Leseprobe
Wissenschaftliche Prüfungsarbeit
gemäß § 12 der Landesverordnung über die erste Staatsprüfung für das
Lehramt an Realschulen vom 31. März 1982 (GVBI. S. 133), zuletzt
geändert durch Artikel 2 der Landesverordnung vom
13. September 2005 (GVBI. S. 372)
der Kandidat
Marc Sprick
der Universität Koblenz-Landau, Abteilung Landau
Fach:
Mathematik
Thema:
Herleitung der Integration für Funktionen von
2
nach
bezogen auf das Riemannintegral
Abgabedatum:
18.05.2009
Inhaltsverzeichnis
i
Inhaltsverzeichnis
Seite
Prolog... 1
IIII Herleitung der Integration für Funktionen von
2
nach
bezogen auf das Riemannintegral ... 3
1 Das bestimmte Integral stetiger Funktionen in
... 3
1.1 Herleitung des bestimmten Integrals ...3
1.2 Das Riemannintegral ...6
1.3 Geometrische Deutung des Integrals...7
1.4 Eigenschaften des bestimmten Integrals ...8
1.4.1 Intervalladditivität...8
1.4.2 Intervallgrenzenvertauschung ...8
1.4.3 Linearität im Integranden...8
1.4.4 Ungleichungen für Integrale ...9
1.5 Mittelwertsatz der Integralrechnung...9
1.6 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung...10
1.7 Definition der Stammfunktion ...11
1.8 Berechnung des bestimmten Integrals ...12
2 Herleitung der Integration stetiger Funktionen in
2
bezogen auf das Riemannintegral... 14
3 Berechnung des Doppelintegrals durch Zerlegung der
doppelten Integration in zwei einfache Integrationen... 19
3.1 Beweis zur Vertauschung zweier Grenzübergänge ...23
3.2 Satz von Fubini...26
3.2.1 Beispiel zum Satz von Fubini (Berechnung eines
Doppelintegrals) ...27
Inhaltsverzeichnis
ii
4 Herleitung von Doppelintegralen mit beliebigen
Integrationsbereichen ... 28
4.1 Doppelintegrale mit Integrationsbereich N, der einem
Normalbereich entspricht...28
4.1.1 Definition des Normalbereiches...28
4.1.2 Doppelintegrale über Normalbereichen...29
4.1.3 Beispiel zum Doppelintegral über einem Normalbereich..30
4.2 Doppelintegrale mit Integrationsbereich, der einem
beliebigen Bereich entspricht ...31
4.2.1 Berechnung des Flächeninhalts einer beliebigen Fläche .31
4.2.2 Herleitung des Doppelintegrals einer stetigen Funktion in
2
über einer beliebigen Fläche ...34
5 Erweiterung des Integralbegriffs auf stückweise stetige
Funktionen ... 36
5.1 Integral einer stückweise stetigen Funktion in
...36
5.2 Integral einer stückweise stetigen Funktion in
2
...39
II
II
II
II Flächen- , Volumenberechung und Grenzwertprozesse
in den verschiedenen Schulstufen... 41
1 Primarstufe... 42
1.1 Flächenberechnung ...42
1.2 Volumenberechnung ...48
2 Sekundarstufe IIII ... 50
2.1 Flächenberechnung ...50
2.1.1 Berechung des Flächeninhaltes des Kreises...51
2.2 Volumenberechnung ...56
Inhaltsverzeichnis
iii
3 Sekundarstufe II
II
II
II ... 56
3.1 Flächenberechnung ...57
3.2 Volumenberechnung ...58
Epilog ... 60
Literaturverzeichnis ... 62
Abbildungsverzeichnis
iv
Abbildungsverzeichnis
Seite
Abb. 1:
Untersumme als Treppenkurve mit
k
I und x
...4
Abb. 2:
Obersumme als Treppenkurve mit
k
S und x
...5
Abb. 3:
Riemann Summe als Treppenkurve ...6
Abb. 4:
Grafische Darstellung des Integrals
b
a
f(x) dx
...7
Abb. 5:
Grafische Darstellung von
( )
z = f x,y über R ...14
Abb. 6:
Rechtecksbereich R in der
( )
x,y Ebene ...15
Abb. 7:
Unterteilter Rechtecksbereich R in m n
iiii
gleichgroße
Rechtecke
ik
R ...16
Abb. 8:
Quader aus dem Minimum
ik
I
x y
iiii
und Maximum
ik
S
x y
iiii
über dem Rechteck
ik
R ...17
Abb. 9:
Quader mit der Deckfläche
(
)
z f x,y
=
über R in m
