Einnahmeäquivalenz und Auswahl der Auktionsform

Inhaltsverzeichnis

Verzeichnis der Abkürzungen und verwendeten Symbole

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

1 Einleitung
1.1 Der Kontext der Auktionstheorie
1.2 Überblick über die existierenden Auktionsarten
1.2.1 Englische Auktion
1.2.2 Holländische Auktion
1.2.3 Erstpreis Auktion mit geheimen Gebot
1.2.4 Zweitpreis Auktion mit geheimen Gebot

2 Die Einnahmeäquivalenz im Kontext der Auktionstheorie
2.1 Das Theorem für den Fall des Vorliegens von privaten und gemeinsamen Werten
2.2 Mathematische Herleitung
2.3 Fallbeispiel zum Einnahmeäquivalenz-Theorem

3 Auswahl der Auktionsform bei Risikoaversion
3.1 Fall 1: Risikoaverse Bieter und risikoneutraler Verkäufer
3.2 Fall 2: Risikoneutrale Bieter und risikoaverser Verkäufer

4 Zusammenfassung
A Beispiel zur Erläuterung der Bieterstrategien bei der Erstpreis- und Zweitpreisauktion

5 Literaturverzeichnis

Verzeichnis der Abkürzungen und verwendeten Symbole

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Der erwartete Gewinn des Bieters i. Nach Klemperer (2004), S.41

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Reihenfolge der Bevorzugung von Auktionstypen risikoaverser Bieter. Nach Klemperer (2004), S.19f.

Tabelle 2: Reihenfolge der Bevorzugung von Auktionstypen eines risikoaversen Verkäufers. Nach Klemperer (2004), S.19f.

1 Einleitung

In der vorliegenden Seminararbeit soll eine Betrachtung des Einnahmeäquivalenz-Theorems und in diesem Zusammenhang die Auswahl der Auktionsform erfolgen. Dabei soll nach einem kurzen Überblick über die wesentlichen Aspekte der Auktionstheorie und ausgewählte Auktionsformen im Hauptteil die genannten zwei Themenpunkte erläutert werden. So folgt im ersten Teil der Seminararbeit nach der Definition des Theorems eine mathematische Modellierung und ein Beispiel zur Erläuterung dessen. Anschließend wird im zweiten Teil dargestellt, welche Auswirkungen es auf die Wahl der Auktionsform hat, wenn eine der Bedingung des Einnahmeäquivalenz-Theorems nicht mehr erfüllt wird. Dabei soll eine Konzentration auf die Risikoneutralität erfolgen.

Bei allen Betrachtungen liegt, wenn nicht anders gekennzeichnet, das erste Kapitel des Buches von Paul Klemperer aus dem Jahre 2004 mit dem Titel „Auctions: Theory and Practice“ zu Grunde.

1.1 Der Kontext der Auktionstheorie

Die Auktionstheorie als Teilgebiet der Ökonomie hat eine sehr lange Historie, wobei in den letzten Jahren ein Zuwachs der entsprechenden Literatur zu erkennen ist, da diese eine praktische, empirische und theoretische Relevanz besitzt. So werden immer mehr Güter, Dienstleistungen und Finanzinstrumente auf vielen neuen Aktionsmärkten (bspw. eBay, hood.de oder myHammer.de) verkauft. Die Theorie erklärt hierbei die verschiedenen Auktionsmechanismen und Gebotsstrategien.¹ Weiterhin bieten Auktionen eine Grundlage, um ökonomische Theorien zu erproben und sie bilden die Basis für viele grundlegende theoretische Arbeiten. So ist es durch die Auktionstheorie möglich, aufgrund der Ähnlichkeit von Auktionen und Wettbewerbsmärkten, ein Verständnis über die Preisbildung, insbesondere in Monopolen und Oligopolen zu entwickeln.

Bei Auktionen handelt es sich allgemein um einen Mechanismus der Preisfindung, bei dem die Bieter Signale in Form von Geboten abgeben, die dem Auktionator die Bereitschaft das Gut zu erwerben und die Höhe der Zahlung kenntlich machen.

