Experimentelle Untersuchungen zur Erwartungsnutzentheorie - Das Allais Paradoxon

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

1. Einleitung

2. Abgrenzungen und Axiome der Erwartungsnutzentheorie
2.1 Abgrenzungen der Erwartungsnutzen- und Nutzentheorie
2.2 Axiomatische Grundlagen und Rationalität

3. Modellierung des Allais Paradoxon
3.1 Experimenteller Aufbau des Paradoxon
3.2 Erläuterung des Paradoxon
3.3 Kritik von M. Allais

4. Fortführung des Denkansatzes und Lösungsansätze des Allais Paradoxon
4.1 Erläuterung des Paradoxon nach Morrison
4.2 Ansatz der Initial Asset Position
4.3 Konsistenz der Präferenzentscheidungen

5. Schlussbetrachtung

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abb. 1 Lotteriepaare des Allais Paradoxon

Abb. 2 Indifferenz-Wert π

Abb. 3 Substitution von Ci

Abb. 4 Vollständige Substitution des Allais Beispiels

Abb. 5 Lotteriepaare mit Initial Asset Position

Abb. 6 Annahmen zu Lösung der Inkonsistenz

Abb. 7 Ansatz zur Lösung der Inkonsistenz im Allais Paradoxon

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1 Überblick nach Aufgliederung der Wahrscheinlichkeiten

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Allais Paradoxon

1 Einleitung

Entscheidungssituationen begegnen uns Tag für Tag unter zahlreichen, verschiedenen Umständen. Oft sind diese nicht sicher, sondern mit Risiko behaftet. In der Regel sind die Menschen bestrebt ihre Entscheidung so zu treffen, dass sie einen größtmöglichen Nutzen daraus ziehen. Da eine richtige rationale Entscheidung oft von vielen Faktoren abhängig ist, die uns überfordern kann, wurden zahlreiche Theorien zur Entscheidungshilfe entwickelt. Im Zusammenhang mit Entscheidungssituationen unter Risiko beschäftigen wir uns in dieser Arbeit einerseits mit dem dazu in den fünfziger Jahren entwickelten Erwartungsnutzenkalkül und anderseits mit einer klassischen Entscheidungsanomalie: dem Allais Paradoxon. Wir bedienen uns dabei der Idee eines Lotteriebeispiels, in dem unsere Entscheidungen unser komplettes Leben verändern könnten.

Inhalt und Ziel dieser Arbeit:

Kapitel 2.2 soll ein Überblick über die Erwartungsnutzentheorie (EUT) geben und deren wichtigste Axiome vorstellen. In 2.3 werden wir das Allais Paradoxon betrachten, bevor wir es in 2.3.2 genauer erläutern. In 2.3.3. sei das Allais Position und die Kritik zur Erwartungsnutzentheorie genauer untersucht. Kapitel 2.4 beginnen wir mit einer weiteren Erläuterung des Paradoxons wie sie Morrison darstellt. Damit schaffen wir die Grundlagen, seinen Lösungsansatz in 2.4.2 zu verstehen und zeigen eine andere Betrachtungsweise des Allais Paradoxons. In Kapitel 2.4.3 werden die in 2.4 gemachten Erkenntnisse präsentiert und dem inkonsistenten Entscheider eine Argumentationsweise vorgeschlagen.

Ziel ist es zu begründen, ob das Paradoxon nun auf die Irrationalität der Entscheider zurückzuführen ist oder ob die EUT in ihrer Ausführung unvollständig ist. Außerdem soll die Konsistenz der Präferenzentscheidungen der Entscheider im Allais Paradoxon bewiesen werden.

2 Abgrenzungen und Axiome der Erwartungsnutzentheorie

2.1 Abgrenzungen der Erwartungsnutzen- und Nutzentheorie

Die EUT ist als eine Teildisziplin der Nutzentheorie und der Entscheidungstheorie zu betrachten. Die Nutzentheorie machte einen großen Fortschritt, als aus der bisher vorherrschenden ordinalen Nutzenfunktion der kardinale Nutzen abgeleitet wurde. Eine ordinale Nutzenfunktion kann über den Nutzen zweier Konsequenzen (z.B. einer Lotterie) lediglich die Aussage treffen, welche dieser Konsequenzen einen höheren Nutzen hat. Der kardinale Nutzen hingegen ermöglicht nun eine Quantifizierung dieser Konsequenzen. Dies wird üblicherweise anhand der Präferenzen, die ein Entscheider bei einer oder mehreren Lotterien für die jeweiligen Konsequenzen hat, gemessen. Daraus lässt sich dann der kardinale Erwartungsnutzen (EU) ableiten.

