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Hedging bei Ungewissheit

Diplomarbeit 2006 80 Seiten

BWL - Bank, Börse, Versicherung

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

1Problemstellung
1.1 Hedging
1.2 Ungewissheit

2Grundlagen und Methoden
2.1 Black-Scholes-Modell
2.2 Diskussion der Zielkriterien und deren Messung
2.2.1 Hedgequalität
2.2.2 Risikomessung
2.3 Hedgestrategien
2.3.1 Dynamische Hedgestrategien
2.3.2 Statische Hedgestrategien
2.4 Einführung in die Simulation
2.4.1 Monte-Carlo-Simulation
2.4.2 Historische Simulation
2.5 Implementierung der Simulation

3Hedgequalität bei diskreten Handlungszeitpunkten
3.1 Bestimmung der Hedgeparameter
3.2 Ergebnisse
3.2.1 Naive Strategie
3.2.2 Delta-Hedging Strategie
3.2.3 Delta-Hedging Strategie mit Schätzrisiko
3.2.4 Portfolio-Hedging Strategie
3.2.5 Gamma-Hedging Strategie

4 Hedgequalität bei Sprüngen im Basiswert
4.1 Diffussions-Sprung-Prozess
4.2 Bewertungsformel
4.3 Bestimmung der Hedgeparameter
4.4 Ergebnisse
4.4.1 Naive Strategie
4.4.2 Delta-Hedging Strategie
4.4.3 Delta-Hedging Strategie mit Schätzrisiko
4.4.4 Portfolio-Hedging Strategie
4.4.5 Gamma-Hedging Strategie

5 Empirische Überprüfung der Hedgequalität
5.1 Ausgangslage
5.2 Bestimmung der Hedgeparameter
5.3 Ergebnisse
5.3.1 Einfluss von At
5.3.2 Einfluss der Moneyness-Ratio
5.3.3 Einfluss von Sigma
5.3.4 Einfluss der Laufzeit
5.3.5 Einfluss des Schätzfehlers

6 Komparative Analyse
6.1 Vergleich Diskretisierung - Sprünge
6.2 Vergleich Diskretisierung, Sprünge - Empirie

7 Resümee

Anhang

Literaturverzeichnis

Tabellenverzeichnis

1 Werte der F-Verteilung

2 Diskret: Hedgestrategien/Δt

3 Sprung: Hedgestrategien/λ

4 Empirie: Δt („tatsächliche“ Volatilität)

5 Empirie: Moneyness [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] („tatsächliche“ Volatilität)

6 Empirie: σ („tatsächliche“ Volatilität)

7 Empirie: Laufzeit („tatsächliche“ Volatilität)

8 Programmierumgebung

9 Verwendete Programme und Zweck

10 Diskret: Hedgestrategien/Δt

11 Diskret: Hedgestrategien/S0

12 Diskret: Hedgestrategien/µ

13 Diskret: Hedgestrategien/σ

14 Diskret: Hedgestrategien/iVola

15 Sprung: Hedgestrategien/Δt

16 Sprung: Hedgestrategien/LEZ

17 Sprung: Hedgestrategien/S0

18 Sprung: Hedgestrategien/µ

19 Sprung: Hedgestrategien/σ

20 Sprung: Hedgestrategien/iVola

21 Sprung: Hedgestrategien/σSprung

22 Empirie: Moneyness [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (geschätzte Volatilität)

23 Empirie: Laufzeit (geschätzte Volatilität)

24 Empirie: σ (geschätzte Volatilität)

25 Empirie: Δt (geschätzte Volatilität)

26 Empirie: Moneyness [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (implizite Volatilität)

27 Empirie: Laufzeit (implizite Volatilität)

28 Empirie: σ (implizite Volatilität)

29 Empirie: Δt (implizite Volatilität)

Abbildungsverzeichnis

1 Verteilung der Hedgefehler (Diskretisierung)

2 Analyse der Entstehung von Hedgefehlern (Delta-Hedging)

3 Analyse der Entstehung von Hedgefehlern (Gamma-Hedging)

4 Verteilung der Hedgefehler (Sprünge)

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Problemstellung

Optionen und andere Derivate erfreuen sich wachsender Beliebtheit bei einer Viel­zahl von Unternehmen, welche mit deren Hilfe Absicherungsgeschäfte vornehmen, spekulieren oder an deren Handel verdienen.1Für all diese Motive bilden Bewer­tungsmodelle die Grundlage, um damit den fairen Wert solcher Wertpapiere zu be­stimmen. Jedoch wird häufig blind darauf vertraut, dass diese Modelle korrekte Ergebnisse liefern. Da jedoch davon nicht immer ausgegangen werden kann ent­steht durch diese Ungewissheit Risiko. In der vorliegenden Arbeit werden die Fra­gen beantwortet, wie hoch dieses Risiko tatsächlich ist und welche Maßnahmen zur Beschränkung ergriffen werden können. Für die folgende Analyse wird von ei­nem Optionsemittenten ausgegangen, welcher das eingegangene Risiko eliminieren möchte. Dies gelingt nur dann, wenn das jeweils verwendete Modell die Realität korrekt abbildet. Wie hoch das verbleibende Risiko tatsächlich ist, ob und wie es unter Umständen vermindert werden könnte soll Mittelpunkt dieser Arbeit sein.

In Kapitel 2 werden zunächst die Grundlagen für die folgenden Kapitel erläutert. Dazu gehört das Black-Scholes-Modell und vor allem die verwendeten Hedgestra­tegien. Außerdem wird kurz auf die Simulation, als Methode der Erkenntnisgewin­nung, eingegangen. Kapitel 3, 4 und 5 stellen den Hauptteil der Arbeit dar, hier werden die Strategien an unterschiedlich simulierten und empirischen Aktienkur­sen getestet. Die Ergebnisse werden zunächst getrennt analysiert und dann in Ka­pitel 6 verglichen. In Kapitel 7 werden schließlich die Forschungsfragen auf Basis der gewonnenen Erkentnisse beantwortet.

