Berechnung der Temperaturabhängigkeit akustischer Oberflächenwellen für verschiedene piezoelektrische Materialien und doppelt rotierte Kristallschnitte

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung

2 Ausblick
2.1 Ziel der Arbeit
2.2 SAW Berechnungen

3 Theorie der SAW Ausbreitung
3.1 Grundlagen
3.2 Gleichungssystem
3.3 Lösungsansatz
3.4 Matrixmethode
3.5 Lösungen für jede Schicht .
3.6 Zusammenfassung

4 Berechnung des Temperaturkoeffizienten
4.1 Theorie der temperaturabhängigen Wellenausbreitung
4.2 Temperaturkoeffizient der Verzögerung und Temperaturkoeffizient der Frequenz erster Ordnung
4.3 Temperaturkoeffizient der Frequenz zweiter Ordnung
4.4 MaterialkonstantenBerechnung
4.5 Thermische Koeffizienten und Dispersion
4.6 Dispersion Phasengeschwindigkeitskoeffizient

5 Temperatur verhalt en für Schichtsysteme
5.1 Graphische Darstellung
5.2 Elastizitätskonstanten für isotrope Aluminiumschicht
5.3 Grenzbedingungen

6.Ergebnisse
6.1 Berechnungen im Temperaturbereich von 20 bis 25 grad
6.1.1 Konstantensatz Quarz_l, bei Raumtemperatur
6.1.2 Konstantensatz Quarz_2 bei Raumtemperatur
6.1.3 Konstantensatz Quarz.3 bei Raumtemperatur
6.2 Berechnungen bei unterschiedlicher Temperatur
6.3 Berechnung mit Aluminiumschicht
6.3.1 Quarz
6.3.2 Berechnungen für Lithium Niobate, Lithium Tantalate
6.9 Zusammenfassung

Anhang

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abkürzungen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Symbole:

Die Indizies 1 bis 3 stehen für die Richtungen Xi,X2,X3des Kristallkoordinaten­system

Die hochgestellten T, TT und TTT stehen für Temperaturkoeffizienten 1., 2. und 3. Ordnung, T0 steht für Materialkoeffizient in natürlichen Zustand

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Kapitel 1 Einführung

Akustische Oberflächenwellen oder surface acoustic waves (SAWs) werden elasti­sche Wellen genannt, die sich auf der Oberfläche fester Körper ausbreiten und de­ren Amplitude exponentiell an der Oberfläche lokalisiert ist. Die Oberflächenwelle in isotropen Materialien wurde zum ersten Mal von Lord Rayleigh (1885) [R]^[2] beschrieben und wird aus diesem Grund auch als Rayleighwelle bezeichnet. Die Hi­storie der Oberflächenwellen ist sehr ausführlich und kenntnisreich von D.P.Morgan [Mo] beschrieben.

Die Schwingungen der Rayleighwelle erfolgen in der so genannten Sagittalebene, i.e. die Ebene, die durch den Wellenvektor und Flächennormale aufgespannt wird. Dabei ostilliert der Partikelverschiebungstensor retrogressiv auf einer elliptischen Bahn. In anisotropen Schichtsystemen kann eine Vielzahl von akustischen Moden auftreten, die ein recht komplexen Verhalten aufweiten können.

Die große technische Anwendung von SAW-Bauelementen begann in der 60er Jahren, nachdem White und Voltmer im Jahr 1965 den Interdigitalwandler (IDT) für die Anregung von SAW publizierten [W], Vom Prinzip her stellt ein IDT eine fingerartig ineinander greifende Metallstruktur dar, die auf einem piezoelektrischen Körper prozessiert wurde. Durch das Anlegen einen elektrischen Wechselfeldes zwi­schen den Fingern wird das piezoelektrische Substrat periodisch verspannt. Dadurch können verschiedenste akustische Moden angeregt werden, wobei uns hier vorrangig SAW interessieren werden.

