3 widmet sich dem Arbeiten mit Funktionen. Einleitend wird der Funktionsbegriff in Bezug auf Geschichte, Definition und Begriffsgenese vorgestellt.

Die folgenden Unterkapitel werden das Arbeiten mit Funktionen im Hinblick auf die unterschiedlichen Ausprägungen individueller Begriffsbildung „Sinnkonstituierung, Aufbau entsprechender Repräsentationen und Anwendung des Begriffs auf die Wirklichkeit“ (vgl. vom Hofe 1995: 97) unterteilen.

Im qualitativen Forschungsteil in Kapitel 4 werden die individuellen Ausprägungen von Grundvorstellungen bei Schülern untersucht. Aufbauend auf die Kapitel 2 und 3 findet eine qualitative Studie anhand von Schülerinterviews statt. Diese beschäftigen sich mit der Frage wie die theoretisch erarbeiteten Ausprägungen von Grundvorstellungen beim Arbeiten mit Funktionen auf Schülerebene aussehen können.

2. Grundvorstellungen in der Mathematik

2.1 Die Grundvorstellungsidee RUDOLF VOM HOFES

In dieser Zulassungsarbeit werde ich mit der „Grundvorstellungsidee“ Rudolf vom Hofes arbeiten. Grund dafür ist einerseits vom Hofes Bezug auf wesentliche Arbeiten zum Thema Vorstellungen^[2], andererseits die Betonung der didaktisch / methodischen Ebene seines Konzeptes.

„Dieses Konzept hat mit den Arbeiten von Pestalozzi (1803), Diesterweg (1850), WITTMANN (1924), Oehl (1965) und Griesel (1971), um nur eine Auswahl zu nennen; [...] eine lange Tradition in der deutschen Mathematikdidaktik“ (STÖLTING 2008: 36).

Dabei findet vom Hofe bei der Betrachtung der Konzepte der erwähnten Autoren, nicht auf allen Ebenen ein kohärentes Grundvorstellungsprinzip.

„Auf psychologischer Ebene gibt es viele unterschiedliche und zum Teil konträre vorstellungskonzepte - auf didaktischen Ebenen hingegen schält sich ein von Elementen deutlicher Kontinuität geprägtes Grundvorstellungskonzept heraus, das sich als weitgehend unabhängig von psychologischen Beschreibungsmodellen erweist“ (vom Hofe 1995: 95).

Die Gemeinsamkeiten der verschiedenen Konzepte findet man laut vom Hofe, indem man die psychologischen Beschreibungsmodelle der verschiedenen Konzepte bei der Suche nach einem gemeinsamen Grundvorstellungskonzept ausklammert.^[3] So entdeckt man bei den „Prinzipien, die die Bedingungen der Ausbildung von Grundvorstellungen auf didaktischer Ebene beschreiben“ in der Praxis einerseits „Rahmenbedingungen für die Genese von Grundvorstellungen“ und zusätzlich entwickelten sich im Laufe der Zeit ihre „unterschiedlichen Ausprägungen zunehmend konkreter und präziser“ (vom Hofe 1995: 96). So entstanden beispielsweise hinsichtlich der Division ähnliche „adäquate Vorstellungen“ des „Aufteilen“ und „Verteilen“. Bei Wittmann „auf der Basis der Ganzheitspsychologie“ und bereits 1842 bei Hetschel „ohne psychologische Herleitung“ (ebd.: 97).

vom Hofe spricht von einer „Grundvorstellungsidee“ beziehungsweise einem „Grundvorstellungskonzept“ welches sich aufgrund „jahrhundertelanger didaktischer Erfahrung“ aus „der Auseinandersetzung zwischen Theorie und Praxis herausgebildet hat.“ (ebd.: 97):

Er fasst die Ergebnisse seiner Recherchen zum Grundvorstellungsbegriff folgendermaßen zusammen:

„Die Grundvorstellungsidee beschreibt Beziehungen zwischen mathematischen Inhalten und dem Phänomen der individuellen Begriffsbildung“ (ebd.: 97).

VOM Hofes Konzept vermittelt also „zwischen Mathematik, Individuum und Realität“ (ebd.: 98). Da die individuelle Begriffsbildung natürlich bei jedem verschieden ist, wird aus didaktischer sicht versucht, den Kern beziehungsweise die fundamentale Idee^[4] des mathematischen Inhalts, mit der jeweiligen Grundvorstellung auszudrücken. Wie später erläutert, kann sein Konzept aber sowohl normativ wie auch deskriptiv betrachtet werden.