1.1 Hedging

Unter Hedging versteht man die zielgerichtete Absicherung von unsicheren, zu­künftigen Zahlungsströmen.2Hedgeziele beziehen sich dabei auf unterschiedliche Risikofaktoren, die die Zahlungen beeinflussen. Als Risikofaktoren kommen das Marktpreisrisiko, das Bonitätsrisiko, operationale und rechtliche Risiken in Frage. In der vorliegenden Arbeit wird nur ersteres betrachtet.3Es ist dabei möglich, ge­wählte Risiken vollständig zu eliminieren, man spricht dann von einem „perfekten Hedge“ oder nur zu reduzieren.

Zur Erreichung dieser Ziele können unterschiedliche Instrumente zum Einsatz kom­men, wobei viele dieser Instrumente auf spezielle Risiken zugeschnitten sind. Swaps werden bspw. für die Absicherung von Zinsänderungs- oder Währungsrisiken ver­wendet. Forwards und Futures dienen der unbedingten Absicherung von Markt­preisrisiken und Optionen der Marktpreisabsicherung in eine bestimmte Richtung.

Da sich die vorliegende Arbeit auf Aktienkursrisiken beschränkt kommen Forwards, Futures und Optionen als Hedginginstrumente in Betracht. Vorgreifend auf die Kom­bination des Hedgings mit der Ungewissheit werden jedoch auch Forwards und Fu­tures nicht miteinbezogen, da diese im Allgemeinen keine Ungewissheit beinhalten.

Grundsätzlich lassen sich Kauf/Call- und Verkauf/Put-Optionen unterscheiden. Op­tionen besitzen immer einen Basiswert, einen dazugehörigen Ausübungskurs und eine Laufzeit.4Als Basiswert kann prinzipiell jedes Gut dienen. Es müssen jedoch einige Voraussetzungen erfüllt sein, um die folgenden Modelle darauf anwenden zu können.5Ohne Beschränkung der Allgemeinheit werden daher im Folgenden nur europäische Call-Optionen auf eine Aktie betrachtet. Oft wird diese Einschränkung damit begründet, dass sich die Preise von Put-Optionen aus denen der Call-Optionen ergeben (Put-Call-Parität) und man daher auf eine Analyse von Verkaufsoptionen verzichten könne. Jedoch gilt dies nicht für amerikanische Put-Optionen. Daher kann nicht generell davon ausgegangen werden, dass hier gewonnene Ergebnisse auch auf andere Optionstypen übertragbar sind.6

1.2 Ungewissheit

Modelle bilden die Grundlage und das Ergebnis wissenschaftlichen Arbeitens. Je­doch werden einschränkende Annahmen in Modellen getroffen, um zum einen eine Abbildung der komplexen Realität überhaupt zu ermöglichen und zum anderen um den Umgang mit dem Modell zu erleichtern.7Jedoch können beide Annahmentypen dazu führen, dass das endgültige Modell nicht mehr, ohne Abstriche in der Qualität der Ergebnisse machen zu müssen, in der Realität anwendbar ist.8

Aus der der Ungewissheit, ob ein Modell die Realität korrekt abbildet, entsteht Mo­dellrisiko.9

Insbesondere in der Derivatebewertung müssen solche Risiken zumindest analy­siert werden, um ein gewünschtes Sicherheitsniveau, bspw. ausgedrückt als „Value at Risk“, tatsächlich gewährleisten zu können. Dies ist besonders in der Options­bewertung und deren Hedging wichtig, da hier zum einen besonders viele Annah­men in den Modellen getroffen werden und zum anderen die Abhängigkeit von Modellen besonders hoch ist.10Forwards und Futures beinhalten keine Ungewis­sheit, da hier mittels einer einfachen statischen Strategie eine perfekte Duplikation möglich ist. Nur unter sehr extremen Annahmen, wie bspw. einer vorübergehenden Nicht-Handelbarkeit des Basiswertes, wäre eine risikolose Duplikation nicht mehr gegeben. Da diese Auflockerung nicht Gegenstand dieser Arbeit ist, wird dieser Derivatetyp vollständig aus der Analyse ausgeschlossen.

Modellrisiko lässt sich wie folgt untergliedern:11Schätzrisiko ist Teil des Modellri­sikos und bezeichnet das Risiko, dass es unmöglich ist freie Parameter des Modells, insbesondere aus vergangenen Daten, korrekt zu schätzen. Dieses Risiko ist ein Grundrisiko, das allen parametrischen Modellen zu eigen ist, sofern die Parameter nicht in der Realität fixiert sind.12Die benötigten Parameter könnten folgenderma­ßen erlangt werden:

Für die Simulation liegt die Verwendung der vorgegeben, prozessgenerierenden Pa­rameter als Hedgeparameter nahe.

Des Weiteren könnten die Parameter auf Basis von Kursreihen geschätzt werden. Wichtig ist hierfür vor allem der gewählte Zeitraum und die Periodizität der Zeitrei­hen. In der Theorie könnten ebenso Zeitreihen mit realisierten Kursen verwendet werden.

Als dritte Methode könnten die Parameter auch implizit aus den Marktpreisen ge­handelter Optionen berechnet werden.

Für alle Methoden, bis auf die letzte, ist zusätzlich eine wichtige Unterscheidung, ob die am Markt verwendeten Parameter zur Festlegung der Preise mit den vom Hedger verwendeten Parametern übereinstimmen. Hier wird Identität der Parameter vorausgesetzt und soweit nicht anders angegeben, die dem Prozess zugrundeliegen­den Parameter verwendet.

