Bewertung von Swaps mit Hilfe von Zinsstrukturkurven

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Grundlagen: Swaps und Zinsstrukturkurven
2.1 Swaps
2.1.1 Interest Rate Swaps
2.1.2 Cross Currency Swaps
2.1.3 Weitere Arten von Swaps
2.2 Zinsstrukturkurven
2.2.1 Eigenschaften von Zinsstrukturkurven
2.2.2 Das Nelson/Siegel Zinsstrukturmodell

3 Theoretische Bewertung von Swaps
3.1 Vorgehen
3.2 Bewertung des Fixed-Leg
3.3 Bewertung des Floating-Leg
3.4 Gesamtbewertung
3.5 Ausblick: Bewertung komplexerer Swaps

4 Numerische Analyse der Bewertung von Swaps
4.1 Vorgehen
4.2 Verwendete Swaps
4.3 Ergebnisse

5 Fazit, Ausblick und Interpretation

Anhang

A Definitionen

B Zinssätze

B.1 Referenzzinssätze

B.2 Day Count Conventions

B.3 Zinsmethoden

C Tabellen und Abbildungen

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1 Veranschaulichung von Payerund Receiverswaps

2 Formen von Zinsstrukturkurven

3 Vergleich der Zinskalküle

4 Aktuelle Zinsstrukturkurve, dargestellt mit dem entwickelten Excel-Tool, sowie die Bewertung der Swaps zu den entsprechenden Parametern

Tabellenverzeichnis

1 Alternative Bezeichnungen für Payerund Receiverswaps

2 Übersicht der im Folgenden verwendeten Swaps

3 Wert der Receiverswaps bei einer Veränderung der Parameter β i für τ = 1 , 5

4 Datentabelle zur Untersuchung des Werts der Receiverswaps bei Reduzierung von β i um 1% für τ = 1 , 5

5 Datentabelle zur Untersuchung des Werts der Receiverswaps bei Reduzierung von β i um 1% für τ = 3

6 Datentabelle zur Untersuchung des Werts der Receiverswaps bei Reduzierung von kurz-, mittelund langfristigem Zinsniveau um 1% für τ = 1 , 5

7 Arten von Swaptions

8 Datentabelle zur Untersuchung des Werts der Receiverswaps bei Reduzierung von β i um 1% und Reduktion des kurz-, mittelund langfristigen Zinsniveaus um 1% für τ = 1 , 3 und θ so geschätzt, dass die aktuelle Zinsstrukturkurve bestmöglich approximiert wird

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Einleitung

Die Bewertung von Swaps mit Hilfe von Zinsstrukturkurven wird in der vorliegenden Arbeit sowohl theoretisch als auch anhand von praktischen Berechnungen thematisiert. Dazu werden im Folgenden zunächst die Grundlagen, die für das Verständnis erforderlich sind, dargestellt. Swaps und Zinsstrukturkurven werden kurz vorgestellt, wobei der Fokus auf Zinsswaps gelegt wird. Anschließend wird die theoretische Bewertung von Swaps thematisiert. Mit Hilfe eines Excel-Tools folgt die exemplarische Bewertung der vorher entwickelten Formeln. Insbesondere soll dabei untersucht werden, welchen Einfluss die einzelnen Parameter einer Zinsstrukturkurve auf den Wert eines Swaps haben. Ein abschließendes Fazit geht auf die Ergebnisse und ihre mögliche Interpretation ein und liefert eine kritische Betrachtung des hier zugrunde gelegten Modellrahmens.

2 Grundlagen: Swaps und Zinsstrukturkurven

2.1 Swaps

Ein Swap (engl. Tausch / Austausch) ist eine vertragliche Vereinbarung zwischen zwei Personen¹, periodisch Auszahlungen in der Zukunft auszutauschen.² Diese allgemeine Definition verdeutlicht, dass die unterschiedlichsten Arten von Swaps vorstellbar sind. Man unterscheidet zwischen Plain Vanilla Swaps und Flavored Swaps. Plain Vanilla Swaps sind in der Regel einfache Swaps, während Flavored Swaps komplexe Gebilde darstellen.

Die bekanntesten Arten von Swaps sind Interest Rate Swaps (Zinsswaps) und Cross Currency Swaps (Währungsswaps), die in der Literatur meistens zu den Plain Vanilla Swaps gezählt werden.