Weiter unterteilt vom Hofe seine Grundvorstellungsidee bezüglich „unterschiedlicher Ausprägungen“ (ebd.:98):

„- sinnkonstituierung eines Begriffs durch Anknüpfung an bekannte sach- oder Handlungszusammenhänge bzw. Handlungsvorstellungen,
- Aufbau entsprechender (visueller) Repräsentationen, bzw. „Verinnerlichungen“, die operatives Handeln auf der Vorstellungsebene ermöglichen,
- Fähigkeit zur Anwendung eines Begriffs auf die Wirklichkeit durch Erkennen der entsprechenden Struktur in Sachzusammenhängen oder durch Modellieren des Sachproblems mit Hilfe der mathematischen Struktur“ (VOM HOFE 1995: 97ff).^[5]

Im folgenden Kapiteln werde ich mich damit befassen, wie sich die unterschiedlichen Ausprägungen auswirken und wie Grundvorstellungen aufgebaut werden.

2.2 Aufbau von Grundvorstellungen

Beim Aufbau von Grundvorstellungen unterscheidet VOM HOFE zwischen der „Sinnkonstituierung eines Begriffs durch Anknüpfung an bekannte Sach[zusammenhänge]“ und der Anknüpfung durch „Handlungszusammenhänge“ (VOM Hofe 1995: 97).

„Im Laufe der Schulzeit werden primäre Grundvorstellungen - das sind solche, die ihre Wurzeln in gegenständlichen Handlungserfahrungen aus der Vorschulzeit haben - immer mehr durch sekundäre Grundvorstellungen ergänzt, die aus mathematischer Unterweisung stammen“ (VOM HOFE 2003: 6).

Eine primäre Grundvorstellung, welche bereits vor Beginn der Grundschule anhand von Handlungserfahrungen verinnerlicht wird, wäre beispielsweise das schon aufgeführte Aufteilen. Bei Vorstellungen welche „mithilfe von mathematischen Darstellungsmittel wie [dem] Zahlenstrahl“ entstehen, spricht vom Hofe von sekundären Grundvorstellungen (ebd.: 6). Primäre und sekundäre Grundvorstellungen sind aber keinesfalls trennbar, wie es auf den ersten Blick erscheint. Am Beispiel der Funktion zeigt Henn/Kaiser die fließenden Übergänge:

„Ein typisches Beispiel ist der fundamentale Begriff der Funktion, der sich in spiraliger Entwicklung von den enaktiven Zuordnungen mit konkreten Materialien in der Grundschule bis hin zu den verschiedenen Ausprägungen des Funktionsbegriffs als reelle Funktionen in der Analysis, als geometrische Abbildungen in der analytischen Geometrie und als Zufallsvariable in der Stochastik durchzieht“ (HENN/KAISER 2001: 372).

Sowohl primäre als auch sekundäre Grundvorstellungen treten nach vom Hofe als „Sinnkonstituierung eines Begriffs“ (Stölting 2008: 38) auf. Sie wirken als „Bindeglied zwischen dem Individuum, mathematischen Ideen und einem Repräsentationssystem“ wobei folgende Unterscheidung gilt:

„Primäre Grundvorstellungen treten [...] beim Übergang zwischen Mathematik und Realität auf, während sich sekundäre auch auf innermathematische Übergänge beziehen“ (ebd.: 38).

Hier entsteht für mich bezüglich der Trennschärfe primärer und sekundäre Grundvorstellungen folgende Unklarheit:

Wenn sekundäre Grundvorstellung erst durch den Aufbau entsprechender mathematischer Vorstellungen anhand primärer Grundvorstellungen entstehen (und sekundäre Grundvorstellungen nur innerhalb der mathematischen Welt auftauchen), stellt sich die Frage, ob bei einem Wechsel eines fortgeschrittenen Schülers auf die konkrete Handlungsebene, jedes Mal ein Wechsel von sekundären über primäre Grundvorstellungen zur Handlungsebene stattfindet? Hierzu merkt VOHNS kritisch an:

„Was ist etwa das kritische Kriterium zur Unterscheidung von primären und sekundären Grundvorstellungen? Ihre Verankerung in konkreten Handlungen (die prinzipiell auch aus dem Unterricht stammen kann) oder lediglich die Frage der Elaboriertheit der verwendeten Darstellungsmittel oder aber, dass sie bereits aus der Zeit mathematischer Unterweisung stammen und damit gewissermaßen normativ vorgeprägt sind? Man muss sich nicht zuletzt fragen, wozu eine solche Unterscheidung im engeren dienen soll“ (Vohns 2005: 61ff).