Es ist ebenso möglich, dass das verwendete Modell grundsätzlich falsch ist. Dies wird dadurch verursacht, dass einzelne Annahmen oder das gesamte Modell so we­nig mit der Realität im Einklang stehen, dass korrekte Schlussfolgerungen aus dem Modell kaum mehr möglich sind und unweigerlich zu von der Realität abweichen­den Ergebnissen führen.13Weitere Untergliederungen werden im Folgenden außer Acht gelassen. Ungewissheit führt dazu, dass theoretisch perfekte Hedgestrategien nicht mehr dazu geeignet sind eine vollständige Elimination des Risikos herbeizu­führen.

Optionen stellen somit keine redundanten Wertpapiere mehr dar, wie es in der Theo­rie angenommen wird.14Dementsprechend könnte so das hohe beobachtete Han­delsvolumen von Optionen erklärt werden.15Da diese nun Wertpapiere mit distink- ten Auszahlungen darstellen.

2.Grundlagen und Methoden

2.1 Black-Scholes-Modell

In diesem Kapitel werden das Black-Scholes-Modell16und dessen zu Grunde lie­genden Annahmen kurz vorgestellt. Für die eigene Analyse werden diese dann mo­difiziert, um eine verbesserte Abbildung der Realität zu erreichen. Das dabei mög­licherweise entstehende Modellrisko wird im Weiteren analysiert.

Grundsätzlich können zwei verschiedene Modelltypen zur Optionsbewertung unter­schieden werden. Totalmodelle versuchen die individuellen oder aggregierten Ent­scheidungen der Marktteilnehmer direkt abzubilden und hieraus Rückschlüsse auf den Wert von Optionen zu schließen. Exogen vorgegeben werden dabei nur Nut­zenfunktionen und das Modell selbst.17Partialmodelle, wie die hier vorgestellten, beziehen den Marktpreis des Risikos und Zinssätze dagegen exogen.18

Das Black-Scholes-Modell gehört zu der zweiten Gruppe. Es dient dazu Optionen zu bewerten und kann in dieser Funktion auch zur Berechnung von notwendigen Hedgeparametern verwendet werden. Vergleichbar mit einem Binomial-Modell19wird davon ausgegangen, dass es möglich ist, eine Option perfekt alleine mit dem dazugehörigen Basiswert zu duplizieren.

Ein risikoloses Portfolio kann gebildet werden, da die Kurse zumindest kurze Zeit perfekt korreliert sind.20Dieses Portfolio besteht dann aus einer Option und einem Anteil der zugrundeliegenden Aktie. Demnach muss dessen Wert dem einer risiko­losen Nullkupon-Anleihe entsprechen. Andernfalls würden sich Arbitragemöglich­keiten ergeben, wenn ein solches Portfolio eine höhere oder niedrigere Verzinsung erzielen würde.

Eine der Annahmen des Black-Scholes-Modells lautet jedoch, dass es nicht möglich sein darf risikolose Gewinne21 zu erzielen. So ist die Möglichkeit der Bewertung über einen Arbitragevergleich gewährleistet. Jedes rationale Individuum müsste ei­ne Arbitragemöglichtkeit ausnutzen22 und würde dadurch dazu beitragen diese zu eliminieren.23 Daher ist diese Annahme zumindest auf Wertpapiermärkten i. d. R. nicht als kritisch zu sehen.

Weitere Annahmen des Modells werden nun kurz angesprochen.

Leerverkäufe müssen unbeschränkt und friktionslos möglich sein, da es je nach Duplikationsportfolio nötig ist Aktien leer zu verkaufen.24Annahmegemäß muss für diese Art von Verkäufen keine Leihgebühr bezahlt oder eine Marge hinterlegt werden, sondern die Erträge können voll verwendet werden.25

Des Weiteren ist es nötig, dass der Basiswert beliebig teilbar ist, um eine perfekte Übereinstimmung der Zahlungen aus Option und Basiswert zu erhalten.26

Im Standardmodell nach Black-Scholes dürfen die Basiswerte außerdem keine Aus­zahlungen während der Laufzeit der Option aufweisen.27

Außer dem Basiswert und der Option ist noch eine risikolose Anlage- und Kredit­aufnahmemöglichkeit nötig, um den Markt zu vervollständigen.28Außerdem muss der Zinssatz dieser Anlage zusätzlich bekannt, zeitlich konstant und identisch für alle Laufzeiten und Beträge sein. Kreditbeschränkungen könnten dazu führen, dass Hedgetransaktionen nicht mehr durchgeführt werden können. Dies könnte steigen­de Hedgefehler zur Folge haben.29

Transaktionskosten werden ebensowenig berücksichtigt wie Steuern. Bewertete Op­tionen müssen grundsätzlich „europäisch“ sein.30

Die bis jetzt erwähnten Annahmen stellen alle potentielle Modellrisiken und damit Ungewissheit dar, da nicht absehbar ist, inwieweit sich deren Nichteinhaltung auf die Verlässlichkeit der Ergebnisse auswirkt.

Diese Annahmen wurden in der Literatur jedoch bereits ausführlich behandelt. Im Mittelpunkt der vorliegenden Arbeit stehen daher die im Folgende dargestellten Annahmen.

Da die Risikofreiheit nur für einen infinitesimalen Zeitraum gewährleistet ist, muss nach Black-Scholes kontinuierlich eine Anpassung des Anteils des Basiswertes vor­genommen werden. Diese Annahme muss jedoch spätestens dann in Frage gestellt werden, wenn kein kontinuierlicher Kursverlauf vorliegt oder andere praktische Probleme wie Transaktionskosten oder Steuern in Betracht gezogen werden müs­sen. Eine Diskretisierung der Handlungsintervalle ist zwangsläufig die Folge und führt dazu, dass die Option und der Basiswert nicht mehr zu jedem Zeitpunkt per­fekt korreliert sind. So wäre eine perfekte Replikation nicht mehr möglich. Eine Anwendung des Black-Scholes-Modells unter diesen Umständen führt zu Modell­risiko, da ein korrektes Ergebnis nicht mehr gewährleistet ist.31Die Überprüfung der Auswirkungen einer solchen Auflockerung stellt daher einen Hauptteil dieser Diplomarbeit dar.

