Auktionstheorie und Mechanism Design

Inhaltverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1. Einleitung

2. Grundlagen
2.1 Revenue Equivalence Theorem
2.2 Revelation Principle

3 Risikoaversion
3.1 Entscheidung unter Unsicherheit
3.2 Risikoaversion
3.3 Die Auswirkung von Risikoaversion auf die Entscheidung

4.Optimales Auktionsdesign
4.1 Risikoaverse Bieter bei Auktionen
4.2 Risikoaverse Verkäufer bei Auktionen
4.3 Einfluss von Informationen auf das Risiko des Bieters
4.4 Das optimale Auktionsdesign unter Risikoaversion

5. Schlusswort

6.Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Beweis der dominanten Strategie für den Fall ba < va

Abbildung 2: Beweis der dominanten Strategie für den Fall ba > va

Abbildung 3: Die Risikoaversion Abbildung 4: Die Risikoprämie

1 Einleitung

Auch wenn Auktionen keinen konventionellen Preisfindungs­mechanismus darstellen, gewinnen sie sowohl in der wissenschaftlichen Literatur als auch in der Praxis zunehmend an Bedeutung. Der Staat ver­steigert zum Beispiel Bundesschatzbriefe zur Deckung des Haushalts­defizits und Lizenzen für Bohr- und Schürfrechte; Unternehmen beschaffen mit Hilfe von Ausschreibungen Vorprodukte und Dienstleist­ungen; Online-Auktionsplattformen erfreuen sich immer größerer Beliebtheit. Diese Aufzählung könnte noch mit zahlreichen Beispielen fort­geführt werden.¹

Im Gegensatz zu Festpreissystemen liegt der Vorteil von Auktionen darin, dass sie dem Verkäufer die Möglichkeit eröffnen, das Verkaufsobjekt dem Käufer mit der höchsten Wertschätzung zu verkaufen. Da der Preis des Objektes aus dem Wettbewerb zwischen den Bietern resultiert, erübrigt sich die Frage für den Verkäufer, wem und zu welchem Preis er das Objekt anbieten sollte. Der Verkäufer muss sich jedoch mit Fragen der Effizienz und Optimalität von Auktionen auseinandersetzen: Wie wird sichergestellt, dass der Bieter mit der höchsten Wertschätzung auch tatsächlich den Zuschlag erhält? Wie muss der Verkäufer den Auktions­mechanismus gestalten, um einen möglichst hohen Erlös zu erzielen? In der Literatur der Auktionstheorie werden Auktionen unter bestimmten Annahmen untersucht und optimale Auktionsmechanismen aufgezeigt. Diese Annahmen sind in der Realität aber oft nicht gegeben.

Im Verlauf dieser Arbeit wird die Annahme der Risikoneutralität der Bieter durch Risikoaversion ersetzt und ihre Auswirkungen auf das optimale Auktionsdesign untersucht. Mit dieser neuen Annahme sind folgende Fragen verbunden:

Wird der erwartete Ertrag des Verkäufers unter Risikoaversion der Bieter höher oder niedriger sein als bei Risikoneutralität? Hat der Verkäufer die Möglichkeit, Einfluss hierauf zu nehmen? Resultieren aus der Risiko­aversion Veränderungen im Bietverhalten der Bieter? Wie sieht dann das optimale Auktionsdesign unter Risikoaversion der Bieter aus?

Im Rahmen dieser Seminararbeit sollen mögliche Antworten auf diese Fragen aufgezeigt werden. Aufgrund der Vielzahl der zur Auswahl stehenden Auktionsmechanismen ergeben sich bei der Suche nach dem optimalen Auktionsdesign unter Risikoaversion interessante Unterschiede im Vergleich zur Risikoneutralitätsannahme.

2 Grundlagen

2.1 Revenue Equivalence Theorem

In der Auktionstheorie stellt sich für den Verkäufer eines Gutes die Frage, welche der vier Standardauktionsformen (Englische, Holländische, Höchstpreis-, Zweitpreisauktion) er für den Verkauf eines einzelnen Gutes wählen sollte, um seinen Ertrag zu maximieren. Man könnte zu der irreführenden Annahme gelangen, dass eine Höchstpreisauktion einer Zweitpreis- bzw. Vickrey-Auktion vorzuziehen sei, da der Verkäufer nicht die zweithöchste, sondern die höchste Wertschätzung als Ertrag erhalten würde.