Aufgrund fehlender weiterer Quellen zu diesem Streitpunkt, werde ich diese Frage offen lassen und im Folgenden nicht weiter zwischen primären und sekundären Grundvorstellung unterscheiden. Meiner Meinung nach ist die formelle Unterscheidung, wenn überhaupt, innerhalb der Didaktik für die Anknüpfung des Unterrichts an außerschulische Vorerfahrungen von Bedeutung. Wobei auch hier mit dem allgemeinen Begriff der Grundvorstellung gearbeitet werden kann. Von größerer Bedeutung ist die Aussage, dass sich die (mathematischen) Grundvorstellungen eines Menschen während seiner Entwicklung verändern. vom Hofe erklärt bezüglich dieses Punktes:

„Ein mathematischer Begriff lässt sich in der Regel nicht mit einer Grundvorstellung, sondern eher mit mehreren Grundvorstellungen erfassen. Die Ausbildung dieser Grundvorstellung und ihre gegenseitige Vernetzung wird auch Grundverständnis des Begriffes genannt“ (vgl. Oehl 1970, zit. nach vom Hofe 2005: 6).

Bei der Genese mathematischer Begriffe können neue, ungewohnte Situationen stets Veränderungen und Erweiterungen der Grundvorstellungen mit sich bringen. Die „Kollektion“ der Grundvorstellungen ist folglich nicht „stabil“, sondern wird „durch Erweiterung von alten und Zugewinn von neuen Vorstellung zu einem immer leistungsfähigeren System mentaler mathematischer Modelle entwickelt“ (ebd.: 6).

2.3 Betrachtungsweisen von Grundvorstellungen

Sprechen wir von Grundvorstellungen ist es wichtig, sich über die Betrachtungsperspektive im Klaren zu sein. vom Hofe spricht von „normativ geprägten und sachadäquaten Grundvorstellung“ und „deskriptiv feststellbaren individuellen Schülervorstellungen“ (vom Hofe 1995: 123).

„Bei der normativ geprägten Grundvorstellung handelt es sich [...] um eine didaktische Kategorie des Lehrers, die im Hinblick auf ein didaktisches Ziel aus inhaltlichen Überlegungen hergeleitet wurde und Deutungsmöglichkeiten eines Sachzusammenhangs bzw. dessen mathematischen Kerns beschreibt“ (vom Hofe 1995: 123).

„Die Schülervorstellungen geben [. ] Aufschluss über die individuellen Erklärungsmodelle des Schülers, die in das System seiner Erfahrungsbereiche eingebunden und entsprechend aktivierbar sind“ (ebd.: 123).

Für die empirische, didaktische und methodische Sicht ist die Unterscheidung der Betrachtungsweisen grundlegend. Die in den Köpfen bestehenden und durch Handlungen deutlich werdenden Schülervorstellungen sind die, in einem gewissen Maße, real existierenden Auswirkungen der normativ gesetzten Grundvorstellungen.

Diese Annahme ist sowohl grundlegend für vom Hofes Konzept zur „Ausbildung von Grundvorstellungen“ (ebd.: 123), wie auch für diese Zulassungsarbeit:

„Grundannahme des hier vertretenen Konzeptes ist es, dass sich durch die Umsetzung der didaktischen Kategorie entsprechende individuelle Erklärungsmodelle ausbilden lassen, die - bei allen subjektiven Schattierungen - einen gemeinsamen Kern haben, oder kurz: dass sich Grundvorstellungen ausbilden lassen“ (ebd.: 123).

Der Unterschied zwischen normativen Grundvorstellungen und individuellen Schülervorstellungen ist für die Didaktik von besonderem Interesse und verdeutlicht ihre dynamische Komponente:

„Diese Suche verdichtet sich zu der Frage, welche Grundvorstellungen beim Lernenden bereits in bestimmten Ausprägungen vorhanden sind und in welche Richtung diese fortentwickelt werden sollen, aber auch welche genuin neuen Vorstellungen aufgebaut werden sollen“ (Vohns 2005: 62).

