Bewertung asiatischer Optionen


Diplomarbeit, 2008

90 Seiten, Note: 2,0


Leseprobe


Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

1. Einleitung

2. Einführung in die Bewertung von Optionen
2.1. Die Black und Scholes Differentialgleichung
2.1.1. Preisprozess des betrachteten Basiswertes
2.1.2. Herleitung der Bewertungsgleichung
2.1.3. Pfadabhängige Optionen
2.2. Risikoneutrale Bewertung
2.2.1. Die geometrisch Brownsche Bewegung unter dem risiko- neutralen Wahrscheinlichkeitsmaß
2.2.2. Risikoneutrale Bewertung anderer Assetgruppen

3. Asiatische Optionen
3.1. Einführung in die Funktionsweise asiatischer Optionen
3.1.1. Auszahlungsstruktur
3.1.2. Mittelwertbildung
3.2. Hedging und Anwendung asiatischer Optionen
3.2.1. Absicherung von Wechselkursrisiken mit asiatischen fixed strike Optionen
3.2.2. Kurssicherung durch asiatische average strike Optionen
3.3. Put-Call-Parität asiatischer Optionen

4. Bewertung asiatischer Optionen
4.1. Geometrische asiatische Optionen
4.1.1. Geometrische asiatische Optionen mit diskreter Mittel- wertbildung
4.1.2. Kontinuierliche Mittelwertbildung
4.2. Arithmetische asiatische Optionen
4.2.1. Approximation durch logarithmische Normalverteilung
4.2.2. Geometric Conditioning
4.3. Äquivalenz von fixed und average strike Optionen
4.4. Monte-Carlo-Simulation
4.4.1. Monte-Carlo-Simulation - Vorgehensweise in Matlab .
4.4.2. Resultate der Monte-Carlo-Simulation

5. Schlussbemerkungen

A. Mathematischer Anhang
A.1 Wichtige Theoreme
A.2 Zusammenfassung verwendeter Integralregeln

B. Anhang - Beispielberechnung von Abschnitt 3.2.1

C. Anhang - Partielle Differentialgleichung

D. Anhang - Herleitung zu den Bewertungsgleichungen
D.1 Asiatische fixed strike Call-Option mit diskreter, geometrischer Mittelwertbildung
D.2 Asiatische Optionen mit kontinuierlicher, geometrischer Mittel- wertbildung
D.3 Asiatische Optionen mit arithmetischer Mittelwertbildung
D.3.1. Approximation durch Annahme der Log-Normalverteilung
D.3.2. Geometric Conditioning

Literatur

Abbildungsverzeichnis

3.1. Auszahlung einer asiatischen fixed strike Call-Option mit dis- kreter Mittelwertbildung

3.2. Kursverlauf einer Aktie, kontinuierlicher und diskreter arithme- tischer Mittelwert

Tabellenverzeichnis

2.1. Preisprozesse von Aktien und Währungen

3.1. Optionspreisvergleich

4.1. Ergebnisvergleich: Monte-Carlo-Simulation - Approximationen

B.1 Ausgangswerte für das Beispiel zur Absicherung von Wechsel- kursrisiken

B.2 Kurssicherungsstrategien.>Abkürzungsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Einleitung

Asiatische Optionen zählen zu den bekanntesten und meist verwendeten exo-tischen Optionen im Over-the-Counter Handel.1 Ihre erwartete Auszahlung hängt vom Mittelwert der Preise, die der Basiswert im betrachteten Zeitraum realisiert hat, ab, daher werden sie in die Kategorie der pfadabhängigen Optio-nen eingeordnet. Der Mittelwert kann arithmetisch oder geometrisch gebildet werden, wobei die geometrische Bildungsweise in der Praxis den Ausnahmefall darstellt.

Der Name asiatische Optionen wurde diesen Derivaten von Mitarbeitern der In-vestmentbank Bankers Trust verliehen, die diesen Optionstyp zum ersten Mal handelten. Der Anwendungsbereich war die Absicherung von Wechselkursrisi-ken japanischer Firmen, die ihren Jahresabschluss auf Basis durchschnittlich realisierter Wechselkurse aufstellten.2 Damit ist bereits eines der wichtigsten Anwendungsgebiete asiatischer Optionen, die Absicherung von Wechselkurs-risiken, genannt. Weitere Anwendungsmöglichkeiten sind unter Anderem die Absicherung durchschnittlicher Aktien- und Rohstoffpreise und die Sicherung eines bestimmten Zinsniveaus. Letzterer Verwendungsbereich wird in der Li-teratur nur relativ selten genannt.

