Optionsbepreisung für Garch-Prozesse

Inhaltsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

SymbolverzeichnisV

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnisse

1. Einleitung
1.1 Problemstellung
1.2 Aufbau der Arbeit

2. Optionen und ihre Bewertung
2.1 Optionen
2.2 Optionsbewertung
2.2.1 Das Black/Scholes-Modell
2.2.2 Empirische Kritikpunkte am Black/Scholes-Modell

3. GARCH-Modelle
3.1 Das symmetrische GARCH-Modell
3.2 Asymmetrische GARCH-Modelle
3.3 Schätzen und Testen

4. Das GARCH-Optionspreismodell
4.1 Das Grundmodell
4.2 Das Bewertungsproblem
4.3 Die risikoneutrale Bewertung
4.4 Das GARCH-Options-Delta
4.5 Vergleich mit dem Black-Scholes-Modell
4.6 Numerische Ergebnisse

5. Analytische Approximation von GARCH-Optionspreise
5.1. Der Ansatz von Duan et al. (1999)
5.1.1 Das Grundmodell
5.1.2 Die analytische Approximation
5.1.3 Numerische Ergebnisse
5.2 Analytische Approximation für GJR-GARCH und EGARCH
5.2.1 Numerische Ergebnisse

6. Konvergenz zum zeit-stetigen Limit

7. Zusammenfassung und Ausblick

8. Abbildungen und Tabellen

9. Literaturverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1 Auszahlungsstrom einer europäischen Call-Option mit einem Ausübungspreis von K=100 in Abhängigkeit vom Preis des Underlying im Fälligkeitszeitpunkt T (Eigene Erstellung)

Abbildung 2 Auszahlungsstrom einer europäischen Put-Option mit einem Ausübungspreis von K=100 in Abhängigkeit vom Preis des Underlying im Fälligkeitszeitpunkt T (Eigene Erstellung)

Abbildung 3 Kontinuierliche tägliche Daimler-Benz-Rendite-Verteilung und angepasste Normalverteilung (Andres (1997), S. 11)

Abbildung 4 Kontinuierliche tägliche Daimler-Benz-Rendite und angepasste Normalverteilung (Andres (1997), S. 35)

Abbildung 5 Negative Korrelation von DAX und Volatilität (Pape und Merk (2003), S. 9)

Abbildung 6 Implizite Volatilitäten der am 22.November 1994 an der DTB gehandelten DAX-Optionen für verschiedene Ausübungspreise und einen Indexstand von 2075 (Schmitt (1995), S.16)

Abbildung 7 Niedrige bedingte Volatilität und ihre Effekte auf die anualisierte implizite Volatilität des GARCH-Optionspreises (Duan (1995), S. 24)

Abbildung 8 Hohe bedingte Volatilität und ihre Effekte auf die anualisierte implizite Volatilität des GARCH-Optionspreises (Duan (1995), S. 24)

Tabellenverzeichnisse

Tabelle 1 S&P100 Index Call-Optionspreisverzerrungen als Prozentsatz des Black/Scholes-Preises (Duan (1995), S. 21)

Tabelle 2 S&P100 Index Call-Options-Deltaverzerrungen als Prozentsatz des Black/Scholes-Preises (Duan (1995), S. 22)

Tabelle 3 Anzahl pro Sekunde berechneter Optionspreise (Duan et al. (2004), S. 60).

1. Einleitung

1.1 Problemstellung

Durch steigende internationale Handelsvolumina und die vermehrte Nachfrage nach Absicherungsmöglichkeiten zukünftiger Zahlungsströme hat die Bedeutung der Optionsmärkte in der Vergangenheit immer mehr zugenommen. Als Anfang der 70er Jahre der Handel von Derivaten im großen Umfang startete, bekam die Bewertung von Optionen auch in der wissenschaftlichen Forschung und Diskussion eine immer stärke Bedeutung.¹ Fast zeitgleich erschienen die grundlegenden und wegweisenden Arbeiten von Black/Scholes (1973) und Merton (1973) zur Bewertung von Aktienoptionen. Das auf Arbitrage-Argumenten aufbauende Black/Scholes-Modell hat sich aufgrund der leichten und schnellen Berechenbarkeit des Optionspreises mittlerweile als Standardverfahren zur Optionsbewertung durchgesetzt, obwohl zahlreiche empirische Analysen verschiedene systematische Bewertungsfehler offenbaren.² Die wesentlichen Schwächen einer Optionsbewertung nach Black/Scholes liegen in der Unterbewertung von Optionen aus-dem-Geld³, der Unterbewertung von Optionen auf Wertpapiere mit niedriger Volatilität⁴, der Unterbewertung von Optionen mit kurzen Laufzeiten⁵ und der U-förmige Verlauf der impliziten Volatilität in Relation zum Ausübungspreis⁶. Die Gründe für diese Fehlbewertungen resultieren im Wesentlichen aus den restriktiven Annahmen einer Normalverteilung der Aktienrenditen sowie der im Zeitablauf konstanten Volatilität.

