Das Foucault-Pendel

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1 Historischer Hintergrund

Nachdem Kopernikus im 16. Jahrhundert entdeckte, dass die Erde nicht der Mittelpunkt des ganzen Universum ist, sondern dass sich die Erde um die Sonne und ihre eigene Achse dreht und nachdem Kepler seine Gesetze der Planetenbewegungen veröffentlichte, stellte sich die Frage, wie man das Ganze experimentell bestätigen könne.

Für den Nachweis der Eigenrotation der Erde schlug Newton vor, einen Stein in einen sehr tiefen Brunnen zu werfen und dann die von ihm vorhergesagte östliche Abweichung zu messen. Dieser Vorschlag scheiterte aber an den ungenauen Messgeräten und einem Brunnen, der tief genug war.

Poisson veröffentlichte 1837 eine theoretische Abhandlung darüber, wie sich die Flugbahn eines Geschosses durch den Einfluss der Corioliskraft (die nach einem seiner Schüler benannt ist) ändere. Er rechnete sogar den Einfluss dieser Kraft auf ein schwingendes Pendel aus; er meinte aber, dass der Einfluss zu gering sei, um einen bemerkbaren Effekt hervorzurufen (vgl Tob03, S. 150). Dabei betrachtete er aber nur die Ablenkung, die entsteht, wenn das Pendel eine Periode durchläuft und übersah, dass sich die Ablenkung, die bei einem Schwingungsdurchgang entsteht, nicht verlorengeht, sondern sich über die Zeit aufsummiert; im Endeffekt ist sie also doch zu sehen. Die Geschossablenkung war wie Newtons Vorschlag mit dem damaligen Messmethoden nicht nachweisbar.

1.1 Jean Bernard Léon Foucault

Laut Louis Figuier kam Foucault auf die Idee seines Pendelexperiments als er mit einem Dampfschiff auf rauher See von Honfleur nach Le Havre fuhr. Obwohl das Schiff durch den hohen Wellengang hin und her geschleudert wurde, verharrte ein Querbalken des Mastens in einer festen Position (vgl Tob03, S. 138).

Im Jahr 1851 lies er sich einen 5 kg schweren Pendelkörper anfertigen und baute sich damit in seinem Keller ein 2 m langes Pendel. Er hatte aber mit zahlreichen Problemen zu kämpfen: So zwangen ihn Vibrationen von Dampfmaschinen und trampelnden Fußgängern dazu, in der Nacht zu arbeiten. Ein weiteres Problem beschrieb er in seinem Tagebuch (Tob03, S. 139):

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tion nachwiesen.

Daraufhin wurden viele Erklärungsansätze diskutiert, warum der sog. Foucault Effekt vom Breitengrad abhängt. Der Erste, der eine vollständige Erklärung lieferte, war Binet. Er konnte, von Poisson angeregt, mithilfe der Corioliskraft herleiten, dass die Winkelgeschwindigkeit mit der sich die Pendelebene dreht, direkt proportional zum Sinus des Breitengrad ist. Danach veröffentlichte auch Foucault seine Abhandlung, die von Belfield-Lefèvre vereinfacht, die Basis meine eigenen Herleitung ist. (vgl Tob03, S. 153)

2 Herleitung des Foucault Effekts

2.1 Pendel am Pol

Als erstes betrachten wir ein Fadenpendel, das an einem Pol der Erde aufgestellt ist. Bei schwin- gendemPendel wirken auf den Pendelkörper verschiedene Kräfte (Gewichtskraft, Zugkraft des Fadens) die eine resultierende Kraft ergeben, aus der die Pendelbewegung entsteht. Diese Kräfte liegen alle in der Schwingungsebene, die durch den Aufhängepunkt und die beiden Punkte maximaler Elongation festgelegt ist. Um nun erklären zu können, warum sich die Schwingungs- ebeneträge verhält, also Newtons 1. Axiom genügt und somit bezogen auf einen Fixpunkt im Universum in Ruhe ist, ersetzen wir das schwingende Pendel durch eine Hilfsvorstellung ¹ , wie es auch schon Foucault machte (vgl Tob03, S. 152f): Ein schwingendes Pendel ist im Prinzip nichts anderes als ein Metallstab, der in der Mitte an einem Faden aufgehängt ist. Die Enden des Stabes entsprechen nun den Punkten maximaler Elongation des Fadenpendels ² . Auf diesen Stab wirkt keine resultierende Kraft, da die Gewichtskraft durch die Zugkraft der Aufhängung kompensiert wird. Nach dem 1. Axiom Newtons bleibt er also in Ruhe, wenn er in Ruhe aufgehängt wurde.