Die vorliegende Arbeit konzentriert sich auf die Betrachtung asiatischer Optio-nen europäischen Typs. Da der eigentliche Absicherungszweck einer asiatischen Option bei Ausübung vor Fälligkeit verloren geht, wird auf die Betrachtung asiatischer Optionen amerikanischen Typs verzichtet.3 In Abschnitt 2 wird zunächst eine Einleitung in die Bewertung von Optionen gegeben, wobei die Black-Scholes-Differentialgleichung hergeleitet wird und die wichtigsten Eigen-schaften des zugrundeliegenden Preisprozesses des Basiswertes definiert wer-den. Eine Erweiterung auf pfadabhängige Optionen erfolgt im Anschluss. Aus den Ergebnissen dieser Herleitungen, l¨asst sich zeigen, dass eine Bewertung von Optionen durch Diskontieren der erwarteten Optionsauszahlung mit dem risi- kolosen Zinssatz unter einem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß erfolgen kann. Eine detaillierte Einführung in asiatische Optionen erfolgt in Abschnitt 3.1. Es werden die Auszahlungsstrukturen asiatischer fixed und average strike Optionen definiert und auf die arithmetische und geometrische Mittelwert-bildung eingegangen. Darauf folgt eine Darstellung der Hedging- und Anwen-dungsmoglichkeiten asiatischer Optionen. Die Put-Call-Paritäten für asiatische fixed und average strike Optionen werden in Abschnitt 3.3 hergeleitet.

In Abschnitt4 werden Bewertungsgleichungen für asiatische Optionen herge-leitet und dargestellt. Während geschlossene Bewertungsgleichungen für asia-tische Optionen mit geometrischer Mittelwertbildung relativ schnell gefunden werden konnen, ist das Aufstellen von geschlossenen Bewertungsgleichungen bei arithmetischer Mittelwertbildung nicht moglich. Daher ist es notwendig Approximationen aufzustellen, was die Bewertung dieser Optionsart besonders interessant macht.

Bei den ersten Versuchen, asiatische Optionen mit arithmetischer Mittelwert-bildung zu bewerten, wurde davon ausgegangen, dass ein arithmetischer Mittel-wert von logarithmisch normalverteilten Zufallsvariablen auch log-normalverteilt ist (s. Turnbull und Wakeman (1991), Levy (1992) oder Sankarasubramanian und Vijh (1993)). Bessere Bewertungsergebnisse konnten durch das “(Geome­tric) Conditioning”4 erzielt werden (s. Curran (1994), Rogers und Shi (1995) oder Lord (2006)). Eine andere Moglichkeit bietet die Bewertung anhand nu-merischer Methoden, wie die Monte-Carlo-Simulation (s. Kemna und Vorst (1989)) oder die numerische Losung einer partiellen Differentialgleichung durch die Finite-Differenzen-Methode (s. Dewynne und Wilmott (1995), Rogers und Shi (1995) oder B. Alziary und Koehl (1997)). Eine Darstellung sämtlicher o.a. Bewertungsansätze würde den Rahmen der vorliegenden Arbeit sprengen, da-her werden im Folgenden lediglich die Approximation mit der Annahme, dass ein arithmetischer Mittelwert von logarithmisch normalverteilten Zufallsvaria-blen auch log-normalverteilt ist sowie das “Geometric Conditioning” und die Monte-Carlo-Simulation dargestellt. In der Forschung wird asiatischen average strike Optionen nur wenig Aufmerksamkeit gewidmet. Die Darstellung einer Bewertungsgleichung ist deshalb nicht für alle Approximationen moglich. Ein Preisverhaltnis zwischen asiatischen fixed und average strike Optionen, das in Abschnitt 4.3 hergeleitet wird, ermoglicht auch in diesen Fallen eine Be-wertung. In Abschnitt 4.4.2 werden Werte asiatischer fixed strike Optionen, die anhand der dargestellten Approximationen berechnet wurden, Ergebnis-sen einer Monte-Carlo-Simulation gegenübergestellt. Hierdurch ist ein Qua-litatsvergleich der Approximationen moglich, wobei die Ergebnisse der Monte-Carlo-Simulation als Qualitatsstandard gelten. Abschließend wird ein Ausblick auf die aktuellen Forschungsschwerpunkte des Themengebietes asiatische Op-tionen gegeben.

