Unterrichtsstunde: Die Gauß-Aufgabe

1. Thema der Reihe

„Viele Summanden“ – Förderung der geschickten Berechnung großer Summen mit vielen Summanden und des problemlösenden Denkens durch produktive Rechenaufgaben, bei deren Lösung Rechenvorteile durch geschicktes Zusammenfassen passender Summanden angewendet werden.

2. Thema der Einheit

„Die Gauß- Aufgabe“ – Aktiv- entdeckender Umgang mit der produktiven Gauß- Aufgabe „Berechne die Summe der Zahlen von 1 – 100“ zur Förderung des problemlösenden Denkens und des geschickten Rechnens durch Entdecken und Nutzen von Rechenvorteilen, unter besonderer Berücksichtigung verschiedener Rechenwege und Strategien.

3. Aufbau der Reihe

3.1 „Die Gauß- Aufgabe“ – Aktiv- entdeckender Umgang mit der produktiven Gauß- Aufgabe „Berechne die Summe der Zahlen von 1 bis 100“ zur Förderung des problemlösenden Denkens und des geschickten Rechnens durch Entdecken und Nutzen von Rechenvorteilen, unter besonderer Berücksichtigung verschiedener Rechenwege und Strategien. (45 min)

3.2 „Wie groß ist die Summe?“ – Übertragung, Erweiterung und Anwendung erarbeiteter Lösungsstrategien auf die Summenberechnung in anderen Zahlenräumen ( z.B. 101 bis 200). (45 min)

3.3 „Die Summe von 1 bis 1000“ – Die Erarbeitung der Lösung des Carl- Friedrich Gauß und die Anwendung der erlernten Rechenstrategien auf die Summenberechnung des Tausenderbuches. (45 min)

4. Didaktische Strukturierung

4.1 Kernanliegen der Einheit

Durch aktiv- entdeckendes Lernen sollen sich die Schüler und Schülerinnen mit der Gauß- Aufgabe „Berechne die Summen der Zahlen von 1 bis 100“ auseinandersetzen, indem sie selbstständig nach Lösungswegen suchen und dabei Strukturen und Gesetzmäßigkeiten erkennen und nutzen, damit sie in ihrem mathematischen Problemlöseverhalten gefördert werden.

Arbeitsauftrag: Wie könnte Gauß wohl gerechnet haben? Versuche, möglichst geschickt alle Zahlen der 100er Tafel zu addieren.

Reflexionsauftrag: Wie bist du vorgegangen? Stelle deinen Lösungsweg vor.

4.2 Sachanalyse zur Einheit

Die „Gauß- Aufgabe“:

Die „Gauß-Aufgabe“ ist ein Beispiel für eine arithmetische Reihe. Allgemein versteht man unter einer arithmetischen Reihe die Summe von Zahlengliedern, die wiederum aus den Gliedern einer arithmetischen Folge entstehen. Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz zwischen zwei benachbarten Gliedern konstant, aber von Null verschieden. Beispielsweise bilden die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4 eine arithmetische Folge, bei der die Differenz 1 beträgt. Bei den Zahlen 22, 19, 16, 13, 10, 7 beträgt die Differenz –3. Um nun die Summe einer arithmetischen Reihe zu ermitteln, multipliziert man die Summe des ersten und des letzten Elements mit der halben Anzahl der Elemente. Folglich ergibt die Summe aus den ersten zehn natürlichen Zahlen (1 + 10) × (10 ÷ 2) = 55.^[1]

Bei der Berechnung von Summen mit vielen Summanden kommt es auf eine geschickte Unterteilung und Zusammenfassung von Summanden mit Hilfe des Assoziativ- und Kommutativgesetzes an. Mögliche Lösungswege der Kinder wären:

1. Lösungsweg: „Fortlaufendes Addieren aller Summanden“

Die Zahlen von 1 bis 100 werden nacheinander addiert.

2. Lösungsweg: „Zeile für Zeile“

Die Summe der Zahlen in der 1., 2., 3. usw. Zeile wird ausgerechnet.

1. Möglichkeit: Fortlaufendes Addieren (1+2+3+...+10)

2. Möglichkeit: Immer zu 10 zusammenfassen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3. Lösungsweg: „Zehner extra, Einer extra“

In der Hundertertafel tritt jede der Zahlen 1, 2,…9 als Einer genau 10-mal auf. Der Betrag der Einer zur Summe ist somit 10 · 1 + 10 · 2 +...+ 10 · 9 = 450

Ebenso tritt jeder Zehner genau 10-mal auf. Daher ist die Summe aller Zehner das Zehnfache von 450, nämlich 4500.

Endergebnis: 4500+ 450+ 100= 5050

4. Lösungsweg: „Spalte für Spalte“

Man berechnet die Teilsummen für die ersten zwei oder drei Spalten. Das Muster „Immer 10 mehr“ fällt auf und ist leicht zu erklären, da jeder Summand von Spalte zu Spalte um 1 anwächst. Um die Gauß-Aufgabe zu lösen, müssen nun noch die Ergebnisse addiert werden. Dabei kann man wieder geschickt rechnen.

[...]

^[1] Vgl.: "Arithmetische Reihe", Microsoft® Encarta® 99 Enzyklopädie. © 1993-1998 Microsoft Corporation. Alle Rechte vorbehalten.