Lineare diophantische Gleichungen

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Historische Gesichtspunkte

3 Der euklidische Algorithmus
3.1 Division mit Rest
3.2 Der euklidische Algorithmus
3.3 Das Lemma von Bachet
3.4 Die Darstellung des ggT als Linearkombination

4 Lineare diophantische Gleichungen
4.1 Gleichungen mit einer Unbekannten
4.2 Gleichungen mit zwei Unbekannten
4.2.1 Kriterium für die Existenz ganzzahliger Lösungen
4.2.2 Auffinden einzelner Lösungen
4.2.3 Bestimmung aller Lösungen
4.2.4 Lösungen in den natürlichen Zahlen
4.3 Gleichungen mit mehr als zwei Unbekannten

5 Ergebnisse

Literaturverzeichnis

1 Einleitung

Seit mehr als 2.500 Jahren befassen sich Mathematiker mit dem Problem des Findens von Lösungen zu einer Gleichung, welche nur aus einer bestimmten Zahlenmengen stammen. Diese Facharbeit soll einen Teil hiervon, die linearen diophantischen Gleichungen, behandeln und zugehörige Aspekte beleuchten. Dies soll mit dem Ziel geschehen, Auflösungsstrategien nicht nur vorzustellen, sondern ihre Herkunft zu ergründen. Aus diesem Grund liegt der Fokus des ersten der beiden Hauptkapitel auf theoretischen Grundlagen der Teilbarkeitslehre, im zweiten auf ihrer Anwendung. Zunächst soll jedoch kurz auf die für das Thema prägenden Namen Diophant und Euklid eingegangen werden. Persönlicher Reiz der Themenstellung ist das niedrige Einstiegsniveau durch die einfache Struktur der Gleichungen verbunden mit der beliebig steigerbaren Komplexität der Vertiefungen. Die Grenze soll hierbei nach dem Auffinden einzelner Lösungen zu Gleichungen mit beliebig vielen Unbekannten gezogen werden, die Beschreibung der Gesamtheit aller Lösungen in den ganzen oder natürlichen Zahlen entfällt.

2 Historische Gesichtspunkte

Diophantos von Alexandria ist einer der bedeutendsten Mathematiker der Antike. Zwar ist nur wenig über das Leben des griechischen Mathematikers bekannt und die Schätzung seiner Lebensdaten von ca. 200-280 v. Chr. basiert auf der Erwähnung älterer Mathematiker in seinen Arbeiten und nachfolgenden Zitaten dieser, doch prägen seine Erkenntnisse die Geschichte der Mathematik in hohem Maße. Diophant lebte im ägyptischen Alexandria, jahrhundertelang das wissenschaftliche Zentrum der Antike.¹

Die „Arithmetik“ (griech.: Άριδητικά ist sein Hauptwerk und markiert eine bedeutende Entwicklung der Algebra, jenem Teilgebiet der Mathematik, unter welchem man die formale Auflösung algebraischer Gleichungen versteht. Diophant schlug dort ein neues Kapitel in der griechischen Mathematik auf, indem er sich darauf konzentrierte bestimmte und unbestimmte Gleichungen mit bis zu sechs Unbekannten ohne Rückgriff auf geometrische Überlegungen zu lösen. Statt geometrischer Algebra wird dies auch als echte Algebra bezeichnet. Die von ihm benutzte algebraische Bezeichnungsweise wird als synkopiert (verkürzt) bezeichnet und gilt als Zwischenschritt von einer rein verbalen zu einer vollständig symbolischen Algebra. Die „Arithmetik“ ist der einzige bekannte umfassende Text zur Algebra und Arithmetik aus der griechischen Antike und stellt gleichzeitig das erste große, ausschließlich zahlentheoretischen Problemen gewidmete Werk dar. Von den dreizehn Büchern der in griechischer Sprache verfassten „Arithmetik“ waren bis vor einigen Jahrzehnten nur sechs² bekannt, in den 70er Jahren fand man vier³ weitere, in arabische Sprache übersetzte Bände.⁴

Euklid von Alexandria (ca. 365-300 v. Chr.) war ebenfalls ein bedeutender griechischer Mathematiker, welcher auch heute die Sprache der modernen Mathematik prägt (Bsp.: euklidische Ringe, euklidische Räume u. v. m.). In seinem berühmten Hauptwerk „Elemente“ (griech.: Ετσχετα) fasste er mathematisches Wissen seiner Zeit zusammen, damit es als Lehrwerk an der Akademie des Platon verwendet werden konnte. Auch dienten die „Elemente“ Euklid als Fundament für tiefer gehende mathematische Untersuchungen. Mindestens drei vorherige Verfasser ähnlicher Werke sind bekannt, diese sind jedoch nicht erhalten. Euklid wird nachgesagt sie als Grundlage genommen und erweitert sowie verbessert zu haben. Insgesamt setzen sich die „Elemente“ aus dreizehn Büchern zusammen. In den ersten sechs Bänden werden Erkenntnisse aus dem Bereich der Geometrie, in den Büchern sieben bis neun der Zahlentheorie und in Kapitel elf bis dreizehn der Stereometrie behandelt.⁵

Euklid führte Eigenschaften von ganzen Zahlen und geometrischen Objekten auf eine Menge von Elementaraussagen (Axiome) zurück, was der Axiomatisierung in der modernen Mathematik ähnelt.

3 Der euklidische Algorithmus

Der euklidische Algorithmus ist ein Verfahren zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) zweier Zahlen. Er wird von Euklid von Alexan­dria im Buch VII seines Hauptwerks „Elemente“ vollkommen allgemein beschrieben. Der französische Mathematiker Bachet de Mézinac (1581-1638) führte das Verfahren erstmals in Europa ein.⁶ Auf seine bedeutende Folgerung hinsichtlich des euklidischen Algorithmus, das Lemma von Bachet, wird in Kapitel 3.3 eingegangen. Da der euklidische Algorithmus eine wiederholte Division mit Rest darstellt, soll zunächst diese erläutert werden.

[...]

¹ Informationen entnommen aus: Bundschuh, Peter: Einführung in die Zahlentheorie S. 28.

² Übersetzung und Kommentierung: Czwalina, A.: Arithmetik des Diophant aus Alexandria. Göttingen: Vandenhoeck-Ruprecht 1952.

³ Sesiano, J.: Books IV to VII of Diophantus' Arithmetica: In the Arabic Translation Attributed to Qusta Ibn Luqa. New York: Springer 1982.

⁴ Informationen entnommen aus: Mankiewicz, Richard: Zeitreise der Mathematik S. 46.

⁵ Informationen entnommen aus: Schreiber, Peter: Euklid S. 5; 32-37.

⁶ Informationen entnommen aus: Bundschuh, Peter: Einführung in die Zahlentheorie S. 23.