2.1.1 Interest Rate Swaps

Plain Vanilla Interest Rate Swaps (IRS) zeichnen sich durch ihre Einfachheit aus und sind die am meisten gehandelten Swaps. Bei einem Plain Vanilla IRS werden vorher vertraglich festgelegte feste Zinszahlungen auf Basis eines fiktiven Nominalkapitals für mehrere Perioden gegen einen variablen Zinssatz (z.B. LIBOR, EURIBOR)³⁴ für dasselbe fiktive Nominalkapital ausgetauscht.⁵ Die Parteien eines IRS werden in Festzinszahler und Festzinsempfänger unterschieden, woraus sich die Begriffe Payerswap und Receiverswap abgeleitet haben. Ein Payerswap beschreibt einen Swap, bei dem ein fester Zinssatz gezahlt und ein variabler Zinssatz erhalten wird, während bei einem Receiverswap ein fester Zinssatz erhalten und ein variabler Zinssatz gezahlt wird. Eine graphische Verdeutlichung der Swaps ist in Abbildung 1 auf Seite 21 zu finden. In der Literatur werden anstatt der Begriffe Payerund Receiverswap häufig, analog zu den gängigen Bezeichnungen bei Optionen, die Begriffe Long Swap und Short Swap verwendet (siehe Tabelle 1). Die zwei Seiten eines Swaps werden häufig auch Fixed-Leg (fest verzinste Seite) und Floating-Leg (variabel verzinste Seite) genannt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1: Alternative Bezeichnungen für Payerund Receiverswaps (vgl. Deutsch, 2001 S. 287)

Durch die gestiegene Beliebtheit von IRS besonders in den 1980er Jahren⁶ haben sich viele Abwandlungen zu dem Plain Vanilla IRS entwickelt, um verschiedene Bedürfnisse zu berücksichtigen.

Bei einem Amortizing IRS⁷ ist der fiktive Nominalkapitalbetrag, anhand dessen die

Zinszahlungen errechnet werden, nicht konstant über die gesamte Laufzeit, sondern abnehmend. Besonders zur Replikation der Zinszahlungen eines Kredits kann diese Art von Swap sinnvoll sein.

Bei einem Forward IRS⁸ liegt der Zeitpunkt des Vertragsabschlusses deutlich vor dem

Beginn der Laufzeit des Swaps. Falls zum Beispiel eine Kreditaufnahme zu einem zukünftigen Termin geplant ist, kann diese Art von Swap hilfreich sein.

Swaptions bezeichnen Optionen auf Swaps. In diesem Fall hat eine Partei die Möglichkeit, jedoch nicht die Pflicht, zu speziellen Zeitpunkten in einen vorher vertraglich festgelegten Swap einzutreten (Siehe Tabelle 7 auf Seite 21).

Dies gibt natürlich nur einen kurzen Überblick über die vielen Möglichkeiten, die der Swapmarkt bietet. Viele weitere Variationen sind denkbar und werden gehandelt, beispielsweise Kombinationen der obigen Varianten. Da jedoch die Bewertung komplexer wird, je mehr Abweichungen von dem Plain Vanilla IRS vorhanden sind, werden hier keine weiteren Varianten vorgestellt.

2.1.2 Cross Currency Swaps

Neben dem IRS ist der Cross Currency Swap⁹¹⁰ (Währungsswap) der bekannteste Swap, der unter anderem zum Eliminieren von Währungsrisiken verwendet werden kann.

Bei einem Cross Currency Swap (CCS) werden Zinszahlungen auf Kapitalbeträge zwischen zwei Unternehmen in unterschiedlichen Währungen zu festen zukünfigen Zeitpunkten ausgetauscht. Die Kapitalbeträge werden zu Beginn und zum Ende der Laufzeit des Swaps ausgetauscht. Die vorher festgelegten Zinssätze können sowohl fest als auch variabel sein. Weder die Zinssätze noch die Kapitalbeträge müssen hier identisch sein.

Falls beide Parteien einen festen Zinssatz zahlen, spricht man von einem Fixed-for- Fixed CCS. Falls eine Partei einen variablen Zinssatz (z.B. EURIBOR) zahlt, ist von einem Fixed-for-Floating oder Floating-for-Fixed CCS die Rede. Zahlen beide Parteien einen variablen Zinssatz, handelt es sich um einen Floating-for-Floating CCS.

Auch hier sind viele weitere Varianten von CCS denkbar. Häufig wird der Kapitaltransfer zu Beginn (Initial Exchange) und zu Ende (Final Exchange) der Laufzeit weggelassen. Manche der für IRS definierten Varianten lassen sich durch den ähnlichen Aufbau leicht auf CCS übertragen.

