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Optionsbewertung nach Black und Scholes - Modell und Praxisbezug

Seminararbeit 2002 18 Seiten

BWL - Investition und Finanzierung

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Das Black-Scholes-Merton-Modell
2.1 Modell für das Verhalten von Aktienkursen
2.1.1 Die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsverteilung
2.1.2 Erweiterung des Wiener-Prozesses
2.1.3 Der Prozess für Aktienkurse
2.2 Prämissen
2.3 Pricing by duplication und die Black-Scholes-Merton-Differentialgleichung

3. Die Black-Scholes-Preisformel

4. Die Volatilität des Aktienkurses
4.1 Schätzung der Volatilität anhand historischer Daten
4.2 Implizite Volatilität

5. Die griechischen Buchstaben
5.1 Delta D
5.2 Gamma G
5.3 Theta Q
5.4 Vega
5.5 Rho R

6. Praxisbezug

7. Literaturverzeichnis

1. Einleitung

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Optionsbewertung nach Black und Scholes. Dabei wird eine direkte Herleitung der Black-Scholes-Preisformel zur Bewertung einer Kaufoption europäischen Typs auf eine Aktie vorgestellt.

Zunächst wird die im Modell unterstellte Aktienkursverlaufshypothese näher erläutert (Abschnitt 2.1). Aus der formalen Darstellung der Kursdynamik resultiert eine einfache Verteilungsannahme für den zukünftigen Aktienkurs. In Abschnitt 2.2 werden die Prämissen aufgezeigt, die den Untersuchungen von Black, Scholes und Merton zugrunde liegen. Anschließend folgt die Herleitung der Black-Scholes-Merton-Differentialgleichung, die den Ausgangspunkt für die Black-Scholes-Preisformel darstellt. Diese bildet seit den siebziger Jahren die Grundlage der Optionstheorie und hat auch die finanztheoretische Forschung grundlegend verändert. Ihre Verdienste und die Bedeutung des Black-Scholes-Modells wurden schließlich mit der Verleihung des Nobelpreises für Wirtschaftswissenschaften im Jahr 1997 gewürdigt.

In Abschnitt 5 gehe ich auf die griechischen Buchstaben ein, die auf anschauliche Art und Weise die Abhängigkeit des Optionspreises von verschiedenen Parametern, die der Preisformel zugrunde liegen, verdeutlichen. Abschließen werde ich meine Arbeit mit einem Ausblick auf den Praxisbezug des Modells.

2. Das Black-Scholes-Merton-Modell

2.1 Modell für das Verhalten von Aktienkursen

Da Derivative von der Entwicklung des ihnen zugrunde liegenden Vermögensgegenstandes abhängen, ist es zunächst wichtig, den Verlauf dieses Vermögensgegenstandes zu definieren. Bei Aktienoptionen bedeutet dies, dass zunächst der Prozess, dem Aktien folgen, beschrieben werden muss.

Hierbei wird ein stochastischer Prozess mit kontinuierlichem Zeitablauf und kontinuierlichen Variablen zugrunde gelegt.[1] Soll heißen, dass Veränderungen jederzeit stattfinden können, und dass die Variable jeden Wert innerhalb eines bestimmten Bereiches annehmen kann.[2] Der Verlauf, dem die Aktie (Variable) dabei folgt, ist unabhängig von der historischen Entwicklung der Variablen. Die einzige relevante Information ist der momentane Kurs. Diese Tatsache, dass für die Prognose der zukünftigen Kursentwicklung lediglich der gegenwärtige Wert der Variablen von Relevanz ist, nennt man Markov-Eigenschaft.[3] Vorhersagen über die Zukunft sind damit unsicher und müssen mit Hilfe von Wahrscheinlichkeitsverteilungen umschrieben werden.[4]

2.1.1 Die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsverteilung

Die Unsicherheit über die zukünftige Entwicklung wird mit Hilfe einer Wahrscheinlichkeitsverteilung umschrieben, die normalverteilt ist mit dem Mittelwert Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenund einer Varianzrate Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenvon 1,0 pro Jahr. Diese spezielle Variante des Markov-Prozesses wird als Wiener-Prozess oder als Brown´sche Bewegung bezeichnet.[5] Der Wiener-Prozess gibt die Veränderung einer Variablen z an, der eine Wahrscheinlichkeitsverteilung von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenzugrunde liegt. Die Veränderung dz während einer kurzen Zeitperiode dt ist dabei gegeben durch:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit: e als Zufallsstichprobe aus einer Standardnormalverteilung mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.[6]

2.1.2 Erweiterung des Wiener-Prozesses

Wie im vorangegangenen Abschnitt gezeigt, verläuft die Veränderung einer Variablen z, die dem Wiener-Prozess folgt, nach folgendem Verlaufsmuster:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Dieses Verhaltensmuster kann verallgemeinert werden auf eine Variable x (mit einer erwarteten, konstanten Driftrate von a und einer konstanten Standardabweichung b) in Abhängigkeit des Wiener-Prozesses zu:[7]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

In einer Periode von T verändert sich x um Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Diese Veränderung ist zu korrigieren um den Term Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, den b-fachen Wiener-Prozess, der eine Störgröße für den Pfad, dem x folgt, darstellt.