Das Gerüst dieses Erwartungsnutzenkalküls, basiert auf dem von Von Neumann und Morgenstern (VNM) aufgestellten Axiomsystem und dem daraus abgeleiteten Präferenzkalkül. Die ersten Wege der Theorie wurden allerdings schon knapp zweihundert Jahre zuvor von Daniel Bernoulli, durch das so genannte St. Petersburg Spiel, geebnet. Bernoulli definierte daraus eine logarithmische Wertfunktion^[1],^[2], die heute auch als Bernoulli-Nutzenfunktion bekannt ist. Folglich muss die Nutzenfunktion einen konkaven Verlauf beschreiben. Der Begriff des EU war geboren und die Orientierung an einem reinen monetären Erwartungswert abgelöst. Bevor wir das Axiomsystem von VNM genauer betrachten, erläutern wir nun kurz die Erwartungsnutzenfunktion^[3]:

EU(a) ist definiert als der Erwartungsnutzen über die riskante Alternative a. Die Wahrscheinlichkeiten pi gelten als bekannt und objektiv^[4]. Die Nutzenfunktion sei u. Diese können verschiedener Art sein und weichen je nach Risikoeinstellung voneinander ab. In der EUT wird von risikoaversen Entscheidern ausgegangen^[5],^[6]. Die Erwartungsnutzenfunktion modelliert somit den Nutzen einer Lotterie, woraus sich schließen lässt, dass eine Lotterie einer anderen Lotterie dann vorgezogen wird, wenn ihr EU größer ist. Natürlich ist dies nicht nur auf Lotterien anwendbar sondern allgemeingültig für verschiedene Konsequenzen einer risikobehafteten Alternativenwahl.

2.2 Axiomatische Grundlagen und Rationalität

Die Axiome bilden die zentralen Bausteine der EUT. Das von VNM Axiomsystem^[7] wurde zwar von den selbigen hergeleitet^[8], jedoch von anderen Autoren vervollständigt^[9]. Darum ist in ihrem Buch Spieltheorie und Wirtschaftliches Verhalten eigentlich kein Hinweis auf ein Unabhängigkeitsaxiom, denn dieses wurde aus ihren Axiomen erst abgeleitet. Die wichtigsten Axiome der Erwartungsnutzentheorie seien hier in Anlehnung an Herstein und Milnor zusammengefasst^[10]:

1) Vollständige Ordnung

Vollständigkeit: Für jedes Paar von Lotterien a, b A gilt: a b oder a b.

Transitivität: Für alle Lotterien a, b, c A gilt: Aus a b und b c folgt a c.

Das Axiom fordert, dass die Präferenzordnung transisitiv ist, sowie Vergleichbarkeit von Lotterien.

2) Stetigkeit:

Die Lotterien a, b, c sind mit a b c gegeben, dann existiert eine Wahrscheinlichkeit p, bei der .

Der Ausdruck soll als zusammengesetzte Lotterie verstanden werden. Somit kann das Ergebnis einer Lotterie wieder eine Lotterie sein. Das Axiom impliziert, dass für die Lotterie b, die zwischen a und c liegt, immer eine Kombination a und c gefunden werden kann, die genauso gut ist wie b. Dieses Axiom wird in 2.4.1 zur Anwendung kommen und im konkreten Beispiel genauer erläutert. Dabei wird die Wahrscheinlichkeit p durch einen Indifferenz-Wert π ergänzt, wodurch die Indifferenz zweier Lotterien hergestellt werden soll.

3) Unabhängigkeit:

Es gelte für zwei Lotterien a b, so muss für alle Lotterien c und die Wahrscheinlichkeiten p folgendes gelten:

Die Präferenz zwischen zwei möglichen Lotterien (a;b) darf sich nicht, durch die Verknüpfung dieser Lotterien mit einer weiteren Lotterie (c), ändern. Allgemein bedeutet dies, dass eine zusätzliche Konsequenz die Präferenz der ursprünglichen Konsequenzen nicht verändert. Das Unabhängigkeitsaxiom wird auch als Substitutionsaxiom^[11] bezeichnet, wofür die gleichen, oben genannten Abhängigkeiten gelten. In diesem Sinne gilt: es ergeben sich keine Auswirkungen für die Präferenzen des Entscheiders, wenn eine Lotterie (oder eine Konsequenz) durch eine andere Lotterie substituiert wird, solange der Entscheider zwischen ihnen indifferent ist. Das von Savage aufgestellte Unabhängigkeitsaxiom (auch Sure thing principle genannt) unterscheidet sich im Vergleich zum hier vorgestellten leicht.^[12] Savage entwickelte eine subjektive EUT (SEU-Theory), die subjektive Wahrscheinlichkeiten verwendet^[13]. Dies sei hier angemerkt, da Allais ursprünglich dieses Axiom in seinem Paradoxon wiederlegte. Die Art der Wahrscheinlichkeit ist dafür jedoch irrelevant.

Für die Rationalität im Sinne der EUT gilt: Erkennt ein Entscheider die Axiome als Grundlage seiner Entscheidung an, so muss er diese einhalten und seinen EU maximieren, um sich rational zu Verhalten.^[14]

3 Modellierung des Allais-Paradoxon

3.1 Experimenteller Aufbau des Allais Paradoxon

M. Allais hat das Paradoxon als: „Les choix aléatoires au voisinage de la certitude mettant en échec le principe d‘indépendance de Savage“.^[15] Es dient gezielt der Widerlegung von Savage's axiomatischer Ausführung des Unabhängigkeitsaxioms. Dies ist heute allerdings in zahlreichen Ausführungen und numerischen Beispielen allgemein unter dem Allais Paradoxon (Abb.1^[16]) bekannt. Allais formulierte ein Problempaar, das hier anhand eines Lotteriemodells dargestellt werden soll^[17]. Es sind zwei Situationen S(I) und S(II) gegeben. Die Testpersonen müssen eine Präferenz für jeweils eine der zwei Lotterien bekannt geben. Auf den Lotteriesträngen, der einzelnen Lotterien ist die jeweilige Wahrscheinlichkeit (p), der dahinter stehenden Konsequenzen aufgetragen. Nach Allais Untersuchungen und später folgenden Experimenten wählen die meisten Testpersonen in S (I) (vgl. Abb.1) die Lotterie X, die einen sicheren Gewinn von 1Mio. Euro verspricht. Die Lotterie Y ermöglicht zwar zu einer 10% Chance einen höheren Gewinn von 5Mio. Euro, jedoch besteht die Gefahr, wenn auch nur zu einer Wahrscheinlichkeit von 1%, leer auszugehen. Werden die Testpersonen die in (I) eine Präferenz für X angegeben haben, nun in der weniger attraktiven Situation (II) nach ihrer Wahl gefragt, bevorzugen viele die Lotterie Y*.

[...]

^[1] Vgl. Eisenführer, Weber (1999) S. 99 Definition 5.1

^[2] Bernoulli geht von einem abnehmenden Grenznutzen des Geldes aus. Daraus leitet er den logarithmischen Verlauf ab.

Vgl. Kathrin Fischer (2004) S.32

^[3] Vgl. Eisenführer, Weber (1999) S.211 Gleichung (9.3)

^[4] Die Wahrscheinlichkeiten sind objektiv bekannt und beruhen nicht auf subjektiven Schätzungen.

^[5] Vgl. Kahneman, Tversky (1979) S.264

^[6] Als Maß für die Risikoeinstellung wird heute, das nach den Autoren benannte, Arrow-Pratt-Maß verwendet.

^[7] Ein Axiomsystem stellt die unabdingbaren Forderungen: widerspruchsfrei, unabhängig und vollständig zu sein. Vgl. Heilig (1977)

^[8] Vgl. Von Neumann, Morgenstern

^[9] Vgl. Kugel, Roth (1997) S.619

^[10] Vgl. Herstein und Milnor (1953) S.291-297 und Eisenführer, Weber (1993) S.212-217

^[11] Eine ausführliche Erläuterung der Substituierbarkeit bietet auch Raiffa (1973) S.82-83

^[12] Vgl. z.B. Allais (1953) S.515 oder Eisenführer, Weber (1993) S.220-221

^[13] Vgl. Kugel, Roth (1997) S.644

^[14] Vgl. Eisenführer, Weber (1999) S.223

^[15] Allais (1953) S.525

^[16] Das Allais Paradoxon in Abb.1 ist in Darstellung, Wertmäßigkeit der Gewinne und Währung abweichend vom Original.

Vgl. z.B. Allais (1953) S.527

^[17] Vgl. Allais (1953) S.525-529