Chancen und Grenzen offener Aufgabenstellungen im Mathematikunterricht

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

I. TEIL: THEORETISCHE GRUNDLAGEN
1. Qualitätssteigerung im Mathematikunterricht durch Aufgaben
1.1 Die Rolle von Aufgaben im Mathematikunterricht
1.2 Merkmale von Aufgabenqualität
1.2.1 Authentizität
1.2.2 Differenzierungsvermögen
2. Offene Aufgaben im Mathematikunterricht
2.1 Begriffsklärung
2.1.1 Aufgabentypen
2.2 Öffnung von Aufgaben
2.3 FermiAufgaben
3. Modellieren und Problemlösen
3.1 Modellieren
3.1.1 Begriffsbestimmung Modell
3.1.2 Modellierungsprozess
3.2 Problemlösen
4. Chancen und Grenzen offener Aufgabenstellungen
4.1 Chancen offener Aufgabenstellungen
4.1.1 Chancen aus Sicht der Schüler
4.1.2 Chancen aus Sicht der Lehrer
4.2 Grenzen offener Aufgabenstellungen
4.2.1 Grenzen aus Sicht der Schüler
4.2.2 Grenzen aus Sicht der Lehrer
5. Schlussfolgerungen für den Unterricht

II. TEIL: PLANUNG UND DURCHFÜHRUNG DER UNTERRICHTSEINHEIT
1. Planungsrelevante Vorüberlegungen
1.1 Situation der Klasse
1.2 Sachanalyse
1.3 Didaktische Überlegungen
1.4 Methodische Überlegungen
2. Darstellung der Unterrichtseinheit
2.1 Gesamtüberblick über die Einheit unter Berücksichtigung der curricularen Vorgaben
2.2 Übersicht über einzelne Stunden
2.2.1 Allgemeine Einführung in das Thema Division
2.2.2 und 2.2.3 Einführung des Positionsbrettes –Realisierung des Algorithmus der schriftlichen Division
2.2.4 Wissen vertiefen durch differenzierte Aufgabenangebote
2.2.5 Probieren, Rechnen und Entdecken
2.2.6 Ein Bild als Ausgangspunkt (ausführliche Vorbereitung)
2.2.7 Wie viele Autos stehen in einem 5 km Stau?
3. Gesamtreflexion und Ausblick
4. Literaturverzeichnis
5. Anhang

Einleitung

„Die großen Leute haben eine Vorliebe für Zahlen. […]So sind sie. Man darf ihnen das nicht übel nehmen. Kinder müssen mit großen Leuten viel Nachsicht haben.“ (Antoine de SaintExupéry, Der kleine Prinz, S. 18 Das Buch „Der kleine Prinz“ stellt auf eindrucksvolle Weise die unterschiedlichen Denkwei sen von Erwachsenen und Kindern dar.

Bereits in meiner eigenen Schulzeit fragte ich mich wiederholt, was man mit den ganzen Zahlen anfangen sollte, wozu man denn eigentlich die Mathematik bräuchte? Für das alltäg liche Leben, abgesehen vom Umgang mit Geld, schien sie für mich als Kind keinerlei Be deutung zu haben. Ich lernte vielmehr etwas ‚über Zahlen’, anstatt ‚mit Zahlen’ (vgl. Fran ke/Schipper 2005, S. 522). Die Aufgaben waren immer gleich bleibend eintönig, selbst die Struktur des Unterrichts wurde vom Schulbuch diktiert.

Zu Beginn meiner Tätigkeit als Lehramtsanwärterin wurde mir die immer noch bestehende Problematik der Eindimensionalität des Mathematikunterrichts erneut, aber aus einer ande ren Perspektive deutlich. Auch die meist im Unterricht eingesetzten Mathematiklehrbücher werden den neuesten fachdidaktischen Erkenntnissen nur in Ansätzen gerecht. Anstatt zum Umgang ‚mit Zahlen’ und zum Lösen von Problemstellungen zu animieren, verwirren die bunten und überfrachteten Seiten der Mathematikbücher die Schüler^[1]. Ferner demotivieren die stupide zu lösenden Rechenpakete. Basierend auf dieser Struktur werden die Schüler nach wie vor auf ein Lernen ‚über Zahlen’ getrimmt.

Einem ‚guten Unterricht’, der Problemlösekompetenzen und eigenständiges Arbeiten fördert sowie individuelle Gedanken anregt, müssen entsprechende Aufgaben zugrunde liegen. Ich möchte durch die Auswahl von geeigneten Aufgaben in meinem Unterricht die Individualität der Kinder und ihre Sicht auf die Realität berücksichtigen und sie im Rahmen ihrer Mög lichkeiten bestmöglich fördern.

Offene Aufgaben bieten vielseitige Möglichkeiten, sie bieten allen Schülern einen tieferen Einblick in die ‚Welt der Mathematik’. Sie ermöglichen in Bezug auf die Individualität der Schüler natürliche, innere Differenzierungsmöglichkeiten, es gibt für jeden Schüler etwas zu entdecken und zu erforschen. Daraus resultierend wird die Lust am Mathematikunterricht gefördert, der Unterricht erweckt Freude und Spaß.