Ein wichtiges Merkmal von Auktionen ist das Vorliegen von asymmetrischen Informationen. Hierbei werden zunächst zwei Konzepte unterschieden. Zum einen das des private value, bei dem der Bieter nur seinen eigenen Wert für das angebotene Gut kennt. D.h. die Wertvorstellung bleibt selbst bei Kenntnis von Informationen und Präferenzen von anderen Bietern unverändert. Und zum anderen das des pure common value, bei dem der faktische Wert des Gutes für alle gleich und bekannt ist, aber die Bieter unterschiedliche private Informationen über den tatsächlichen Wert des Gutes haben.² In diesem Kontext würde ein Bieter sein Ziel ändern, wenn er Informationen über andere Bieter erhält. Durch die Vereinigung beider Konzepte erhält man ein drittes Modell, bei dem jeder Bieter eine private Wertvorstellung besitzt und der Wert eines Gutes von allen anderen Signalen abhängig ist.³

1.2 Überblick über die existierenden Auktionsarten

In der Literatur lässt sich eine Vielzahl von Auktionsarten finden, die als eine Art Mechanismus zur Güterverteilung fungieren. Hierbei lassen sich vier weit verbreitete und betrachtete Typen unterscheiden. Diese sind zum einen die Auktionen mit steigenden Geboten (auch als offene oder Englische Auktion bezeichnet), mit fallenden Geboten (auch aufgrund der Anwendung bei Blumenversteigerungen als Holländische Auktion bezeichnet), und zum anderen die Erstpreisauktionen und Zweitpreisauktionen jeweils mit geheimen Geboten.⁴ Im Folgenden soll nun eine Betrachtung dieser vier Typen erfolgen, da eine Kenntnis von diesen grundlegend für das weitere Verständnis der Seminararbeit ist.

1.2.1 Englische Auktion

Bei dieser Art von Auktion steigt der Preis sukzessiv weiter an, bis nur noch ein Bieter bereit ist das entsprechende Höchstgebot zu zahlen. Dabei kann das aktuelle Höchstgebot vom Verkäufer⁵, Käufer und auf elektronischen Weg abgegeben werden. Schließlich wird das angebotene Gut dem verbleibenden Höchstbieter zu dem von Ihm genannten Gebot zugeschrieben.⁶

Unter der Bedingung, dass nur private Werte oder nur zwei Bieter vorliegen, ist die Strategie, an der Auktion solange teilzunehmen, bis der vom Bieter festgelegte Wert erreicht ist, dominant. Sobald eine der beiden Bedingungen verletzt ist, können die Bieter etwas über die Werte der anderen Bieter erfahren und ihr Verhalten und Strategie anpassen.

1.2.2 Holländische Auktion

Als Gegenstück zur Englischen Auktion lässt sich die Holländische definieren, da hier zunächst ein Startpreis festgelegt wird, der im Laufe der Auktion stufenweise fällt, bis der erste und schnellste Bieter den bestimmten Preis akzeptiert und den Zuschlag erhält. Demnach hat jeder Bieter das Problem, dass er für sich einen Preis wählt, bei dem er aus der Auktion aussteigt. Auf diese Art und Wiese werden zum Beispiel in den Niederlanden Blumen versteigert. Auf Basis der Spieltheorie und der strategischen Gleichheit dieses Auktionstyps mit der Erstpreis-Auktion mit geheimem Gebot, besitzen bei beiden Auktionen die Bieter die gleichen Bieterfunktionen.⁷

1.2.3 Erstpreis Auktion mit geheimen Gebot

Dieser Auktionstyp sieht vor, dass jeder Bieter sein Gebot unabhängig von anderen und geheim abgibt (also bspw. in einem Briefumschlag). Derjenige Bieter, der das höchste Gebot abgebenden hat erhält das Gut zu diesem Preis. So werden beispielsweise auf diese Art Kunstgegenstände und Abbaurechte für staatliche Grundstücke versteigert.

1.2.4 Zweitpreis Auktion mit geheimen Gebot

Ähnlich der Erstpreis Auktion mit geheimen Geboten geben auch hier die Bieter ihre Gebote nicht öffentlich ab, wobei hier derjenige mit dem Höchsten gewinnt aber nur das zweit höchste Abgegeben bezahlen muss.⁸ Auch hier gewinnt der Bieter mit dem höchsten Wert und der Wert entspricht dem des zweithöchsten Bieters. Unter der Voraussetzung, dass nur private Werte bekannt sind und nur zwei Bieter vorliegen ist es für die teilnehmenden Bieter eine optimale Strategie, dass diese ihren wahren Wert bieten.⁹ Demnach entsprechen sich die Strategien dieser Auktion mit der der Englischen.¹⁰ Anwendung findet diese Form meist in der Versteigerung von Briefmarken über die Briefpost oder von Gütern über das Internet.

2 Die Einnahmeäquivalenz im Kontext der Auktionstheorie

Das Theorem über die Einnahmeäquivalenz ist eine der grundlegendsten Erkenntnisse der Auktionstheorie, da anhand dessen viele Ansätze der Auktionstheorie verstanden werden können und dieses leicht nachzuweisen ist. Es beantwortet die Frage, welcher Auktionstypus für den Verkäufer und den Bieter am gewinnbringendsten ist, d.h. welche Auktion zu den höchsten erwarteten Einnahmen führt.¹¹

2.1 Das Theorem für den Fall des Vorliegens von privaten und gemeinsamen Werten

Das Theorem lässt sich sowohl für das private value-Modell definieren, als auch mit entsprechenden Adaptionen für das Vorliegen von common values. Die Grundaussage bleibt bei beiden Darstellungen gleich und soll im Weiteren nach den Definitionen erläutert werden.

