Optimierung von Körpern

Gliederung

1. Vorwort
1.1. Definition
1.2. Fragestellung

2. Milchflasche
2.1. Vorwort
2.2. Berechnungen
2.3. Ergebnis
2.4. Vergleich

3. Tetra Pak
3.1. Vorwort
3.2. Berechnungen
3.3. Ergebnis I
3.4. Ergebnis II
3.5. Fazit

4. Vergleich Flasche & Tetra Pak

5. Gruppenreflexion

1. Vorwort

Folgernd auf das diesjährige Hauptthema „Optimierung“, haben wir uns, nach nicht langer Überlegung, dazu entschieden die optimale Verpackung für einen Liter Milch zu finden. Dazu werden wir sowohl auf die Verpackungen eines Tetra Pak´s wie auch auf die einer Glasflasche eingehen, die wir am Ende miteinander vergleichen wollen.

1.1 Definition

Das Wort Optimum leitet sich von dem lateinischen Wort „Optimus“ ab und bedeutet: Bester Die Optimierung ist die Suche nach dem Optimum, unter dem man das beste erreichte Resultat im Sinne eines Vergleichsverfahrens zwischen verschiedenen Parametern oder Eigenschaften unter dem Aspekt einer Anwendung, einer Nutzung oder eines Ziels versteht.^{1 2}

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1.2 Fragestellung

Tetra Pak

Die Fragestellung, mit der wir uns beschäftigt haben, lauten:

- Wie verpacke ich 1 Liter Milch in einem Tetra Pak und verbrauche dabei so wenig Material wie möglich?
- Ist unser Tetra Pak mit der optimalen Oberfläche ideal für den Nutzer?

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Flasche

- Wie verpacke ich 1 Liter Milch in einer Flasche mit der optimalen Oberfläche?
- Warum haben die Firmen ihre Milchflaschen so geformt wie sie jetzt ist?
- Wäre unsere Flasche mit der optimalen Oberfläche ideal für den Nutzer?

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2. Die Milchflasche

2.1 Vorwort

Idee

Unsere Idee ist die Milchflasche zu optimieren, sodass de Verbrauch an Material so gering wie möglich ist.

Dabei schauen wir uns auch an, warum die Industrie ihre Flasche so formt wie sie jetzt ist.

Das Problem

Das erste Problem, dem wir uns stellen mussten, war eine passende Formel für die Flasche zu finden. Während ein Tetra Pak eine einfache geometrische Form aufweist, lässt sich eine Flasche schwieriger betrachten. Daher nahmen wir uns vor sie einfach zu betrachten und sie in 3 Körper zu unterteilen. Dabei haben wir die Kantenlänge auf 7 cm festgelegt.

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2.1.3 Skizze der Milchflasche

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2.2 Berechnung

Volumen

Halszylindervolumen VHals

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Kegelstumpfzylinder VKst

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Körperzylindervolumen VKörper

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Die einzelnen Volumenformeln werden addiert, somit ergibt sich die Gesamtvolumenformel.

Flaschenvolumen VFl

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Oberfläche

Halszylindermantel MHals

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Kegelstumpfmantel MKst

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Körperzylindermantel MKörper + Grundfläche AKGr

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Die einzelnen Oberflächenvolumen werden addiert, somit erhalten wir die Gesamtoberflächenformel.

Flaschenoberfläche OFl 2πr1h1 + πr1²

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Rechenweg für die Oberfläche

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Da unsere Funktion drei Variablen enthält, und wir den Radius ermitteln möchten, muss die Kegelstumpfseite s und die Körperzylinderhöhe h1 zu anderen Formeln umwandeln, die nur den Körperradius r1 als Variable besitzen. So kann man die beiden ungewünschten Variablen durch die neuen Ausdrücke ersetzten, sodass wir in unserer benötigten Oberflächenfunktion nur noch eine Variable haben.

Satz des Pythagoras

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Wir können den Satz des Pythagoras verwenden um s zu ermitteln, da im Kegelstumpf ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt, das sich aus den Strecken s, h2 und der Differenz von r1 und r2 zusammensetzt.