Zum Auftakt meines eigenverantwortlichen Unterrichts wollte ich herausfinden, welche Vorerfahrungen meine derzeitige 4. Klasse in Bezug auf offene Aufgaben hatte und präsen tierte den Schülern eine geöffnete Sachaufgabe, die sie eigenständig bearbeiten sollten.

Der Großteil der Klasse verkündete mir seine Hilflosigkeit und bat mich um eine gemeinsa me Bearbeitung und Berechnung. Auf meine Nachfrage, woran es denn läge, bekam ich die Antwort: „Das hatten wir doch so noch gar nicht! Das können wir nicht!“.

Die Interessen und Fähigkeiten meiner Klasse im Auge behaltend, begann ich, die Aufgaben sowie den Unterricht stetig zu öffnen.

Mein persönliches Interesse sowie die oben aufgeführten Erfahrungen haben mich zur Wahl des Themas für die vorliegende Hausarbeit bewogen.

Offene Aufgaben, basierend auf dem mathematischen Inhalt der schriftlichen Division stel len daher den Mittelpunkt meiner schriftlichen Ausführungen dar. Die schriftliche Division ist ein Hauptthema der vierten Klasse und wird allgemein als relativ leicht erlernbar, aber als stupides Rechnen angesehen. Insbesondere aus diesem Grund sehe ich es als eine Herausfor derung, offene, an den Interessen der Schüler orientierte Aufgaben zu konzipieren. Ich neh me mir zum Ziel in meiner Arbeit herauszuarbeiten, welche Möglichkeiten sich bezüglich der schriftlichen Division für den Unterricht ergeben, um die Individualität der Schüler zu berücksichtigen und ihnen entsprechend den Algorithmus zu vermitteln. Folgende Fragen sollten am Ende der Ausführungen beantwortet werden können:

Können die Differenzierungsmöglichkeiten durch offene Aufgabenstellungen verbessert werden, so dass alle Kinder individuell gefördert werden können? Ist es mir möglich, auf individuelle Lernvoraussetzungen einzugehen und dabei flexibel im Unterricht zu reagieren? Welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, um den Schülern das Modellbilden zu erleich tern?

Bevor ich im praktischen Teil die Unterrichtseinheit darstelle und reflektiere, wird im ersten, theoretischen Teil zunächst die Rolle, welche Aufgaben im Mathematikunterricht einnehmen erläutert. Anschließend wird dargelegt, welche Merkmale eine qualitative Aufgabe beinhal ten sollte. Im weiteren Verlauf wird der Begriff offene Aufgaben definiert, verschiedene Aufgabentypen werden vorgestellt und anhand von Beispielen erläutert. Ausgehend davon, dass offene Aufgaben Modellierungs und Problemlösekompetenzen fördern, werden diese Begrifflichkeiten zusätzlich theoretisch beleuchtet. Aus den theoretischen Grundlagen erge ben sich Chancen und Grenzen für einen unterrichtlichen Einsatz, die vorgestellt und disku tiert werden bevor die Schlussfolgerungen für die vorliegende Unterrichtseinheit den theore tischen Teil abschließen. Der zweite, praktische Teil meiner Arbeit thematisiert zunächst die planungsrelevanten Aspekte zur Unterrichtseinheit. Im Anschluss werden einzelne Stunden sowie deren Reflexion dargestellt. Ein Gesamtüberblick über die Einheit berücksichtigt gleichzeitig die curricularen Vorgaben. Am Ende der Arbeit werde ich zusammenfassend reflektieren, ob die dargestellten offenen Aufgaben erfolgreich im Unterricht eingesetzt und die erwünschten Ziele mit der Einheit erreicht werden konnten. Ein Überblick über meine Erfahrungen und Erkenntnisse sowie ein Ausblick für die Zukunft runden meine Arbeit ab.

I. TEIL: THEORETISCHE GRUNDLAGEN

1. Qualitätssteigerung im Mathematikunterricht durch Aufgaben

Im folgenden Kapitel wird die tragende Rolle, die Aufgaben im Mathematikunterricht über nehmen, beleuchtet. In Grundzügen wird dargestellt, in welcher Situation sich der Mathema tikunterricht momentan befindet. Schlussfolgernd daraus werden Möglichkeiten zur Quali tätssteigerung durch Aufgaben vorgestellt und welche Merkmale solche Aufgaben erfüllen sollten.

1.1 Die Rolle von Aufgaben im Mathematikunterricht

Im Mathematikunterricht übernehmen Aufgaben wie in kaum einem anderen Fach eine tra gende Rolle. Sie können gewissermaßen als Werkzeug zur Erschließung komplexer mathe matischer Inhalte bezeichnet werden und sind dadurch zentraler Ausgangspunkt zum Ma thematiktreiben. Unter genauer Betrachtung der aktuellen Schulbücher für das Fach Mathe matik in der Primarstufe (z.B. Welt der Zahl, Mathebaum, Mathehaus usw.) ist eine Anei nanderreihung mathematischer Inhalte erkennbar, die in einer Fülle von Aufgaben eingebet tet sind. Ein immer wiederkehrendes Schema bestehend aus einer Beispielaufgabe und einer sich daran anschließenden Vielzahl von Übungsaufgaben bestimmt die Struktur der Lehrbü cher.

