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Schriftliche Rechenverfahren der Addition

Hausarbeit (Hauptseminar) 2003 11 Seiten

Didaktik - Mathematik

Leseprobe

Schriftliche Rechenverfahren der Addition

Einleitung

Diese Arbeit ist im Zusammenhang mit einem Referat zum Thema „Schriftliche Rechenverfahren der Addition“ im Hauptseminar „Didaktik der Arithmetik“ an der Humboldt Universität Berlin im Sommersemester 2003 entstanden.

In dieser Ausarbeitung werden zuerst die nichtschriftlichen Rechenverfahren der Addition kurz eingeführt, welches ebenfalls im Hauptseminar innerhalb des Vortrages erfolgte. Anschließend werden die schriftlichen Rechenverfahren der Addition erläutert. Dabei werden zunächst das Normalverfahren der Addition charakterisiert, dann folgt der mathematische Hintergrund der Rechenverfahren bezüglich der Addition.

Die schriftlichen Rechenverfahren bringen neben vielen Vorteilen auch viele Nachteile mit sich, diese werden im weiteren Verlauf dieser Arbeit zusammengefasst. Es gibt verschiedene Vorgänge innerhalb der schriftlichen Rechenverfahren der Addition. Davon werden zwei in dieser Arbeit präsentiert. Zum Einen das Rechnen im dezimalen Stellenwertsystem und zum Anderen im nichtdezimalen Stellenwertsystem.

Ein breites Thema der schriftlichen Addition nehmen die typischen Schülerfehler ein. Von denen werden einige in dieser Ausarbeitung mit Beispielen erörtert. Abschließend wird die Wichtigkeit der schriftlichen Rechenverfahren in der Schule, die im Seminar diskutiert wurde, zusammengetragen.

1. Nichtschriftliche Rechenverfahren

Die nichtschriftlichen Rechenverfahren spielen im Leben eines Kindes der Grundschule eine wichtige Rolle. Denn hier lernt er prinzipielle Rechenregeln, die er in seiner weiteren Schullaufbahn anwenden muss.

Die mündliche Addition und Subtraktion wird schon im ersten Schuljahr eingeführt. Die Multiplikation und Division dagegen wird erst im zweiten Schuljahr eingeführt. Denn für eine angemessene Behandlung dieser Rechenarten sind „größere“ Zahlen erforderlich.

Es gibt verschiedene Strategien auf die die Schulanfänger bei Additionsaufgaben zurückgreifen. Nach Untersuchungen von Carpenter, Moser und Romberg lassen sich folgende Strategien unterscheiden:1

1.1 Additionsstrategien:

- Vollständiges Auszählen

Diese Methode wird vor allem bei Benutzung von Materialien eingesetzt. z. B. Klötzchen oder Plättchen Beispiel : 4 + 5

Hierbei werden zunächst 4 Plättchen und danach 5 Plättchen hingelegt und die Summe wird durch vollständiges Auszählen (1,2,3,4,5,6,7,8,9)der Gesamtmenge bestimmt.

- Weiterzählen vom ersten Summanden aus

Diese Strategie bildet eine Weiterentwicklung vom vollständigen Auszählen. Im Beispiel

4 + 5 wird nicht mehr von 1 bis 9, sondern nur noch 5, 6, 7, 8, 9 gezählt.

- Weiterzählen vom größeren Summanden aus

Wenn der zweite Summand größer ist, so muss man bei der Aufgabe 3 + 6 nicht mehr wie bei der bisherigen Strategie 4, 5, 6, 7,8, 9, sondern nur noch 7, 8, 9 zählen, um das Ergebnis zu erhalten. Grundlage für den Einsatz dieser Zählstrategie ist das Kommutativgesetz der Addition.

- Weiterzählen vom größeren Summanden aus in größeren Schritten

Statt eine Aufgabe wie 7 +8 durch achtmaliges Weiterzählen zu lösen, kann man sie auch

mittels Zweierschritten (9, 11, 13, 15) oder mittels Viererschritten (11, 15) lösen.