Wenn man dieses Gebilde nun an einem Faden mit unendlich kleiner Torsionssteifigkeit am Nordpol aufhängen würde, würde man feststellen, dass der Stab scheinbar pro Sternentag ³ eine 360 ^◦ Drehung im Uhrzeigersinn (vgl Sch99) um den Aufhängefaden machen würde. Der Stab oder wenn wir die Hilfsvorstellung wieder verlassen, die Schwingungsebene eines Pendels, verhalten sich träge und sind bezogen auf einen Fixpunkt im Universum in Ruhe während sich die Erde darunter wegdreht. Für einen Beobachter, der sich mit der Erde mitdreht, sieht es nun so aus, als drehe sich die Pendelebene.

¹ Wir brauchen ein Hilfsvorstellung, da man die Newton Axiome nur auf Körper anwenden kann und nicht auf etwas Abstraktes wie eine Schwingungsebene.

² Der Hub, den der Pendelkörper durch die Auslenkung erfährt wird vernachlässigt. Von der Seite betrachtet beschreibt ein schwingendes Pendel bei dieser Vereinfachung nun tatsächlich eine Gerade.

³ Für eine ganze Umdrehung braucht die Erde etwas weniger als einen Tag. Ein normaler Tag, oder auch Sonnentag, ist „die Zeit von einem Sonnenhöchststand bis zum nächsten Sonnenhöchststand“ (Wik05a). Da

sich die Erde aber um die Sonne dreht, ist der Sterntag, also die Zeit für eine volle Umdrehung der Erde „um

ca. ein ¹ kürzer als ein bürgerlicher Tag bzw. Sonnentag“ (Wik05b).

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Im Winter 2001 wurde tatsächlich ein Foucault-Pendel am Südpol aufgebaut.(Bak01)

2.2 Pendel am Breitengrad ϕ

Abb. 2: Erde mit Kegel an der Breite ϕ,

nach (Sch99)

Es stellt sich nun die Frage, wie sich ein Fadenpendel verhält, dass am Breitengrad ϕ aufgestellt ist. Um dieses Problem zu lösen, gibt es zwei Ansätze: Im ersten legt man sein Bezugssystem auf die Erde an den Breitengrad. Bei dieser Methode hat man aber dann das Problem, dass man sich auf der Erde in einem beschleunigten Bezugssystem befindet und dadurch sog. Scheinkräfte auftreten. Neben der Kraft, die aus der Bewegung der Erde um die Sonne resultiert, wirkt auf einen Körper auf der Erdoberfläche die Fliehkraft und die Corioliskraft. Wenn nur die letzte betrachtet wird, lässt sich eine Differentialgleichung aufstellen, aus deren Lösung man die Drehung der Pendelebene ableiten kann (vgl Kip03). Auch Binet ging diesen Lösungsweg. Einfacher ist es, das Bezugssystem außerhalb der Erde festzulegen. Im Folgenden wird nun die Erde isoliert betrachtet, d. h. man stelle sich eine um sich selbst drehende Erde alleine im Kosmos vor, auf die man von außen blickt. Meine Herleitung stützt sich auf (Sch99) und auf (Dor05), die der von Belfield-Lefèvre (vgl Tob03, S. 153) sehr ähnlich ist. Auch hier wird das Pendel durch die Hilfsvorstellung ersetzt. Der Stab wird in Nord-Süd Richtung gebracht; er ist eine Tangente an die Erdoberfläche am Breitengrad ϕ. Seine Verlängerung schneidet sich mit der Verlängerung der Erdachse in Punkt B. Dieser Linienzug wird nun um die Erdachse rotiert; es entsteht Abb. 2; also ein Kegel, dessen Mantel die Erde tangential im Punkt M berührt. M ist der Mittelpunkt des Stabes. Wenn dieser Kegel, bezogen auf das Universum, in Ruhe bleibt, während sich die Erde und somit auch der Stab samt Faden dreht, bewegt sich der Stab in dem Mantel des Kegels.