Im private value Modell wird davon ausgegangen, dass wenn

- jeder Bieter aus einer Menge risikoneutraler potentieller Bieter
- eine private Wertvorstellung besitzt, welche
- unabhängig aus einer gemeinsamen und streng monoton steigenden stetigen Verteilung gezogen wird, dann jeder Auktionstyp (Mechanismus zu Güterallokation), in welchem
- das Gut immer zu dem Bieter mit dem höchsten Wert gelangt und
- jeder Bieter mit dem geringsten Wert einen Gewinn von Null erwartet,

zu denselben erwarteten Einnahmen und jeder Bieter die gleiche erwartete Zahlung als Funktion seines Wertes vornimmt führt.

Im Falle des Vorliegens des common values müssen bei dem Theorem nur wenige Veränderungen vorgenommen werden und es ergibt sich, dass jeder Bieter ein unabhängiges Signal, welches aus einer gemeinsamen und streng monoton steigenden stetigen Verteilung gezogen wird, erhält. Weiterhin die Wertvorstellung jedes Bieters bezüglich des Gutes von den empfangenen Signalen abhängig ist. Unter diesen Voraussetzungen gilt, dass jede Auktionsform, bei der die Güter immer zu den Bietern mit dem höchsten Signalen gelangen und jeder Bieter mit dem niedrigsten Signal keinen Gewinn erwartet, zu den gleichen erwarteten Gewinnen führt.¹²

Grundlegend besagt das Theorem im Falle des Vorliegens von privaten und gemeinsamen Werten, dass bei den verschiedenen Auktionstypen (bspw. die zuvor vorgestellten vier Arten und auch nicht standardisierte wie die „all-pay“ Auktion¹³ ) die erwarteten Einnahmen für den Auktionator und somit die erwartete Zahlung für den Höchstbieter unter den festgelegten Bedingungen gleich ist. Weiterhin entsprechen unter den Annahmen die erwarteten Einnahmen einer Auktion dem erwarteten Grenzgewinn des gewinnenden Bieters. So erhält in optimalen Auktionen¹⁴ derjenige Bieter mit den größten Grenzgewinnen die Güter, genauso wie bspw. ein Monopolist seine Güter an den Käufer mit den höchsten Grenzgewinnen verkaufen wird. Weiterführend sollte ein Auktionator die Güter nicht unter den Wert verkaufen, der gleich den Wert desjenigen Bieters ist, dessen Grenzgewinn dem Wert des Auktionators entspricht, wenn dieser das Gut nicht verkauft.

Schließlich gilt für alle Mechanismen zur Güterallokation, bei denen das Gut an den Höchstbietenden vergeben wird und insbesondere für die Standardauktionen¹⁵, dass die Wahrscheinlichkeit eines Bieters zu gewinnen genau der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass alle anderen Bieter niedrigere Werte haben (es also gilt, dass Pi(v) = (F(v))n-1).

2.2 Mathematische Herleitung

Zur mathematischen Begründung des Einnahmeäquivalenz Theorems lässt sich folgendes Modell heranziehen.¹⁶ Diesem liegt das private value-Modell zu Grunde, bei dem n Bieter für ein einzelnes Gut bieten. Weiterhin gelten folgende Annahmen:

- alle Bieter sind risikoneutral
- v. repräsentiert den privaten Werte des Gutes, den Bieter i von diesem besitzt
- [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] - hat die Dichtefunktion
- alle Bieter nehmen in ernsthafter Weise an dem Mechanismus teil (somit werden zu geringe Gebote und „Spaßbieter“ ausgeschlossen) und weichen nicht vom gleichen Verhalten ab.