Orientieren sich Lehrer an diesen Vorgaben und basiert demnach die Planung und Durchfüh rung des Unterrichts ausschließlich auf der Auswahl von thematisch relevanten Aufgaben, so ist es nicht verwunderlich, dass immer noch ein kleinschrittiges, fragend entwickelndes Unterrichtsgespräch das Bild des heutigen Mathematikunterrichts bestimmt. Aufgaben bestimmen aber nicht nur die Unterrichtsstruktur, sie bilden außerdem die Grundlage für die Leistungsbeurteilung in Klassenarbeiten oder Kurztests. Übergeordnet werden Aufgaben beispielsweise in Vergleichsarbeiten eingesetzt, um eine Einsicht in die bundesweite Unter richtsqualität zu erlangen. Diese ergebnisorientierte Sicht von Aufgaben lässt die ebenfalls für den Lernprozess wichtigen Arbeitsprozesse (z.B. Lösungsstrategien) überwiegend unbe rücksichtigt. Auf Schülerseite trägt die bestehende Aufgabenkultur zudem zur Entwicklung des so genannten ‚trägen Wissens’ bei, welches besonders in ungewohnten Problemsituatio nen zu einer Hilflosigkeit führt. Weiterhin besteht die Gefahr eines ‚heimlichen Lehrplans’. Das Lösen von Aufgaben wird zum Selbstzweck und lenkt im Grunde von den mathemati schen Inhalten ab. Resultierend aus dem dargestellten Fokus, der auf Aufgaben im Mathema tikunterricht liegt, besteht die Gefahr der „unangemessenen Reduktion“ (Leuders 2001, S. 94) des Faches (vgl. Leuers 2001, S. 94ff; vgl. Schütte 1994, S. 48; vgl. Ulm 2004, S. 11).

Die Mathematik ist ein, aus jahrzehntelanger Forschung gewachsenes Kulturgut, welches den Schülern auch als solches vermittelt werden muss. Die Qualitätssteigerung des Unter richts scheint mit Blick auf die genannten Bedeutungen von Aufgaben nur möglich, indem bei der Veränderung der Aufgaben an sich angesetzt wird.

Bundesweite Modellversuche, wie SINUS und SINUSTransfer haben bereits Aufgaben entwickelt und untersucht, die zu der oben angegebenen wünschenswerten Qualitätsentwick lung im Mathematikunterricht beitragen (vgl. Ulm 2004, S. 11; vgl. Büchter/Leuders 2005, S.13).

„Gute Mathematikaufgaben sind jedoch keine Garantie für einen guten Mathematikunter richt. Das Potenzial, das in einer Aufgabe steckt, kann durch einen falschen Einsatz zunichte werden. Umgekehrt ist ein guter Unterricht aber darauf angewiesen, für die unterschiedli chen Funktionen und die vielfältigen mathematischen Tätigkeiten über geeignete Aufgaben zu verfügen.“ (Büchter/Leuders 2005, S.13f)

Lehrpersonen sind also aufgefordert, ein Bewusstsein dafür zu entwickeln, welche Risiken und welche Möglichkeiten beim Einsatz bestimmter Aufgaben bestehen. Der Mathematikun terricht in der Grundschule soll an vorhandenes Wissen der Schüler anknüpfen und Schüler befähigen, mit Problemsituationen des Alltags handelnd umgehen zu können sowie fachspe zifische Fragestellungen lösen zu können (vgl. Niedersächsisches Kerncurriculum 2006, S. 8). Die Vermittlung mathematischer Inhalte ist dabei ebenso wichtig, wie die Förderung prozessbezogener Kompetenzen, wie das Problemlösen, Modellieren oder Argumentieren.

„Damit lebt ein guter Mathematikunterricht von solchen Situationen, die das Interesse der Kinder wecken, zum Fragen veranlassen und zu solchen Aktivitäten anregen, bei denen ma thematische Strategien gefunden und Zusammenhänge entdeckt werden können.“ (Fran ke/Schipper 2005, S. 525)

Eine Möglichkeit, Unterrichtsqualität durch Aufgaben zu verbessern, ist diesbezüglich der Einsatz von problemorientierten Aufgaben, die nach Leuders folgende Bedingungen erfüllen müssen:

„ Die Aufgaben müssen pragmatisch, d.h. unter realen Bedingungen des Schulalltags umsetzbar sein.

Die Aufgaben müssen verfügbar sein, d.h. es muss leicht zugängliche Materialsamm lungen geben (in Form von Lehrbüchern oder zukünftig vielleicht durch das Internet).