Schichten parallel zur
( )
x,z Ebene zerschnitten ...19
Abb. 10:
Quader mit der Deckfläche
(
)
z f x,y
=
über R in m
Schichten parallel zur
( )
y,z Ebene zerschnitten ...22
Abb. 11:
Normalbereich N bezüglich der x Achse...28
Abb. 12:
Normalbereich N bezüglich der y Achse ...29
Abb. 13:
Beliebige Fläche F mit Flächeninhalt
( )
A F ...31
Abb. 14:
Zerlegung Z des Rechtecks in Teilrechtecke...32
Abb. 15:
( )
Z
A F der Fläche F ...33
Abb. 16:
( )
Z
A F der Fläche F ...33
Abb. 17:
Grafische Darstellung von
( )
z = f x,y über F ...34
Abb. 18:
Grafische Darstellung einer Funktion f auf
[ ]
a,b ...37
Abb. 19:
Zerlegung der Funktion f in 4 Teilintervalle ...38
Abbildungsverzeichnis
v
Abb. 20:
Aufteilung in Teilbereiche
n
T in der
( )
x,z Ebene ...39
Abb. 21:
Flächeninhalt in verschiedenen Einheiten...43
Abb. 22:
Leichtere Bestimmung durch kleinere Einheit ...44
Abb. 23:
Tangram mit unterschiedlichen Figuren
(Radatz, 1991, S.171) ...44
Abb. 24:
Handabdruck auf Kästchenpapier in zwei Einheiten ...45
Abb. 25:
Handabdruck mit Unter- und Obersumme in B ...46
Abb. 26:
Handabdruck mit Unter- und Obersumme in C ...46
Abb. 27:
Einheit A, B und C im Verhältnis zueinander ...47
Abb. 28:
Verschiedene Körper bestehend aus Einheitswürfel
(Radatz, 1991, S.38)...48
Abb. 29:
Einbeschriebene und umbeschriebene Rechtecke
(Aits, 1980, S.211) ...51
Abb. 30:
Seitenlängen und Flächeninhalte der äußeren und inneren
Rechtecke (Aits, 1980, S.212) ...53
Abb. 31:
Die Zahl Pi (Legermüller, 2007, S.211) ...55
Abb. 32:
Zusammengesetzte Körper (Maroska, 1996, S.157 &
Schmid, 1997, S.111)...56
Abb. 33:
Rechteck über
[ ]
a,b mit der Höhe c...57
Abb. 34:
Quader über
[ ] [ ]
a,b
c,d
×
mit der Höhe n ...59
Prolog
1
Prolog
Historisch liegen die Wurzeln der Integralrechnung in der Ermittlung von
Flächeninhalten, da man es sich zur Aufgabe machte, den Flächeninhalt
auch solcher ebenen Gebilde zu ermitteln, die nicht durch Polygone
begrenzt werden. Methodische Ansätze finden sich zwar bereits bei
Archimedes, Cavalieri und Barrow, die systematische Entwicklung aber
beginnt erst mit der Entdeckung des Zusammenhangs von Differentiation
und Integration durch Leibniz und Newton um 1670. Durch sie wurde die
Integralrechung im eigentlichen Sinne als ,,calculus summatorius" und
später als ,,calculus integralis" begründet. Leibniz war es dann auch, der
am 29. Oktober 1675 das Integralzeichen
festlegte. Es stellt ein
stilisiertes S dar, welches dem Wort Summe entnommen wurde. Der
Zusammenhang zwischen Summation und Integration ist schon mit der
Herleitung gegeben, wie später deutlich wird. Eine Präzisierung des
Integralbegriffs für stetige Funktionen nahm erstmals Cauchy (1823) in
Angriff. Riemann (1854) erweiterte diesen auf etwas allgemeinere
Funktionen. Einen andersartigen, wesentlich flexibleren und sehr
umfassenden Integralbegriff führte Lebesque (1902) ein.
(vgl. Wolff, 1967, S.61 und Königsberger, 1999, S.191f)
Die vorliegende Examensarbeit beschränkt sich im Wesentlichen auf das
Integral stetiger Funktionen in
bezogen auf das Riemannintegral, das in
Kapitel I 1 hergeleitet und durch einige Eigenschaften, den Mittelwertsatz
der Integralrechnung, den Hauptsatz der Differential- und Integral-
rechnung und die Definition der Stammfunktion beschrieben wird. In
Kapitel I 2 wird die Herleitung auf die Integration stetiger Funktionen in
2
erweitert und somit ein direkter Vergleich zum Integral stetiger Funktionen
in
geschaffen.