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3 Bau eines Foucault-Pendels

3.1 Probleme

Bei dem Bau eins Foucault-Pendels ergeben sich im allgemeinen drei größere Probleme:

1. Um den Foucault Effekt beobachten zu können, muss man das Pendel über eine längere Zeitspanne beobachten können. Da die Schwingung des Pendels gedämpft ist, ist meist ein Antrieb nötig, der, ohne den Foucault Effekt zu beeinflussen, die Pendelbewegung aufrecht erhält.

2. Durch Asymmetrien des Pendelkörpers, der Aufhängung oder des Fadens kommt es durch den Luftwiderstand zu kleinen Kräften, die senkrecht zur Schwingungsebene wirken. Diese Kräfte bewirken, dass sich der Pendelkörper, von oben betrachtet, nicht mehr auf einer Stecke hin und her bewegt, sondern eine Ellipse beschreibt. Die Schwingungsebene eines Pendels, dessen Pendelkörper sich auf einer Ellipse mit der Hauptachse a und der Nebenachse b bewegt, dreht sich aber von sich aus, ohne den Foucault Effekt, mit der Winkelgeschwindigkeit ω f = 3 A

(A = a b π (BMNW03, S. 42)), l die Fadenlänge und T die Schwingungsdauer ist (vgl Cra81, S. 1004). ω f ist bei einem Pendel mit l = 3 m, T = 3,5 s und a = 30 cm bei einer seitlichen Ablenkung des Pendelkörpers im Ruhepunkt von b = 2,4 mm bereits so groß wie ω P von Miesbach.

3. Ein nicht zu unterschätzendes Problem stellt die Aufhängung des Fadens dar. Zunächst soll sie möglichst reibungsarm gegenüber der Pendelschwingung sein. Da man aber meistens einen Antrieb braucht (siehe 1.) ist dies nicht die Hauptsorge. Die viel schwerer zu erfüllende Anforderung ist, dass sie in jede Richtung die gleiche Reibung haben muss, da sich ja die Schwingungsebene bezogen auf die Aufhängung dreht.

3.2 Foucaults Lösung

Nun stellt sich in Anbetracht dieser Probleme erst einmal die Frage, warum der Urversuch von Foucault im Panthéon 1851 überhaupt so überzeugend funktionierte, da dieses Pendel nur ein langes Metallseil mit einem bleigefüllten Pendelkörper war, das in einer ziemlich primitiven Aufhängung ⁶ an der Decke befestigt war.

Foucaults Rettung war das sehr lange Seil (67 m). Da für Auslenkwinkel, die im Bereich

√

der Kleinwinkelnäherung liegen, T ∼ l (Tob03, S. 307) gilt, bewegte sich Foucaults Pendel

relativ langsam und hatte dadurch einen geringen Luftwiderstand. Dennoch musste das Pendel

⁶ Es war eine horizontal an der Decke befestigte Metallscheibe, die in der Mitte ein Loch für das Pendelseil hatte und am äußeren Rand eine Schraube, um das Seil festzuklemmen (vgl Tob03, S. 140)

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mehrmals am Tag angehalten und von Neuem gestartet werden. Eine große Fadenlänge und ein schwerer Pendelkörper verringern zusätzlich noch den Fehler, der sich durch die elliptische Bahn ergibt, da zu einem die Nebenachse wegen der großen Masse des Pendelkörpers meist geringer ist als bei einem kleinerer Masse und zum anderen ω f mit der 5 2 Potenz von l abnimmt. Dieser

Fehler wurde zusätzlich noch verringert, weil durch das wiederholte Neustarten des Pendels sich b nicht auf große Werte aufschaukeln konnte. Da Foucault sein Pendel dadurch startete, dass er den Pendelkörper mit einem Faden auslenkte, den er dann, wenn das Pendel vollkommen

in Ruhe war, durchbrannte (vgl Str58, S. 116), wurde das Pendel mit der kleinstmöglichen seitlichen Ablenkung in Bewegung gesetzt.