Die Aufgaben müssen methodisch „unterfüttert“ sein, d.h. die reine Aufgabenstel lung wird erst produktiv, wenn der unterrichtliche Umgang mit ihr beschrieben wird (z.B. sinnvolle Arbeitsformen für offene Aufgaben).

Der Unterricht muss Freiräume für das Einbeziehen komplexer Problemstellungen und die Nutzung von zeitintensiveren Arbeitsformen bereithalten.“ (Leuders 2001, S. 98)

1.2 Merkmale von Aufgabenqualität

Qualitativ gute Aufgaben berücksichtigen die individuellen Lernvoraussetzungen der Schü ler, sie ermöglichen einen aktiven und handelnden Umgang und regen prozessbezogene Kompetenzen an. Um solche Aufgaben losgelöst von den Vorgaben der Schulbücher zu gestalten, sollten nach Büchter/Leuders folgende Merkmale Berücksichtigung finden (vgl. Büchter/Leuders 2005, S. 73):

- Authentizität
- Differenzierungsvermögen
- Offenheit

Leuders betont, dass diese Merkmale nur als Anregung zu verstehen sind. Jeder Lehrer sollte unter Berücksichtigung seiner Lerngruppe selbst entscheiden, welche Ziele mit einer Aufga benstellung verfolgt werden sollen. Die Merkmale können bei der Umgestaltung oder einer grundsätzlich neuen Konzeption einer Aufgabe hilfreich sein (vgl. Leuders 2001, S. 99f).

Grundsätzlich kann festgestellt werden, dass sich die genannten Merkmale oft gegenseitig bedingen. Eine offene Aufgabenstellung kann durchaus authentisch sein. Weiterhin werden eben durch diese Offenheit die individuellen Fähigkeiten der Schüler berücksichtigt, es er folgt also eine natürliche innere Differenzierung.

Im Folgenden werden die Begriffe Authentizität und Differenzierungsvermögen näher erläu tert. Da der Fokus dieser Arbeit auf der Offenheit von Aufgaben liegt, wird diesem Merkmal in einem gesonderten Kapitel besondere Aufmerksamkeit geschenkt (vgl. Teil I, Kapitel 2).

1.2.1 Authentizität

Der Begriff ‚Authentizität’ stammt aus dem griechischen und bedeutet wörtlich übersetzt Echtheit (vgl. Bassermann Lexikon 1991, S.53). Eine Aufgabe ist also authentisch, wenn sie echt und damit für die Schüler glaubwürdig sowie realistisch ist. Ein formuliertes Problem oder die gestellte Aufgabe muss demnach tatsächlich in der Realität existieren und dadurch auch außerhalb des Mathematikunterrichts ihre Berechtigung haben (vgl. Greefrath 2007, S. 29f).

Einige Aufgaben, besonders im Bereich Sachrechnen werden oft in einen zwar realistischen, jedoch nicht authentischen Kontext eingekleidet (vgl. dazu die gewählte Aufgabenstellung in Teil I, Kapitel 2.2). Schüler nehmen deren Inhalt in den seltensten Fällen wirklich wahr. Eine zugrunde liegende Rechenaufgabe wird auf den ersten Blick herausgefiltert, berechnet und anschließend wird eine passende Antwort gegeben. Diese Form der Aufgabenstellung hat durchaus ihre Berechtigung, wird sie aber überwiegend im Mathematikunterricht eingesetzt, entwickeln die Schüler ein unrealistisches Bild von Mathematik, denn die Aufgaben sind nur für die Schule konstruiert und spiegeln nicht die realistische Lebenswelt der Kinder wieder.

Authentisch wird eine Aufgabe erst dann, wenn sie „glaubwürdig und authentisch die cha rakteristische Weise wiedergibt, in der Mathematik auf die reale Welt bezogen ist.“ (Leuders 2001, S. 101)

Der Einsatz möglichst authentischer Aufgaben ist zwar wünschenswert, in manchen zu erar beitenden mathematischen Inhalten allerdings nicht immer umsetzbar. Dies wird besonders in der vorliegenden Unterrichtseinheit deutlich (vgl. Teil I, Kapitel 5).

Ein weiteres Merkmal von Aufgabenqualität stellt das Differenzierungsvermögen von Auf gabenstellungen dar.

1.2.2 Differenzierungsvermögen

Grundsätzlich wird unterschieden zwischen der äußeren und der inneren Differenzierung. In der vorliegenden Arbeit bleibt die Form der äußeren Differenzierung unberücksichtigt, da die Verbesserung Differenzierungsmöglichkeiten durch Aufgabenstellungen untersucht wird und diese dem Bereich der inneren Differenzierung zuzuordnen ist.

