Pi - die Unendlichkeit des Seins

Inhalt

1. Mathematik - der Webstuhl Gottes

2. Das Weltbild der Pythagoreer und der Beweis der Irrationalität von V2

3. Irrationale Zahlen und ihr Vorkommen in geometrischen Grundfiguren

4. Die Kreiszahl π
4.1 Definition
4.2 Irrationalität
4.3 Kettenbruchentwicklung
4.4 Transzendenz

5. Die Quadratur des Kreises
5.1 Die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises
5.1.1 Konstruierbare Zahlen
5.1.2 Folgen der Transzendenz
5.2 Lösungsversuch durch die Quadratrix des Hippias
5.2.1 Definition der Quadratrix
5.2.2 Der Satz von Dinostratos und die Quadratur des Kreises

6. Die Berechnung der Zahl π
6.1 π in Babylonien und Ägypten
6.2 Archimedes von Syrakus und die Exhaustionsmethode
6.2.1 Archimedes von Syrakus
6.2.2 Die Exhaustionsmethode
6.2.2.1 Das Prinzip der Exhaustionsmethode
6.2.2.2 Definition Algorithmus
6.2.2.3 Definition Iteration
6.2.2.4 Algorithmus zur Exhaustionsmethode
6.3 Die Rekordjagd

7. Auf der Suche nach einem System hinter der Kreiszahl π

8. Anhang

9. Literaturverzeichnis

1. Mathematik - der Webstuhl Gottes

„Mathematik ist die Sprache der Natur“¹ „Die Geometrie ist vor der Erschaffung der Dinge, gleich ewig wie der Geist Gottes selbst und hat in ihm die Urbilder für die Erschaffung der Welt geliefert."^[1] [2]

Natur ist Mathematik. Besonders gute Beispiele hierfür sind Fraktale und der „Goldene Schnitt‘ [³ ]. Fraktale bilden eine Kategorie von geometrischen Formen, die bei unterschiedlicher Vergrößerung selbstähnliche Strukturen aufweisen. In der Natur kann man sie zum Beispiel bei Bergen, Pflanzen und bei den Verzweigungsmustern von Blutgefäßen finden.

Die Anordnung von Samen einer Sonnenblume kann man verstehen, wenn man die Fibonacci-Zahlen (1,1,2,3,5,8,13...) heranzieht, die nach dem italienischen Händler Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci, benannt sind. Mit Ausnahme der ersten beiden Zahlen, bildet sich jede Zahl aus der Summe der beiden vorangegangenen. Die Blütenstände der Sonnenblume - wie auch die zahlreicher anderer Pflanzen - bestehen aus zwei Familien miteinander verflochtener Spiralen, die sich in entgegengesetzte Richtungen drehen. Die Anzahl der Samen und Blütenblätter entspricht fast immer den Fibonacci-Zahlen, die interessanter Weise in engem Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt stehen.[⁴ ] Logarithmische Spiralen, die den Goldenen Schnitt als Konstante haben, können zuhauf in der Natur gefunden werden.[⁵ ] Den Inbegriff für das Vorkommen der sectio aurea in der Natur stellt wohl die Nautilus-Muschel dar. Ihre Form wird erstens durch eine logarithmische Goldene Spirale geprägt, zweitens kann ihre Fläche in ein Rechteck mit Goldenem Verhältnis, das sogenannte Goldene Rechteck, eingefügt werden und drittens stehen sogar die Verhältnisse der Volumina in diesem auch stetig beziehungsweise göttlich genanntem Verhältnis.

Nicht nur in der Natur befinden sich geometrische Muster, sondern vor allem auch im Universum. Denken wir nur einmal an die kugelförmigen Planeten und Sterne und die Spiralgalaxien, die sie bilden.

„Es ist keine Frage, dass es im Universum Gestaltung gibt. Die Frage ist, ob diese Gestaltung von außen eingebracht wurde oder ob sie den physikalischen Gesetzen, die das Universum beherrschen, innewohnt. Die nächste Frage ist natürlich, wer oder was schuf diese physikalischen Gesetze?“[⁶ ]

Ich weiss nicht, ob Gott ein Mathematiker ist, jedenfalls ist die Mathematik der Webstuhl, auf dem Gott den Stoff des Universums webt.