Neue Situationen können Veränderungen im Denken der Schüler bringen. Passen bestehende Grundvorstellungen eines Schülers nicht, oder nur bedingt zu einer mathematischen Situation, kann dies zu Veränderungen der Grundvorstellung führen. Stölting nennt dies „den konstruktiven Aspekt“ (Stölting 2008: 38) der Grundvorstellungsidee Vollraths:

„im Falle von auftretenden Differenzen zwischen den normativ ermittelten Grundvorstellungen mathematischer inhalte und den deskriptiv festgestellten Grundvorstellungen von Schülern lassen sich diese Differenzen beheben oder ganz neue Grundvorstellungen aufbauen. Diese Tätigkeit liegt naturgemäß beim Schüler, kann aber durch Wahl geeigneter Situationen, mit denen der Schüler konfrontiert wird, didaktisch unterstützt werden“ (Vollrath 1995: 123, zit. nach STÖLTING 2008: 38).

Der Aufbau von Grundvorstellungen verlangt auf der Lehrerseite einen ständigen Wechsel von deskriptiver und normativer Grundvorstellungsbetrachtung. Auch lassen sich Schülervorstellungen nicht direkt beobachten, sondern können nur aus den jeweiligen Handlungen geschlossen werden. Der indirekte Rückschluss von Schülerhandlungen auf ihre jeweiligen Schülervorstellungen ist zusätzlich immer subjektiv und durch die eigenen Vorstellungen beeinflusst. Bei der Vermittlung von Grundvorstellungen, sollte der Lehrer darauf achten seine eigenen, didaktisch gesetzten, Grundvorstellungen, mit den individuellen Schülervorstellungen abzugleichen. Hierbei entsteht auch die Schwierigkeit, zwischen individuellen Ausprägungen von Schülervorstellungen und Fehlvorstellungen zu unterscheiden.

2.4 Fehlvorstellungen

„Im günstigsten Fall können [...] Vorstellungen das mathematische Denken positiv beeinflussen. Sie können jedoch auch in die Irre führen, wenn sie sich als Fehlvorstellungen verfestigen und ein tragfähiges Begriffsverständnis verhindern“ (vom Hofe 1996, zit. nach Lechner 2000: 12)

Fehlvorstellungen entstehen unter anderem, „wenn es über längere Zeit hin nicht gelingt, zu neuen mathematischen Inhalten adäquate Vorstellung aufzubauen“ (vom Hofe 2005: 7). Diese Fehlvorstellungen können zu „systematischen Fehlerstrategien führen“ (Fischbach 1990, zitiert nach vom Hofe 2005: 7).

„Je mehr es misslingt, neue Begriffe und Verfahren mit Sinn und Bedeutung zu füllen, umso mehr muss sich der Lernende an Regeln, Merksätzen und Formalismen orientieren, deren Sinn er nicht versteht und deren Begründung er gedanklich nicht nachvollziehen kann“ (VOM HOFE 2005, 7).^[6]

Dieser Vorgang führt „nicht nur zu einem falschen Bild von Mathematik, [er] führt auch zu einer einseitigen und unzureichenden Entwicklung mathematischer Kompetenzen“ (ebd.: 7). Durch das einseitige Anwenden von Standardverfahren wird die Fähigkeit problemorientierte Aufgaben bei Modellierungsprozessesen zu lösen unzureichend trainiert. Folglich werden die „notwendigen mentalen Modelle nicht ausgebildet oder [bleiben] auf dem Stand der Grundschule stehen“ (ebd.: 7).

Die Frage, wie man Fehlvorstellungen entgegenwirkt, kann im Rahmen dieser Zulassungsarbeit nicht vollständig beantwortet werden. Einige wichtige Punkte sollen hier dennoch in Kürze angesprochen werden. Der erste Punkt ist ein Umkehrschluss des oben genannten Zitats über „das einseitige Anwenden von Standardverfahren“ (ebd.:7).

Werden Schüler angeregt, nicht einseitig Standardaufgaben, sondern vielfältige mathematische Aufgabenstellungen zu bearbeiten, wird ihnen die Möglichkeit geboten hierdurch ihre mathematischen Vorstellungen auf ihre Gültigkeit bezüglich verschiedenster Aspekte zu überprüfen und zu verfeinern.