Aufgrund dieser systematischen Bewertungsfehler wurden verschiedene Optionspreismodelle entwickelt, die sich insbesondere der Heteroskedastizität von Aktienrenditen widmen. Diese Optionspreismodelle lassen sich in zwei Klassen teilen.⁷ Die Klasse der Deterministischen Volatilitätsmodelle unterstellt für die Volatilität einen deterministischen Zusammenhang mit dem Kurs des Underlyings und/oder der Zeit. Zu den prominentesten Deterministischen Volatilitätsmodellen gehören das Constant-Elasticity-of-Variance-Modell von Cox/Ross (1975), das Compound-Optionspreismodell von Geske (1983) und das Displaced- Diffusion-Modell von Rubinstein (1983). In der Klasse der sogenannten Stochastischen Volatilitätsmodelle folgt die Volatilität einem eigenständigen stochastischen Diffusionsprozess. Zu den bekanntesten zeit-stetigen Stochastischen Volatilitätsmodellen gehören die Modelle von Hull/White (1987), Johnson/Shanno (1987), Scott (1987), Wiggins (1987) und Stein/Stein (1991). Die Anfang der achtziger Jahre durch Engle (1982) und Bollerslev (1986) eingeführten ARCH- (Autoregressive Conditional Heteroskedastic) und GARCH-Modelle (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedastic) gehören zur Klasse der zeit-diskreten Stochastischen Volatilitätsmodelle. Seit ihrer Einführung existiert ein Ansatz, der konzeptionell in der Lage ist, eine zeitveränderliche Varianz zu modellieren. ARCH- und GARCH-Modelle gehen von einer leptokurtischen Verteilung der Renditen aus, die im Vergleich zur allgemein üblichen Normalverteilungsannahme mehr Masse an den Enden und in der Mitte der Verteilung konzentriert. Diese Eigenschaften machen GARCH-Modelle auch für die Optionsbewertung interessant.

Der erste, der das GARCH-Modell mit der Optionspreistheorie vereinte, war Duan (1995). Duan entwickelt ein Optionspreismodell, in dem das Underlying einem GARCH-Prozess von Bollerslev (1986) folgt. Durch die Änderung der Annahme einer im Zeitablauf konstanten Renditevarianz zugunsten einer GARCH-Varianzstruktur verliert die arbitragetheoretische Fundierung des Risikoneutralen Bewertungsansatzes von Cox/Ross (1976) ihre Gültigkeit, weshalb die Risikoneutralisierung der Bewertung gesondert nachzuweisen ist. Dazu leitet Duan eine lokale risikoneutrale Bewertung her, die ihm erlaubt Optionspreise als diskontierte Erwartungswerte zu berechnen. Ein bedeutender Nachteil des GARCH-Optionspreismodells ist, dass diese Erwartungen nicht analytisch ausgedrückt werden können und zuerst durch speicherintensive und/oder zeitaufwendige numerische Verfahren wie die Monte-Carlo-Simulation evaluiert werden müssen.

Bezüglich numerischer Verfahren zur beschleunigten Bestimmung des Optionspreises im GARCH-Optionspreismodell haben sich innerhalb kürzester Zeit beachtliche Fortschritte ergeben. Duan/Simonato (1998) entwickelten eine Empirical-Martingale-Simulation, Ritchken/Trevor (1999) einen Lattice-Approach und Duan/Simonato (1999) einen Markov-Chain-Approach. Diese Ansätze sind jedoch ebenfalls speicherintensiv und/oder zeitaufwendig. Für empirische Studien und die Anwendung in der Praxis ergibt sich daher der Bedarf nach einer analytischen Approximationsmethode zur schnellen und effizienten Optionsbewertung. Duan et al. (1999) entwickeln eine schnelle und akkurate analytische Approximation europäischer Optionspreise im GARCH-Modellrahmen. Dieser Ansatz ist im Gegensatz zum konkurrierenden Ansatz von Heston/Nandi (2000) nicht auf ein bestimmtes GARCH-Modell beschränkt und wird von Duan et al. (2006) auf die populären GJR-GARCH- und EGARCH-Modelle erweitert.

Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist die Entwicklung und Evaluierung des GARCH- Optionspreismodells von Duan (1995) und seiner Weiterentwicklungen aufgrund der empirischen Kritik am Black/Scholes-Modell.

1.2 Aufbau der Arbeit

Im zweiten Kapitel wird die theoretische Basis für das Verständnis der Optionsbewertung gelegt. Es wird kurz auf die Grundprinzipien von Optionen sowie auf die allgemeine Problemstellung bei der Bewertung europäischer Optionen eingegangen. Bezüglich der Optionsbewertung liegt die Fokussierung auf dem Black/Scholes-Modell. Anhand von Beobachtungen empirischer Studien von Finanzmärkten werden dann anschließend die im Black/Scholes-Modell getroffenen Annahmen diskutiert und evaluiert.