Prinzipiell kann eine SAW von dieser Anordnung in beide Richtungen senkrecht zur Fingerorientierung ausgesandt werden, wenn man eine Wechselspannung pas­sender Frequenz anlegt. In Abbildung 1.1 ist eine solche kammartige Struktur dar­gestellt. Sie kann sowohl zur Generierung als auch zum Empfang von SAW genutzt werden. Dies ermöglicht eine Nutzung als elektronisches Bauelement. Die Modellie­rung von SAW Bauelementen ist in den letzten Jahrzehnten sehr weit fortgeschritten und soll nicht Gegenstand dieser Abhandlung sein. Grundsätzlich geht man davon aus, dass von einem Fingerpaar eine Partialwelle angeregt wird, deren Wellenlänge Λ von der Frequenz der angelegten Wechselspannung und von der Ausbreitungsge­schwindigkeit der SAW in die entsprechende Richtung abhängt.

W ist die Fingerüberlappung, L ist die Länge des Wandlers, d ist die Periode der Struktur. Die Länge 2d entspricht einem ungeradzahligen Vielfachen der Wel­lenlänge λ der angesandten Welle, d.h.

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] für die Kreisfrequenz der ausgesandten Wellen gilt :

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei V die Schallgeschwindigkeit der SAW auf dem Substrat und Xi die Wellenausbreitungrichtung ist.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1.1: IDT auf dem Substrat

1969 veröffentlichte Tancrell [Ta] die erste Ergebnisse für dispersive SAW-Bauelemente auf Lithium Niobate für eine Frequenz von 60 MHz. 1968 publizierten Campbell und Jones [Ca68] eine numerische Methode zu der Berechnung der SAW-Lösun­gen für piezoelektrische Materialien, die auch heute noch häufig benutzt wird. Sie berechneten die piezoelektrische Kopplung für die Oberflächenwellen als relative Geschwindigkeitsänderung. 1971 behandeln Kharusi und Famell [Kha] SAW Dif­fraktion auf metallisierten und freien Oberfläche auf anisotropen Materialien. Die Winkelabhängigkeit der Geschwindigkeit bestimmt durch den Energieflusswinkel (PFA) der SAW.

Der Temperaturkoeffizient der SAW-Ausbreitung kann mit Hilfe der Berechnung der Geschwindigkeit bei zwei oder mehr unterschiedlichen Temperaturen bestimmt werden. Für Quarz wurden mehrere Kristallschnitte gefunden, für die dieser Ko­effizient Null wird. Die bekannteste Orientierung ist wohl der 132.75° rotierte X- Schnitt, auch ST-X Schnitt genannt, mit Wellenausbreitung parallel zur X-Achse. Schulz[Sc70]) Diese Orientierung ist geeignet z.B. für viele temperaturstabile Re­sonatoren und Oszillatoren, wobei die „turn over “Temperatur bei der der Tempe­raturkoeffizient zu Null wird mit Schichtdicke- und Winkeländerung variiert.

1977 zeigte Lewis [Le], dass Volumenwellen im rotierten Y-Schnitt von Quarz mit der Ausbreitung normal zu X, für die hochfrequenze Bauelemente besonders ge­eignet sind. Diese Orientierungen haben eine sehr gute Temperaturstabilität (viel besser, als ST-Quarz), und eine hohe Geschwindigkeit.

Im Zeitraum 1970-1985 werden die Grundlagen der SAW-Technologie - Materia­lien, Ausbreitungseffekte,Modellierung der Wandler usw. entwickelt. In dieser Zeit wurden SAW Bauelementen hauptsächlich für den militärischen oder industriellen Anwendungen, sowie für Fernsehfilter entwickelt. Seit ca. 1985 begann die große Zeit der SAW Filter in der Mobilkommunikation.

Heute haben SAW sehr breite technische Nutzung gefunden. SAW-Bauelemente werden zur Signalverarbeitung, insbesondere zur Hochfrequenzfilterung verwendet.