2. Einführung in die Bewertung von Optionen

Im Bereich der Finanzwirtschaft sind Optionen bedingte, abgeleitete Termin-geschafte (auch als Derivate bezeichnet), die sich grundsatzlich auf einen Ba-siswert wie eine Anleihe, Aktie oder Wahrung beziehen und das Recht für den Inhaber der Option verbriefen, diesen Basiswert (underlying asset) zu einem bestimmten Preis (Ausübungspreis) an oder bis zu einem festgelegten Zeit-punkt (Falligkeit oder Verfalldatum) zu kaufen oder zu verkaufen. Eine Option, die das Recht verbrieft, den Basiswert zum Ausübungspreis zu kaufen, wird als Call bezeichnet, wahrend eine Option, die die Moglichkeit eroffnet, den Basis-wert zum Ausübungspreis zu verkaufen, Put genannt wird. Optionen konnen europaischen oder amerikanischen Typs sein. Die Ausübung europaischer Op-tionen ist nur am Verfalldatum moglich. Im Gegensatz dazu konnen amerika-nische Optionen wahrend ihrer gesamten Laufzeit ausgeübt werden. Optionen verbriefen für den Inhaber des Kontraktes nur Rechte und keinerlei Verpflich-tungen, weshalb sie einen Wert besitzen, der bestimmt werden kann.

Der Wert einer Standard-Option ist zum Zeitpunkt ihrer Falligkeit T aus-schließlich von ihrer Auszahlung abhangig, die sich aus der Differenz zwischen dem aktuellen Preis des Basiswertes und der Hohe des Ausübungspreises der

Option berechnet. Bezeichnet t den gegenwartigen Zeitpunkt, X(t) den ak-tuellen Preis eines Basiswertes und K den Ausübungspreis, so kann der Wert einer beliebigen Option als Funktion von t und X(t) durch G(X, t) ausgedrückt werden. Zum Zeitpunkt der Falligkeit mit t = T kann der Wert bzw. die Aus-zahlung einer Standard-Option unter Verwendung eines Call/Put Operators [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (Call: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] = +1 / Put: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] = −1) durch

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] berechnet werden. Der Wert einer Option in einem beliebigen Zeitpunkt t, mit 0 ≤ t < T, hangt vom Preis des Basiswertes in T ab. Da sich dieser nicht eindeutig vorhersagen l¨asst, erfolgt die Bewertung unter Unsicherheit. Der Kursverlauf des Basiswertes einer Option kann durch zeitstetige oder - diskrete Zufallsprozesse modelliert werden. Black und Scholes (1973) führten ein Modell zur Bewertung von Optionen unter der Annahme ein, dass der Preis des Basiswertes einem zeitstetigen Zufallsprozess folgt. J. C. Cox und Rubinstein (1979) vereinfachten das von Fischer Black und Myron Scholes entwickelte Modell unter der Verwendung von Binomialprozessen. Dieser zeit-diskrete Zufallsprozess wird im Weiteren nicht verfolgt.5

2.1. Die Black und Scholes Differentialgleichung

Das ursprüngliche Modell zur Bewertung von Optionen nach Fischer Black und Myron Scholes (Black - Scholes -Modell) stellt eine Bewertungsgleichung für Optionen dar, deren Wert nur von dem Preis einer dividendenlosen Aktie X und der Zeit t abhangt. Es ist möglich die Bewertungsgleichung durch zwei unterschiedliche Methoden herzuleiten. Zum Einen kann zur Bewertung eines Derivats ein Duplikationsportfolio, bestehend aus einem Bond und einer Aktie, aufgestellt werden. Zum Anderen wird ein Portfolio mit einer Aktien- und einer Optionsposition so gebildet, dass dieses risikolos wird. Der letztgenannte Weg wird weiter verfolgt.