Mit Blick auf den unterschiedlichen Leistungsstand aller Schüler wäre es fatal, an alle die gleichen Anforderungen zu stellen. Eine Aufgabenstellung, die nur eine Lösung und meist nur einen Rechenweg beinhaltet, birgt nicht nur die Gefahr der Überforderung einiger Schü ler, sondern auch oftmals die der Unterforderung. Daraus folgend können sich Frustrationen auf Schülerseite ergeben, die einem produktiven Lernen im Matheunterricht entgegenstehen. Maßnahmen zur inneren Differenzierung im Unterricht werden durch die Lehrpersonen meist durch das Bilden von Kleingruppen innerhalb der Klasse ergriffen, um Schüler oder Schülergruppen ihrem Leistungsstand entsprechend gezielt fördern zu können. Dabei greifen häufig eher quantitative Maßnahmen in Form von Zusatzaufgaben für die leistungsstärkeren Schüler. Eine qualitative Differenzierung ist gegeben, wenn die gestellten Aufgaben in ihrem Schwierigkeitsgrad variiert werden und somit dem individuellen Leistungsstand der Schüler gerecht werden (vgl. Feige in: Handbuch Grundschulpädagogik und Grundschuldidaktik 2005, S. 433).

Einer solchen qualitativen Differenzierung sind nach Büchter und Leuders allerdings an mehreren Stellen Grenzen gesetzt. So müssten die momentanen Voraussetzungen eines jeden Schülers tiefgründig untersucht werden, was sich aufgrund der begrenzten Messbarkeit von Wissen als schwierig gestaltet. Weiterhin sind eine solche Untersuchung und die anschlie ßende Konstruktion einer Vielzahl an unterschiedlichen Aufgaben im Rahmen des schuli schen Alltags nicht durchführbar.

Indem jedem Schüler eine Aufgabe ‚zugeschneidert’ wird, ist außerdem die Förderung der prozessbezogenen Kompetenzen Argumentieren und Kommunizieren und somit ein soziales Lernen unterbunden (vgl. Büchter/Leuders 2005, S. 104).

Nun drängt sich die Frage auf, inwiefern eine Differenzierung durch Aufgaben unter Berück sichtigung der oben dargestellten Grenzen möglich ist? In diesem Zusammenhang schlagen Büchter und Leuders drei Aufgabentypen vor:

- Aufgaben mit gestuften Anforderungsniveaus: Eine Aufgabe wird in Einzelaufträge unterteilt, deren Anforderungsniveau stetig steigt. In der Praxis sind besonders schwie rige Aufgaben meist mit einem Sternchen gekennzeichnet. Diese Aufgaben regen Teil lösungen an und sind dadurch gekennzeichnet, dass alle Schüler alle Teilaufgaben be arbeiten müssen.
- Parallele Aufgaben: Hier weisen mehrere Aufgaben eine ähnliche Struktur auf, die nur hinsichtlich des Schwierigkeitsgrades variieren. Der Unterschied zu Aufgaben mit ge stuften Anforderungsniveaus besteht darin, dass sich die Schüler einige der vorgegebe nen Aufgaben eigenständig aussuchen können.
- Selbstdifferenzierende Aufgaben: Hier liegt die Besonderheit darin, dass nur eine Aufgabe natürliche innere Differenzierungsmöglichkeiten bietet. Vorteil ist die gemein same Bearbeitung eines Problems, wodurch implizit Prozesse des Argumentierens und Kommunizierens gefördert werden. Grundvoraussetzung für die Konstruktion solcher Aufgaben ist die Offenheit (vgl. Büchter/Leuders 2005, S. 104ff). Zu selbstdifferenzie renden Aufgaben können insbesondere die FermiAufgaben (vgl. Kapitel 2.3) gezählt werden.

2. Offene Aufgaben im Mathematikunterricht

Im folgenden Kapitel wird der Begriff „offene Aufgaben“ genauer untersucht. Verschiedene Aufgabentypen sowie die Möglichkeiten der Öffnung von Aufgaben werden vorgestellt. Als eine besondere Form von offenen Aufgaben werden FermiAufgaben beschrieben.

2.1 Begriffsklärung

Im Gegensatz zu geschlossenen Aufgaben, die nur eine richtige Lösung und dementspre chend meist nur einen möglichen Rechenweg implizieren, ist es für offene Aufgaben charak teristisch, verschiedene Lösungswege zu ermitteln und dabei an individuelle mathematische Kenntnisse anzuknüpfen (vgl. Büchter/Leuters 2005, S. 88ff).

2.1.1 Aufgabentypen

Aufgrund der Vielzahl von verschiedensten offenen Aufgabenstellungen wird im Folgenden eine strukturierte Einteilung in bestimmte Aufgabentypen vorgenommen. Beispiele in Form von Zahlenmauern, ausgewählt für den Primarbereich, untermauern die theoretischen Erklä rungen.

Wesentliche Unterscheidungsmerkmale für die Offenheit verschiedener Aufgaben beziehen sich auf:

- den Anfangszustand (Informationen über die Ausgangssituation)
- die Transformation (Lösungsverfahren)
- den Zielzustand (Lösung bzw. Ergebnis) (angelehnt an: Greefrath 2007, S. 33)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1 (angelehnt an: Büchter/Leuders 2005, S.93)

Betrachtet man die Darstellung, so sind die ersten beiden Aufgabentypen klar von den ande ren getrennt, stellen aber dennoch die bekanntesten Aufgaben dar.