In letzter Zeit werden SAW Bauelemente an der Sensorik, Telemetrie usw. ange­wandt.

In der vorliegenden Arbeit geht es um die Berechnung der Temperaturabhängig­keit akustischer Oberflächenwellen für verschiedene piezoelektrische Materialien auf

Kristallschnitte. Im Kapitel 2 wird beschrieben, welches Ziel in dieser Arbeit ver­folgt wird, und wie die Berechnungen durchgeführt werden. Im Kapitel 3 werden zum Verständnis die theoretischen Grundlagen und die mathematische Beschrei­bung von Oberflächenwellen vorgestellt. Mit Hilfe der Transfer-Matrix-Methode, die im Kapitel 3 beschrieben wird, wird die Phasengeschwindigkeit berechnet, die für die Berechnung der weiteren wichtigen Parameter benutzt wird. Die Formeln für diese Parameter werden im Kapitel 4 beschrieben. Im Kapitel 5 werden für das bes­sere Vorstellung die Graphiken präsentiert, und im Kapitel 6 werden die Ergebnisse der Berechnungen in Zahlen und Bilder präsentiert und diskutiert.

Kapitel 2 Ausblick

2.1 Ziel der Arbeit

Wichtige Parameter für den Entwurf von Bauelementen auf der Basis akustischer Oberflächenwellen sind die Ausbreitungsgeschwindigkeit, die elektromechanische Kopplung, der Temperaturkoeffizient der Verzögerung (TCD) und der Energief­lusswinkel (PFA), Winkel zwischen der Energieflussvektor und Wellenausbreitungs­richtung .

Diese Parameter sind von den Materialkonstanten des Substrates abhängig. Da die Materialparameter in aller Regel eine Funktion der Temperatur sind, spielt die Temperaturäbhangigkeit für den Enwurf von SAW Bauelementen eine wichtige Rol­le. Insbesondere kann die Änderung der Temperatur auf die Phasengeschwindigkeit der SAW und damit auf das Amplituden-Frequenzverhalten des Bauelementes einen wesentlichen Einfluss haben. Aus diesem Grunde ist man bemüht Substratmateria­lien und Kristallschnitte zu finden, für die der Einfluss der Temperatur minimal ist. So wurden zum Beispiel für Quarz bereits Schnitte mit sehr kleinem Temperatur­koeffizienten gefunden.

Quarz stellt das wohl am weitesten untersuchte Material dar, mit der Folge, dass die Kristalle mit sehr hoher Perfektion hergestellt werden können und die Materialpa­rameter mit einer sehr hohen Genauigkeit bekannt sind. Berechnungen auf der Basis der publizierten Materialkonstanten ermöglichen es, eine gute Übereinstimmung mit den experimentellen Daten zu finden. Aus diesem Grunde wurden die theoretische Untersuchungen hauptsächlich an Quarz durchgeführt. Als wichtigste Parameter für das Temperaturverhalten wird der Temperaturkoeffizient der Verzögerung (TCD) bzw. der Temperaturkoeffizient der Frequenz (TCF) theoretisch untersucht. Ausgehend von den für Quarz gefundenen Resultaten wird Untersuchung für LiNb03 und 1ЛТаОз durchgeführt.

Für heterogene Strukturen ergibt sich die resultierende Temperaturabhängigkeit aus der Überlagerung des Temperaturverhaltens der einzelnen Materialien, wobei diese Überlagerung sehr komplexen Charakter haben kann. Insbesondere können durch die unterschiedlichen Ausdehnungskoeffizienten mechanische und elektrische Spannungen induziert werden. Die Beschreibung dieser Phänomene ist schwierig und wurde bisher in der Literatur nicht publiziert.

Das Ziel der Arbeit ist, temperaturstabile Schnitte zu finden, die einen möglichst kleinen TCF Ordnung aufweisen.

Gleichzeitig wurde der Kopplungsfaktor und der Energieflusswinkel untersucht, mit dem Anliegen, optimale Werte zu erreichen, d.h. maximaler Kopllungsfaktor und minimaler Energieflusswinkel.