Gegenstand des dritten Kapitels ist die Darstellung des GARCH-Modells von Bollerslev (1986) und einiger für den weiteren Verlauf dieser Arbeit relevanter Varianten. Um die Grundlagen für das spätere Verständnis des GARCH-Optionspreismodells zu legen, werden die wichtigsten statistischen Eigenschaften des GARCH-Modells diskutiert. Des Weiteren wird gezeigt, inwieweit GARCH-Modelle in der Lage sind, die aus empirischen Studien resultierenden Kritikpunkte am Black/Scholes-Modell zu erfassen.

Gegenstand des vierten Kapitels ist die Vereinigung des GARCH-Modells mit der Optionspreistheorie. Es wird das GARCH-Optionspreismodell von Duan (1995) vorgestellt und anhand numerischer Ergebnisse mit dem Black/Scholes-Modell verglichen und evaluiert.

Das fünfte Kapitel widmet sich der schnellen und effizienten analytischen Approximation europäischer GARCH-Optionspreise. Dabei steht der Ansatz von Duan et. al. (1999) sowie dessen Erweiterung auf die populären GJR-GARCH- und EGARCH-Modelle durch Duan et al. (2006) im Mittelpunkt. Anhand numerischer Ergebnisse wird anschließend die Performance der analytischen Approximation evaluiert.

Das sechste Kapitel beschäftigt sich mit der Konvergenz des GARCH-Optionspreises gegen den bivariaten Diffusionsmodell-Optionspreis und dessen Konvergenzgeschwindigkeit. Es wird gezeigt, dass sich das zeit-diskrete GARCH-Modell zur Approximation von zeit-stetigen Stochastischen Volatilitätsmodellen eignet und welche Vorteile daraus in Bezug auf empirische Studien resultieren.

Das siebte Kapitel fasst die Ergebnisse dieser Arbeit zusammen und gibt einen Ausblick auf zukünftige Entwicklungen.

2. Optionen und ihre Bewertung

Im Folgenden werden kurz die Grundprinzipien von Optionen und deren Bewertung erläutert, um so die theoretische Basis für das Verständnis des dieser Arbeit zugrundeliegenden GARCH- Optionspreismodells von Duan (1995) zu legen. Dabei wird besonders auf die Optionsbewertung im Rahmen des Black/Scholes-Modells eingegangen. Anschließend werden die seit der Einführung des Black/Scholes-Modells gemachten empirischen Beobachtungen diskutiert, die Zweifel an der Güte einer Optionsbewertung durch das Black/Scholes-Modell wecken.

2.1 Optionen

Optionen sind Derivate, also abgeleitete Wertpapiere.⁸ Dabei hängt der Preis eines Derivates direkt von dem eines anderen Wertpapiers (z.B. einer Aktie, einem Aktienindex, einer Fremdwährung, etc.) oder vom Wert eines realen Objekts (z.B. einem Rohstoff) ab. Der einer Option zugrunde liegende Wert wird im Folgenden mit Underlying bezeichnet. Optionen lassen sich in Kauf- (Call) und Verkaufs- (Put) Optionen unterscheiden. Eine Standard-Call-Option (Plain-Vanilla-Call-Option) gibt ihrem Inhaber das Recht, aber nicht die Pflicht, das Underlying zu einem festgelegten Preis, dem Ausübungspreis, an einem festen Zeitpunkt bzw. während eines bestimmten Zeitraumes vom Stillhalter (Verkäufer) der Option zu kaufen. Eine Standard-Put- Option gibt ihrem Inhaber das Recht, aber nicht die Pflicht, das Underlying zum Ausübungspreis an einem festen Zeitpunkt bzw. während eines bestimmten Zeitraumes vom Stillhalter zu verkaufen. Das im Optionskontrakt festgelegte Verfallsdatum wird im Folgenden als Fälligkeit bzw. Fälligkeitsdatum bezeichnet. Als europäische Optionen werden solche bezeichnet, bei denen die Ausübung der Option nur am Ende der Laufzeit möglich ist. Amerikanische Optionen können dagegen jederzeit während ihrer gesamten Laufzeit bis zur Fälligkeit ausgeübt werden. Desweiteren wird zwischen vier verschiedenen Typen von Marktteilnehmern auf Optionsmärkten unterschieden: Käufer eines Calls (Long Call), Verkäufer eines Calls (Short Call), Käufer eines Puts (Long Put) und Verkäufer eines Puts (Short Put). Als Motive für den Handel mit Optionen sind im Allgemeinen Hedging, Spekulation und Arbitrage zu nennen. Beim Hedging werden Risiken unsichererer zukünftiger Zahlungsströme durch Optionen abgesichert. Durch Spekulation wird mit einer Option auf zukünftige Marktentwicklungen gewettet, die im ungünstigsten Fall zum Totalverlust des eingesetzten Kapitals führen können. Arbitrage bedeutet, durch den Handel mit Optionen einen risikolosen Gewinn erzielen zu können.