Zur Herleitung der Black - Scholes -Differentialgleichung werden die folgenden Annahmen getroffen:

1. Es existiert eine Anlage im Geldmarkt B (t), die mit dem risikolosen Zinssatz r, der konstant und identisch für alle Laufzeiten ist, verzinst wird. Die Wertänderung des Geldmarktkontos in einer infinitesimalen Zeiteinheit dt wird durch dB (t) = rB (t) dt beschrieben.
2. Risikolose Arbitragemöglichkeiten bestehen nicht.
3. Der Wertpapierhandel findet zu jedem Zeitpunkt t ∈ [0 , T ] statt und alle Wertpapiere sind beliebig oft teilbar.
4. Transaktionskosten, Steuern etc. werden nicht berücksichtigt.
5. Der Markt ist reibungslos.
6. Leerverkäufe von Wertpapieren sind möglich und unbeschränkt.6

Im Folgenden wird der Prozess, dem der Preis einer Aktie folgt, definiert und Eigenschaften dieses Prozesses erläutert. Erweiterungen des Modells für die Bewertung von Optionen auf Währungen und Aktien mit Dividenden sind möglich und werden im Anschluss an die Herleitung der Black - Scholes -Fundamentalgleichung vorgenommen.

2.1.1. Preisprozess des betrachteten Basiswertes

Um das Konzept der Zufallsprozesse zur Beschreibung von Kursverläufen eines Basiswertes zu verwenden, ist es zunächst notwendig, einen für den Basiswert geeigneten Prozess zu finden bzw. zu definieren. Im klassischen Optionsbe-wertungsmodell von Fischer Black und Myron Scholes wird eine geometrisch Brownsche Bewegung zur Modellierung des Kursverlaufs einer dividendenlosen Aktie verwendet. Unter Annahme dieses Prozesses erfüllt der Kurs einer Aktie die stochastische Differ entialgleichung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Drift [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist die erwartete Momentanrendite der Aktie in einer infinitesimalen Zeiteinheit dt. Schwankungen der Rendite um ihren Erwartungswert werden durch die Volatilität σ dargestellt. Die standardisierte Brownsche Bewegung, die auch Wiener-Prozess genannt wird, dW (t), kann als zusätzliche Streuung auf dem Kursverlauf von X (t) verstanden werden.7

Definition 2.1.1 Standardisierte Brownsche Bewegung.

Sei ([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] F , P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, dann existiert für jedes Ele-mentarereignis ω [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] des Zufallsexperiments ein stochastischer Prozess W (t) mit t ≥ 0, der die folgenden Eigenschaften erfüllt:

1. W (t) ist normalverteilt mit .,[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (0 , t).

2. Die Zuwächse W (t) − W (s) sind für 0 ≤ s < t unabhängig von W (s).

3. Die Verteilung des Zuwachses W (t)− W (s) hängt nur von der Länge des Zeitintervalls ts ab und ist mit .,A/(0 , ts) normalverteilt.

Dieser stochastische Prozess heißt standardisierte Brownsche Bewegung mit einem Anfangswert von W (0) = 0.

Dabei ist die Ergebnismenge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperi-ments, F die σ-Algebra aller Teilmengen von , deren Wahrscheinlichkeiten definiert sind und P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf F.8

Weiterhin kann für die Kovarianz zweier Beobachtungen s und t (mit 0 < s < t) der standardisierten Brownschen Bewegung gezeigt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Martingaleigenschaft der Brownschen Bewegung

Erwartungen über zukünftige Werte einer Zufallsvariable werden auf der Basis von verfügbaren Informationen getroffen und als bedingte Erwartungswerte bezeichnet. Eine Definition über die verfügbare Menge an Informationen zu jedem Zeitpunkt t muss erfolgen. Eine geeignete Schreibweise dafür bietet das mathematische Konzept der Filtrierung.

Definition 2.1.2 Filtrierung einer Brownschen Bewegung.

Eine Filtrierung für die Brownsche Bewegung ist eine Familie von σ-Al- gebren [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (t) t > 0, die die folgenden Bedingungen erfüllt:

1. Für 0 < s < t ist jede Familie T(s) zum Zeitpunkt t auch in T(t) enthalten.

2. Die Brownsche Bewegung W (t) heißt an die Filtrierung angepasst, wenn W (t) zu jedem Zeitpunkt t > 0 [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (t)-messbar ist, also W (t) in t bekannt ist.

3. Die Differenz W (u) − W (t) mit 0 < t < u ist unabhängig von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (t).

Es sind mindestens so viele Informationen in jedem Zeitpunkt t vorhanden, wie aus der Brownschen Bewegung beobachtet werden können. Diese Informatio-nen lassen keine Rückschlüsse auf zukünftige Veränderungen der Brownschen Bewegung zu.

Theorem 2.1.1 Die Brownsche Bewegung ist ein Martingal.