Ausgangspunkt sind die theoretischen Grundlagen von akustischen Oberflächen-wellen (aus mathematischen Sicht), wobei die Transfer-Matrix-Methode detailiert beschrieben wird. Diese wird dann zur Berechnung der SAW Parameter angewendet.

2.2 SAW Berechnungen

Es wird berechnet die SAW - Wellenausbreitung entlang der X\-Achse in den un­terschiedlichen Quarz Schnitten. Dabei werden mehrere unterschiedliche Konstan­tensätze aus der Literatur verwendet. z.B. für Quarz bei 20° wird der Konstanten­satz von B.K.Sihna und H.F. Tiersten [Si78] benutzt und damit bei bestimmten Eulerwinkelskombination unterschiedliche für die Untersuchung interessante Para­meterwerte (Phasengeschwindigkeit, Temperaturkoeffizient, Kopplungsfaktor usw.) bestimmt. Berechnungen werden durchgeführt auch auf doppelt rotierten Kristall­schnitt (φ,θ,φ = erster, zweiter und dritter Euler Winkeln). Auf der Basis der GeschwindigkeitsBerechnung lassen sich auch der Kopplungsfaktor und der Tempe- raturkoefizient erster und zweiter Ordnung bestimmen.

Die Parameter werden für jeden Rotationbereich (d.h. für die ganze Fläche des Kristalls von 0 bis 180° Grad für 2. und 3. Eulerwinkel) bei der Raumtemperatur gesucht. Aufgrund der Symmetrie wird für der dritte Eulerwinkel nur der Bereich von 0 bis 90° genommen. Dann wird analysiert, in welche Schnitten die gewünschten Werte liegen und die Bereiche mit den für die Untersuchung interessanten Ergeb­nissen werden nochmals mit unterschiedlicher Temperatur berechnet.

Die Ergebnisse der Berechnungen, die stückweise (innerhalb der kleinen Be­reichen) gemacht wurden, werden in einer Matrix zusammengefaßt (nüt Hilfe der MATLAB) und daraus werden Zeichnungen erstellt, die die Abhängigkeit der Pa­rameter vom Schnitte und von der Temperaturänderung darstellen.

Aus den Zeichnungen kann man dann sehen, ob Schnittstellen existieren, wo gleich­zeitig TCF(l) und TCF(2) sich Null nähern, PFA = 0, und die Kopplung maximal ist.

Später, wenn die Berechnungen mit dem freien Substrat bei der verschiedenen Temperatur durchgeführt wurden, wird das Substrat mit Metallschicht (Alumini­um) betrachtet, und zwar für die Schnitte, wo TCF(l) und TCF(2) am nächsten zu Null sind.

Dies wird weiter untersucht, indem die Temperatur, Frequenz und Schichtdicke vari­iert werden und das Temperaturverhalten stückweise analysiert wird. Die Ergebnisse werden in weiteren Abschnitten durch Graphiken präsentiert und diskutiert.