Eine europäische Call-Option mit Ausübungspreis K hat zur Fälligkeit T in Abhängigkeit des Preises des Underlyings S_Teinen Wert von

C_T= max{S_T− K, 0}. (1)

Analog ergibt sich für eine europäische Put-Option mit Ausübungspreis K zur Fälligkeit T in Abhängigkeit des Preises des Underlyings ein Wert von

P_T= max{K − S_T, 0}. (2)

Anhand von Abbildung 1 und Abbildung 2 werden die Auszahlungsströme im Fälligkeitszeitpunkt T für eine europäische Call- und Put-Option mit einem Ausübungspreis von K=100 noch einmal graphisch verdeutlicht. Wenn der Ausübungspreis K=100 für die Call-Option über bzw. für die Put-Option unter dem Marktpreis des Underlying liegt, dann verfällt die Option wertlos und der Inhaber der Option erleidet einen Totalverlust des für den Kauf der Option eingesetzten Kapitals.

2.2 Optionsbewertung

Während der Wert einer europäischen Option im Fälligkeitszeitpunkt T in Abhängigkeit des Preises des Underlyings S_Texakt definiert ist, ergibt sich das Problem der „fairen“ Bewertung beim Optionsvertragsabschluss und während der Laufzeit.⁹ Nach dem Barwertansatz bestimmt sich der Wert einer europäischen Call-Option C_tim Zeitpunkt t durch Diskontierung der im Fälligkeitszeitpunkt T aus der Option resultierenden erwarteten Zahlung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da zum Zeitpunkt t weder die Aktienkursverteilung im Fälligkeitszeitpunkt T noch die im Fälligkeitszeitpunkt T aus der Option resultierende Zahlung bekannt sind, erfolgt die Bestimmung des Barwerts, indem die auf die Informationsmenge im Zeitpunkt t, $_t, bedingte erwartete Zahlungily:Cambria Math;letter-spacing:0.1pt">$_t, bedingte erwartete Zahlung diskontiert wird. Die wesentlichen Probleme bei der Optionsbewertung mit dem Barwertansatz bestehen in der korrekten Bestimmung der Aktienkursverteilung im Fälligkeitszeitpunkt T und eines dem Risiko der Option entsprechenden Diskontierungsfaktors r. Dem korrekten Diskontfaktor entspricht dann die zu erwartende Rendite der Option. Dieses Problem wurde durch die Ansätze von Black/Scholes (1973) und Cox/Ross (1976) gelöst.

Der Lösungsansatz von Black/Scholes (1973) beruht auf der Idee aus einer Long-Position in der zugrundeliegenden Aktie und einer Short-Position in der Option ein risikoloses Hedge- Portfolio zu bilden, welches unter Ausnutzung der Arbitragefreiheit die gleiche Rendite besitzen muss wie eine risikolose Anlage, nämlich die Rendite des risikofreien Zinssatzes r_f.¹⁰ Die Möglichkeit ein solches risikoloses Hedge-Portfolio zu bilden, besteht nur, weil die Preise von Underlying und Option während einer kurzen Zeitspanne perfekt korreliert sind. Der Gewinn des Underlyings wird durch die Verluste aus den Optionen ausgeglichen und umgekehrt. Da das Hedge-Portfolio nur für einen sehr kurzen Zeitabschnitt risikolos ist, muss dieses in Abhängigkeit des Aktienkursverlaufs regelmäßig angepasst werden, um risikolos zu bleiben. Diese Überlegung führt zur partiellen Black/Scholes-Differenzialgleichung, die die Wertentwicklung des Hedge- Portfolios definiert:¹¹

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Black/Scholes (1973) bedienen sich zur analytischen Lösung der Differentialgleichung in Gleichung (4) der Wärmegleichung, deren Ergebnisse aus der Physik bekannt sind und formen die Gleichung direkt nach dem Optionspreis C um.