Des Weiteren gilt die Annahme, dass der Kurs des Basiswertes logarithmisch nor­malverteilt ist, also:32

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mit der zugrundeliegenden Stochastischen Differenzialgleichung33wird sicherge­stellt, dass der zukünftige Kurs S T nur von dem letzten verfügbaren Kurs S 0 ab­hängt. Alle verfügbaren Informationen werden also in diesem Kurs aggregiert.34Die prozentualen Erträge des Basiswertes, die mit dieser Verteilung beschrieben werden sind normalverteilt mit:35

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Resultat ist eine Formel für die Optionsbewertung.36Diese wird benötigt, um Aussagen über die Sensitivität des Optionspreises auf den zu hedgenden Einfluss treffen zu können. Sie werden durch Ableitung des Optionspreises errechnet.

Mehrere empirische Studien37kommen jedoch zu dem Schluss, dass extreme Ereig­nisse häufiger vorkommen, als mit der Normalverteilungsannahme vereinbar wä­ren.38Dies führt zu der Frage, welche Verteilungsannahme für Aktienkurse besser geeignet wäre und wie groß die Ungewissheit ist, die aus einer inkorrekten Annah­me entsteht. Dieser Frage wird in dem zweiten Hauptteil nachgegangen.

Für die folgenden Ausführungen gelten, die in diesem Kapitel genannten Annah­men, bis auf die letzten beiden, fort.

2.2 Diskussion der Zielkriterien und deren Messung

2.2.1 Hedgequalität

Es werden nun mehrere Zielkriterien vorgestellt, um die Hedgequalität von Optio­nen bestimmen zu können. Die beste Hedgequalität wird dann erreicht, wenn die Summe der Hedgefehler stets bei Null liegt - also ein perfekter Hedge vorliegt. Mit steigendem Hedgefehler sinkt die Qualität. Dieser ist definiert als der Betrag in €, um den der Gewinn aus dem Hedgeportolio von dem aus dem Ausgangsportfolio abweicht.

Das Modellrisiko lässt sich auf zwei unterschiedliche Arten darstellen, einmal als Gesamtrisiko einer Position inklusive dem Modellrisiko und zum anderen individu­ell gemessen.39Eine Unterscheidung ist besonders relevant, da ex ante nicht bekannt ist, ob zwischen dem Modellrisiko und anderen Risiken eine Korrelation besteht. So könnte eine negative Korrelation zu einer Verminderung des Gesamtrisikos führen. Um Ergebnisse besser analysieren zu können wird in dieser Arbeit das vom Modell implizierte Marktrisiko durch Hedging eliminiert und nur das Rest-/Modellrisiko gemessen. Die Verteilung der Hedgefehler kann mit Hilfe folgender Kennzahlen analysiert werden.

2.2.2 Risikomessung

μ/σ Kriterium

Dies entspricht dem Erwartungswert und der Standardabweichung der Verteilung. Die Standardabweichung kann auch „standardisiert“ als Variationskoeffizient ver­wendet werden. Es wird ebenfalls häufig die Semivarianz, die nur negative Hedge-

fehler beinhaltet, verwendet. Aus einer Stichprobe mit dem Umfang N bzw. hier einer Simulation berechnen sich die Schätzer für μ und σ wie folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(3)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(4)

Dabei ist zu beachten, dass Gleichung 4, aufgrund der Nichtlinearität der Transfor­mation in die Standardabweichung, nur für die Varianz einen unverzerrten Schätzer liefert.40

Nachteil einer Risikomessung durch μ und σ ist eine sehr starke Aggregation, die dazu führt, dass wichtige Informationen über die Verteilung verloren gehen. Um dies zu umgehen könnten noch zusätzliche Momente in die Analyse miteinbezogen werden. Dazu gehören das dritte und vierte zentrale Moment, die zum einen die Schiefe und die Wölbung der Verteilung angeben.

Value at Risk

Dieses Risikomaß ist definiert als derjenige Verlust, der mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit (1 - σ) innerhalb eines vorgegebenen Zeitraums nicht unter­schritten wird. Dieser wird dort verwendet, wo Ziel ist, einen hohen Verlust mög­lichst sicher auszuschließen. Formal:41

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

F ist dabei die kumulierte Dichtefunktion einer beliebige Verteilung.

Dieses Risikomaß ist in der Bankenregulierung sehr verbreitet, hier müssen Eigen­mittel in Höhe des VaR0,99 vorgehalten werden.42

Mit diesem Maß wird nur eine verlustseitige Risikomessung vorgenommen. Nach­teilig wirkt sich aus, dass wiederum nur mit Hilfe eines einzigen Wertes die Vertei­lungseigenschaften beschrieben werden sollen. Bspw. sind keine Aussagen über die

Höhe des gesamten erwarteten Verlustes, der mit der Wahrscheinlichkeit a maxi­mal eintritt, enthalten. In der tabellierten Darstellung werden Verluste als negative Zahlen aufgeführt. Verbale Ausführungen beziehen sich stets auf den Absolutwert.

2.3 Hedgestrategien

In diesem Abschnitt werden ausgewählte Hedgestrategien vorgestellt, die in den Kapiteln 3 und 4 getestet und verglichen werden.

Diese Arbeit beschränkt sich auf das Modellrisiko von Marktrisikomodellen. Daher werden im Folgenden nur Hedgestrategien mit dem Ziel der Reduktion bzw. der Elimination des Marktrisikos betrachtet.