Nebenbedingung

Die Nebenbedingung wird durch das Volumen des Körpers definiert. Das Volumen beträgt 1004ml, das sich aus 1000ml Milch und 4ml Luft, damit es nicht überläuft, zusammensetzt. Wir nehmen die Volumenformel und stellen sie nach h1 um, daraus ergibt sich ein Ausdruck der h1 definiert und das Volumen auf 1004cm³ definiert.

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Ableitungen

Die erste Ableitung brauchen wir um die Extremwerte zu bestimmen. Die Extrempunkte liegen immer auf der Höhe wo die erste Ableitung die Abszisse schneidet. Um zu beweisen dass es sich um einen Tiefpunkt handelt überprüfen wir die zweite Ableitung wenn diese positiv ist, ist dort ein Tiefpunkt im Ursprungsgraf enthalten, da die erste Ableitung so durch die Nullstelle steigt. Dieses hat zur folge das im Ausgangsgraph das nach dem Tiefpunkt die Steigung zunimmt also großer wird. Damit ist bewiesen, dass hier ein Tiefpunkt vorhanden ist.

Ableitungsregeln³

Die folgenden Regeln haben wir bei den Ableitungen verwendet.

Kettenregel

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Produktregel

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Quotientenregel

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Summen- und Differenzenregel

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Rechenweg zur ersten Ableitung

Vereinfachung der Optimierungsfunktion der Flasche

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Die Ableitung von einer Konstanten mal einer Funktion ist die Konstante mal der Ableitung der Funktion.

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Die Ableitung der Konstanten 2 ist 0

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Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.

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Die Ableitung von einer Konstanten mal einer Funktion ist die Konstante mal der Ableitung der Funktion.

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Die Ableitung der Konstanten ist .

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Die Ableitung von einer Konstanten mal einer Funktion ist die Konstante mal der Ableitung der Funktion.

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Die Ableitung der Konstanten 2 ist 0.

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Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.

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Verwende die Quotientenregel

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Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.

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Verwende die Produktregel

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Die Ableitung von einer Konstanten mal einer Funktion ist die Konstante mal der Ableitung der Funktion.

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Verwende die Produktregel

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Die Ableitung von einer Konstanten mal einer Funktion ist die Konstante mal der Ableitung der Funktion.

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Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.

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Vereinfache unter der Voraussetzung, dass alle Variablen positiv sind.

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Jetzt berechne die zweite Ableitung.

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Die zweite Ableitung ist die Ableitung der Ableitung.

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Schreibe die erste Ableitung von drei Zeilen vorher ab.

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Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.

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Die Ableitung von einer Konstanten mal einer Funktion ist die Konstante mal der Ableitung der Funktion.

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Verwende die Produktregel

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Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.

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Die Ableitung der Konstanten 10 ist 0.

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Die Ableitung von einer Konstanten mal einer Funktion ist die Konstante mal der Ableitung der Funktion.

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Verwende die Kettenregel

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Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.

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Die Ableitung der Konstanten 20 ist 0.

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Die Ableitung von einer Konstanten mal einer Funktion ist die Konstante mal der Ableitung der Funktion.

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Verwende die Produktregel

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Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.

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Die Ableitung von einer Konstanten mal einer Funktion ist die Konstante mal der Ableitung der Funktion.

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Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.

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Die Ableitung von einer Konstanten mal einer Funktion ist die Konstante mal der Ableitung der Funktion.

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Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.

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Die Ableitung der Konstanten -10 ist 0.

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Die Ableitung der Konstanten 753 ist 0.

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Vereinfache unter der Voraussetzung, dass alle Variablen positiv sind.

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Funktionsgraph der Vereinfachten Flasche

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Wir sehen hier die Ableitung unserer Funktion, die mit ihrer Nullstelle den x-Wert unseres Extrempunkts anzeigt und durch die zweite Ableitung beweist dass es ein Tiefpunkt ist da sie positiv ist

Die x-Achse zeigt den Radius des großen Zylinders der Flasche in cm an und die y-Achse beschreibt die Oberfläche der Gesamtflasche in cm².