Eine Alternative zur Optionsbewertung mit Hilfe von Hedge-Portfolios besteht in dem sogenannten Risikoneutralen Bewertungsansatz von Cox/Ross (1976).¹² Basierend auf dem Aufsatz von Black/Scholes (1973) zeigen sie, dass die Differenzialgleichung in Gleichung (4) keine Variable enthält, die von den Risikopräferenzen abhängt. Die in der Gleichung eingehenden Variablen sind der aktuelle Aktienkurs S, die Zeit t, die Volatilität des Aktienkurses o² und der risikofreie Zinssatz r_f. Sie sind alle von Risikopräferenzen unabhängig.¹³ Der Optionspreis ist deshalb mit einer beliebigen Annahme über die Risikopräferenzen konsistent. Die Annahme eines risikoneutralen Anlegers ermöglicht jedoch die Verwendung des risikofreien Zinssatzes r_f zur Diskontierung, da in einer risikoneutralen Welt annahmegemäß alle Individuen indifferent gegenüber Risiken sind und folglich keine Kompensation für die Übernahme von Risiko fordern. Die erwartete Rendite aller Wertpapiere entspricht daher dem risikofreien Zinssatz r_f. Andernfalls kommt es zu Arbitrage. Generell kann eine Optionsbewertung mit dem Risikoneutralen Bewertungsansatz erfolgen, wenn gezeigt wird, dass der Optionspreis nicht von den Risikopräferenzen der Anleger abhängt. In der Realität ist jedoch im Allgemeinen von risikoaversen Anlegern auszugehen, die für das Underlying eine höhere erwartete Rendite als für das risikolose Wertpapier fordern. Daher muss die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Auszahlungen des Underlyings zu einer risikoneutralisierten Wahrscheinlichkeitsverteilung modifiziert werden, so dass die Renditen aller Wertpapiere dem risikofreien Zins r_fentsprechen. Diese risikoneutralisierte Wahrscheinlichkeitsverteilung wird im Folgenden als äquivalentes Martingalmaß Q bezeichnet. Unter der Annahme der Risikoneutralität ergibt sich dann als Preis einer europäischen Call-Option C_tzum Zeitpunkt t mit Fälligkeit T als wobei der bedingte Erwartungswert bezüglich des äquivalenten Martingalmaß Q berechnet wird.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.2.1 Das Black/Scholes-Modell

Das Black/Scholes-Modell basiert neben bestimmten Annahmen über den Kapitalmarkt¹⁴ auf der zentralen Annahme, dass die stetigen Renditen des Basiswertes unabhängig normalverteilt sind, also dass der Aktienkurs S einer sogenannten geometrisch Brownschen Bewegung folgt:¹⁵

dS = µSdt + oSdz. (6)

Die Variable µ bezeichnet die erwartete Rendite des Underlyings, o die konstante Volatilität des Underlyings und z einen Standard-Wiener-Prozess.¹⁶

Über die analytische Lösung der Differenzialgleichung bzw. über den Risikoneutralen Bewertungsansatz gelangt man zur Black/Scholes-Bewertungsgleichung einer europäischen Call- Option C^BS bzw. einer Put-Option P^BS mit Ausübungspreis K zum Zeitpunkt t auf eine dividendenlose Aktie S:¹⁷

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Höhe des Optionspreises im Black/Scholes-Modell ist folglich von den folgenden fünf Variablen abhängig: dem Aktienkurs S, dem Ausübungspreis K, der Restlaufzeit T-t, dem risikofreien Zinssatz r_fund der Volatilität des Aktienkurses o. Bis auf die Volatilität des Aktienkurses o können die Variablen direkt beobachtet werden. Existieren jedoch Marktpreise für Optionen, lässt sich die Volatilität des Aktienkurses o als einzige Unbekannte implizit bestimmen, indem die Volatilität gesucht wird, für die der Modellpreis gerade dem Marktpreis der Option entspricht.¹⁸ Dieses Vorgehen kann jedoch nur mit Hilfe numerischer Verfahren, wie z.B. mit dem Newton-Raphson-Verfahren erfolgen, da die Black/Scholes-Bewertungsgleichung nicht direkt nach o aufgelöst werden kann. Bei Gültigkeit des Black-Scholes-Modells entspricht die mit Hilfe dieses Vorgehens ermittelte implizite Volatilität σ_impder vom Markt erwarteten Volatilität.¹⁹

2.2.2 Empirische Kritikpunkte am Black/Scholes-Modell

Das Black/Scholes-Modell stellt heute die Basis der allgemeinen Optionspreistheorie dar. Doch decken eine Vielzahl empirischer Studien von Finanzmärkten systematische Diskrepanzen zwischen den Black/Scholes-Optionspreisen und den Marktpreisen real gehandelter Optionen auf.²⁰ Zu diesen Diskrepanzen gehören die Unterbewertung von Optionen aus-dem-Geld²¹, die Unterbewertung von Optionen auf Wertpapiere mit niedriger Volatilität²², die Unterbewertung von Optionen mit kurzer Laufzeit²³ sowie der U-förmige Verlauf der impliziten Volatilitäten im Bezug auf den Ausübungspreis²⁴. Als Ursachen für diese Fehlbewertungen werden die zum Teil sehr restriktiven Annahmen des Black/Scholes-Modells angesehen.²⁵ Im Folgenden werden die Annahmen des Black/Scholes-Modells in Bezug auf die divergierenden empirischen Beobachtungen diskutiert.