Die simple Aufhängung von Foucault garantierte zwar eine nahezu gleiche Reibung in alle Richtungen (die Reibung ist umso homogener, je mehr Einzeldrähte der Pendelfaden hat und je feiner diese sind). Die große Gefahr dieser Aufhängung ist aber ein Ermüdungsbruch des Pendelseils an der Stelle, an der es die Aufhängung verlässt. Foucault war sich dieser Gefahr durchaus bewusst (bei seinem ersten Pendel in seinem Keller brach das Seil nach kürzester Zeit) und deswegen war der Boden des Panthéon mit einer dicken Erdschicht vor dem herunterfallenden Pendelkörper geschützt. Auch für die Zuschauer wurde sicherheitshalber eine Absperrung gebaut.

3.3 Mein Pendel

Bei meinem eigenen Pendel konnte ich die Probleme nicht durch einen langen Faden lösen, da ich auf eine Gesamtlänge von ca 3,10 m (Höhe eines Raumes im Altbau des Gymnasium Miesbach) festgelegt war. So muss mein Pendel sowohl einen Antrieb haben als auch eine Einrichtung, die die Ellipsenbahn des Pendelkörpers soweit wie möglich einschränkt.

3.3.1 Der Antrieb

Bei der Suche nach einem geeigneten Antrieb bin ich auf das Pendel der Bergischen Universität Wuppertal gestoßen (Kin00): Auch hier musste ein ziemlich kurzes Pendel (l ca. 2,5 m) mit einer ähnlich schweren Metallkugel als Pendelkörper für „immer“ am Laufen gehalten werden. Da die meisten Pendelkörper aus Stahl sind, liegt eine magnetische Anregung nahe. So ist auch bei meinem Pendel kozentrisch unter der Ruhelage ein Ringmagnet angeordnet, in dessen Mitte sich ein Infrarotdetektor befindet. In der Metallkugel ist eine Infrarotdiode, die über den metallenen Faden und über einen Kupferlackdraht mit der Stromquelle verbunden ist. Der Mikrocontroller (Schaltplan siehe S. 23) misst nun nach dem Einschalten durch die Lichtschranke die Zeit vom ersten Durchlaufen der Ruhestellung des Pendels bis zum zweiten Durchgang. Aus dieser Zeitmessung ( ^T 2 ) kann er nun den Zeitpunkt bestimmen, an den das

Pendel maximal ausgelenkt ist. Wenn es soweit ist, schaltet der Mikrocontroller den Magneten

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ein; beim Durchlaufen der Ruhestellung schaltet er ihn wieder aus. Durch dieses zyklische Ein und Ausschalten des Magneten wird dem Pendel die Energie zugeführt, die es durch die Luftreibung verliert. Wenn der Magnet exakt kozentrisch unter der Ruhelage platziert ist, kommt es durch diese Art von Antrieb zu keiner Verfälschung des Foucault-Effekts. Durch das Anziehen des Pendelkörpers zur Ruhelage hin wird außerdem die elliptische Bahn ein wenig eingeschränkt. Bei einem sehr kurzen Pendel (l ca. 70cm) reicht das Anziehen des Magneten bereits aus, um Problem 2 vollständig zu eliminieren. Allerdings muss hier in dem Pendelkörper ein starker Dauermagnet sein und auch der Elektromagnet muss entsprechend dimensioniert

sein (vgl Cra81, S. 1005). Bei einem längeren Pendel muss eine weitere Vorkehrung getroffen werden.