2.1.3 Weitere Arten von Swaps

Neben den bereits vorgestellten bekanntesten Swaps gibt es noch weitere Arten von Swaps, wie beispielsweise Commodity Swaps (Rohstoffswaps), bei denen Zahlungen auf Basis eines Rohstoffpreises ausgetauscht werden, Equity Swaps (Aktienswaps), bei denen Zahlungen auf Basis von Aktienkursen ausgetauscht werden, oder Credit Swaps (Kreditswaps), bei denen Kreditrisiken von einer Partei zu einer anderen Partei weitergegeben werden. Auf Grund der geringen Verbreitung, der hohen Komplexität und der geringen Relevanz für das zu untersuchende Thema, wird auf diese nicht näher eingegangen.¹¹

2.2 Zinsstrukturkurven

Eine Zinsstrukturkurve¹² stellt das Verhältnis von Laufzeit und Rendite von Zinsinstrumenten gleicher Ausstattung und mit gleichem Kreditrisiko für eine Laufzeit von ein bis zehn Jahren graphisch dar.

Eine bekannte Zinsstrukturkurve ist die sog. REX, die sich aus dem Deutschen Rentenindex ableitet.

2.2.1 Eigenschaften von Zinsstrukturkurven

Man unterscheidet drei Arten von Zinsstrukturkurven. Die normale Zinskurve hat einen steigenden Zinssatz je höher die Laufzeit ist, die flache Zinskurve hat einen konstanten Zinssatz unabhängig von der Laufzeit und die inverse Zinskurve hat einen fallenden Zinssatz bei längerer Laufzeit. Eine graphische Darstellung der drei Formen von Zinsstrukturkurven befindet sich in Abbildung 2 auf Seite 22.¹³

Es gibt für die Form der Zinsstrukturkurve verschiedene Interpretationsansätze. Häufig wird argumentiert, dass die normale Zinskurve steigend ist, da eine Prämie für längerfristige Anlagen gezahlt wird. Ist sie jedoch sehr stark steigend, herrscht eine steigende Zinserwartung. Im Gegensatz dazu herrscht bei der flachen und inversen Zinskurve eine Erwartung von sinkenden Zinsen vor. Inverse Zinskurven ergaben sich in der Vergangenheit häufig vor Rezessionen. In der Praxis erhält man jedoch oft eine buckelige Zinskurve, die beispielsweise zuerst einen steigenden Zinssatz aufweist, dann aber für längere Zeiträume fallende Zinsen darstellt.

Interprätationsansätze werden in dieser Arbeit jedoch nicht weiter verfolgt.

2.2.2 Das Nelson/Siegel Zinsstrukturmodell

Ein verbreitetes und auch international in der Praxis oft angewendetes Modell zur parametrisierten Darstellung von Zinsstrukturkurven liefern Nelson/Siegel und Svensson, wobei Svensson das von Nelson/Siegel aufgestellte Modell um weitere Paramter ergänzt. Der erhöhte Detallierungsgrad ist oft jedoch nicht sinnvoll, sondern führt lediglich zu einer Überparametrisierung.¹⁴¹⁵ Da dieser Grad der Detaillierung hier nicht benötigt wird, wird lediglich das von Nelson/Siegel entwickelte Modell genutzt, ohne die Erweiterung von Svensson. Nach Nelson/Siegel sind die Terminzinsraten zum Zeitpunkt t 0 mit den Parametern

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die für die Bewertung von Swaps erforderlichen Spot-Rates erhält man durch Integration von (1) nach t von t 0 bis t und Division durch die Restlaufzeit t − t 0:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Grenzwertbetrachtungen machen nun die Bedeutung der einzelnen Parameter deutlich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus (3) ergibt sich, dass β 0 das Zinsniveau von langfristigen Anleihen bestimmt, während zusammen mit (4) ersichtlich ist, dass β 1 das Zinsniveau von kurzfristigen Anleihen determiniert. Für gegebenes langfristiges Zinsniveau und kurzfristiges Zinsniveau ergibt sich dann β 1 als Differenz zwischen kurzfristigem und langfristigem Zinsniveau. β 2 beeinflusst stark den Zinssatz von mittelfristigen Anlagen. Ein positives β 2 bedeutet dabei eine Erhö- hung des Zinssatzes für mittelfristige Anlagen im Vergleich zu kurzen und längerfristigen Anlagen, während ein negatives β 2 einen niedrigeren Zinssatz im mittleren Abschnitt der Zinsstrukturkurve zur Folge hat. Der Parameter τ hat lediglich auf die Skalierung Einfluss und sorgt für eine Streckung bzw. Stauchung der Zinsstrukturkurve.

Um ökonomisch verwendbare Zinsstrukturkurven zu erhalten, ist es sinnvoll, den Definitionsbereich der Parameter einzuschränken. Sei darum stets im Folgenden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3 Theoretische Bewertung von Swaps

3.1 Vorgehen16

In diesem Abschnitt soll die theoretische Bewertung von Swaps, insbesondere Plain Vanilla IRS, dargestellt werden. Begriffe, die in Abschnitt 2 nicht vorgestellt wurden, werden in Anhang A ab Seite¹⁶ erklärt.