Aufgrund der sehr geringen Sensitivität des Optionspreises in Bezug auf die Höhe des Zinssatzes ist die Annahme eines über die Laufzeit der Option konstanten risikofreien Zinssatzes r_funbedenklich.²⁶ Merton (1973) zeigt, dass die Annahme der Abwesenheit von Dividenden relativ einfach aufgehoben werden kann, indem die während der Laufzeit fälligen Dividenden in die Black/Scholes-Bewertungsgleichung integriert werden.²⁷ Ingersoll (1975) zeigt, dass dies auch ohne Probleme für Steuern möglich ist.²⁸ Ähnliches gilt für die Integration von Transaktionskosten. Auch ein unstetiger Verlauf des Aktienkurses lässt sich in das Modell integrieren.²⁹ Die Annahme der Möglichkeit von Leerverkäufen ist für das rechnerische Ergebnis irrelevant. Es verbleiben also die Annahmen einer konstanten Volatilität und der Lognormalverteilung des Aktienkurses als restriktive Annahmen des Modells.

Ein aus statistischer Sicht wesentlicher Kritikpunkt am Black/Scholes-Modell sind die Annahmen bezüglich des datengenerierenden Prozesses. Die Annahme der geometrischen Brownschen Bewegung des Aktienkurses in Gleichung (6) impliziert, dass die Aktienrenditen normalverteilt sind mit konstanter Varianz.³⁰ Aus der Normalverteilung der Aktienrenditen folgt unmittelbar, dass die zukünftigen Aktienkurse lognormalverteilt sind.³¹ Bereits in den 60er Jahren wurde bei der Untersuchung von täglichen und wöchentlichen Aktienkursen festgestellt, dass die Aktienrenditen nicht normal-, sondern leptokurtisch verteilt sind.³² Anhand von Abbildung 3 wird ersichtlich, dass die empirische Verteilung der kontinuierlichen täglichen Daimler-Benz- Aktienrenditen im Vergleich zur zugehörigen Normalverteilung stärker um den Mittelwert konzentriert ist und breitere Enden hat, sog. „Fat Tails“.³³ Die Güte des Black/Scholes-Modells hängt also unter anderem davon ab, inwieweit die empirische Aktienkurserteilung der im Modell unterstellten Lognormalverteilung entspricht.³⁴

Des Weiteren haben empirische Studien von Finanzmärkten das Auftreten signifikanter Schwankungen der Varianz bzw. Volatilität im Zeitablauf sowie eine zeitliche Häufung von starken Kursausschlägen und geringen Kursausschlägen, sogenannte Volatilitätscluster, aufgezeigt. Mandelbrot umschrieb seine Beobachtungen wie folgt: „[…] large changes tend to be followed by large changes, of either sign, and small changes tend to be followed by small changes […]”.³⁵ Abbildung 4 illustriert die signifikanten Schwankungen der Volatilität und das Auftreten von Volatilitätsclustern anhand der täglichen kontinuierlichen Daimler-Benz- Aktienrenditen. Lamoureux und Lastrapes (1990a) begründen das Auftreten von Volatilitätsclustern mit Phasen unterschiedlicher Unsicherheit. Befindet sich beispielsweise eine Aktiengesellschaft in einer Krise, so wird der Aktienkurs während dieser Krisenphase voraussichtlich stärker schwanken als zu ruhigen Zeiten. Ähnliches gilt für Phasen, in denen Informationen in schnellerer Abfolge eintreten, z.B. um den Zeitpunkt der Bekanntgabe der Bilanzdaten herum. In einer solchen Phase ist eine erhöhte Volatilität der Aktienkurse und - renditen plausibel.³⁶ Diese empirischen Beobachtungen machen die im Black/Scholes-Modell getroffene Annahme einer im Zeitablauf konstanten Varianz wenig plausibel.

Ein weiteres Phänomen, das vor allem auf Aktienmärkten häufig zu beobachten ist, ist der erstmals von Black (1976) festgestellte sogenannte Leverage-Effekt. Der Leverage Effekt umschreibt das Auftreten einer negativen Korrelation zwischen Aktienrenditen und Veränderungen der Volatilität. Abbildung 5 verdeutlicht den Leverage-Effekt anhand der Kursverläufe von DAX und V-DAX im Zeitraum Januar bis Oktober 2002. Black (1976) erklärt den Leverage Effekt mit einem sinkenden Aktienkurs in Folge eines negativen Zufallsschocks. Dadurch erhöht sich das Verhältnis der Schulden zum Eigenkapital. Durch diese geringere Eigenkapitalquote wird das Eigenkapital unsicherer und die Volatilität steigt.³⁷