Ein weiterer Punkt betrifft den prinzipiellen Umgang mit Fehlern in der Schule. Sowohl Schüler wie auch Lehrer, welche sich in der Schule gerne als unfehlbar präsentieren, profitieren von einem konstruktiven Umgang mit Fehlern. Fehler können auf der einen Seite „Lernhindernisse [bedeuten], wenn sie den weiteren Lernprozess hemmen (z. B. bei kumulativen Lerninhalten)“, was sich folglich auch auf „den motivationalen Bereich“ (Wittmann 2007: 2) auswirkt. Auf der anderen Seite bieten sie sowohl für Schüler wie auch für Lehrer „Lernchancen“, „wenn sie als solche erkannt werden und zu einer Einsicht führen“ (ebd.: 2).

„Bezogen auf Fehler im Mathematikunterricht sind an der Oberfläche liegende, unmittelbar zugängliche Fehlermuster oder Fehlerphänomene die Produkte, hinter denen tiefer liegende Fehlerursachen oder Fehlerstrategien als Prozesse stehen; sie lassen sich nur über Verfahren der Fehleranalyse erschließen“ (ebd.: 1).

Die oben angesprochenen vielfältigen Aufgabenstellungen, helfen Schülern beim Aufbau der Grundvorstellungen, denn „umfangreiches Wissen darüber, was eine Sache nicht ist oder was nicht getan werden darf, lässt das positive Wissen sehr viel klarer hervortreten“ (ebd.: 2). Fehlvorstellungen lassen sich unter anderem dadurch vermeiden, dass man weiß, in welcher Situation eine bestimmte Grundvorstellung Gültigkeit hat und in welcher nicht. Dies wird nur durch Fehler beziehungsweise durch Fehlannahmen gelernt.

Schüler können in entsprechenden Lernumgebungen selbst aus ihren Fehlern lernen. Aufgabe der Lehrer ist es diese Umgebungen zu schaffen. Dies betrifft zum einen den sozialen Umgang mit Schülerfehlern, zum anderen, dass der Lehrer aus den individuellen Schülervorstellungen/Fehlern/Fehlvorstellungen der Schüler lernt und diese in die eigene Unterrichtsgestaltung mit einbezieht.^[7]

„Dieser Ansatz hat den Vorteil, das er eine Sensibilisierung des Lehrers für Denkprozesse seiner Schüler bewirkt: Verständigungsprobleme zwischen Schülern und Lehrern haben im wesentlichen ihre Ursache darin, dass mathematische Begriffe und Symbole vom Schüler oft anders gedeutet werden, als es im Sinne des Lehrers adäquat wäre. Weiter besteht die berechtigte Hoffnung, dass es zu einem behutsameren Umgang mit Schülerfehlern kommt“ (LECHNER 2000: 12)

- Persönlicher Einschub:

Ich halte es für wichtig, sich persönlich in die Situation eines Schülers mit Fehlvorstellungen zu versetzen. Im Extremfall können die eigenen Vorstellungen nicht zur Problemlösung beitragen, sondern verhindern sogar sinngeleitetes mathematisches Arbeiten. Die einzige Möglichkeit die bleibt, ist das komplette Auswendiglernen von Lösungswegen.

Hierzu ein Vergleich:

Stellen Sie sich vor, Sie würden sich innerhalb von Freiburg nur durch direkt sichtbare Objekte orientieren. Die meisten würden jetzt fragen, wie soll man denn sich sonst orientieren? Natürlich orientiert man sich einerseits an Hand sichtbarer Objekte. Aber zusätzlich bildet man immer differenziertere Vorstellungen der Stadt anhand von Gebäudetypen (z.B. Reihenhaussiedlungen), Straßentypen (Hauptstraßen, Fahrradwegen), geographischen Merkmalen (Flüsse, Berge), Stadtteilen und vielem mehr aus.

Man kann sich wahrscheinlich nur in geringem Ausmaß vorstellen was es bedeutet einen Weg, zum Beispiel von der PH Freiburg zum Münster, nur anhand sichtbarer Objekte auswendig zu lernen: „die große Treppe hinunter gehen, dann links abbiegen, über die Bahnschienen, (jetzt wird es schwieriger, denn die Straße entlang gehen bis zur Straßenbahnhaltestelle, wäre schon das Nutzen der Vorstellung Straße als Verbindung zwischen zwei Punkten, demzufolge nächstes sichtbares Objekt wäre z.B. das Haus, an dessen Gartentor eine goldene Kugel mit einem Frosch zu sehen ist, ...

