Die Verwendung und Bewertung Asiatischer Optionen

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Variablenverzeichnis

1 Einleitung

2 Überblick über Optionsvarianten
2.1 Plain-Vanilla-Optionen
2.2 Black-Scholes: Annahmen und Bewertung
2.3 Exotische Optionen
2.3.1 Pfadunabhängige Optionen
2.3.2 Pfadabhängige Optionen

3 Entstehung und Relevanz Asiatischer Optionen
3.1 Die ersten Vertragsschlüsse
3.2 Namensgebung
3.3 Gewinnbeteiligungen
3.4 Feindliche Unternehmensübernahme
3.5 200-Tage-Durschnittslinie
3.6 Zwischenfazit

4 Ausgestaltung Asiatischer Optionen
4.1 Auszahlungsprofile
4.2 Mittelwertbildung
4.3 Die Put-Call-Parität
4.4 Griechisches Hedging

5 Bewertung Asiatischer Optionen
5.1 Literaturüberblick
5.2 Die Monte-Carlo-Simulation
5.3 Varianzreduktion
5.4 Analyse der MC-Verfahren
5.5 Geometrische Bewertung
5.6 Geometrisches Konditionieren
5.7 Analytische Auswertung des Konditionierens
5.8 Kapitelzusammenfassung

6 Verwendungsszenarien Asiatischer Optionen
6.1 Hedging des Rohölpreises
6.2 Devisenhedging

7 Fazit

Literatur

Abbildungsverzeichnis

1 Kategorisierung exotischer Optionen

2 Auszahlungsprofile der ARO und ASO

3 Festlegung der Beobachtungszeitpunkte

4 Entwicklung des Standardfehlers der MC-Simulation

5 Übersicht über die verwendeten Bewertungsverfahren Asiatischer Optionen

6 Preisentwicklung von WTI Rohöl in USD im Jahr 2007

7 Wechselkursverlauf GBP/EUR in 2008

Tabellenverzeichnis

1 Vergleich der Auszahlungen von ARO und ASO

2 Preise aus Monte-Carlo-Berechnungen

3 Preisunterschiede zwischen diskreter und kontinuierlicher Beobachtung

4 Preisermittlung mittels Konditionieren

5 ÖlpreishedgingmitOptionen

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Variablenverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Einleitung

In den 70er Jahren des vorigen Jahrhunderts gab es die erste folgenschwere Ölkrise. Aus- gelöst wurde diese durch den Nahostkonflikt, in dessen Folge die Fördermengen durch die OPEC aus strategischen Gründen gesenkt worden waren. Dadurch stiegen die Ölpreise.Ne- ben gesellschaftlichen Auswirkungen wie z.B. Sonntagsfahrverboten oder neuen Geschwin- digkeitsbegrenzungen in der Bundesrepublik Deutschland kam es weltweit zu wirtschaftlichen Auswirkungen, da die von der Industrie benötigten Ölkäufe teurer wurden. In der Bundes- republik Deutschland kam es zu einem deutlichen Anstieg von Unternehmensinsolvenzen, Kurzarbeit bzw. Arbeitslosigkeit und folglich wiederum zu höheren Sozialausgaben. Bis heu- te sind die Ölmärkte noch sehr volatil geblieben, so dass Unternehmen wie auch die privaten Haushalte entsprechende Entwicklungen spüren. Für Spekulationen scheint es hier zwar enor- me Chancen und Risiken zu geben. Der ursprüngliche Zweck ist jedoch die Inanspruchnahme des Rohstoffes, so dass folglich das Interesse in einem niedrigen und kalkulierbaren Bezugs- preis liegt.¹