Zur Validierung des Black/Scholes-Modells werden in der Literatur häufig die impliziten Volatilitäten von liquiden Standardoptionen für unterschiedliche Ausübungspreise und Restlaufzeiten herangezogen.³⁸ Setzt man die tatsächlich beobachteten Werte für den Aktienkurs S, den Ausübungspreis K, die Restlaufzeit T-t, den risikofreien Zinssatz r_fsowie den Marktpreis der Option in die Black/Scholes-Bewertungsgleichung in Gleichung (7) ein, so sollten die impliziten Volatilitäten verschiedener Optionen auf das gleiche Underlying, gemäß den Annahmen des Black/Scholes-Modells, übereinstimmen, also unabhängig vom Ausübungspreis und der Restlaufzeit der Option konstant sein.³⁹ Rubinstein (1985) beobachtet bei empirischen Untersuchungen impliziter Volatilitäten auf Optionsmärkten einen sogenannten Volatilitäts-Smile, der im Wiederspruch zu den Annahmen des Black/Scholes-Modells steht:⁴⁰ Implizite Volatilitäten von Optionen, die im-Geld oder aus-dem-Geld notieren, sind systematisch höher als implizite Volatilitäten von Optionen am-Geld. Die impliziten Volatilitäten weisen dann einen U-förmigen Verlauf in Abhängigkeit vom Ausübungspreis auf. Dieses Phänomen wird ersichtlich, wenn man die impliziten Volatilitäten für verschiedene Optionen mit identischer Fälligkeit auf das gleiche Underlying berechnet und gegen den Ausübungspreis der Option abträgt. Diese Beobachtungen wurden überwiegend auf Aktienoptionsmärkten vor dem Crash im Jahr 1987 und auf Devisenoptionsmärkten gemacht. Bei der Untersuchung von S&P 500 Optionen nach dem Crash 1987 wurde festgestellt, dass die impliziten Volatilitäten mit steigendem Ausübungspreis abnehmen. Dieses Phänomen wird als Volatility-Skew bezeichnet.⁴¹ Abbildung 6 illustriert diese Beobachtungen anhand der impliziten Volatilitäten von am 22. November 1994 an der DTB gehandelten DAX-Optionen für verschiedene Ausübungspreise. Zudem ist oftmals auch eine mit der Restlaufzeit variierende implizite Volatilität zu beobachten. Dieser Zusammenhang wird als Term-Structure der impliziten Volatilität bezeichnet.⁴² Je kürzer die Restlaufzeit, desto stärker ist dabei die Ausprägung des Volatility-Smile bzw. Volatility-Skew. Mit zunehmender Restlaufzeit verschwinden beide Phänomene fast vollständig.⁴³

Die obigen Ausführungen zeigen, dass die Annahmen des Black/Scholes-Modells offenbar deutlich von der Realität abweichen. Bei Verwendung einer konstanten Volatilität würde das Black-Scholes-Modell somit zu teilweise erheblichen Abweichungen von den tatsächlichen Marktpreisen führen. Desweiteren hängt die Güte des Black/Scholes-Modells davon ab, inwieweit die empirische Aktienkursverteilung der im Modell unterstellten Lognormalverteilung entspricht. Trotz dieser anerkannten Tatsachen erfreut sich das Black/Scholes-Modell großer Beliebtheit in Theorie und Praxis.⁴⁴ Da im Black/Scholes-Modell lediglich fünf Parameter bestimmt werden müssen, von denen vier direkt beobachtbar sind, ist das Modell relativ leicht verständlich und anwendbar. Zudem muss der Optionswert nicht mittels numerischer Methoden approximiert werden, da das Black/Scholes-Modell eine geschlossene analytische Lösung bietet. Die beschriebenen Probleme werfen somit die Frage nach einem Modell auf, das die beobachteten Phänomene und damit die am Markt beobachteten Optionspreise besser erklären kann. Im nächsten Abschnitt wird das GARCH-Modell vorgestellt und aufgezeigt, inwiefern dieses in der Lage ist, die beobachteten Phänomene zu modellieren.

[...]

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¹ Im April 1973 startet an der Chicago Board of Options Exchange (CBOE) der Handel von Optionskontrakten auf 16 amerikanische Aktien. Der Erfolg der CBOE führte weltweit zur Einführung von Terminmärkten, die sich hinsichtlich der Standardisierung und Börsenorganisation an der CBOE orientierten.

² Vgl. Rubinstein (1985), S. 455ff.

³ Vgl. Black (1975), S. 36ff. und Gultekin et al. (1982), S. 58ff.

⁴ Vgl. Black/Scholes (1972), S. 399ff., Gultekin et al. (1982), S. 58ff. und Whaley (1982), S. 29ff.

⁵ Vgl. Black (1975), S. 36ff. und Whaley (1982), S. 29ff.

⁶ Vgl. Rubinstein (1985), S. 455ff. und Sheikh (1991), S.459ff.

⁷ Vgl. Duan (1995), S. 13.