Die Beispielaufgabe (vgl. Abbildung 2) und die geschlossene Aufgabe (vgl. Abbildung 3) bestimmen die Struktur in jedem Schulbuch. An einem Beispiel wird der mathematische Kontext erklärt, worauf eine Vielzahl entsprechender geschlossener Aufgaben folgt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2 Abbildung 3

(angelehnt an: Büchter/Leuders 2005, S. 94) (angelehnt an: ebenda, S. 94)

Diese Form von Aufgabenstellung hat durchaus ihre Berechtigung. Wird sie jedoch über wiegend im Unterricht eingesetzt, wird der natürliche Bezug zur Mathematik unterbunden, die Authentizität fehlt. Aufgaben müssen in einen für die Schüler realistisch nachvollziehba ren Zusammenhang gebracht werden. Die in der Tabelle grün unterlegten Aufgabentypen zählen zu den authentischen Aufgaben (vgl. Abbildung 1).

Bei Begründungsaufgaben ist nur die Transformation unklar. Sie „[…] entstehen beispiels weise, wenn man das Ziel in Form einer Vermutung schon vor Augen hat.“ (Büchter/Leuders 2005, S.93). Hierzu ein Beispiel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4

(angelehnt an: ebenda, S. 94)

Durch das dargestellte Fragezeichen werden die Schüler angehalten, einen zugrunde liegen den Lösungsweg zu erkennen und diesen zu begründen.

Problemaufgaben und offene Situationen stellen weitere authentische Aufgaben dar, in denen Schüler zum Nachdenken, Ausprobieren, Argumentieren und Begründen angeregt werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 5 Abbildung 6

(angelehnt an: Büchter/Leuders 2005, S. 94) (angelehnt an: ebenda, S. 94)

In den oben angegebenen Beispielen wird deutlich, dass die Schüler ganz offen und ihren individuellen Fähigkeiten entsprechend mit der gestellten Aufgabe umgehen müssen. Sie wählen eigenständig eine Rechenart, machen Entdeckungen und suchen mögliche Erklä rungsansätze. So finden sie möglicherweise in der gestellten Problemaufgabe (vgl. Abbil dung 5) heraus, dass die Multiplikation und die Division geeignete Rechenarten sind, um ungerade Zahlen vorhanden sein zu lassen und versuchen gleichzeitig, Begründungen dafür anzustellen.

In der offenen Situation (vgl. Abbildung 6) ist der Phantasie und der Kreativität der Kinder keine Grenze gesetzt. Arbeitsergebnisse können verglichen, diskutiert und verallgemeinert werden. Eigene Zahlenmauern können entwickelt werden und Mitschülern zur Bearbeitung vorgelegt werden. Diese Aufgaben eignen sich besonders für einen vielschichtigen, sozialen und aktiv entdeckenden Unterricht.

Zu offenen Aufgaben zählen weiterhin die in der Tabelle grau unterlegten Aufgabentypen

Umkehraufgabe, Problemumkehr, und die Anwendungssuche (vgl. Abbildung 1).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 7 Abbildung 8

(angelehnt an: ebenda, S.94) (angelehnt an: ebenda, S. 94)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 9

(angelehnt an: Büchter/Leuders 2005, S. 94)

Die hier aufgeführten Beispiele sind durch die Vorgabe bestimmter Grundrechenarten und/oder Zahlen nicht authentisch, sie stellen eher „didaktische Inversionen“ (Büch ter/Leuders 2005, S. 95) dar, die für den Aufbau eines vernetzten mathematischen Wissens konzipiert werden. Dabei werden geschlossene Aufgaben umgestellt und gewinnen durch ein umgekehrtes Durchlaufen bestimmter Rechenverfahren eine gewisse Offenheit. Diese Auf gabentypen dienen zum einen der tiefgründigen Übung ausgewählter mathematischer Berei che und zum anderen eignen sie sich zur Kontrolle der ausgebildeten mathematischen Fähig und Fertigkeiten der Schüler (vgl. Büchter/Leuders 2005, S.95).

Betrachtet man die aktuellen Schulbücher für das Fach Mathematik, ist die Auswahl an offe nen Aufgabenstellungen sehr gering. Eine Vielzahl von geschlossenen Aufgaben bestimmt die Struktur. Nun stellt sich die Frage, inwieweit die zugrunde liegenden Aufgaben sinnvoll genutzt und in diesem Sinne geöffnet werden können?

2.2 Öffnung von Aufgaben

Unter Berücksichtigung der oben angegebenen Beispiele kann festgestellt werden, dass Auf gaben durch das Weglassen einzelner Informationen, durch Variationen der Aufgabenstel lung oder durch Umkehrung leicht geöffnet werden können. Zur Untermauerung dieser Aus sage soll das folgende Schema dienen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 10

(nach: M.Katzenbach: Die AufgabenDrehscheibe. mathematik lehren, Nr.138/10.2006)

Die AufgabenDrehscheibe macht deutlich, welche Faktoren variiert werden können, um eine Aufgabe zu öffnen. Je weiter man in die Mitte der Drehscheibe schaut, umso geschlos sener werden die Aufgaben. An folgenden Beispielen soll exemplarisch der Unterschied zwischen geschlossenen und offenen Aufgaben mit Hilfe der Drehscheibe dargelegt werden. Beispiel 1:

Herr Meier hat als Überraschung für seine Frau und die beiden Kinder einen Urlaub in Spanien gebucht. Für eine Woche muss er insgesamt 1740 bezahlen. Wie viel Geld muss er pro Person bezahlen?