Berechnung des Tiefpunktes

Bedingung

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Wir haben das Newton-Verfahren für die Bestimmung der Nullstelle der Ableitung angewandt. Dafür haben wir die Nullstelle zuerst mit einer Wertetabelle eingegrenzt und dann einen nahen Wert in die Formel eingesetzt. Diesen Wert, den wir dort herausbekommen haben, haben wir wieder in die Funktion eingesetzt, diesen Vorgang haben wir so oft wiederholt bis der Wert stagniert.

Überprüfung der hinreichenden Bedingung

Zweite Ableitung

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Zweite Ableitung mit eingesetzten Werten

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Ergebnis

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Berechnen der Höhe

Um die Höhe der Flasche auszurechnen haben wir unseren errechneten Radius r in die Volumenformel eingesetzt und erhalten so die Höhe des großen Zylinders und addieren dann die gegebenen Höhen. So ergibt sich die Gesamthöhe der Flasche.

Radius unseres Zylinders

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Formel der Höhe unseres Zylinders

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Ergebnis unserer Höhen des Zylinders

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Formel der Gesamthöhe

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Eingesetzte Werte und Ergebnis der Gesamthöhe

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Probe durch Volumen

Wir haben unsere Volumenformel genommen, mit unserer vorgegebenen Volumen von 1004 und haben dort dann unsere ausgerechneten Werte (Radius r und Höhe h) eingesetzt. So kommen wir bei der Formel auf ein Ergebnis von 1004 = 1004. Damit haben wir bestätigt das unsere Werte des Radius und der Höhe richtig sind.

Unsere Volumenformel

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Volumenformel mit eingesetzten Werten

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Ergebnis

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Rechenweg der Oberfläche

Gesamtoberflächenformel

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Gesamtoberflächenformel mit eingesetzten Werten

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Ergebnis unserer Gesamtoberfläche

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Die Industrieflasche

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Industrieflasche Oberfläche⁴

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Unsere optimierte Flasche nach Integral

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Optimierung der Oberfläche durch Integralrechnung

Die Oberflächenformel der optimalen Flasche⁵

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Nebenbedingung: Volumenformel nach h aufgelöst

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Oberflächenformel mit eingesetzten Werten

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Wir haben die Formel unterteilt in zwei Teile: Einmal das eingesetzte h und einmal die Oberflächenfunktion. Parameter haben wir in 0,25er Schritten von 0,25 bis 1,5 eingesetzt und dann haben wir die Formel wieder zusammen gesetzt und das Ergebnis als Tabelle ausgegeben.

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2.3 ERGEBNISSE

Die Ergebnisse unseres Rechenweges des vereinfachten Körpers

- Der Radius beträgt 5,0764 cm
- Die Höhe beträgt 17,09608077 cm
- Die Oberfläche beträgt 620,964968 cm²

Die Ergebnisse unserer Flasche nach Integralrechnung

- Der Radius beträgt 4,5 cm
- Die Höhe beträgt 18,846 cm

Die Oberfläche beträgt 635,95cm² bei einem Deckelradius von 0,5cm

Die Ergebnisse der Industrieflasche

- Der Radius beträgt 4 cm
- Die Flasche misst eine Gesamthöhe von 26 cm
- Die Oberfläche beträgt 1033, 250977 cm²

2.4 Vergleich zwischen der Industrieflasche und der optimalen Flasche

- Die optimale Flasche hat einen größeren Durchmesser als die Industrieflasche, dafür ist die Industrieflasche höher.
- Dadurch ist auch die Oberfläche der Industrieflasche größer, weil diese nicht optimiert ist.
- Dies liegt daran, dass die optimale Flasche für den Verbraucher ungeeignet wäre.

3. Das Tetra Pak

3.1 Vorwort

Zunächst wollen wir erwähnen, dass eine Kugel die Optimale Form wäre. Allerdings ist diese nicht alltagstauglich. Genau wie die zweit bessere Form, der Würfel. Die Kantenlängen des Würfels wären zu lang und somit würde dieser nicht gut in eine Hand passen.

Die Kantenlängen können nur a . a sein, nicht a . b, da wir sonst mit drei Parametern arbeiten müssten.