2.1.3 Der Prozess für Aktienkurse

Die Gleichung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenbeschreibt den Prozess, dem eine Aktie folgt noch nicht vollständig. Denn hierbei wird unterstellt, dass der Aktienkurs eine konstante erwartete Driftrate a und eine konstante Varianzrate b2 hätte. Doch diese Annahme ist nicht haltbar, da die erwartete prozentuale Aktienrendite vom Niveau des Aktienkurses unabhängig ist.[8] Die konstante erwartete Driftrate a ist durch die Annahme einer konstanten Rendite zu ersetzen. Das heißt, dass a durch Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenersetzt wird, wobei S der Aktienkurs zum Zeitpunkt t ist und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltendie in dezimaler Form ausgedrückte erwartete Rendite der Aktie. Auch die Standardabweichung b muss in der Hinsicht korrigiert werden, als sie proportional zum Aktienkurs ausgedrückt werden muss. Dem liegt die Annahme zugrunde, dass die Unsicherheit eines Investors über die prozentuale Rendite unabhängig vom Aktienkurs in einer kurzen Zeitperiode dt gleich groß ist.

Dadurch gelangt man zum verbreitetsten Modell für das Verhalten von Aktienkursen, das auch geometrische Brown´sche Bewegung (Random Walk) genannt wird:[9]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenbzw. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit: s = Volatilität des Aktienkurses, als konstant angenommen

m = erwartete Rendite der Aktie, als konstant angenommen

dS = Veränderung des Aktienkurses S

dz = Wiener-Prozess.

Die Änderung des Aktienkurses setzt sich somit aus der erwarteten Kursänderung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenund einer unerwarteten, stochastischen Änderung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenzusammen.

2.2 Prämissen

Bei der Herleitung der Black-Scholes-Merton-Differentialgleichung müssen verschiedene Annahmen getroffen werden, damit diese Gültigkeit erlangt. Diese sind im Einzelnen:[10]

(1) Der Kapitalmarkt ist reibungslos. Das heißt, es gibt weder Transaktionskosten noch Steuern noch sonstige Handelshemmnisse. Alle Wertpapiere sind damit beliebig teilbar.
(2) Der Leerverkauf von Wertpapieren und die vollständige Verwendung der daraus resultierenden Erlöse ist erlaubt.
(3) Während der Optionslaufzeit werden weder Dividenden noch sonstige Zahlungen auf die Aktie ausgeschüttet.
(4) Es gibt keine risikofreien Arbitrage-Möglichkeiten, d.h., niemand kann durch bloße Umschichtung seines in Finanztiteln gebundenen Vermögens Gewinne erzielen.
(5) Der kurzfristige Zinssatz rf für risikolose Anlagen ist bekannt, positiv und während der Laufzeit der Option konstant. Marktteilnehmer können zu diesem Satz uneingeschränkt Mittel aufnehmen oder anlegen.
(6) Es wird eine europäische Option betrachtet, d.h., das Optionsrecht kann erst bei Fälligkeit ausgeübt werden.
(7) Der Handel mit Wertpapieren ist kontinuierlich, man geht also von infinitesimal kleinen Zeiteinheiten zwischen zwei aufeinanderfolgenden Aktienkursen aus. Der Aktienkurs S entwickelt sich dabei entsprechend einer geometrisch Brownschen Bewegung, wie er im vorangegangenen Abschnitt erläutert wurde:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

2.3 Pricing by duplication und die Black-Scholes-Merton-Differentialgleichung

Zur Optionspreisbestimmung bedienen sich Black und Scholes des Prinzips des pricing by duplication.[11] Danach ist ein Portfolio aus marktfähigen Finanztiteln zu bilden, das die gleichen Rückflüsse generiert wie die Option. Bei bekannten Marktpreisen der verwendeten Finanztitel bestimmt ein solches äquivalentes Portfolio den Wert des Optionsrechts. Der Wert einer Kaufoption kann also bestimmt werden, wenn es gelingt, ihre Zahlungscharakteristik zu duplizieren. Dazu muss ein aus der Kaufoption und der ihr zugrunde liegenden Aktie bestehendes Hedge-Portfolio so zusammengestellt werden, dass dessen Wertänderung im Zeitablauf nicht stochastisch, also risikolos ist. Für den Wert VH eines Hedge-Portfolios gilt:[12]

[...]


[1] Hull (2001), S. 311

[2] Beim Binomialmodell wird hingegen ein stochastischer Prozess mit diskretem Zeitablauf und diskreten Variablen vorausgesetzt, d.h., die Variable kann nur bestimmte Werte zu bestimmten Zeitpunkten annehmen

[3] Hull (2001), S. 312

[4] Hahnenstein/Wilkens/Röder (2001), S. 356

[5] Thiel (2001), S. 65

[6] Hull (2001), S. 314

[7] Hull (2001), S. 316

[8] Hull (2001), S. 320 f.

[9] Thiel (2001), S. 67

[10] Serfling/Dechant/Gatsonis (1990), S. 448 f.

[11] Serfling/Dechant/Gatsonis (1990), S.450

[12] Die folgenden Ausführungen zur Bildung eines risikofreien Portfolios beruhen auf der Darstellung von Copeland (1988), S. 296 ff

Details

Seiten
18
Jahr
2002
ISBN (eBook)
9783638184021
ISBN (Buch)
9783638892483
Dateigröße
614 KB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v12548
Institution / Hochschule
Universität Hohenheim – Betriebswirtschaftslehre: Rechnungswesen und Finanzierung
Note
1,3
Schlagworte
Optionsbewertung Black Scholes Modell Praxisbezug Investitions- Finanzierungstheorie

Autor

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Titel: Optionsbewertung nach Black und Scholes - Modell und Praxisbezug