Sei (Ω , F , P) der Wahrscheinlichkeitsraum und F (t) die Filtrierung einer Brownschen Bewegung W (t) (s. Definition 2.1.2). W (t), mit 0 < s < t < T, ist ein Martingal, wenn

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gilt. Dies lässt sich für0 < s < t zeigen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Brownsche Bewegung ist demnach ein stochastischer Prozess, bei dem der Erwartungswert einer Beobachtung, dem Wert der zuletzt getätigten Beobach-tung entspricht. Der Verlauf des Prozesses zeigt keine erkennbaren Trends.9

Die Markov-Eigenschaft

Künftige Werte stochastischer Prozesse, die die Markov Eigenschaft erfüllen, sogenannte Markov-Prozesse, sind nicht von vergangenen Werten abhängig. Die Art und Weise, wie der aktuelle Wert des stochastischen Prozesses ent-standen ist, spielt also keine Rolle. Prognosen zukünftiger Werte des Markov-Prozesses sind unsicher und müssen durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung beschrieben werden.10

Die Markov-Eigenschaft ist konform mit der schwachen Form der Kapital-markteffizienz. Dies bedeutet, dass der aktuelle Aktienpreis sämtliche Infor-mationen vergangener Preise widerspiegelt.

Theorem 2.1.2 Die Brownsche Bewegung ist ein Markov-Prozess. Die Brownsche Bewegung W(t), mit t ≥ 0, ist ein Markov-Prozess, wenn [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Filtrierung dieser Brownschen Bewegung ist.11

Die Log-normal-Eigenschaft des Basiswertpreises

Aus der im Black-Scholes-Modell für die Modellierung des Aktienkurses ver-wendeten geometrisch Brownschen Bewegung mit konstanten Parametern µ und σ folgt, dass ln X(t) normalverteilt ist, mit12

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Als Kurzschreibweise soll an entsprechender Stelle die Notation ln X(t) r.- N (µx, σ2x) auf die dementsprechenden Werte der Gleichung (2.5) ver-weisen. X(t) kann durch seine logarithmische Normalverteilung nicht negativ werden. Dies stimmt mit dem realen Verhalten von Preisen eines Basiswertes überein.

2.1.2. Herleitung der Bewertungsgleichung

Es wird ein risikoloses Portfolio aufgebaut, das aus einer Position, die den Ver-kauf von ϕ Aktien beinhaltet und einer europ¨aischen Standard-Option besteht. Das Portfolio l¨asst sich in der Art gestalten, dass sich mögliche Gewinne und Verluste der beiden Positionen ausgleichen und der Wert des Portfolios am Ende eines infinitesimalen Zeitintervalls dt mit Sicherheit feststeht. Für die-se Betrachtung ist es notwendig, die Wertver¨anderung der Option formal zu beschreiben. Der Prozess einer Aktie ist durch Gleichung (2.2) gegeben. Der Wert einer beliebigen Option G h¨angt von der stochastischen Variable X, die den Kurs des Basiswertes beschreibt, und der Zeit t ab. Um den Prozess, dem eine Funktion

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

folgt, zu beschreiben, ist es notwendig, das Lemma von Itˆo zu verwenden. 13 Es ergibt sich für den Preisprozess der Option der Zusammenhang 14

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ein Portfolio, dessen Wert als Π definiert ist, besteht aus einer Option G und aus einer Anzahl ϕ verkaufter Aktien

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Wert¨anderung des Portfolios dΠ im infinitesimalen Zeitintervall dt be- tr¨agt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch Einsetzen der Gleichungen (2.2) und (2.7) ergibt sich

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der einzige enthaltene risikobehaftete Term ist somit dW(t). Dessen Auswir- kung kann durch entsprechende Wahl der Aktienanzahl [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] eleminiert werden. Die Gleichung für die Wertanderung des Portfolios vereinfacht sich auf

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da die Veranderung des Portfoliowertes nun vollkommen unabhangig von der Unsicherheitsquelle dW(t) ist, muss sich das Portfolio wahrend einer infinitesi-malen Zeiteinheit dt mit dem risikolosen Zinssatz r verzinsen.15 Dies bedeutet für die Veranderung des Portfoliowertes