3.2 Berechnungen

- Zielfunktion

[Oberfläche = O]

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Nebenbedingung

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Verbesserte Zielfunktion und Ableitungen

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1. Ableitung

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2. Ableitung

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Berechnung des Tiefpunktes

Bedingung:

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Überprüfung der hinreichenden Bedingung

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Berechnung der Höhe

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3.3 Ergebnis I

Die ideale Maße für eine Milchtüte wären Breite und Höhe von 10 cm. Hierbei hätten wir die geringste Oberfläche für 1 Liter Milch. Folglich wäre die optimale Tüte ein Würfel.

Die Maße der im Handel erhältlichen Milchtüte beträgt 19,8 cm für die Höhe und 7 cm für die Breite.

Sie ist demnach nicht optimal.

Um möglichst genau an der Wirklichkeit zu sein muss alles berücksichtigt sein wie z.B. die Klebestreifen an den Ränder.

Hierfür haben wir ein Wert von 0,8 cm als konstanten Wert benutzt. Dieses ergibt einen neuen Materialverbrauch.

(gelb markiert)

Da die Milchtüte nicht nur Klebestreifen hat, sondern auch umgeklappte Kanten, müssen auch diese berücksichtigt werden, wenn man den Materialverbauch herausfinden möchte.

Die umgeklappten Kanten sind in unserer Abbildung ebenfalls gelb markiert.

Wie wäre also unter gegebenen Voraussetzungen der optimale Materialverbrauch?

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Annahme

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Zielfunktion

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Nebenbedingung

Nach unseren Berechnungen passen nur 970 cm³ in die Milchtüte. Der Rest befindet sich in den Auswölbungen an den Seiten des Tetra Pak´s.

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Verbesserte Zielfunktion

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Extrempunkte

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Bedingung

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Notwendige Bedingung(Newton)

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Wir haben das Newton-Verfahren für die Bestimmung der Nullstelle der Ableitung angewandt. Dafür haben wir die Nullstelle zuerst mit einer Wertetabelle eingegrenzt und dann einen nahen Wert in die Formel eingesetzt.

Diesen Wert, den wir dort herausbekommen haben, haben wir wieder in die Funktion eingesetzt, diesen Vorgang haben wir so oft wiederholt bis der Wert stagniert.

Überprüfung

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Weitere Werte

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Neue Berechnung des Materialverbrauchs

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3.4 Ergebnis II

Der Materialverbrauch der Milchindustrie ist nur gering höher als der von uns errechnete Verbrauch.

Dies lässt sich dadurch erklären, dass bei Lebensmittelverpackungen auch die Hygiene mit im Vordergrund steht.

3.5 FAZIT

Die Milchindustrie nutz die für sie und uns optimale Verpackung!

4. Vergleich Flasche und Tetra Pak

- Gewicht

Da die Glasflaschen schwerer sind als das Tetra-Pak ist der Transport teuer, da weniger Flaschen auf einen LKW geladen werden können im Vergleich zum Tetra-Pak.

- Transport

Der Transport der Flaschen ist auch platzaufwendiger, da sie in Kästen transportiert werden müssen

- Kosten

Durch das höhere Gewicht und den aufwendigeren Transport ergibt sich für die Milchflasche ein höherer Preis. Des Weiteren muss man die Produktionskosten mit einbeziehen. Darum ist die Glasflasche teurer

- Ökologische Gesichtspunkte

Glas kann zu 100 % recycled werden, allerdings ist es sehr energieaufwendig wegen der Glasschmelzung und das Tetra Pak besteht aus 98%igen recycleden Material, daher ist das Tetra Pak ökologisch korrekter.

5. Gruppenreflexion

Vor dem Projekt

Die Gruppe, zu der wir uns zusammenfanden, entstand dadurch, dass wir schon immer in dieser Formation zusammengearbeitet hatten. Daher mussten wir nicht lange suchen, um eine geeignete Gruppe zu finden. Nachdem wir das Thema „Optimierung“ gehört hatten, dachten wir uns zuerst, dass dies ein sehr umfangreiches Thema ist.

Lange brauchten wir aber nicht zu überlegen. Schon in der ersten Stunde hatten wir uns auf das optimieren einer Verpackung für einen Liter Milch entschieden.

Danach haben wir uns entschieden, dass wir den geringsten Materialverbrauch für eine Glasflasche und ein Tetra Pak herausfinden wollen.