Ich beende hier, nach circa 50 m die Wegbeschreibung, da diese sonst schätzungsweise die Hälfte der Hausarbeit ausmachen würde. Hinzuzufügen ist, dass man sich wahrscheinlich, trotz des immensen Aufwandes, verlaufen würde.

Natürlich ist die Orientierung in einer Stadt, nicht eins zu eins mit dem Lernen von Mathematik zu vergleichen. Zudem zeigt das Beispiel das Extrem fehlender Vorstellungen. Das Beispiel macht jedoch verständlich, wie es sich anfühlt, (sehr viele) Lösungswege mit geringen Vorstellungen, beziehungsweise Fehlvorstellungen, auswendig zu lernen - und wie nachhaltig diese im Gedächtnis bleiben.

Gleichzeitig lässt sich wahrscheinlich nachvollziehen, dass dieses Auswendiglernen deren einziger Sinn die Bewertung sein kann und deren Inhalt praktisch sinnentleert ist (da es nicht möglich ist, innerhalb dieser Fehlvorstellungen einen mathematischen Sinn zu finden) als sehr demotivierend empfunden werden muss.

Die Kombination aus hoher Anstrengung, Misserfolg und innermathematische Sinnlosigkeit trägt sicherlich zur starken Antipathie gegenüber der Mathematik von Teilen der Gesellschaft bei^[8]. Es wäre sicherlich interessant, die Beziehung zwischen Grundvorstellungen der Schüler und ihrer Sicht auf den (Sinn des) Mathematikunterricht zu untersuchen.

- Ende des persönlichen Einschubs

3. Funktionales Denken

3.1 Gliederung des Kapitels Funktionales Denken

Der folgende Abschnitt zum Thema Funktionen ist entsprechend der unterschiedlichen Ausprägungen individueller Begriffsbildung vom Hofes gegliedert.

Der „Sinnkonstituierung eines Begriffs durch Anknüpfung an bekannte Sach- oder Handlungszusammenhänge bzw. Handlungsvorstellungen“ (vom Hofe 1995: 97ff) werden die drei Grundvorstellungsaspekte Vollraths (und anderer) zugeordnet.

Im Kapitel zum „Aufbau entsprechender (visueller) Repräsentationen, bzw. ‘Verinnerlichungen’, die operatives Handeln auf der Vorstellungsebene ermöglichen“ (ebd.: 97ff) werden die Darstellungsebenen erläutert.

Zuletzt wird die „Fähigkeit zur Anwendung eines Begriffs auf die Wirklichkeit durch Erkennen der entsprechenden Struktur in Sachzusammenhängen oder durch Modellieren des Sachproblems mit Hilfe der mathematischen Struktur“ (ebd.: 97ff) den Themen Modellierung, Repräsentationswechsel und Lösungsprozesse als ordnende Überschrift dienen.

Zuvor wird jedoch erst einmal der Funktionsbegriff, seine Geschichte und seine Bedeutung in der Didaktik erörtert.

3.2 Der Funktionsbegriff - Geschichte, Definitionen und Begriffsgenese

Seit wann denken Menschen in Funktionen? Diese Frage lässt sich nicht wirklich beantworten, denn das Erfahren funktionaler Zusammenhänge ist Teil der Auseinandersetzung mit unserer Umwelt. Schon das Erkennen des Tag- und Nachtzyklus bzw. Sommer- Winterzyklus, könnte man als ein Denken in Funktionen betrachten. Es ist davon auszugehen, dass diese Erkenntnis sehr früh stattfand. Selbst Tiere haben diese stetige Veränderung verinnerlicht.

Wann das Denken in Funktionen begonnen hat, lässt sich also schwerlich herausfinden. Auskünfte kann man nur über die (bis dato) ersten schriftlichen Dokumente treffen. Demnach ist eine 4000 Jahre alte babylonische Keilschrifttafel „nach heutiger Kenntnis [...] das älteste erhaltene Dokument einer tabellierten Funktion“ (Hischer 2002: 7)^[9]. Weitere „Meilensteine“ des Arbeitens mit Funktionen sind Kurven „in kinematischer Darstellung“ aus der Antike 5. Jh. v. Chr., „grafischer Darstellung zeitabhängiger Größen“ aus dem Mittelalter 14. Jh. n. Chr., u.v.m. (vgl. ebd.: 3). Dies war lange bevor Johann I. Bernoulli 1706 zum ersten Mal in einer Abhandlung den Begriff Funktionen gebrauchte (vgl. ebd.: 19). 1718 präsentierte Bernoulli „in den Abhandlungen der Pariser Academie de Sciences die historisch erste Definition des Wortes ‘Funktion’“ (vgl. ebd.: 19).