Kapitel 3 Theorie der SAW Ausbreitung

3.1 Grundlagen

Als akustische Oberflächenwelle wird eine elastische Welle bezeichnet, die sich an der Oberfläche eines Festkörper ausbreitet. Die Eindringtiefe dieser Mode beträgt einige wenige Wellenlängen. Die Teilchenauslenkung nimmt bei diesem Wellentyp exponentiell mit dem Abstand zur Oberfläche ab. In dieser Arbeit geht es um die SAW, die sich auf der Oberfläche des piezoelektrischen Substrates aus breitet, das entweder frei ist, oder mit einer isotropen Schicht (z. B. Aluminium) versehen wur­de. Wichtige Charakteristiken der Schicht sind die Dicke, die Dichte sowie deren Lame1 sehen Parameter. Die Oberflächenwelie breitet sich, je nach Material und Schnitt, mit unterschiedlicher Geschwindigkeit v aus. In anisotropen Kristall (z. B. Quarz) können 3 Volumenwellen existieren mit 3 unterschiedlichen Phasengeschwin­digkeiten. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer SAW auf dem Substrat hängt von den Materialparameter, insbesondere Elastizitätskonstanten des Kristalles ab. Die Phasengeschwindigkeit der SAW liegt in bestimmten Grenzen: In den allermeisten Fällen ist SAW-Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner als Phasengeschwindigkeit der langsamsten Volumenwelle und ist damit die langsamste im Festkörper für die ent­sprechende Richtung existierten akustische Mode. Der physikalische Grund für die­se Tatsache ist, dass an der Oberfläche geringere Rückstellkräfte als im Volumen herrschen. In Abbildung 3.1 ist eine Momentaufnahme des Partikelverschiebungs­vektorfeldes in der Ausbreitungsebene prinzipiell dargestellt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3.1: Rayleighwelle (Momentaufnahme einer Sagittalebene)

Für isotrope Materialien erfolgen die Schwingungen der Rayleighwelle in der Αχ A3- Ebene (Sagittalebene). In der Abbildung 3.2 ist die Wellenausbreitungsgeometrie in einem Mehrschichtsystem dargestellt:

Abbildung 3.2: Wellenausbreitungsgeometrie im Schichtsystem Dabei ist Αχ ist Wellenausbreitungsrichtung und A3 ist die Flächennormal. Das Substrat wird als halbunendlich ausgedehnt betrachtet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3.3 stellt der Effekt des Energieflusses für anisotropen Materialien dar.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wellenfront

Zum besseren Verständnis der Rotationsregeln ist in der Abbildung 3.4 die Darstel­lung der Oberfläche bezüglich der Koordinaten-Achsen und der Eulerwinkel darge­stellt. N1, N2 und N3 sind die neuen Koordinatenachsen, die nach den drei Drehun­gen durch die Eulerwinkel φ, Θ und ψ entstehen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3.4: Ausbreitungsgeometrie bezüglich der Eulerwinkel

Die Eigenschaften der SAW hängen hauptsächlich von der Wahl des Substrates ab. In meiner Arbeit wird als Substratmaterial Quarz, LiNbC>3 und ЫТаОз be­trachtet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3.5: Ausbreitungsgeometrie und Eulerwinkel für ST-X Quarz

Die letztgenannten Materiahen haben einen guten Kopplungskoeffizienten, aber lei­der auch einen großen Temperaturkoeffizienten.

In diesem Kapitel werde ich die mathematische Beschreibung von Oberflächen­wellen vorstellen und die SAW-Berechnungen in Vielschichtsystem mit Hilfe der Matrixmethode [Fa] beschreiben.

Diese Methode ermöglicht die Bestimmung aller Charakteristiken der SAW für Schichtsystem, z. B. Phasen- und Gruppengeschvvindigkeit, Partikelverschiebungs­vektor, Spannungstensor.

Mit Hilfe der Matrixmethode wird auch PFA berechnet [Fa2|:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

P¿ ist der Energieflussvektor (Pointingvektor). Die Werte des Energiefluss werden in jeder Schicht (auch im Volumen) explizit berechnet und nach der Tiefe integriert.

Zunächst wird die Methode bezüglich einer Referenztemperatur beschrieben, d.h. keine Temperaturabhängigkeit berücksichtigt. Abb. 3.6 zeigt den Contourplot der Phasengeschwindigkeitlinien in Winkelbereich: ф = 0°, Θ = 0...1800, ψ = 0...600:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3.6: Contourplot der Phasengeschwindigkeitfeld

Für die nicht dargestellten Bereiche konnten keine Lösungen gefunden werden. Hier ist das vielschichtige Struktur des Materials mit beliebigen piezoelektrischen, anisotropen, oder leitfähigen Eigenschaften, mit Hilfe des Vektors beschrieben. Die Feldstärke ist proportional zur mechanischen Deformation. Eine elastische Welle auf einem piezoelektrischen Substrat wird dann von einem elektrischen Potential begleitet.