ÄhnlicheRisiken herrschen aufgrund von enormen, unvorhersehbaren Schwankungen an den Devisenmärkten. Im heutigen global vernetzten Welthandel schließen Unternehmen unter- schiedlicher Währungsgebiete eine unüberschaubare Menge an Verträgen. Auf mindestens ei- ner Seite entsteht das Wechselkursrisiko, wenn eine Rechnung auf Ziel gezahlt wird. Zu einer Risikominderung hat im Euro-Raum bereits die Einführung einer einheitlichen Währung bei- getragen. Hätte es eine gemeinsame Währung in der aktuell noch anhaltenden Wirtschafts- und Finanzkrise nicht gegeben, wäre diese nach Meinung zahlreicher Experten wegen der vie- len Wechselkursrisiken sehr viel dramatischer ausgefallen.² Nicht ohne Grund wird derzeit in Großbritannien wieder stärker über einen Beitritt in die Euro-Zone diskutiert.³ Dennoch gibt es auf absehbare Zeit in der Welt noch weiterhin viele bedeutende Währungen und dementsprechend viele Währungsrisiken.

Wie zu erkennen ist, können sich Unternehmen oft nicht von der Abhängigkeit von Devisen sowie Öl und damit auch nicht von anderen Energieformen entziehen. Jedoch besteht die Möglichkeit, sich gegen Kursschwankungen und damit gegen unsichere zukünftige Trans- aktionskosten abzusichern, und zwar an den Derivatemärkten.⁴ Bei europäischen Standar- doptionen besteht das Problem eines hohen Optionspreises und einer Stichtagsbezogenheit. Daher entstanden in den 70er Jahren des letzten Jahrhunderts die ersten Rohstoffanleihen, die sich auf den Durchschnittskurs des Underlyings während der Optionslaufzeit bezogen.⁵ Modelliert wurden diese mit sogenannten Durchschnittsoptionen. Das Besondere an die- sen speziellen bedingten Terminkontrakten ist, dass sich ihre Kursbildung nicht auf den Kurs eines Underlyings zum Ausübungszeitpunkt, sondern auf den durchschnittlichen Kurs während der Optionslaufzeit bezieht und sie damit nie teurer als entsprechende Standardoptionen sind.⁶ Damit gehören die Durchschnittsoptionen zu den pfadabhängigen Optionen. Den damaligen Marktteilnehmern konnten damit individuellere und günstigere Hedgingalternativen als mit Standardoptionen ermöglicht werden.

Im Jahr 1987 kauften vermehrt japanische Unternehmen solche Optionen, da diese verpflich- tet waren, ihr ausländisches Währungsvermögen mit durchschnittlichen Wechselkursen des Geschäftsjahres zu bilanzieren.⁷ Der damalige Verkäufer, die Vermögensgesellschaft Bankers

Trust, gab diesem Optionstyp den Namen

”AsiatischeOption“.Siegehörenheutezuden

populärsten pfadabhängigen Optionen und sind als exotische Optionen eine Weiterentwicklung von Standardoptionen.⁸ Generell sind diese Optionen interessant für Märkte mit wenig Handelsvolumen, da diese höchst volatil sind. Aber auch andere Gründe, die zu Marktschwankungen führen, können ein Anwendungsmotiv ergeben. Die beschriebenen Risiken können zu jeder Zeit bestehen, und zwar auch auf anderen Märkten.

Um diese Risiken zu hedgen, wurden Asiatische Optionen geschaffen. Zur Orientierung fin- det in Kapitel 2 dieser Arbeit ein Überblick über die bedeutendsten exotischen Optionen statt sowie die Beschreibung der Standardoptionen als Grundlage für das weitere Vorgehen. Wichtig ist dort vor allem die Annahme der Lognormalverteilung des Underlying-Kurses, um mit dem Verfahren von Black-Scholes bewerten zu können. Die Bewertung der Asiatischen Optionen baut in dieser Arbeit zwar auch auf Black-Scholes auf, jedoch kann die Lognor- malverteilung nicht immer angenommen werden. Das dritte Kapitel zeigt Verwendungen Asiatischer Optionen, um die Notwendigkeit dieses besonderen Optionstyps zu verdeutli- chen. Im vierten Kapitel wird die Funktionsweise der Optionen beschrieben. Dazu wird auf besondere Charakteristika eingegangen, bevor dann im fünften Kapitel verschiedene Bewer- tungsmethoden hergeleitet werden. Im Blickpunkt stehen dabei die numerischen und appro- ximativen Verfahren. Mit den entsprechenden Formeln können dann Verwendungsszenarien im sechsten Kapitel durchgerechnet werden. Dabei wird abgewogen, wann und ob sich das Hedging mit Asiatischen Optionen lohnt. Abschließend folgt das Fazit dieser Arbeit, in dem der ökonomische Nutzen der Asiatischen Optionen analysiert wird.