„Dort heißt es, er verstehe unter Funktion einer veränderlichen Größe einen Ausdruck, der auf irgend eine Weise aus der veränderlichen Größe und Konstanten zusammengesetzt sei“ (Cantor 1898:439, zit. nach HISCHER 2002: 19)

Bernoullis Definition ist nicht die einzige geblieben. Viele weitere Definitionen, die den Funktionsbegriff erweiterten, jedoch auch eingegrenzten, folgten.^[10] Auch wenn heutzutage eine Funktion z.B. als linkstotale und rechtseindeutige Relation definiert wird, stellt Hischer fest:

„Dass es in der Mathematik, diesem Prototyp der exakten Wissenschaften, offensichtlich noch immer keine einheitliche Definition dessen gibt, was eine Funktion ist. Dies lässt sich durch diverse Beispiele belegen“ (Hischer 2002: 2)

Werden demzufolge einfach nur viele verschiedene mathematische Aspekte in einen (Bergriffs)Topf geworfen? Doch gerade aufgrund der vielseitigen Definitionen und „der Uneinheitlichkeit“ liegt hier für Hischer ein wesentlicher „Grundbegriff der Mathematik“ (ebd.: 2) vor und auch für Siller zeigt sich „gerade dadurch die enorme spannweite dieses Begriffes sowohl in der Fachwissenschaft als auch in der Fachdidaktik“ (Siller 2008: 1).

[...]

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^[1] Die beiden Foreneinträge (http://blog.hagga.net/archives/personal/51-ich-hasse-mathe - zuletzt geprüft am 3.01.2010) werden aus Datenschutzgründen, anonymisiert gehalten.

^[2] Auch wenn der Begriff (Grund-)Vorstellungen bei den verschiedenen von ihm zitierten Autoren variiert, Pestalozzi spricht von „Anschauungen“ und „Vorstellungen“, Piaget von „Verinnerlichung“, Breidenbach von "Vorstellungsgrundlagen", ect. (vom Hofe 1995: 7ff)

^[3] Vergleiche hierzu die jeweiligen didaktischen Konsequenzen, die vom Hofe aus den verschiedenen psychologischen Modellen schließt. (vom Hofe 1995: 41ff, 52ff, 62ff, 71ff, 81ff)

^[4] Vertiefende Literatur zur konstruktiven Zusammenführung Fundamentaler Ideen und Grundvorstellungen siehe „Fundamentale Ideen und Grundvorstellungen“ (Vohns 2005: 52-79)

^[5] Ich werde die drei Ausprägungen später genauer erläutern und zur Unterteilung des Kapitels „Funktionen“ nutzen.

^[6] vgl. hierzu den persönlichen Einschub am Ende dieses Abschnittes

^[7] Vergleiche hierzu: - Schumacher, R. (2008): Der produktive Umgang mit Fehlern. Fehler als Lerngelegenheit und Orientierungshilfe. In: Nur wer Fehler macht, kommt weiter. Wege zu einer neuen Lernkultur, S. 7-11. - „Konfrontationsmethode“ aus Weigend, M. (2008): Intuitive Modelle der Informatik. Dissertation. Potsdam, Institut für Informatik. Online verfügbar unter http://opus.kobv.de/ubp/vontexte/2008/1578/pdf/ weigend_diss.pdf.

^[8] Interessant ist, dass die Mathematik einerseits eines der beliebtesten Fächer ist und andererseits so starke Antipathien ausgesetzt ist vgl. „Mathematik - ein polarisierendes Schulfach“ (Henn/Kaiser 2001).

^[9] Im Rahmen dieser Zulassungsarbeit soll nicht wesentlich detaillierter über die Geschichte des Funktionsbegriffs berichtet werden. Diese kann sehr ausführlich in Hischers „Geschichte zum Funktionsbegriff ‘ nachgelesen werden.

^[10] Für eine vertiefende Auseinandersetzung der Erweiterungen und Eingrenzungen des Funktionsbegriffs durch Definitionen sei auf Hischers „Geschichte zum Funktionsbegriff“ und Krügers "Erziehung zum funktionalen Denken“ (Kapitel 3.1) verwiesen.