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und somit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dies ist die Diffenrentialgleichung nach Black und Scholes (1973), die für alle Optionen gilt, deren Wert G ausschließlich vom Aktienkurs X und der Zeit t abhangt. Die Black-Scholes-Differentialgleichung hat unendlich viele Lösungen. Eine eindeutige Lösung für eine Option kann nur unter Verwendung spezifi-scher Randbedingungen bestimmt werden. Diese geben Werte für das Derivat an, wenn X und t an die Grenze ihrer möglichen Werte gelangen.16

2.1.3. Pfadabh¨angige Optionen

Die bisher betrachteten Auszahlungsfunktionen (2.1) von Standard-Optionen hangen nur vom Kurs des Basiswertes X und der Zeit t ab und werden als plain vanilla Optionen bezeichnet. Optionen, deren Wert zusatzlich vom Kursverlauf des Basiswertes abhangt, werden in die Gruppe der exotischen Optionen ein-geordnet und als pfadabhangige Optionen bezeichnet.

Um diese Art komplexer Optionen zu bewerten, ist es notwendig, eine pfad-abhangige Variable einzuführen und das bisher kennengelernte Black - Scholes -Modell zu erweitern. Die Vorgehensweise bei der Herleitung einer Bewertungs-gleichung für pfadabhangige Optionen ist analog zu der in Abschnitt 2.1.2 vor-genommenen bei der Herleitung der Black-Scholes-Differentialgleichung. Des-halb werden nur relevante Zwischenergebnisse dargestellt.

Sei I die pfadabhangige Variable, so können Auszahlungsfunktionen der Form

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

oder

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten vorkommen. Der Wert einer beliebigen, pfadabhangigen Option G ist von den Variablen X, t und der pfadabhangigen Variable I abhangig. Diese drei Varia-blen können als voneinander unabhangig betrachtet werden, da der vom Preis des Basiswertes zurückgelegte Verlauf (bzw. Pfad) unabhangig von dem aktu-ellen Preis des Basiswertes ist.17

Da der Wert einer pfadabhangigen Option G(X, I, t) von drei Variablen abhangt, lasst sich die Wertanderung der pfadabhangigen Option unter Verwendung von Itôs Lemma durch

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] darstellen. Die resultierende Gleichung beinhaltet im Vergleich zu Gleichung (2.7) den zusatzlichen Term [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Dieser gibt die Veranderung des Optionswertes bezüglich einer Änderung von I an. Soll analog zur Herlei-tung der Black-Scholes-Differentialgleichung in Abschnitt 2.1.2 ein risikoloses

Portfolio gebildet werden, das aus ϕ-Stück verkauften Aktien und einer pfa-dabhangigen Option besteht, muss [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gew¨ahlt werden. Die gleichen “No-Arbitrage” Überlegungen wie in Abschnitt 2.1.2 führen auf

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dies ist die Bewertungsgleichung für jede Option, die von X, t und der pfad- abhangigen Variable I abhangt.18

2.2. Risikoneutrale Bewertung

Die in den Abschnitten 2.1.2 und 2.1.3 hergeleiteten Differentialgleichungen (2.8) und (2.10) zur Bewertung von Optionen weisen die gemeinsame Eigen-schaft der Risikoneutralitat auf. Risikoneutralitat bedeutet, dass keine Variable von den Risikopraferenzen der Investoren abhangt. Die erwartete Momentan-rendite µ, die die von den Investoren geforderte Rendite für die Übernahme von Risiken darstellt, wurde in der Herleitung vollkommen eliminiert. Die herge-leiteten Differentialgleichungen zur Bewertung von Optionen sind vollkommen unabhangig von den Risikopraferenzen der Investoren. Deshalb ist die Annah-me zulassig, dass risikoneutrale Praferenzen vorliegen. Die erwartete Moment-anrendite in einem infinitesimalen Zeitintervall entspricht dann dem risikolosen Zinssatz r.19 Ziel ist es, die Bewertung von Optionen durch Diskontieren der er-warteten Optionsauszahlungen im Zeitpunkt der Falligkeit mit dem risikolosen Zinssatz r durchführen zu können.

2.2.1. Die geometrisch Brownsche Bewegung unter dem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß

Um die risikoneutrale Bewertung durchzuführen, ist es erforderlich, das bisher verwendete tatsachliche Wahrscheinlichkeitsmaß P in ein aquivalentes “risiko-neutrales” Wahrscheinlichkeitsmaß P e zu überführen, unter dem X(t) ein Mar-tingal wird. Unter P e ist es möglich, den Wert eines Assets zum Zeitpunkt t durch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

anzugeben, wobei 0 ≤ t ≤ T gilt und eE[.] der Erwartungswert unter dem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß P e ist.