2 Überblick über Optionsvarianten

Im Bereich der Derivate gibt es bedingte und unbedingte Termingeschäfte. Optionen gehören im Vergleich zu Forwards und Futures zu den unbedingten Termingeschäften. Der Käufer einer Option hat damit das Recht, aber nicht die Pflicht, seine Option zu einem festgelegten Basispreis auszuüben. Generelle Motive für den Einsatz von Optionen sind Risikoabsiche- rung, Spekulation oder Ausnutzung von Arbitragen.⁹ Da Wünsche oder Vorstellungen von künftigen Kursentwicklungen von Käufern wie Verkäufern (Stillhalter) sehr komplex sein können, kann ein entsprechend modelliertes Portfolio von Optionen sehr nützlich sein.¹⁰ Weil eine Kombination von Standardoptionen nur begrenzte Möglichkeiten besitzt, entstan- den exotische Optionen. Sie sind Erweiterungen und spezielle Ausgestaltungen von Stan- dardoptionen. Die Entstehung des Handels mit exotischen Optionen war fließend.¹¹ Falls Optionskontrakte sehr speziell gestaltet sind, werden diese meist außerbörslich über den so- genannten Over-The-Counter-Markt (OTC-Markt) gehandelt, der überwiegend telefonisch abläuft.¹² Für das bessere Verständnis der Exoten erfolgt als Grundlage für das weitere Vor- gehen zunächst eine Einführung in die Standardoptionen. Im Anschluss folgt ein Überblick über exotische Optionen. Dabei werden aus den verschiedenen Kategorien die gängigsten Optionsarten kurz vorgestellt.

2.1 Plain-Vanilla-Optionen

Bei den sogenannten Plain-Vanilla-Optionen handelt es sich um Standardoptionen, die dem Käufer das Recht einräumen, zum vereinbarten Basispreis auszuüben.¹³ Bezüglich des Ausübungszeitpunktes wird zwischen einer europäischen und einer amerikanischen Varian- te unterschieden.¹⁴ Letztere ermöglicht dem Käufer die Ausübung der Option während der gesamten Optionslaufzeit, wogegen eine europäische Option nur die Möglichkeit einräumt, zum Ende der Optionslaufzeit auszuüben. Die Option kann entweder als Call oder als Put angelegt sein. Ein Call berechtigt zum Kauf des Underlyings, ein Put zu dessen Verkauf. Die Ausübung einer Option lohnt sich, wenn ein Underlying mit Hilfe einer Option günstiger gekauft werden kann bzw. dieses dadurch teurer verkauft werden kann. Dafür muss beim Call der Underlying-Kurs über dem Basispreis liegen bzw. beim Put der Basispreis höher als der Underlying-Kurs sein. Diese Differenz wird als innerer Wert bezeichnet und beschreibt den Optionswert zum Fälligkeitstermin:

max[ωS − ωK; 0], (1)