William Vickrey kam aber 1961 im Rahmen seiner Arbeit² zu dem überraschenden Ergebnis, dass es unter bestimmten Annahmen für den Verkäufer keine Rolle spielt, welche der vier Auktionsformen er wählt. Der durchschnittlich zu erwartende Ertrag ist in jedem Fall äquivalent. Diese Erkenntnis ist als Revenue Equivalence Theorem (Erlös Äquivalenz Theorem) bekannt. Dieses Theorem basiert auf den folgenden Annahmen: Die Anzahl der Bieter und ihre Risikoeinstellung sind bekannt; die Bieter sind risikoneutral und haben private Informationen über den Wert des zu versteigernden Objektes; diese Informationen sind unabhängig voneinander und stammen aus einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeits­verteilung.³ Das Revenue Equivalence Theorem gilt für jede Auktions­form, bei der der Bieter mit der höchsten Wertschätzung den Zuschlag erhält und die restlichen Teilnehmer einen Gewinn von 0 erzielen. Wie dieses Theorem begründet ist, wird im Folgenden kurz erläutert. Hierbei wird für den Beweis aus Vereinfachungsgründen auf die Literatur ver­wiesen.⁴

Zunächst wird die Äquivalenz zwischen der Holländischen und der versiegelten Höchstpreisauktion betrachtet. Bei beiden Auktionsformen haben die Bieter keine Informationen über die Wertschätzungen der Konkurrenten und müssen sich unabhängig davon für ihre Gebotsabgabe entscheiden. Da der Gewinner der Auktion bei beiden Auktionsformen sein eigenes Gebot an den Verkäufer bezahlen muss, liegt es in seinem Interesse, ein Gebot von b unterhalb seiner Wertschätzung von v abzugeben, d.h. b < v. Bei seiner Gebotsabgabe ist jeder Bieter daher gezwungen, Vermutungen über die möglichen Wertschätzungen der anderen Bieter anzustellen, um diese marginal zu überbieten. Voraussetzung hierfür ist, dass er eine größere Wertschätzung als seine Mitstreiter hat, andernfalls würde er von diesen überboten werden. Vickrey hat gezeigt, dass die Gleichgewichtsbietstrategie eines jeden Bieters im Falle von n Bietern, deren Wertschätzung unabhängig von­einander und stochastisch aus dem Interval [0,1] gleichverteilt sind, durch die folgende Funktion beschrieben werden kann:⁵

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1: Beweis der dominanten Strategie für den Fall ba < va

Im zweiten Fall bietet Individuum A oberhalb seiner Wertschätzung. Individuum В gibt ein Gebot gemäß seiner Wertschätzung ab und überbietet die Wertschätzung von A. Individuum A ist Gewinner der Auktion, jedoch hat er durch die Gebotsabgabe oberhalb der eigenen Wertschätzung einen Preis in Höhe von bb zu entrichten.

Dadurch realisiert Individuum A einen Verlust in Höhe von bb - va.Gebot,Wertschätzung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Mit zunehmender Bieteranzahl erhöht sich das optimale Gebot. Im Falle der vollständigen Konkurrenz n wird jeder Bieter seine eigene Wertschätzung bieten.

Im Folgenden wird die Äquivalenz der Englischen und der Vickrey- Auktion dargestellt. Bei beiden Auktionsformen besteht die dominante Strategie eines jeden Bieters darin, ein Gebot in Höhe seiner individuellen Wertschätzung abzugeben.[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Aus den unteren Abbildungen wird ersichtlich, dass es für Individuum A keine Möglichkeit gibt, durch ein abweichendes Verhalten von der dominanten Strategie, seinen Ertrag zu maximieren.

Im ersten Fall bietet Individuum A unterhalb seiner Wertschätzung. Individuum В gewinnt die Auktion, obwohl A eine größere Wert­schätzung hat. Wie man erkennt, entgeht A ein Ertrag in Höhe

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2: Beweis der dominanten Strategie für den Fall ba > va

Während der Höchstbietende bei einer Vickrey-Auktion lediglich das Gebot des Zweitbietenden bezahlen muss, verbleibt ein Bieter einer

[...]

¹ Vgl. Wolfstetter (2002), S. 184

² Vgl. Vickrey (1961)

³ Vgl. Maskin; Riley (1985), S.150

⁴ Vgl. Myerson (1981); Riley; Samuelson (1981); Vickrey (1961)

⁵ Vgl. Moldovanu (1996), S.653f