Ziel : das Wellenausbreitungproblem auf DGL Matrix erster Ordnung zu redu­zieren und dabei die Formulierung des Grenzwertproblems für mehrere Schichten vereinfachen.

3.2 Gleichungssystem

Für jede Schicht sowie für das Substrat werden alle akustische Moden durch die Wellengleichung (3.1) :

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

beschrieben, й ist die lokale Verschiebung und p ist die Dichte des Materials.

Aufgrund der Symmetrie wird der Elastizitätstensor сц von 81 auf 21 unabhängigen Koeffizienten reduziert: Cjjfci = сцы = сг;}ц: = cjm·. Dann kann man die Indizies nach der Voigt‘sehen Regel im 2-Index-Form umschreiben: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der piezoelektrische Tensor wird von 27 auf 18 unbhängige Koeffizienten reduziert:

und der dielektrische Tensor wird wegen der Symmetrie von 9 auf 6 Koeffizien­ten reduziert:

Unterwirft· man die Lösungen der Differentialgleichungen den zusätzlichen Rand­bedingungen einer Oberfläche, ergeben sich Oberflächenwellen.

3.3 Lösungsansatz

Ich beschreibe eine 2-dimensionale harmonische Oberflächenwelle mit der Ausbrei­tung entlang der Xi-Aehse. Die -Хз-Achse ist die Normale zu dem freien Raum (Abbildung 3.8).

Die Lösung des Systems (3.1-3.5) hat das Form :

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(3.6)

ω ist Kreisfrequenz, v ist Phasengeschwindigkeit (richtungsabhängig). Es gibt keine Abhängigkeit in X3 -Richtung. Für die Lokalisierung an der Oberfläche gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(3.7)

Mit der Gleichung (3.6) ermöglicht die Umschreibung der Gleichungen (3.1-3.5) in System der DGL bezüglich der Variable X3 .

Das Hauptziel der weiteren Analysen ist die Bestimmung von v mit Hilfe der Grenzbedingungen (zwischen den Schichten und auf der Oberfläche). Als Basis können verschiedene Variablenkombinationen gewählt werden.

3.4 Matrixmethode

Die Idee der Matrixmethode besteht darin, solche Variablenkombination zu wählen, die zwischen den Schichten stetig sind. Weiter kann man 2 unabhängige 4-dimensionale Vektoren einführen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(3.8)

mit drei mechanischen und einer elektrischen Komponenten.

Hier sind Ti3 = T31 die normale Spannungstensorkomponenten, die senkrecht zur AiAVEbene stehen, (entlang A3 ). ist elektrisches Potential. Beide Vektoren sind stetig im Schichtenübergang. Sie bil­den den 8-dimensionalen stetigen Vektor

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(3.9)

der senkrecht auf AfAVEbene steht; Element Tj ist so gewählt, dass die Grenzwertbedingungen erfüllt werden, wobei Tj folgende Eigenschaften hat:

(i) stetig an allen Ränder der Ebene die normal to Xj ist,
(ii) erste 3 Komponenten des tj verschwinden im freien Raum

Jetzt wird Vektor-Matrix Differentialgleichung 1. Ordnung formuliert. Es ist einfa­cher, <3 und ß getrennt zu behandeln. Wir benutzen die Vektoren Tk = [Tut, Tat,?3Jfc] = [Tki,Tk2,Tk3] als normale Spannungvektoren in 3 orthoganalen Ebenen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nur nach X3 und X\ ableiten, von X3 hängen die Werte nicht ab (zweimal nach t abgeleitet und einmal nach Xi ), к = ω/ν (Wellenvektor, bzw. Wellenzahl, die auch komplex sein kann, dabei ist die Realteil Ausbreitung und Imaginärteil - Dämpfung), ω ist Kreisfrequenz, v- Phasengeschwindigkeit;

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^[1] Hier und weiter sind Verweise auf das Literaturverzeichnis