Ausgangspunkt der Hedgestrategien ist im Folgenden immer eine verkaufte euro­päische Kauf-Option43auf eine Aktie. Zur Absicherung dieser Option wird ein Hed­geportfolio, also ein Portfolio, das dazu dient diese Option zu replizieren, errichtet.

Als Grundlage dient dabei die nicht weiter bestimmte Funktion des Call-Preises und dessen analytisch oder nummerisch berechneten partiellen Ableitungen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

K und T sind, zumindest bei Standardoptionen, vertraglich bestimmt und somit nicht variabel.

Grundsätzlich lassen sich zwei Arten von Hedgestrategien unterscheiden, zum einen dynamische Strategien, die in regelmäßigen Abständen überprüft und gegebenen­falls angepasst werden müssen. Zum anderen statische Strategien, die einmal auf­gesetzt dazu führen, dass das Ausgangsportfolio bis zu einem bestimmten Zeitpunkt abgesichert ist.

2.3.1 Dynamische Hedgestrategien Naive Strategie

Eine verkaufte Option kann in einem Modell ohne Transaktionskosten und mit kon­tinuierlichen Aktienkursen perfekt gehedgt werden, wenn man den dazugehörigen Basiswert genau dann zum Kurs K kauft, wenn dessen Kurs den Ausübungskurs überschreitet bzw. genau dann verkauft, wenn er den Ausübungskurs unterschreitet.

Durch diese Strategie ist sichergestellt, dass der Optionsemittent/Hedger im Fällig­keitszeitpunkt genau dann im Besitz einer Aktie ist, wenn die Option rationalerwei­se ausgeübt wird.

Diese Strategie ist einfach strukturiert und ist daher leicht anwendbar. Jedoch zei­gen sich schnell theoretische Schwächen. Zusätzlich zu der Annahme, dass der Ak­tienkurs einem kontinuierlichen Prozess folgt, muss man bei dieser Hedgestrategie annehmen, dass die Aktie immer exakt zum Ausübungskurs K ge- oder verkauft wird. Diese Annahme ist jedoch zweifelhaft, da es unmöglich ist vorherzusehen in welche Richtung der Kurs sich von K aus weiterentwickeln wird. Die Aktie muss daher stets bei einem Kurs von K ± e ge- bzw. verkauft werden. Damit vergrößert jede Transaktion, egal ob Kauf oder Verkauf, den Hedgefehler der Strategie um e.

Diskrete Handlungsintervalle könnten den Hedgefehler erhöhen, müssen dies je­doch nicht. Bspw. bei einem Kursverlauf, der sich, zumindest für die diskreten Handlungszeitpunkte, immer über oder unter dem Ausübungskurs befindet.

Sprünge im Kurs des Basiswertes erhöhen den Hedgefehler zusätzlich immer dann, wenn der Sprung dazu führt, dass der Aktienkurs den Ausübungskurs durchschrei­tet.

Transaktionskosten würden sich ebenfalls negativ auf die Leistungsfähigkeit dieser Strategie auswirken, da unter Umständen eine große Zahl Transaktionen nötig sein könnte.

Die Naive Hedgestrategie kann als eine Form des Delta-Hedgings interpretiert wer- den.44Hier wird von der Auszahlungsfunktion der Option am Ende der Laufzeit T in Abhängigkeit des Aktienkurses ausgegangen und von dieser dann die Stei­gung (0 oder 1) als Delta verwendet.45Mit dieser Strategie wird also implizit die Chance vernachlässigt, dass der Ausübungskurs bis zum Ende der Laufzeit noch über-/unterschritten werden könnte.

Diese Strategie kann auch als Stop-Loss Strategie gesehen werden. Der kritische Kurs ist dabei der Ausübungskurs. In diesem Sinne würde diese Strategie wohl immer dann angewandt werden, wenn die subjektive Wahrscheinlichkeit einer, für den Entscheider, positiven Kursentwicklung hoch ist.

Delta-Hedging

Die Delta-Hedging-Strategie wurde oben bereits kurz erläutert, sie liegt dem Black- Scholes-Modell zugrunde. Sie dient dazu mit einer Option und dem dazugehörigen Basiswert eine risikolose Position zu erzeugen - um diese dann bewerten zu können.

Dies ist möglich, da sowohl der Option als auch dem Basiswert dasselbe Risiko, nämlich das einer Kursänderung, anhaften. Dadurch ist in jedem infinitesimalen Zeitintervall eine perfekte Korrelation zwischen der Kursentwicklung des Basis­wertes und der Entwicklung der Option gegeben.46

Als Delta (Δ) wird der Anteil des Basiswertes bezeichnet, der in das Portfolio ein­geht. Das Delta entspricht der partiellen Steigung der Funktion C(St, •) des Opti­onswertes. Also:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das bedeutet, eine infinitesimale Kursänderung um e führt zu einer Steigerung des Aktienwertes im Portfolio i. H. v. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], der Optionswert steigt gleichzeitig um [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Das Delta wird verwendet, da Änderungen des Aktienkurses einen sehr großen Ein­fluss auf den Wert einer Option haben.

Es handelt sich hierbei um eine dynamische Strategie, da der Anteil des Basiswertes kontinuierlich an das aktuelle Delta angepasst werden muss, um die Risikofreiheit zu bewahren.

Manche Autoren verwenden eine modifizierte Delta-Hedging-Methode, bei der die Hedgeintervalle nicht mehr nach dem Kalender bestimmt sind.47Bei dieser wird immer dann gehedgt, wenn der kumulierte Hedgefehler eine festgelegte Schranke überschreitet.