Unter Verwendung der geometrisch Brownschen Bewegung (2.2) und dem Pro-zess für eine risikolose Geldmarktanlage, l¨asst sich der diskontierte Preisprozess als

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und kann nach Definition des Marktrisikopreises [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

geschrieben werden. Um das Wahrscheinlichkeitsmaß von P auf P e zu ver-schieben, wird eine Zufallsvariable L(t) benötigt, die den in Ω enthaltenen Ereignissen neue Wahrscheinlichkeiten zuordnet. L(t) ist die Radon - Nikod´ym -

2. Einführung in die Bewertung von Optionen

Ableitung, die durch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

definiert ist.20 Weiterhin soll nach dem Girsanov-Theorem21

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gelten, wobei f W(t) unter dem Wahrscheinlichkeitsmaß P e eine Brownsche Be-wegung ist. Nun ist es moglich, Gleichung (2.11) unter der Wahl von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

umzuschreiben. Durch Substitution von Gleichung (2.13) in (2.2), ergibt sich die geometrisch Brownsche Bewegung für eine dividendenlose Aktie unter dem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]e gem¨aß22

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das nach dem Theorem von Girsanov definierte risikoneutrale Wahrscheinlich-keitsmaß P e ist ¨aquivalent zu P und ermoglicht die Abbildung des diskontierten Assetpreis X(t) als ein Martingal.23 Optionen konnen nun durch Diskontieren der erwarteten Auszahlung in T auf den Zeitpunkt t bewertet werden.

2. Einführung in die Bewertung von Optionen

2.2.2. Risikoneutrale Bewertung anderer Assetgruppen

Dividendenlose Aktien sind nicht die einzigen Basiswerte, die hier betrachtet werden. In diesem Abschnitt werden die Preisprozesse und Differentialglei-chungen für Aktien mit konstanter Dividendenrendite und Wechselkurse dar-gestellt, um in Abschnitt 4 auch Optionen auf solche Basiswerte bewerten zu können.24

Sei f W (t), 0 t T, eine Brownsche Bewegung auf dem Wahrscheinlichkeits-raum (Ω , F , eP) und sei F(t), 0 t T, eine Filtrierung für diese Brownsche Bewegung und sei ferner α eine Konstante, die in Tabelle 2.1 näher definiert wird und σ die Volatilität, dann ist der Preisprozess eines beliebigen Assets gegeben durch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für diese geometrische Brownsche Bewegung soll weiterhin in Abhängigkeit von α Folgendes gelten:

Tabelle 2.1: Preisprozesse von Aktien und Währungen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beispielhaft soll die Differentialgleichung für eine pfadabhangige Option G, deren Wert vom Wechselkurs zwischen zwei Wahrungen Xr f (t), der Zeit t und der pfadabhangigen Variable I abhangt, durch Gleichung 2.17 dargestellt werden. Die Herleitung erfolgt in Anhang C auf S. 64:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3. Asiatische Optionen

Asiatische Optionen (asian options) sind außerborslich gehandelte Kontrak-te, so genannte Over-the-Counter Optionen. Sie verbriefen für ihren Besit-zer eine Auszahlung, die vom durchschnittlichen Preis des Basiswertes über eine bestimmte Periode abhangt. Aufgrund dieser Abhangigkeit vom Durch-schnittspreis wird diese Optionsart auch Mittelwert- oder Durchschnittsoption (average option) genannt.

Zunachst werden in diesem Kapitel unterschiedliche Arten asiatischer Optio-nen definiert und Moglichkeiten zur Mittelwertbestimmung in diesem Zusam-menhang aufgezeigt. Im Anschluss werden zwei Beispiele für das Hedging mit asiatischen Optionen gegeben und die Put-Call-Paritat asiatischer Optionen hergeleitet.

3.1. Einführung in die Funktionsweise asiatischer Optionen

3.1.1. Auszahlungsstruktur

Eine Vielzahl verschiedener Optionen wird unter dem Begriff “asiatisch” sub-summiert. Die Betrachtung ihrer Auszahlungsfunktionen ermoglicht eine Ein-teilung der Mittelwertoptionen in drei Typen, die nachfolgend definiert werden. Dabei bezeichnen neben den bisher bekannten Variablen X(.)(t) und K, A(.)(ti)

einen noch nicht näher definierten Durchschnittskurs zum Zeitpunkt ti ∈ [0, T], i = 1, 2, 3, ..., N einen fortlaufenden Index und T = {0 = t0, t1, t2, ..., tN 1, tN = T} eine Menge vorgegebener Zeitpunkte.25

Definition 3.1.1 Fixed strike Option.