Bei dieser Fragestellung, in der eine simple Rechnung nur in einen vermeintlich lebensnahen Kontext eingebettet ist, sind alle nötigen Daten vorgegeben. Zunächst werden die Daten für den sofort erkennbaren Lösungsweg herausgefiltert, das Verfahren der Division wird ange wandt. Die Lösung ist eindeutig, es gibt nur ein Richtig oder ein Falsch. Zu guter Letzt wird eine eindeutige Fragestellung entsprechend beantwortet. An dieser Aufgabenstellung gibt es für die Schüler ganz offensichtlich nichts zu entdecken. Der Kreativität, dem handelnden Lernen und schließlich der geforderten Entwicklung prozessbezogener Kompetenzen sind an dieser Stelle massive Grenzen gesetzt.

Im Kontrast zu dieser Aufgabe legt das folgende Beispiel, verwendet in der vorliegenden Unterrichtseinheit (vgl. Teil II, Kapitel 2.2.7), den höchsten Grad der Öffnung, in der Dreh scheibe am äußeren Rand notiert, zugrunde. Beispiel 2:

Auf der A7 Hildesheim in Richtung Hannover staute sich der Verkehr auf einer Länge von 5 km. Wie viele Fahrzeuge standen wohl in diesem Stau?

Der Kontext dieser Aufgabe stellt ein authentisches Sachproblemen dar. Die Schüler entwi ckeln eigene Fragestellungen, z.B. Wie lang ist ein Auto? Wie viel Abstand liegt zwischen einzelnen Autos? Wie viele Spuren hat die Autobahn? usw.

Resultierend aus den gestellten Fragen müssen eigenständig Daten erkundet werden durch Befragungen, Recherchen und Messungen. Dazu gehört auch das Schätzen, um einen ersten Eindruck von der Situation zu erlangen und dadurch einen Realitätsbezug herzustellen (vgl. PeterKoop in: Ruwisch/PeterKoop 2003, S. 114). Weiterhin findet ganz nebenbei eine natürliche innere Differenzierung statt, indem die Schüler ein individuelles Verfahren wäh len können, um zu einer Lösung zu gelangen. Die Addition in mehreren Schritten ist ebenso möglich wie die Multiplikation und die Division, von Bedeutung ist die Anregung eines komplexen mathematischen Denkprozesses. Sind die Schüler zu einer Lösung gelangt, haben sie implizit einen Modellierungsprozess durchlaufen. Somit hat nicht nur eine sinnvolle Aus einandersetzung mit der Mathematik stattgefunden, sondern eine wichtige Kompetenz, die des Modellierens wurde angesprochen.

Die beschriebene und erläuterte Aufgabe bietet ein geeignetes Instrumentarium, um mathe matisches Modellieren (vgl. Kapitel 3) zu ermöglichen und zählt zu den sogenannten Fermi Problemen (vgl. PeterKoop in: Ruwisch/PeterKoop 2003, S. 114).

2.3 FermiAufgaben

Diese Aufgaben sind eine besondere Form von offenen Aufgaben und auf den italienischen Physik Nobelpreisträger Enrico Fermi (1901 1954) zurückzuführen, der nach seiner Flucht aus Italien an der Universität von Chicago gelehrt hat. Bekannt geworden ist er durch seine ungewöhnlichen Aufgaben, die er in seinen Vorlesungen einsetzte (vgl. PeterKoop in: Ru wisch/PeterKoop 2003, S.114). Mit Fragen, wie: „Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chi cago?“ überraschte er seine Studenten und stellte ein scheinbar unlösbares Problem dar, da hier kein erlernter bzw. bekannter Lösungsweg Anwendung findet. Die Herausforderung liegt darin, plausible Annahmen zu treffen, bereits vorhandenes Wissen abzurufen und eige ne Daten zu erheben, um überhaupt zu einer Lösung zu gelangen (vgl. ebenda). Fermi Aufgaben beinhalten keine Zahlen und sind eng an die Lebenswirklichkeit angelehnt. Täg lich begegnet man Informationen, die entsprechend umgewandelt durchaus im Unterricht eingesetzt werden können. Für Kinder in der Grundschule ist zu berücksichtigen, dass sich Aufgabeninhalte auf ihre tatsächliche Lebenswelt und somit auf eigene Erfahrungen bezie hen.