Vorteil dieser Methode ist, dass immer und nur dann gehedgt wird, wenn der Hedge­fehler droht zu groß zu werden. Daher werden die Hedgefehler tendenziell geringer sein als die einer „Kalender“-Methode mit der gleichen Anzahl an Hedgezeitpunk­ten. Im Umkehrschluss ist es möglich bei gleichbleibendem Risiko die Zahl der Transaktionen zu senken. Diese Methode wird dann eingesetzt, wenn die Zahl der Transaktionen auch ein Zielkriterium darstellt, bspw. im Fall von Transaktionsko­sten.

Bei Erfüllung aller Annahmen des Black-Scholes-Modells ist eine, über die eben angesprochene Hedgestrategie hinausgehende Absicherung nicht nötig. Da die Vor­aussetzung des Delta-Hedgings jedoch in der Praxis nicht realisierbar ist, werden zusätzliche Möglichkeiten gesucht, um auch in einem solchen Fall einen möglichst perfekten Hedge zu erreichen.

Gamma-Hedging

Das Gamma ist definiert als Steigung des Ac oder die Krümmung der Funktion des Call-Preises, also:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ein Gamma-neutrales Portfolio (rPF = 0) kann ohne dynamische Anpassung per­fekt durch eine statische Strategie gehedgt werden.48Änderungen im Aktienkurs führen dann nur noch zu linearen Änderungen im Preis der Option.

Ein Gamma-neutrales Portfolio kann durch Hinzunahme einer zweiten Option er­zeugt werden.49Diese Option muss nicht notwendigerweise denselben Ausübungs­kurs oder dieselbe Laufzeit haben, einzig der Basiswert muss identisch sein. Das Gamma des Gesamtportfolios berechnet sich dann aus den Gammas der beiden Op­tionen.50Da diese zweite Option jedoch auch ein [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] hat kann erst danach ein Delta-neutrales Portfolio mit Hilfe des Basiswertes generiert werden.

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (9)

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (10)

Wobei N die Zahl der Gamma-Positionen im Gesamtportfolio darstellt.

Der Wert des Portfolios (V) setzt sich dann zusammen aus:

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten](11)

w wird so gewählt, dass das Gamma der Gesamtposition Null ist.

Diese Gamma-Neutralität kann jedoch, ebenso wie die Delta-Neutralität oben nur für einen infinitesimalen Zeitraum gelten, da sich die Kurse und damit auch die Ableitungen ständig ändern. Daher ist auch hier eine regelmäßige Anpassung des Gesamtportfolios unabdingbar.

Vega-Hedging

Vega-Hedging stellt ebenfalls eine in der Praxis51verbreitete Art der zusätzlichen Absicherung (zum Delta-Hedging) dar. Vega-Hedging wäre insbesondere dann sinn­voll, wenn die Volatilität des Aktienkurses nicht wie angenommen, eine Konstante wäre.

„Vega“/v ist definiert als:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Vega-Neutralität führt dazu, dass das Portfolio gegen Änderungen in der Volatilität geschützt ist. Die Vorgehensweise bei der Errichtung eines Vega-neutralen Portfo­lios geschieht analog zur Gamma-Methode.

Natürlich können auch noch andere Ableitungen der Funktion des Call-Preises als die eben genannten berechnet werden somit ist es auch möglich Preisänderungen durch Änderungen in r und T abzusichern.

2.3.2 Statische Hedgestrategien

Statische Hedgestrategien werden im Zeitpunkt t — 0 aufgesetzt und müssen danach bis zum Ende der Laufzeit des Hedges (T' )52nicht mehr adjustiert werden. Vorteil einer solchen Strategie könnte bspw. die geringere Zahl an Transaktionen sein, da keine Anpassungen während der Laufzeit nötig sind und eine damit einhergehende Reduktion der Komplexität.

Naive Hedgestrategien

Das Glattstellen der Optionsposition mit Hilfe einer Gegenposition mit identischen Auszahlungen stellt wohl den einfachstmöglichen Hedge dar. Sofern die Daten der Optionen exakt übereinstimmen ist die Position beliebig lange und zu jedem Zeit­punkt perfekt gehedgt. Es wäre ebenfalls möglich mit nicht exakt übereinstimmen­den Optionen zu hedgen, dann könnte es jedoch zu einem Hedgefehler kommen. Ein Optionsemittent könnte sich also bspw. an der Börse oder OTC mit einer Ge­genposition eindecken, sofern die Liquidität gegeben ist. Er würde also mehr als Makler denn als Emittent fungieren. Voraussetzung dafür ist wiederum, dass es kei­ne Transaktionskosten, insbesondere in Form einer Geld/Brief-Spanne zu Lasten des Hedgers, gibt.

Eine weitere Strategie stellt die Absicherung über die Put-Call-Parität53dar. Es wird hierfür ein Portfolio aus bspw. einem Call short, und einem Put long und einer Aktie long gebildet.54Dabei wird der Umstand ausgenutzt, dass die Auszahlung eines sol­chen Portfolios am Ende der Laufzeit genau dem risikolosen Zinssatz entsprechen, sofern keine Arbitrage möglich ist.

Diversifikation

Mit Hilfe der Diversifikation ist es möglich unsystematische Risiken aus einem Ge­samtportfolio zu eliminieren. Diese sind unkorreliert mit den Risiken anderer Wert­papiere. Eine Mischung dieser Werte in einem Portfolio führt dazu, dass sich das Gesamtrisiko verringert. Insbesondere kann man durch Aufbau eines Optionsport­folios das Modellrisiko diversifizieren, unter der Annahme, dass dieses Risiko nicht systematisch ist.55

Um diese Strategie umzusetzen würde ein Optionsscheinemittent also nicht nur ei­ne, sondern sehr viele (unendlich) Optionen auf unterschiedliche Basiswerte emit­tieren. Trotz der Diversifikation muss für das verbleibende Restrisiko noch Delta­Hedging betrieben werden. Für jeden Basiswert wird dabei das Delta berechnet und dann entsprechend viele Basiswerte ge- oder verkauft. Bei Kauf aller am Markt verfügbaren Aktien wird eine maximale Absicherung erreicht.