Nachdem diese Voraussetzungen gelten wird ein beliebiger Mechanismus zur Güterallokation betrachtet, bspw. der Verkauf nach eine Befragung der Teilnehmer an den Höchstbietenden oder Auktionen. Auf dieser Basis lässt sich [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] entspricht der Zahlung die Bieter leisten muss) als den erwarteten Wert den Bieter im Gleichgewicht durch die weitere Teilnahme am Allokationsmechanismus als Funktion ihres Typs erhält, also dessen Gewinn, und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] als die Wahrscheinlichkeit das Gut im Gleichgewicht zu erhalten definieren. Schließlich ergibt sich, dass der Gewinn von Bieter , der von seiner Gleichgewichtsstrategie abweicht und die Strategie des anderen Bieters verfolgt, größer bzw. gleich den von dem Bieter ist, dessen Wert des Gutes genau entspricht, plus dem Mehrwert (gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]() das der Bieter mit dem privaten Wert von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] das Gute erhält) der sich aus der Differenz des privaten Wertes des einen und des anderen Bieters ergibt, sein muss. Also: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Nach diversen Umformungsschritten erhält man nun folgende Gleichung, auf deren Basis sich folgendes Diagramm in Abbildung 1 darstellen lässt und im Weiteren Interpretiert werden soll: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Zunächst ist aus der Formel ersichtlich, dass der Gewinn [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] des Bieters nicht mehr vom bezahlten Preis E abhängig ist, sondern sich aus dem Gewinn von Bieter (der dem Gut den [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Wert zurechnet) und dem Integral der Wahrscheinlichkeitsfunktion in den Grenzen des niedrigsten privaten Wertes bis zum Wert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] des betrachteten Bieters , also der Fläche unterhalb der Gewinnfunktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], ergibt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Der erwartete Gewinn des Bieters i. Nach Klemperer (2004), S.41

[...]

¹ Vgl. Schmitz (2006), S. 2.

² So ist bspw. der Wert eines Ölfeldes abhängig von der im Boden befindlichen Menge Öl und die Bieter für das Grundstück haben unterschiedliche (geologische) Informationsquellen über diese Menge. Vgl. Klemperer (2004), S. 13.

³ Bspw. bei einer Kunstauktion hängt der Wert des Bildes von den privaten und fremden Informationen ab, also davon wie sehr man dieses Bild mag und die anderen Bieter dies mögen. Vgl. Klemperer (2004), S. 11f.

⁴ Vgl. Pindyck et al. (2005), S. 662 und vgl. Klemperer (2004), S. 11f.

⁵ Im Folgenden wird der Begriff des Verkäufers auch synonym als Auktionator bezeichnet.

⁶ Eine Abwandlung dieses Typs wird als Japanische Auktion bezeichnet, bei dem der Preis ebenso stetig steigt, während die Bieter fortschreitend die Auktion verlassen und nicht wieder teilnehmen können. Weiterhin ist es den Bietern auch nicht möglich ein höheren Preis, als den aktuellen zu bieten und so die Auktion zu beenden.

⁷ Vgl. Matthews (1987), S. 634.

⁸ Dieser Auktionstypus wird auch Vickrey-Auktion genannt, da William Vickrey diese Art zum ersten Mal beschrieb. Vgl. Schmitz (2006), S. 6.

⁹ Ein Beispiel, welches die optimalen Strategien zur Erstpreis- und Zweitpreisauktion kurz erläutert, findet sich im Anhang A.

¹⁰ KLEMPERER spricht hier vom „true telling“ als ein dominantes Strategiegleichgewicht. (S. 14) und vgl. Matthews (1987), S. 634f.

¹¹ Vgl. Schmitz (2006), S. 6.

¹² Eine Definition mit dem entsprechenden mathematischen Formalismus ist im Anhang dargestellt und wurde hier nicht weiter dargestellt.

¹³ Hierbei handelt es sich um einen Auktionstypus, bei dem jeder Bieter seinen gebotenen Preis zahlen muss, aber nur der Höchstbietende das Gut erhält. Vgl. Klemperer (2004), S. 17.

¹⁴ Unter optimalen Auktionen werden Standardauktionen verstanden, bei denen die Annahmen des Einnahmeäquivalenz Theorems gelten und Bieter mit höheren Signalen auch höhere Grenzgewinne haben. Also der Verkäufer den optimalen Mindestpreis verlangen kann und dessen erwarteter Gewinn maximiert wird. Vgl. Klemperer (2004), S. 18 und Matthews (1987), S. 633.

¹⁵ Als Standardauktionen werden solche bezeichnet, bei denen das Gut immer zu dem Höchstbietenden vergeben wird, diesem keinen negative Zahlung entsteht, die Verlierer nichts zahlen müssen und eine gemeinsame Gleichgewichtsstrategie besteht. Der zu zahlende Preis wird dabei zufällig oder als Funktion der abgegebenen Gebote ermittelt. Demnach lassen sich die in der vorliegenden Seminararbeit beschriebenen vier Auktionstypen als solche beschreiben. Vgl. Waehrer et al. (1998), S. 182.

¹⁶ Bei der Darstellung sollen nur wesentliche Aspekte aufgezeigt werden, um die grundlegende Argumentation ersichtlich zu machen. Eine detaillierte Darstellung findet sich bei Klemperer (2004) auf Seite 40.