Anschließend wird in Kapitel I 3 gezeigt, wie man das Doppelintegral
durch Zerlegung der doppelten Integration in zwei einfache Integrationen
berechnen kann, was uns zum Satz von Fubini führt.
Prolog
2
Die Herleitung von Doppelintegralen mit beliebigen Integrationsbereichen
wird in Kapitel I 4 behandelt. Dafür werden zuerst Doppelintegrale mit
Integrationsbereich N, der einem Normalbereich entspricht, betrachtet.
Danach wird mit Hilfe der Berechnung des Flächeninhalts einer beliebigen
Fläche die Herleitung des Doppelintegrals einer stetigen Funktion in
2
über einer beliebigen Fläche formuliert. Als Abschluss dieses ersten
Abschnitts der vorliegenden Examensarbeit wird die Integration stetiger
Funktionen auf stückweise stetige Funktionen in
und
2
erweitert.
Im zweiten Abschnitt dieser Examensarbeit wird das Vorkommen von
Flächen-, Volumenberechung und Grenzwertprozessen in den
verschiedenen Schulstufen anschaulich dargestellt und erläutert. In
Kapitel II 1 wird die Primarstufe, in Kapitel II 2 die Sekundarstufe I und in
Kapitel II 3 die Sekundarstufe II betrachtet.
I Herleitung der Integration für Funktionen von nach bezogen auf das
Riemannintegral
3
2
IIII
Herleitung der Integration für Funktionen von
2
nach
bezogen auf das Riemannintegral
Um die Integration für stetige Funktionen in
2
herleiten zu können, muss
man vorher die Herleitung des bestimmten Integrals stetiger Funktionen in
betrachten.
1
Das bestimmte Integral stetiger Funktionen in
.
1.1
Herleitung des bestimmten Integrals
Unter dem bestimmten Integral einer Funktion
( )
y f x
=
, die im
abgeschlossenen Intervall
[ ]
(
)
a,b
a b ; a,b
<
definiert ist, versteht man
eine Zahl A, die man auf folgende Weise erhält.
Definiert sei eine stetige, positive und beschränkte Funktion f auf einem
kompakten Intervall.
[ ]
( )
f : a,b
x
y f x
=
mit
( )
( )
( )
[ ]
( )
0
0
x x
lim f x
f x
; f x
0
c x
a,b : f x
c
=
Das Intervall
[ ]
a,b zerlegt man in n gleichgroße Teilintervalle
[
]
k 1
k
x ,x
-
,
sodass
-
0
1
n 1
n
a x
x
x
x
b
=
<
<
<
<
=
...
gilt.
Da f stetig auf
[ ]
a,b , nimmt f auf jedem Teilintervall
[
]
k 1
k
x ,x
-
ein absolutes
Minimum und ein absolutes Maximum an, die wie folgt definiert sind.
Maximum =
( )
{
}
k
k-1
k
S : sup f x | x
x ,x
=
und
Minimum =
( )
{
}
k
k-1
k
I := inf f x | x
x ,x
In
[
]
k 1
k
x ,x
-
gilt also stets:
( )
k
k
I
f x
S
.
Das bestimmte Integral stetiger Funktionen in .
4
Die Werte
k
S bzw.
k
I multipliziert man mit der Länge der Teilintervalle
[
]
k 1
k
x ,x
-
, für die gilt
k
k-1
b a
x : x
x
n
-
=
-
=
.
Alle gewonnenen n Produkte
k
S
x
i
und
k
I
x
i
werden nun addiert. Man
erhält eine Obersumme und eine Untersumme, die nach Darboux wie folgt
definiert sind.
Obersumme =
n
n
k
k 1
O :
S
x
=
=
i
und
Untersumme =
n
n
k
k 1
U :
I
x
=
=
i
Da
( )
[ ]
f x
0 x
a,b
, sind
n
O und
n
U geometrisch gesehen Summen
von Flächeninhalten von Rechtecken und lassen sich als Inhalte der unter
einer Treppenkurve gelegenen Fläche deuten. Die zu
n
U gehörige
Treppenkurve verläuft unterhalb und die zu
n
O gehörige Treppenkurve
verläuft oberhalb der Kurve
( )
y f x
=
.
Abb. 1:
Untersumme als Treppenkurve mit
k
I und x
Das bestimmte Integral stetiger Funktionen in .