Hedging mit einem Optionskontinuum

Es ist möglich eine Option mit einem Kontinuum an kürzer laufenden Optionen perfekt zu hedgen.56Die Errichtung eines Portfolios mit einer unendlichen Zahl an kürzer laufenden Optionen stellt dabei eine Hürde in der Praxis dar. Diese ist jedoch durch Inkaufnahme von Hedgefehlern umgehbar, indem systematisch nur vereinzel­te Optionen gekauft werden. Bereits ein Hedgeportfolio mit nur drei Optionen führt zu besseren Ergebnissen als die Delta-Hedging-Methode.

2.4 Einführung in die Simulation

2.4.1 Monte-Carlo-Simulation

Als Untersuchungsmethode wird in dieser Arbeit die Simulation angewandt. In den Kapiteln 3 und 4 findet dabei eine Monte-Carlo-Simulation Anwendung, um Aus­sagen über Verteilungen von Hedgefehlern zu erreichen, die sonst analytisch nicht oder nur schwer zu errechnen sind.

Alle Schritte werden am Computer simuliert und durchgeführt, es werden keine empirischen Daten verwendet. Um die Vergleichbarkeit mit empirischen Daten zu gewährleisten wird auf realistische Parameter Wert gelegt. Vorteil eines solchen Vorgehens ist, dass die Simulationsbedingungen beliebig angepasst und so ceteris- paribus Versuche unternommen werden können.

Ziel ist es, Ausprägungen eines stochastischen Prozesses, der die Bewegungen einer Aktie modelliert, zu simulieren. Der Prozess, der von Black-Scholes angenommen wird und hier als Grundlage dient, ist eine geometrisch Brownsche Bewegung. Sie wird durch folgende stochastische Differentialgleichung beschrieben:57

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten](13)

dz entspricht dabei einer einzelnen Stichprobe aus einer Standardnormalverteilung.58Es wird AlnS simuliert, da dies für diskrete At bessere Ergebnisse liefert.59Die Si­mulation wird stets im physischen und nicht im risikoneutralen Maß durchgeführt.

Die Markovbedingung ist erfüllt. Ein zukünftiger Kurs St+e hängt nur von dem Kurs der Vorperiode ab. Diese Eigenschaft ist bspw. nötig um eine schwache Markteffi­zienz sicherzustellen.60

Zur Erzeugung der standardnormalverteilten Zufallszahlen werden im ersten Schritt gleichverteilte Zufallszahlen erzeugt. Dazu stehen eine Reihe von Methoden zur Verfügung, die sich in drei Kategorien einteilen lassen. Echte Zufallszahlen können zum Beispiel aus physikalischen Phänomenen stammen. Jedoch ist die Erzeugung meist langsam und aufwendig. Pseudo-Zufallszahlen werden mit einem mathema­tischen Algorithmus erzeugt und sind daher deterministisch und nicht zufällig. Die Güte eines solchen Algorithmus ist jedoch ex ante bestimmbar und daher werden diese Zufallszahlen auch häufig verwendet. Quasi-Zufallszahlen werden ebenfalls anhand einer Rechenvorschrift erzeugt. Vorteile ergeben sich, da die Verteilung von Quasi-Zufallszahlen sehr homogen ist und diese sich daher speziell für die Monte- Carlo-Simulation eignen.61Aufgrund der weiteren Verbreitung und der einfacheren Erzeugbarkeit von Pseudo-Zufallszahlen werden jedoch im Folgenden diese ver­wendet.

Aus dieser Zahlenreihe werden dann mit Hilfe der Inversions-Methode Zufallszah­len, die der gesuchten Verteilung folgen, erzeugt.62

Ergebnis ist, ausgehend von dem heutigen Kurs St, eine Kursänderung AS, die bis zum Zeitpunkt t + At stattfindet wird. Um einen Kursverlauf zu erhalten werden so viele Kurse wie nötig erzeugt.

Im letzten Schritt wird der Kursverlauf dazu verwendet die oben erläuterten Hedge­strategien daran zu testen und Hedgefehler zu bestimmen. Bei einer dynamischen Strategie wird zu jedem Handlungszeitpunkt eine Anpassung des Hedgeportfolios vorgenommen. Bei beiden Strategie-Typen werden zu jedem Handlungszeitpunkt die Hedgefehler berechnet und kumuliert.

Durch mehrfache Wiederholung ist das Ergebnis dieser Simulation eine Verteilung von kumulierten Hedgefehlern. Diese wird nachfolgend weiter analysiert.

2.4.2 Historische Simulation

Die historische Simulation stellt die zweite verwendete Simulationstechnik dar. Hier dienen historische, statt simulierte Kurse als Grundlage und wie bei obiger Methode können die Hedgestrategien daran getestet werden.

[...]


1 Vgl. Merton (1998), S. 342 und Brown/Toft (2002).

2 Vgl. Branger/Schlag (2004).

3 Für eine ausführlichere Aufstellung vgl. bspw. Figlewski (1997).

4 Optionen lassen sich noch weiter in amerikanische/europäische Optionen und Optionen/Options­scheine untergliedern. Eine Definition hierfür ist in Merton (1973), S. 142 f. zu finden.

5 Diese Voraussetzungen sind modellabhängig. Für das Black-Scholes-Modell muss es sich um ein handelbares Gut handeln.

6 Vgl. Merton (1973), S. 156 ff.

7 Bspw. um eine analytische Lösungsmöglichkeit zu ermöglichen.

8 Am Beispiel des Black-Scholes-Modells kann man dies leicht erkennen (vgl. Kapitel 2.1).

9 Dies setzt eine weite Definition der Ungewissheit dar. Für andere, engere Definitionen vgl. Epstein/Wang (1994) oder Eisenführ/Weber (2003).