Im Folgenden wird von einem vollständigen und arbitragefreien Finanzmarkt ausgegangen, der vollkommen ist. Es existieren keine Transaktionskosten, Leerverkäufe sind beliebig möglich und alle Marktteilnehmer agieren als Preisnehmer. Sämtliche Wertpapiere können beliebig geteilt werden.

Prinzipiell ergeben sich zwei verschiedene Vorgehensmethoden. Zuerst müssen jedoch stets anhand einer Zinsstrukturkurve die Diskontierungsfaktoren berechnet werden, mit denen die zukünftigen Zahlungsströme zu bewerten sind. Der Ansatz der ersten Methode besteht darin, dass ein IRS sich synthetisch aus einem Kuponbond¹⁷ und einer Floating Rate Note¹⁸ (FRN) zusammensetzt.¹⁹ In der zweiten Variante wird ein IRS als Portfolio

von Forward Rate Agreements²⁰ (FRA) bewertet.²¹ Aus Arbitrageüberlegungen folgt, dass beide Bewertungsmethoden äquivalente Ergebnisse liefern. Im Folgenden soll zur Bewertung die erste Variante mit einer Unterteilung in Fixed-Leg und Floating-Leg verwendet werden.

3.2 Bewertung des Fixed-Leg

Zunächst soll der Fixed-Leg, also der Kuponbond, bewertet werden. Die Zahlungscharakteristik lässt sich nach Definition 2 und dem gegebenen festen Zinssatz sowie dem fiktiven Nominalkapital darstellen. Zur Bewertung werden allerdings noch Diskontierungsfaktoren benötigt, die sich aus der Spot-Curve herleiten lassen.²²

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Definiere:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.3 Bewertung des Floating-Leg

Da sich die zukünftigen Werte von Referenzindexen wie LIBOR oder EURIBOR schwer vorhersehen lassen, wird der Zusammenhang genutzt, dass aus Arbitrageüberlegungen der Wert eines Swaps unabhängig von dem auf der variablen Seite festgelegten Referenzzinssatzes ist.²³²⁴ Somit können zur Berechnung die Forward Rates aus der Zinsstrukturkurve verwendet werden.

[...]

---

¹ Hiermit sind juristische Personen gemeint, also insb. Unternehmen wie Banken

² vgl. Ritchken, 1996 S. 498

³ nach Decovny, 1998 S. 23, Ritchken, 1996 S. 508-512, Hull, 2006 S. 834 und Bicksler, 1986 S.646-647

⁴ Definition und Erklärung der Zinssätze sowie Hinweise zur Berechnung werden in Anhang B Zinssätze ab Seite 19 gegeben

⁵ vgl. Hull, 2003 S. 125

⁶ Erklärungen für das starke Wachstum liefert Titman, 1992

⁷ Völlig analog existieren Step-Up Swaps, bei denen der fiktive Kapitalbetrag im Laufe der Zeit steigt, vgl. Definition 1 in Anhang A ab Seite 16

⁸ in der Literatur teilweise auch Future Swaps genannt

⁹ nach Decovny, 1998 S. 53-59

¹⁰ in der Literatur auch Currency Swap oder Foreign Currency Swap genannt

¹¹ nach Kolb, Overdahl, 2007 S. 687-691

¹² in der Literatur häufig nur Zinskurve genannt

¹³ nach Wiedemann, 2004 S. 7-10

¹⁴ Vorgehen angelehnt an Wöster, 2004 S. 162-171

¹⁵ nach Deutsche Bundesbank Monatsbericht Oktober 1997, 1997 S. 61-66

¹⁶ vgl. Hull, 2006 S. 205-209

¹⁷ siehe Definition 2 auf Seite 16

¹⁸ siehe Definition 3 auf Seite 16

¹⁹ Erklärung des Zusammenhangs in Bemerkung 1 auf Seite 17 in Anhang A

²⁰ siehe Definition 4 auf Seite 17

²¹ Erklärung des Zusammenhangs in Bemerkung 2 auf Seite 18 in Anhang A

²² Lemma nach Schierenbeck, Wiedemann, 1996 S. 13-21

²³ Lemma und grundlegende Formeln nach Schierenbeck, Wiedemann, 1996 S. 28-30, S. 36

²⁴ Andernfalls wäre ein Arbitragegewinn möglich, wenn zum Zeitpunkt t = 0 bereits ein FRA Portfolio gekauft wird, sodass kein Zinsrisiko besteht