wobei S der Kurs des Underlyings ist, K der Basispreis und ω eine Vorzeichenvariable, die po- sitiv ist, wenn es sich um einen Call handelt und negativ bei einem Put. Statt der Möglichkeit einer Ausübung erfolgt auch oft einfach ein Barwertausgleich (Cash-Settlement), womit der Auszahlungsbetrag gemeint ist.¹⁵ Der komplette Optionswert ergibt sich dann aus dem dis- kontierten Auszahlungsbetrag sowie einer Risikoprämie, die im Zeitablauf sinkt, da künftige Ereignisse desto genauer prognostiziert werden können, je näher sie am aktuellen Ereignis liegen. Aufgrund der Unsicherheit des zukünftigen Kurses des Underlyings ist die Bewertung auf diesem Wege nicht einfach. Um den Optionspreis zu berechnen, wird der Underlying-Kurs modelliert, wahlweise zeitdiskret oder zeitkontinuierlich. Das Besondere dabei ist der sto- chastische Einfluss. Das erste diskrete Bewertungsmodell, entwickelt von Cox et al. (1979), beschreibt den Aktienkursverlauf durch einen Binomialbaum und ist eine Weiterentwicklung des ersten zeitkontinuierlichen Bewertungsmodells von Black und Scholes (1973), heute be- kannt als das Black-Scholes-Modell. Die Annahmen und die Bewertungsformel dieses Modells werden im Folgenden beschrieben.

2.2 Black-Scholes: Annahmen und Bewertung

Die Black-Scholes-Formel berechnet Werte für europäische Optionen, deren Underlying keine Dividende ausschüttet.¹⁶ Die Herleitung kann über den Nachbau eines Duplikationsportfolios erfolgen oder mit der Methode der risikoneutralen Bewertung.¹⁷ Ausgangspunkt im Optionspreismodell von Black und Scholes (1973) ist die Modellierung des Underlyingkursverlaufs mit der geometrischen Brownschen Bewegung:¹⁸

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und für die Aktienrenditen[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] :

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der erste Summand auf der rechten Seite in Gleichung (3) beschreibt die erwartete Rendite µ von S in einem unendlich kleinen Zeitintervall dt. Der zweite Summand impliziert, dass es mit σ eine Varianzrate oder zusätzliche Streuung des Kursverlaufes gibt. Dabei wird z als Brownsche Bewegung oder auch Wiener Prozess bezeichnet. Dies ist eine Spezialform des stochastischen Markov-Prozesses, der hier verwendet werden kann, weil die Wahrschein- lichkeitsverteilung künftiger Kurse nicht von vergangenen, sondern nur vom aktuellen Kurs abhängt.¹⁹ Es wird angenommen, dass die relativen Änderungen des Aktienkurses in einem kleinen Zeitintervall in Gleichung (3) normalverteilt sind. Ausgehend davon kann gezeigt werden, dass die Aktienkurse lognormalverteilt sind:²⁰

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um Optionen nach Black-Scholes zu bewerten, bedarf es schließlich zusammengefasst folgender Annahmen:²¹

- Der Underlying-Kurs folgt dem in Formel (2) dargestellten Wiener Prozess, wobei µ und σ konstant während der Laufzeit sind.
- Leerverkäufe sind jederzeit möglich.
- Perfekte Märkte: Es gibt keine Transaktionskosten oder Steuern. Geldanlage und Kreditaufnahme sind zum risikolosen Zinssatz möglich.
- Alle Wertpapiere sind beliebig teilbar.
- Während der Laufzeit der Wertpapiere werden keine Dividenden gezahlt.
- Der Handel mit Wertpapieren findet zeitkontinuierlich statt.
- Der risikolose Zinssatz r ist konstant und unabhängig von den Laufzeiten.