10 Vgl. Figlewski (1997), S. 20.

11 Vgl. hier und im Folgenden Figlewski (1997), S. 19 ff. bzw. darauf aufbauend Branger/Schlag (2004) oder Crouhy/Galai/Mark (1999).

12 Beispiele hierzu siehe in Kapitel 2.1.

13 Vgl. Figlewski (1997) oder Branger/Schlag (2004).

14 Vgl. Kapitel 2.1, S. 5.

15 Vgl. Buraschi/Jiltsov (2005).

16 Vgl. hier und im Folgenden Black/Scholes (1973).

17 Vgl. Branger/Schlag/Schneider (2005a) zur Entwicklung eines Totalmodells.

18 Bspw. hier aus einem Arbitragevergleich.

19 Vgl. Cox/Ross/Rubinstein (1979).

20 Auf das Vorgehen bei der Duplikation wird in Kapitel 2.3.1 genauer eingegangen.

21 Bspw. in Form einer free-lottery oder free-lunch.

22 Voraussetzung dafür ist lediglich eine monoton steigende Nutzenfunktion.

23 Beispiel: Wenn das Portfolio eine höhere Verzinsung erwirtschaftet als den risikolosen Zinssatz könnte man das Portfolio kaufen und per Kredit finanzieren, um so einen risikolosen Gewinn über den risikolosen Zinssatz hinaus zu erzielen. Da die Nachfrage nach dem Portfolio und dem Kredit steigt, würden deren Preise zunehmen, dadurch würde die Arbitragemöglichkeit eliminiert werden.

24 Um einen Call long oder einen Put short zu hedgen ist es nötig, Leerverkäufe zu tätigen.

25 Diese Annahme wurde von Ofek/Richardson/Whitelaw (2004) analysiert.

26 Vgl. Figlewski (1989), für Modellrisiko, das entsteht, wenn keine perfekte Teilbarkeit herrscht.

27 Diese Annahme wurde bereits von Merton (1973), S. 151 ff. und Cox/Ross/Rubinstein (1979) analysiert und gelockert.

28 Vgl. Black/Scholes (1973), S. 640.

29 Vgl. Bondarenko u. a. (2002).

30 Auflockerung durch Merton (1973).

31 Dies entspricht einem Basisrisiko nach Culp (2004), S. 355 ff.

32 Vgl. Hull (2003), S. 235.

33 Vgl. Gleichung 13, S. 16.

34 Dies entspricht der Markov-Bedingung.

35 Vgl. Hull (2003), S. 236.

36 Vgl. Black/Scholes (1973), S. 644.

37 Vgl. Ball/Torous (1985), Beckers (1981) und Merton (1976).

38 Die Enden der Verteilungsdichte müssten also eine größere Fläche unter sich einschließen.

39 Vgl. Branger/Schlag (2004), S. 6.

40 Vgl. Green/Figlewski (1999), S. 1487.

41 Vgl. Vocke (2005), S. 11.

42 Vgl. zur Definition Hartmann-Wendels/Pfingsten/Weber (2004), S. 337 und zur Verwendung S.

43 Ein Call short soll keine Beschränkung der Allgemeinheit darstellen und wird gewählt, um einen Optionsemittenten korrekt zu modellieren (vgl. Kapitel 1).

44 Vgl. nächster Abschnitt.

45 Dies könnte eine Unteilbarkeit des Basiswertes bei einem Hedge einer einzigen Option als Ursa­che haben.

46 Für infinitesimale Kursänderungen entspricht die Steigung des Basiswertanteils im Portfolio ge­nau der Steigung der Funktion des Optionswertes. Es wird unterstellt, dass ein funktionaler Zu­sammenhang zwischen dem Optionspreis und dem Aktienkurs besteht (vgl. Merton (1973), S. 160).

47 Vgl. Figlewski (1989) und Branger/Breuer/Schlag (2006).

48 Strategie: Call short, AC Aktien long: da TPF = 0 ändert sich AC nicht ^ statisch.

49 Vgl. hier und im Folgenden Hull (2003), S. 312 ff. Es ist jedoch auch möglich jedes andere Wertpapier mit einem Gamma ungleich Null zu verwenden.

50 Das Gamma der Aktie und der risikolosen Anleihe ist Null.

51 Vgl. Hull (2003), S. 319.

52 Wobei T ' < T.

53 Vgl. Merton (1973), S. 156, Hull (2003), S. 174 f.

54 Die Parameter des Puts und des Calls müssen sich dabei entsprechen.

55 Vgl. Black/Scholes (1973) über die Diversifizierbarkeit des Risikos durch diskrete Handlungs­zeitpunkte und Merton (1976) für das Sprungrisiko.

56 Vgl. Carr/Wu (2004).

57 Verteilung von AS siehe Gleichung 2, dabei wird der Driftterm nach Itos-Lemma angepasst.

58 Demnach beschreibt diese Differenzialgleichung einen Wiener-Prozess.

59 Vgl. Hull (2003), S. 411.

60 Schwache Markteffizienz bedeutet, dass alle Informationen, die in den vergangenen Kursen ent­halten sind, bereits im heutigen Kurs eingepreist wurden.

61 Vgl. Hull (2003), S. 416 f.

62 Vgl. Hull (2003), S. 412 f. für eine alternative Methode.

Details

Seiten
80
Jahr
2006
Dateigröße
747 KB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v157219
Institution / Hochschule
Universität Mannheim – Lehrstuhl für Finanzierung
Note
2.0
Schlagworte
Hedging Ungewissheit

Autor

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Titel: Hedging bei Ungewissheit