Numerische Verfahren zur Berechnung von Platinenströmen

Résumé ou Introduction

Das Ziel dieser Diplomarbeit ist die Entwicklung eines numerischen Algorithmus', der es erlaubt, aus den oberhalb einer Leiterplatte gemessenen magnetischen Feldern die auf der Leiterplatte fließenden Ströme zu berechnen. Dieser Algorithmus soll anschließend durch ein FORTRAN-Programm implementiert werden.

Um eine eindeutige Lösung für das Problem zu ermöglichen, muß die Annahme getroffen werden, daß Ströme ausschließlich in der Platinenebene fließen. Bei der hier verwendeten Meßanordnung ergeben sich dann zwei leicht überbestimmte lineare Gleichungssysteme, die so zu lösen sind, daß die Summe der Fehlerquadrate minimiert wird. Außerdem muß ein Regularisierungsverfahren angewandt werden, um die numerische Instabilität auszugleichen, die bei der Lösung einer Integralgleichung erster Art regelmäßig auftritt.

Die Gleichungssysteme werden mit der von R. F. Harrington entwickelten Momentenmethode aufgestellt. Dabei stellt man die Ströme als eine Summe von geeignet gewählten Ansatzfunktionen dar. Man fordert dann von den durch die Ströme verursachten elektromagnetischen Feldern die Erfüllung bestimmter Bedingungen, nämlich daß ein Skalarprodukt mit einer sogenannten Testfunktion bestimmte Werte annimmt. Das sich so ergebende lineare Gleichungssystem stellt eine diskretisierte Version der zu lösenden Integralgleichung dar.

Es zeigt sich, daß die das Gleichungssystem repräsentierende Matrix eine besondere Struktur hat, die man als Block-Toeplitz-ToeplitzBlock-Matrix bezeichnet. Diese Struktur ergibt sich häufig bei der Diskretisierung zweidimensionaler Probleme, denen eine Integralgleichung mit einem Verschiebungskern zugrunde liegt. Eine kennzeichnende Eigenschaft dieser Matrixstruktur ist es, daß sich Produkte der Matrix mit einem Vektor sehr zeit- und speicherplatzsparend mit Hilfe einer zweidimensionalen diskreten Fouriertransformation berechnen lassen.

Damit bieten sich iterative Verfahren, wie etwa das Verfahren der konjugierten Gradienten, angewandt auf die Normalengleichungen (CGNR), zur Lösung des Gleichungssystems an. Dieses Iterationsverfahren hat, wie viele andere auch, außerdem den Vorteil, daß es gleichzeitig regularisierend wirkt, es genügt dazu, die Iterationen an einer geeigneten Stelle abzubrechen. Es ergibt sich, daß mit einem solchen Verfahren auch relativ große Gleichungssysteme in einer angemessenen Zeit mit einem mäßigen Speicherplatzbedarf lösbar sind.