Werden zum Ausübungszeitpunkt der Option ein fester Ausübungspreis K und ein Durchschnittskurs A(.)(ti) miteinander verglichen, wird von einer fixed strike Option gesprochen. Die Auszahlungsfunktion zum Zeit-punkt ti beträgt unter Verwendung des Call/Put Opertors [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Anstatt der Bezeichnung fixed strike wird häufig der Name average rate Option verwendet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3.1: Auszahlung einer asiatischen fixed strike Call-Option mit dis-kreter Mittelwertbildung.

[...]


1 Vgl. Ye (2007), S. 2.

2 Vgl. Vorst (1996), S. 176.

3 Vgl. Kemna und Vorst (1989), S. 114.

4 Für eine Begriffserl¨auterung s. Abschnitt 4.2.2.

5 Für weiterführende Literatur zur Bewertung von Optionen mit dem Binomialmodell wird bspw. auf Shreve (2005) verwiesen.

6 Vgl. Sandmann (2000), S. 266 f.

7 Vgl. Shreve (2004), S. 154 sowie Hull (2006), S. 330.

8 Vgl. Shreve (2004), S. 94 ff..

9 Vgl. Shreve (2004), S. 74 ff..

10 Vgl. Hassler (2007), S. 53; sowie Hull (2006), S. 326 f..

11 Für einen Beweis der Markov-Eigenschaft s. Shreve (2004), S. 107 f..

12 Durch Anwendung von Itôs Lemma auf Gleichung (2.2) ist es möglich, X(t) = X (0) exp[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zu erhalten. Anwendung des natürlichen Logarithmus führt auf [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Dies zeigt, dass X(t) gem¨aß Glei-chung (2.5) logarithmisch normalverteilt ist.

13 Das von Kiyosi Itˆo entdeckte Lemma beschreibt, wie das totale Differential von Funk-tionen gebildet wird, die von einer deterministischen und einer stochastischen Variable abhängen. Itˆos Lemma wird im Rahmen dieser Arbeit nur als mathematischer Satz ver-wendet und nicht bewiesen. Für Beweise und weitere Anwendungsmöglichkeiten wird bspw. auf Hassler (2007) verwiesen.

14 Vgl. Sandmann (2000), S. 269.

15 Arbitragegelegenheiten wurden sich ergeben, wenn die Verzinsung nicht dem risikolosen Zinssatz entsprechen wurde. Fur eine Argumentation vgl. Wilmott et al. (1994) S. 43.

16 Vgl. Hull (2006), S. 357 ff..

17 Vgl. Wilmott et al. (1994), S. 156.

18 Wilmott et al. (1994), S. 157, leiten eine partielle Differentialgleichung für pfadabh¨angige Optionen mit einer nicht n¨aher definierten Dividendenzahlung her.

19 Vgl. Hull (2006), S. 360.

20 Das Radon - Nikod´ym -Theorem befindet sich im Anhang A.1 (S. 61).

21 Für eine Definition des Girsanov -Theorems siehe Anhang A.1 (S. 61).

22 Vorgehensweise ist ähnlich zu Shreve (2004), S. 210 f..

23 Vgl. Shreve (2004), S. 228.

24 Die in der Arbeit gefundenen Ergebnisse können auch auf Rohstoffe ausgeweitet werden, wenn [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] angenommen wird, wobei z die cost-of-carry des Rohstoffs darstellt.

25 Vgl. Sandmann (2000), S. 79.

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Details

Titel
Bewertung asiatischer Optionen
Hochschule
Freie Universität Berlin  (Institut für Bank- und Finanzwirtschaft)
Note
2,0
Autor
Jahr
2008
Seiten
90
Katalognummer
V123999
ISBN (eBook)
9783640288038
ISBN (Buch)
9783640288090
Dateigröße
3102 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Asiatische Optionen, risikoneutrale Bewertung, Optionsapproximation, Anwendung asiatischer Optionen
Arbeit zitieren
Alexander Lahmann (Autor:in), 2008, Bewertung asiatischer Optionen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/123999

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