Der Fortschritt des einzelnen Schülers bezüglich dieser verschiedenen Zählstrategien lässt sich nicht als ein „lineares Fortschreiten“ vorstellen. Denn jeder Schüler greift in bestimmten Situationen auch bei Kenntnis effektivster Zählstrategien gelegentlich auf einfachere Zählstrategien zurück.2 Dies ließ sich ebenfalls in unserem Seminar an Studenten erkennen. Bei Additionsaufgaben zweistelliger Zahlen griffen die Studenten auf unterschiedliche Methoden zurück. Wichtig zu erwähnen ist, dass die Lösung von Additionsaufgaben während der Grundschulzeit nicht auf dem Niveau des Einsatzes von Zählstrategien zurückbleibt. Denn die Schüler verfügen im Laufe der Zeit über mehr und mehr Additionsansätze des Kleinen 1 + 1, die sie aufgrund häufiger Benutzung oder gezielten Auswendiglernens beherrschen.

1.2 Das kleine 1 +1 im Unterricht

Zur Behandlung des Kleinen 1+1 im Unterricht empfiehlt Padberg 3 für die Einführung der Addition eine aspektreiche systematische Behandlung. Man sollte sich nicht nur auf den Kardinalzahlaspekt beschränken, sondern auch andere Zahlaspekte miteinbeziehen. Neben dem Kardinalzahlaspekt spielt auch der Maßzahlaspekt eine wichtige Rolle. Vor allem Längen, Geldwerte sind für den Anfangsunterricht angesprochene Größenbereiche. Je nach Länge verschieden gefärbte Rechenstäbe (Cuisenairestäbe) und Geldstücke sind entsprechende Materialien. Neben Bildern von homogenem Material z. B. Plättchen können in diesem Zusammenhang vielfach auch Bilder aus der Erfahrungswelt der Kinder (Tiere, Pflanzen, Kinder) benutzt werden. Beim Einsatz der verschiedenen Modelle im Unterricht sollte aber nicht zu viel Veranschaulichungsmaterial eingesetzt werden. Da es nicht immer hilfreich sein kann, und noch von den Schülern zusätzlich gelernt werden muss.4 Die Erarbeitung des Kleinen 1+1 erfolgt im Unterricht des 1. Schuljahres unter diesen und ähnlichen Modellen. Die 1+1 Sätze werden aber nicht stur der Reihe nach einzeln gelernt, sondern werden von Strategien begleitet, wie von Tausch-, Verdoppelungs-, Nachbar- und Analogieaufgaben.

2. Schriftliche Rechenverfahren

Schriftliche Rechenverfahren sind algorithmische Verfahren. „Algorithmus (nach dem arabischen Mathematiker Al Chwarismi) ist ein abgeschlossener Rechenvorgang mit einer zyklisch sich wiederholenden Gesetzmäßigkeit.“5

Zu ihnen gehören die schriftliche Addition, die – Subtraktion, die – Multiplikation und die schriftliche Division. Sie haben den Vorteil, dass sie zum größten Teil automatisch ablaufen. In der Grundschule wurden die schriftlichen Rechenverfahren durch die Beschlüsse der Kultusministerkonferenz weitestgehend normiert und verbindlich vorgeschrieben. Als Endziel wird ein Normalverfahren angestrebt, das heißt, die Einzelschritte erfolgen nach festgelegten Regeln und in einer bestimmten Reihenfolge. Des weiteren schreiben die Beschlüsse der Kultusministerkonferenz eine Festlegung der Sprech- und Schreibweisen bei den schriftlichen Rechenverfahren vor.6 Wesentlich für die schriftlichen Normalverfahren ist, dass ziffernweise gerechnet wird. Das bedeutet, dass nie die gesamte Zahl im Blick der Rechnerin oder des Rechners steht, sondern jeweils die einzelnen Ziffern der Zahl.
Bei den schriftlichen Normalverfahren wird jeweils nach dem Prinzip des Stellenwertsystems gerechnet.

2.1 Das Normalverfahren der schriftlichen Addition

Die schriftliche Addition ist das unkomplizierteste der schriftlichen Rechenverfahren. Ein sicheres Beherrschen der Grundaufgaben zur Addition bis 20 und ein ausreichendes Verständnis des Stellenwertbegriffs und des Bündelungsprinzips sind jedoch Voraussetzung.