Die Beschäftigung mit solchen Aufgaben macht Schülern, Lehrern und Eltern nicht nur Spaß, sondern animiert sie auch zu einer vielschichtigen Auseinandersetzung mit der Ma thematik. „Hier kommt es für Schüler auf Kreativität und Phantasie ebenso an, wie auf harte mathematische Arbeit.“ (Ulm 2004, S. 39) FermiAufgaben bieten eine geeignete Grundlage zum Aufbau der prozessbezogenen Kompetenzen Modellieren und Problemlösen, „[…] weil sie die Voraussetzung zahlreicher Probleme des Alltags sowie des beruflichen Lebens dar stellen.“ (PeterKoop in:Ruwisch/PerterKoop 2003, S.112)

3. Modellieren und Problemlösen

Alle Aufgaben, in denen mathematisches Modellieren stattfindet, stellen „[…] für die Schü ler ein Problem dar, da der zur Lösung führende Weg nicht von vornherein klar ist.“ (Greefrath 2007, S.17)

Greefrath stellt hier eine Beziehung zwischen dem Modellierungsprozess und dem allgemei nen Problemlösen her. Offene Aufgabenstellungen können Modellierungs und Problemlö sekompetenzen separat, oft auch eine Verbindung von beiden fördern.

Es scheint an dieser Stelle sinnvoll, die beiden Begrifflichkeiten zunächst separat zu erläu tern, um die entscheidenden Unterschiede herauszustellen.

3.1 Modellieren

Das Modellieren ist im Kerncurriculum den prozessbezogenen Kompetenzen zuzuordnen und stellt „das Bindeglied zwischen Umwelt und Mathematik“ (Niedersächsisches Kerncur riculum 2006, S.17) dar. Mit mathematischen Modellen können wir die uns umgebende komplexe Umwelt beschreiben.

3.1.1 Begriffsbestimmung Modell

Der Begriff ‚Modell’ wird im Allgemeinen als ‚Vorbild’ oder ‚Muster’ verstanden (vgl. Bas sermann Lexikon 1991, S. 463).

Im naturwissenschaftlichen Bereich ist ein Modell „eine vereinfachende, nur gewisse, eini germaßen objektivierbare Teilaspekte berücksichtigende Darstellung der Realität“ (Henn in: Maaß 2004, S. 17). Aus der uns umgebenden komplexen Natur werden wesentliche Dinge berücksichtigt, unrelevante Aspekte werden außer Acht gelassen. Wir bilden also Modelle, um uns in der Umwelt zurechtfinden, und diese beschreiben zu können.

Man unterscheidet zwischen zwei Arten von Modellen: den normativen und den deskriptiven Modellen. „Normative Modelle definieren einen Teil der Realität und realisieren damit ge wisse Zielvorstellungen des Modellbildners; Beispiele dafür sind z.B. Modelle zur Berech nung der Einkommenssteuer und Wahlverfahren. Deskriptive Modelle versuchen, die Reali tät möglichst genau abzubilden, sie können eine beschreibende aber auch eine erklärende Funktion haben.“ (Maaß 2004, S. 17f) Schlussfolgernd daraus ist im Rahmen der Förderung von Modellierungskompetenzen in dieser Arbeit die Entwicklung deskriptiver Modelle vor dergründig.

3.1.2 Modellierungsprozess

Modellierung ist ein Prozess, der angeregt wird, wenn die uns umgebene reale Umwelt in einen innermathematischen Kontext gebracht werden muss.

Im ‚realen’ Leben werden wir immer wieder mit Situationen konfrontiert, in denen wir Ma thematik anwenden müssen und welche weitaus mehr als das Beherrschen der Grundrechen arten bedürfen. Wir nähern uns an eine Lösung der Problematik an, indem wir geeignete mathematische Modelle entwerfen.

Die folgende Abbildung soll den Modellierungsprozess verdeutlichen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 11: Modellierungsprozess nach Blum (in: Maaß 2004, S.20)

In dem vorgezeigten Schema werden zwei Ebenen unterschieden: die Realitätsebene und die mathematische Ebene. Den Ausgangspunkt für die mathematische Modellierung bildet eine reale Situation, formuliert als eine offene Fragestellung. Aus der gegebenen realen, mög lichst authentischen Situation erwachsen Untersuchungen nach relevanten Informationen, die für die mathematische Fragestellung als nötig erachtet werden.

Irrelevante Informationen werden herausgetrennt. Aufgrund der Komplexität der vorgelegten realen Situation muss diese abstrahiert, vereinfacht, strukturiert und präzisiert werden, wo durch ein reales Modell entsteht. Der nächste Schritt umfasst die Fähigkeit, die herausgefil terten Daten zu mathematisieren. Das Realmodell wird also in ein mathematisches Modell übertragen. Ist dieser Prozess erfolgt, kann ein mathematisches Resultat durch Anwendung bekannter heuristischer Strategien sowie des bereits vorhandenen mathematischen Wissens herausgestellt werden. Anschließend müssen die errechneten mathematischen Resultate in terpretiert bzw. angewendet und mit der anfänglichen realen Situation in Beziehung gebracht werden.

[...]

---

^[1] Aus Gründen der besseren Lesbarkeit wird die generalisierende Bezeichnung Schüler verwendet.