Wir wussten schon vorher, dass sich das Tetra Pak als relativ einfach gestalten lassen sollte. Da dies ein einfacher Körper ist. Hier haben wir auch versucht einige Informationen zu erhalten, indem wir die Firma Tetra Pak angeschrieben hatten. Leider stellte sich dies als Sackgasse heraus, da man uns nicht ausreichend Informationen zustellen wollte und Fragen mit Gegenfragen beantwortete.

Die Flasche sollte schon als ein schwereres Problem darstellen.

Während des Projekts

Das optimale Tetra Pak hatten wir, wie schon vorher erwähnt, schnell gefunden. Die Berechnung für den vereinfachten Körper war schnell gefunden. Danach versuchten wir es auf ein reales Tetra Pak zu beziehen und merken, dass hier noch mehr Faktoren zu berücksichtigten waren, die das Optimum beeinflussen konnten. Hierfür konnten wir aber auch nach relativ kurzer Zeit eine Lösung finden.

Da wir mit dem Tetra Pak keine weiteren Probleme hatten , konnte wir den Rest unsere Zeit der Flasche widmen. Mit der Flasche hatten wir zuerst unsere Schwierigkeiten, da dies ein komplexer Körper ist. Erst einmal eine geeignete Funktion zu finden, stellte uns vor ein Problem. Dies lösten wir aber, indem wir die Flasche vereinfachten mit 3 einfachen Körper.

Wir hatten in der Gruppe keine größeren Probleme, auch die Aufgabenverteilung war schnell gefunden. Nur am Anfang hatten wir noch das Problem, dass mehrere an einer Aufgabe tüftelten. Dies geschah aber nur, während wir versuchten eine Lösung für unser „Flaschenproblem“ zu finden. Danach war die Verteilung gerecht aufgeteilt.

Da wir uns mit der Flasche länger als wir dachten befassen mussten, haben wir 5 mal eine Nachtschicht eingelegt. Dies geschah bei jeweils einem von uns zu Hause.

Die eingeschränkte Zeit die wir zur Verfügung hatten war unser größtes Problem. Insgesamt war die Gruppenarbeit sehr angenehm und ruhig.

Interne/Externe

Am Anfang hatten wir noch bedenken bezüglich der Präsentation vor Publikum. Nach der Internen haben wir aber gemerkt, dass dies der einfachste Teil des gesamten Projekts war. Obwohl wir teilweise noch etwas unsicher waren, haben gelernt wie man sich vor größerem Publikum verhält und haben einiges an Selbstsicherheit gewonnen.

6. Ehrenwörtliche Erklärung

Wir erklären hiermit, dass wir die vorliegende Arbeit selbstständig verfasst und alle Formulierungen, die wörtlich oder dem Sinn nach aus anderen Quellen entnommen wurden, kenntlich gemacht haben.

Verwertete Informationen aus dem Internet sind dem Lehrer vollständig in digitaler Form zur Verfügung gestellt worden, einschließlich der genauen Angabe der Internetadresse.

Sofern sich-auch zu einem späteren Zeitpunkt-herausstellt, dass die Arbeit oder Teile davon nicht selbstständig verfasst wurden, die Zitationshinweise fehlen oder Teile ohne Quellennachweis aus dem Internet entnommen wurden, so wird die Arbeit auch nachträglich mit null Punkten bzw. Note sechs gewertet.

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¹ http://de.wikipedia.org/wiki/Optimum

² http://www.google.de/search?hl=de&defl=de&q=define:Optimierung&ei=zgqdS7TPAcbC- Qbqk7DKAQ&sa=X&oi=glossary_definition&ct=title&ved=0CAYQkAE

³ WinFunktion Mathematik plus 17 Das große Tafelwerk interaktiv(Mit CD) -ISBN-13: 978-3464571446

⁴ http://www.in-sel.com/selma/Drehkoerper/bausteine/bst3-2.htm WinFunktion Mathematik plus 17 Das große Tafelwerk interaktiv(Mit CD) -ISBN-13: 978-3464571446

⁵ http://www.in-sel.com/selma/Drehkoerper/bausteine/bst3-2.htm