Beispiel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Sprechweise:

Sechs plus sieben gleich dreizehn, schreibe drei, übertrage eins.
Eins plus vier plus drei gleich acht, schreibe acht.
Drei plus vier gleich sieben, schreibe sieben.7

Die Summanden werden stellengerecht untereinander angeordnet. Aus der Festlegung der Sprechweise kann man entnehmen, dass beim Normalverfahren der schriftlichen Addition von unten nach oben addiert wird (es wird bei den Einern begonnen) und die Übertragsziffern (werden meist etwas kleiner am unteren Rand der nächsten, linken Spalte notiert) beim Aufaddieren mitgesprochen werden. Dennoch sollte man die Übertragsziffern nicht notieren und sie beim Aufaddieren nicht mitsprechen, sondern sie lediglich im Kopf dazuzählen.

Also nicht: Eins plus vier plus acht, sondern fünf (!) plus acht. So wird es bei der schriftlichen Subtraktion auch gehandhabt und die SchülerInnen kommen dadurch später nicht durcheinander. Padberg8 dagegen lässt einige Unterschiede zur Sprechweise erkennen, indem er die Übertragsziffer in die nächste linke Spalte notiert und die Zahlen des ersten Summanden nicht mitspricht. Beispiel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Sprechweise: (Endform)

6, 13

1, 5, 8 (zum Teil auch kürzer nur: 5, 8)

3, 7

In anderen Ländern in Europa lassen sich auch minimale Unterschiede bei der schriftlichen Addition erkennen. In Italien wird zum Beispiel das Plus- und Gleichheitszeichen auf die rechte Seite notiert, statt auf die linke Seite wie in Deutschland. Oder in Finnland wird die Übertragsziffer in die oberste Spalte geschrieben. In Ländern wie in Griechenland, Spanien und Türkei lassen sich innerhalb der schriftlichen Addition keine Unterschiede feststellen.

2.2 Mathematischer Hintergrund

Das Normalverfahren beruht im wesentlichen auf der Gültigkeit des Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetzes, sowie auf der Tätigkeit des Umbündelns sobald in einer Stellenwertspalte der Wert 9 überschritten wird.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2. 3 Vor- und Nachteile des Normalverfahrens

2.3.1 Vorteile

Ein Vorteil des Normalverfahrens ist, dass die Schüler durch die schematische und einprägsame Abfolge der Einzelschritte sicherer rechnen und potentielle Fehlerquellen vermeiden können. Dadurch werden sie die Rechenaufgaben stetig schneller durchführen können. Durch eine ansteigende Rechensicherheit wird das Gedächtnis des Schülers entlastet und er kann sich somit auf die Probleme innerhalb der zu lösenden Rechenaufgabe konzentrieren.

Ein weiterer Vorteil ist, dass im Falle eines Orts- oder Schulwechsels durch die Normierung der schriftlichen Rechenverfahren, so gut wie keine Schwierigkeiten auftreten werden, da die Rechenverfahren überall angeglichen sind.12 Sie stellen auch eine Hilfe für die langfristige Sicherung des Lernerfolgs.

[...]


1 Padberg, (1996).S.75.

2 Ebd. (1996) S. 79.

3 Ebd.(1996) S.ff.

4 Ebd. (1996)S. 80.

5 Lingen Lexikon (1973)

6 Padberg (1996) S. 156.

7 Gerster/ Abele (1994) S. 220.

8 Padberg (1998) S. 158.

9 Duden. Mathematik. Basiswissen Schule (2001). S.40.

10 Ebd. (2001) S.ff.

11 Ebd. (2001) S. 74.

12Padberg (1996) S. 157.

Details

Seiten
11
Jahr
2003
ISBN (eBook)
9783640550128
ISBN (Buch)
9783640552238
Dateigröße
463 KB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v146362
Institution / Hochschule
Humboldt-Universität zu Berlin – Institut für Grundschulpädagogik
Schlagworte
Schriftliche Rechenverfahren Addition

Autor

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Titel: Schriftliche Rechenverfahren der Addition