Aus Formel (2) kann für den Aktienkursprozess die Black-Scholes Differentialgleichung hergeleitet werden. Eine Lösung dieser ist die geschlossen Bewertungsformel, bekannt als BlackScholes-Formel für einen Call bzw. Put:²²

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

bzw.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei N (·) jeweils die Normalverteilung darstellt. Falls z.B. nur der Callpreis bekannt ist, kann der Putpreis direkt über die Put-Call-Parität hergeleitet werden.²³

2.3 Exotische Optionen

Exotische Optionen sind Erweiterungen von Standardoptionen und werden entweder direkt an institutionelle Anleger verkauft oder in Kombination mit Aktien oder festverzinslichen Wertpapieren angeboten.²⁴ Mit ihnen können Vorhaben individueller modelliert werden. Die meisten exotischen Optionen werden OTC gehandelt, so dass der Exotenmarkt schwer zu überschauen ist.²⁵ Bei den speziellen Optionsarten haben sich gewisse Typen herausgebil- det, wobei die wichtigsten und häufiger verwendeten prägnante Namen bekommen haben. Aufgrund der Möglichkeit der individuellen Ausgestaltung eines Kontraktes sind Übergänge oft fließend. Folglich fällt eine Kategorisierung schwer. Eine sehr feine Differenzierung birgt dabei das Problem, dass Einordnungen dann nicht immer eindeutig vorgenommen werden können. Eine für diese Arbeit sehr sinnvolle Einteilung schlagen Schäfer (1998) und Wilkens (2000) vor, wobei letzterer innerhalb der einzelnen Kategorien noch weiteren Differenzierun- gen vornimmt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung (1) Kategorisierung exotischer Optionen Quelle: Schäfer (1998), S. 6 und Wilkens (2000), S. 102

Zum einen wird hier zwischen Pfadabhängigen und Pfadunabhängigen Optionen unterschie- den, zum anderen können als Underlying auch mehrere verschiedene Basiswerte berücksichtigt werden.

2.3.1 Pfadunabhängige Optionen

Der Name Pseudoexotische Optionen impliziert bereits, dass diese Exotenkategorie den Stan- dardoptionen am ähnlichsten ist.²⁶ Zu ihnen gehören Digital Optionen, oder auch Binary Op- tionen genannt, die dem Käufer dann eine Auszahlung von 1 bringen, wenn das Underlying am Ende der Optionslaufzeit über dem Basispreis liegt, ansonsten 0.²⁷ Chooser Optionen gleichen vom Auszahlungsprofil Straddles.²⁸ Der Käufer kann am Ende wählen, ob er die Rechte eines Call oder Put wahrnehmen möchte. Compound Optionen sind dagegen Optionen auf Optionen.²⁹

Korrelationsabhängige Optionen sind ebenfalls nicht pfadabhängig, jedoch beziehen sich diese auf mehrere Basiswerte. Dabei können die zugrunde liegenden Basiswerte in der Vertragsgestaltung der Option unterschiedliche Gewichtungen einnehmen.³⁰ Eine wichtige Option dieser Kategorie sind die Basket Optionen. Sie beziehen sich auf das gewichtete Mittel der Kurse mehrerer Basiswerte.³¹ Dagegen berücksichtigen Rainbow Optionen nur eine gewisse Anzahl der am besten oder schlechtesten verlaufenden Basiswerte.³²

2.3.2 Pfadabhängige Optionen

Die Auszahlung einer Plain-Vanilla-Option ist unabhängig vom Verlauf des Underlyings während der Optionslaufzeit. Anders ist es bei Pfadabhängigen Optionen: Ihre Preisbildung ist abhängig von der Art und Weise, wie der Kurs sich während der gesamten Laufzeit entwi- ckelt.³³ Durch die zusätzliche Berücksichtigung der Vergangenheit ist die Bewertung relativ kompliziert, so dass auch nicht von allen Pfadabhängigen Optionen geschlossene Bewertungs- formeln existieren.³⁴ In solchen Fällen können numerische Verfahren verwendet werden, die allerdings meist lange Rechenzeiten benötigen oder zu ungenau sind.³⁵ Im Auszahlungspro- fil einer Pfadabhängigen Option kann der maximale, minimale oder durchschnittliche Kurs zugrunde gelegt werden.³⁶ Alternativ kann es auch erst eine Auszahlung geben bei Erreichen oder Überschreiten eines bestimmten Wertes.³⁷ Für die Bewertung dieser Optionen und de- ren Auszahlungsprofile ist es erforderlich, dass regelmäßig Kurswerte beobachtet werden, die dann wieder in einem Wert zusammengefasst werden können: die pfadabhängige Größe. Wird in Gleichung (1) für den inneren Wert substituiert, dann ist die Auszahlung die Differenz aus pfadabhängigem Kurs und Basispreis:

max[pfadabhängiger Underlyingkurs − K; 0]. (6)

Alternativ kann statt des Underlying-Kurses auch der Basispreis in Gleichung (1) einen pfadabhängigen Kurs annehmen:

max [S − pfadabhängiger Basiskurs; 0]. (7)

[...]

---

¹Vgl. Hohensee (1996), S. 109-248.

²Vgl. Giscard d’Estaing (2009).

³Vgl. Krönig (2009).

⁴Vgl. Chen und Lyuu (2007), S. 1711.

⁵Vgl. Vorst (1996), S. 175.

⁶Vgl. Levy (1992), S. 474.

⁷Vgl. Chen und Lyuu (2007), S. 1711.

⁸Vgl. Zhang (1998), S. 113.

⁹Vgl. Schäfer (1998), S. 5.

¹⁰Ross (1976) hatte erstmals die Idee, Auszahlungsprofile mit Optionen zu modellieren.

¹¹Vgl. Rudolph und Schäfer (2005), S. 146-148.

¹²Hull (2006), S. 25.

¹³Der Begriff ”Plain-Vanilla“istheuteinderBörsenspracheeinetablierterBegriff.ErhatseinenUrsprung bei Eiscreme, da Vanilla als die Standardausführung von Eiscreme gesehen wird. In der Finanzwelt sind damit Standardwertpapiere ohne irgendwelche Besonderheiten gemeint. Vgl. Lemnitzer ([2009]).

¹⁴Eine Mischung aus europäischer und amerikanischer Option ist die Bermuda-Option. Vgl. Hull (2006), S. 891.

¹⁵Vgl. Steiner (2007), S. 425.

¹⁶Vgl. Haug (1998), S.1. Dividendenzahlungen des Underlyings können in die Black-Scholes-Formel implementiert werden, jedoch nicht bei amerikanischen Optionen. Dort gilt die Formel nur für dividendenlose Optionen. Für amerikanische Put-Optionen existieren keine analytischen Lösungen.

¹⁷Vgl. Back (2005), S. 49 und Wallmeier (2003), S. 9-15.

¹⁸Vgl. Glasserman (2008), S. 96-98.

¹⁹Vgl. Hull (2006), S. 326-327.

²⁰Vgl. Wallmeier (2003), S. 7-9

²¹Vgl. Hull (2006), S. 357.

²²Vgl. Haug (1998), S.1-2.

²³Vgl. Hull (2006) S. 361-362.

²⁴Vgl. Wilkens (2000), S. 19.

²⁵Hull (2006), S. 25.

²⁶Vgl. Schäfer (1998), S. 6.

²⁷Vgl. Deutsch (2008), S. 340-342.

²⁸Ein Straddle besteht aus einem Call und Put zu jeweils gleichem Basispreis. Vgl. Hull (2006), S. 290.

²⁹Vgl. Briys (1998), S. 173-174.

³⁰Vgl. Ravindran (1996), S. 54-58.

³¹Vgl. Back (2005), S. 176-178.

³²Vgl. Briys (1998), S. 313-331.

³³Vgl. Ingersoll (1987), S. 376-379.

³⁴Vgl Hull (2006), S. 684-689.

³⁵Vgl. Schäfer (1998), S. 12.

³⁶Vgl. Deutsch (2008), S. 335-338.

³⁷Vgl. Briys (1998), S. 359-361.