5
Abb. 2:
Obersumme als Treppenkurve mit
k
S und x
Die angestrebte Zahl A liegt somit zwischen der Ober- und Untersumme.
n
n
U
A O
Wenn man jetzt die Zerlegung des Intervalls
[ ]
a,b verfeinert mit n n
,
erhält man eine neue Obersumme
n
O
und eine Untersumme
n
U
für die
folgendes gilt:
n
n
n
n
U
U
A O
O
Anstatt das Intervall
[ ]
a,b immer weiter zu verfeinern, berechnet man nun
den Grenzwert der gewonnenen Summen
n
O und
n
U für den Fall, dass
die Längen der Teilintervalle
( )
x
gegen Null streben und folglich n gegen
Unendlich geht.
Da f stetig ist, haben
n
O und
n
U einen gemeinsamen Grenzwert G.
n
n
n
n
G lim O
lim U
=
=
Dieser gemeinsame Grenzwert von
n
O und
n
U ist gleich der angestrebten
Zahl A und heißt bestimmtes Integral von a bis b der Funktion
( )
f x .
( )
b
a
G A
f x dx
=
=
(vgl. Ansorge, 1994, S.337ff oder Strubecker, 1980, S.31ff)
Das bestimmte Integral stetiger Funktionen in .
6
1.2
Das Riemannintegral
Riemann hat dies verallgemeinert und wählt in jedem Teilintervall
[
]
k -1
k
x ,x
einen beliebigen Punkt
k
P und definiert die Riemann Summe
( )
n
n
k
k 1
R :
f P
x
=
=
i
.
Dann liegt die Riemann Summe zwischen den dazugehörigen unteren
und oberen Darboux Summen.
n
n
n
U
R
O
n
Abb. 3:
Riemann Summe als Treppenkurve
Der Grenzwert der Riemann Summe ist ebenfalls das bestimmte Integral
der betreffenden Funktion f in dem gegebenen Intervall
[ ]
a,b und ist uns
bekannt als das Riemann Integral.
b
n
n
a
lim R
f(x) dx
=
(vgl. Königsberger, 1999, S.216 oder Walter, 2001, S.202)
Das bestimmte Integral stetiger Funktionen in .
7
1.3
Geometrische Deutung des Integrals
Die geometrische Deutung des bestimmten Integrals einer stetigen
Funktion lautet wie folgt:
Das Integral
b
a
f(x) dx
ist zahlenmäßig gleich dem Flächeninhalt, des von
der Kurve der Funktion f, der x-Achse und den beiden Geraden
a
=
x
und
b
=
x
begrenzten Gebietes in der
( )
x,y Ebene. Dies gilt unter der
Voraussetzung, dass
( )
f x im Intervall
[ ]
a,b stetig ist und
( )
f x
0
.
(vgl. Merziger, 2002, S.301)
Abb. 4:
Grafische Darstellung des Integrals
b
a
f(x) dx
Das bestimmte Integral stetiger Funktionen in .
8
1.4
Eigenschaften des bestimmten Integrals
Jetzt kommen wir zu einigen Eigenschaften des bestimmten Integrals,
deren Richtigkeit jedoch hier nicht bewiesen wird. Die Beweise zu den
aufgeführten Eigenschaften findet man in den Quellenangaben. Diese
Eigenschaften werden teilweise in den nachfolgenden Beweisen
verwendet.
1.4.1 Intervalladditivität
Sei a c b
, f über
[ ]
a,b ,
[ ]
a,c und
[ ]
c,b integrierbar, dann gilt:
( )
( )
( )
b
c
b
a
a
c
f x dx
f x dx
f x dx
=
+
(vgl. Neunzert, 1996, S.112f)
1.4.2 Intervallgrenzenvertauschung
Sei a b
>
und f über
[ ]
b,a integrierbar, so setzt man:
( )
( )
b
a
a
b
:
f x dx
f x dx
= -
Wenn a b
=
gilt:
( )
a
a
:
f x dx
0
=
(vgl. Neunzert, 1996, S.113)
1.4.3 Linearität im Integranden
Seien f und g über
[ ]
a,b integrierbar, a b
<
und c,d , dann gilt:
1) Homogenität: c f
i
integrierbar und
( )
( )
b
b
a
a
c f x dx c
f x dx
=
i
i
2) Additivität:
( ) ( )
(
)
( )
( )
b
b
b
a
a
a
g x
f x dx
f x dx
g x dx
+
=
+
3) Linearität: c f d g
+
i
i
integrierbar und
( )
( )
(
)
( )
( )
b
b
b
a
a
a
c g x
d f x dx c
f x dx d
g x dx
=
+
+
i
i
i
i
(vgl. Neunzert, 1996, S.114)
Ende der Leseprobe aus 69 Seiten
- Arbeit zitieren
- Marc Sprick (Autor:in), 2009, Herleitung der Integration für Funktionen von R² nach R bezogen auf das Riemannintegral, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/140100
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