⁸ Die folgenden Ausführungen zur Funktionsweise von Optionen orientieren sich an Hull (2006), S. 6ff.

⁹ Die folgenden Ausführungen zum Barwertansatz orientieren sich an Geyer/Schwaiger (1994), S. 244f. und Geyer/Schwaiger (1995), S. 535f.

¹⁰ Die Ausführungen zum Lösungsansatz von Black/Schole (1973) orientieren sich an Black/Scholes (1973), S. 640ff. und Hull (2006), S. 289ff.

¹¹ Für die vollständige Herleitung der Black/Scholes-Differenzialgleichung sei auf Hull (2006), S. 291f. verwiesen.

¹² Die Ausführungen zum Risikoneutralen Bewertungsansatz orientieren sich an Cox/Ross (1976), S. 151ff. und Hull (2006), S. 293f.

¹³ Die Differenzialgleichung wäre hingegen von den Risikopräferenzen abhängig, wenn sie die erwartete Rendite aus der Aktie enthalten würde. Dies liegt darin begründet, dass die erwartete Rendite aus der Aktie von den Risikopräferenzen abhängt. Je stärker die Risikoaversion der Anleger ist, umso größer wird die erwartete Rendite für eine beliebige Aktie sein. Vgl. Hull (2006), S. 293f.

¹⁴ Black/Scholes unterstellen einen konstanten risikolosen Zins, die Abwesenheit von Transaktionskosten, Steuern und Dividenden, die beliebige Teilbarkeit der Wertpapiere, Leerverkaufsmöglichkeit, die Abwesenheit von risikolosen Arbitragemöglichkeiten und einen kontinuierlichen Handel. Vgl. Hull (2006), S. 290f.

¹⁵ Vgl. Hull (2006), S. 273f.

¹⁶ Zu den Eigenschaften des Wiener Prozesses und der geometrischen Brownschen Bewegung vgl. Hull (2006), S. 325ff.

¹⁷ Vgl. Black/Scholes (1973), S. 649.

¹⁸ Vgl. Tallau (2009), S. 14.

¹⁹ Vgl. Schmalensee/Trippi (1978), S. 129.

²⁰ Vgl. Brunner (2004), S. 2.

²¹ Vgl. Black (1975), S. 36ff. und Gultekin et al. (1982), S. 58ff.

²² Vgl. Black/Scholes (1972), S. 399ff., Gultekin et al. (1982), S. 58ff. und Whaley (1982), S. 29ff.

²³ Vgl. Black (1975), S. 36ff und Whaley (1982), S. 29ff.

²⁴ Vgl. Rubinstein (1985), S. 455ff. und Sheikh (1991), S. 459ff..

²⁵ Vgl. Black (1975), S. 64.

²⁶ Vgl. Cox/Ross (1976), S. 145ff.

²⁷ Vgl. Merton (1973), S. 141ff.

²⁸ Vgl. Ingersoll (1976). S. 83ff.

²⁹ Vgl. Merton (1976), S. 125ff.

³⁰ Vgl. Wilmott et al. (1993), S.21ff.

³¹ Vgl. Tallau (2009), S. 14.

³² Vgl. Mandelbrot (1963), S. 394ff, Fama (1963), S. 420ff und Fama (1965), S. 34ff.

³³ Zur Untersuchung wurden 1.530 tägliche, um Bezugsrechtsabschläge bereinigte Notierungen (Schlusskurse) vom 2. Januar 1990 bis zum 9. Februar 1996 betrachtet. Zur Konstruktion der Normalverteilung wurden der geschätzte Mittelwert und die geschätzte Standardabweichung herangezogen. Vgl. Andres (1997), S.11.

³⁴ Vgl. Tallau (2009), S. 14.

³⁵ Vgl. Mandelbrot (1963), S. 418.

³⁶ Vgl. Lamoureux/Lastrapes (1990a), S. 221ff.

³⁷ Vgl. Black (1976), 177ff.

³⁸ Vgl. Brunner (2004), S. 27.

³⁹ Vgl. Brunner (2004), S. 27.

⁴⁰ Sheikh (1991) analysiert S&P 100 Index-Call-Optionen und gelangt zu den gleichen Beobachtungen wie Rubinstein. Vgl. Rubinstein (1985), S. 455ff und Sheikh (1991), S. 459ff.

⁴¹ Vgl. Rubinstein (1994), S. 771ff.

⁴² Kombiniert man Volatility-Skew und Term Structure erhält man die dreidimensionale Volatility-Surface, welche die implizite Volatilität in Abhängigkeit von Restlaufzeit und Ausübungspreis der Option beschreibt. Vgl. Brunner (2004), S. 27.

⁴³ Vgl. Rubinstein (1985), S. 455ff und Sheikh (1991), S. 459ff.

⁴⁴ Die folgenden Ausführungen orientieren sich an Tallau (2009), S. 15.