3.3.2 Der Charronring

Im Jahr 1931 fand F. Charron eine elegante Lösung, um die elliptische Bahn des Pendels einzuschränken (vgl Tob03, S. 308): Ein exakt kozentrisch unter der Aufhängung positionierter Ring, an dem der Pendelfaden nahe des Umkehrpunkte jedesmal anschlägt. Wenn nun der Pendelkörper eine Ellipse beschreibt, trifft der Faden nicht mehr mittig auf den Ring, sondern schleift an der Krümmung der Rings entlang. Dadurch wird die Energie der seitlichen Bewegung - bezogen auf die Schwingungsebene - in Wärme umgesetzt und somit unschädlich gemacht. Man kann auch sagen, dass der Pendelkörper das Pendel bei jeder Berührung mit dem Charronring neu startet. Allerdings verfälscht der Charronring den Foucaulteffekt in geringer Weise, denn für die Zeit, an der der Pendelfaden am Charronring anliegt, wird die Erddrehung auf das Pendel übertragen. Bei meinem Pendel ist die Aufhängung zu einer Hülse nach unten verlängert; der Charronring ist also direkter Bestandteil der Aufhängung. Die eigentliche Befestigung des Pendelfadens unterscheidet sich nicht sonderlich von der Foucaultschen. Der einzige Unterschied

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4 Versuch

Für den 1. Versuch war der Charronring noch unverändert wie er auf der Abb. auf S. 21 zu sehen ist.

Das Pendel wird zum Schwingen gebracht, indem der Pendelkörper soweit ausgelenkt wird, dass der Pendelfaden den Charronring kurze Zeit vor seinem Umkehrpunkt berührt und es wird der Winkel β gemessen, um den sich die Schwingungsebene gegenüber der Ausgangslage verdreht. In Abb. 12 sind diese Winkel gegenüber der Zeit aufgetragen. Für die Ausgleichsgerade G ^g 1 durch diese Messwerte ergibt sich folgende Gleichung:

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5 Literatur

[Bak01] Baker: South Pole Foucault Pendulum. Version: Winter 2001. http://www.

[BMNW03] Barth, F. ; Mühlbauer, P. ; Nikol, F. ; Wörle, K.: Mathematische Formeln

[Cra81] Crane, H.: Short Foucault pendulum: A way to eliminate the precession due

[Dor05] Dornbusch, M.: Zur Funktonsweise. Version: 2005. http://www.cgl-online.

[Eco04] Eco, U.: Das Foucaultsche Pendel — Roman. 16. Auflage. München : Deutscher Taschenbuch Verlag, 2004

[HHH02] Hammer, A. ; Hammer, H. ; Hammer, K.: Physikalische Formeln und Tabellen. 8. Auflage. München : J. Lindauer Verlag, 2002

[Kin00] Kind, P.: Das Foucaultsche Pendel der Bergischen Universität Wuppertal.

[Kip03] Kip: Theoretische Herleitung des Foucault-Effekts. Version: Mai 2003. http://www.

[Sch99] Schnack, J.: Das Foucault-Pendel am Breitenkreis Ψ.

[Str58] Strong, C. L.: How to make a pendulum that will demonstrate the rotation of the earth. In: The Amateur Scientist (1958), Juni, S. 115-124

[Tob03] Tobin, W.: The Life and Science of Léon Foucault — The Man who Proved the Earth Rotates. 1. Edition. Cambridge UK : Cambridge University Press, 2003

[Wik05a] Wikipedia: Sonnentag. Version: Dez. 2005. http://de.wikipedia.org/wiki/

[Wik05b] Wikipedia: Sterntag. Version: Dez. 2005. http://de.wikipedia.org/wiki/

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5.1 Software

• Textsatz: L ^A T E X 2 ε , BibT E X mit AucT E X auf GNU Emacs

• Illustration: METAPOST

• Platinenlayout: Eagle

• Compiler: GCC-MSP430

• CAD: CATIA V5

• Versuchsauswertung: Gnuplot

6 Anhang