2. Das Weltbild der Pythagoreer und der Beweis der Irrationalität von V2

„Die Zahl ist das Maß aller Dinge“⁷

Die Pythagoreer waren eine als sektierischer Geheimbund geltende Schule, die sich auf den griechischen Philosophen und Mathematiker Pythagoras von Samos (ca. 540 - 500 v. Chr.) zurückführen lässt. Sie entstand um 525 v. Chr. als eine Gemeinschaft von sechshundert Männern und Frauen, die sich der Philosophie, Mathematik, Religion und Politik verpflichtet fühlten. Ihre Erkenntnisse hielten sie weitgehend geheim, weswegen heutzutage nur wenig über sie bekannt ist.

Ihrem Glauben nach sind Zahlen heilig und stellen göttliche Ideen dar, die das Universum erschaffen und instandhalten.[⁸ ] Die ganze Natur bestehe aus Zahlen, die Verhältnisse von natürlichen Zahlen, das heißt kommensurabel, sind.

Sie waren wohl auch fest von der Kommensurabilität überzeugt, doch dann fand Hippasos von Metapont, selbst ein Anhänger ihres Bundes, einen Beweis[⁹ ], der das Weltbild der Pythagoreer erschüttern und den Bund in eine existentielle Krise stürzen sollte. Er bewies, dass das Verhältnis zwischen der Seite und Diagonale eines Quadrats nicht als das Verhältnis zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann. Das heißt, dass sie inkommensurabel sind. Der Beweis beruht auf einer indirekten

Beweisführung, der sogenannten reductio ad absurdum [¹⁰ ]. Bei diesem Unmöglichkeitsbeweis gibt man keine stichhaltigen Argumente dafür an, wieso diese beiden Seiten nicht im Verhältnis zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden können, als vielmehr, dass es absurd wäre, dies anzunehmen.

„Aristoteles schreibt in seinen ,Analytica priora’ über die reductio ad absurdum: ,Immer wenn man etwas durch die Unmöglichkeit erhärtet, schließt man zwar auf Falsches, weist aber damit das, was ursprünglich zur Erörterung steht, aus der Voraussetzung nach, wenn bei Annahme seines kontradiktorischen Gegenteils etwas Unmögliches folgt. So zeigt man zum Beispiel die Inkommensurabilität der Diagonale daraus, dass bei Annahme ihrer Kommensurabilität ungerade Zahlen geraden gleich werden.’“¹¹

Dieser Beweis für die sogenannte Irrationalität von V2 hatte weitreichende Folgen, nicht nur für die Pythagoreer und deren Weltbild, sondern vor allem auch für die Mathematik. Schließlich war es der erste Beweis für die Existenz solcher Zahlen, die von den Pythagoreern daraufhin als alogon oder unausprechlich bezeichnet wurden. Irrationale Zahlen besitzen die Eigenschaft nicht durch das Verhältnis zweier ganzer Zahlen m und n, also in der Form m/n, darstellbar zu sein.

Ihre Dezimalbruchentwicklung ist unendlich lang und verhält sich von keiner Stelle an periodisch. Der Beweis für die Irrationalität von V2 wurde von allen Mathematikern der damaligen Zeit akzeptiert und man war auch eifrig bemüht, ihn zu verallgemeinern, so dass auch ohne große Mühe die Irrationalität von Vn, sofern n kein vollständiges Quadrat ist, gezeigt werden konnte.[¹² ]

3. Irrationale Zahlen und ihr Vorkommen in geometrischen Grundfiguren

Weshalb gibt es irrationale Zahlen? Weil es absurd wäre, wenn wir annehmen würden, es gäbe sie nicht. Genau dies ist die Schlussfolgerung aus der indirekten Beweisführung der reductio ad absurdum. Für unseren Verstand ist etwas Unendliches einfach nicht vorstellbar. Versuchen wir uns nur einmal am Beispiel der Zahl V2 die Tatsache vorzustellen, dass sich wieder eine natürliche Zahl, die Zahl 2, ergibt, wenn wir diese unendlich lange Zahl mit ihr selbst multiplizieren. Die Begründung für die

Existenz solcher Zahlen scheint fernab jenseits der Unendlichkeit zu liegen; für uns während unseres Seins in der Materie nicht ergründbar.

Das Quadrat ist nicht die einzige geometrische Grundfigur, in der solch eine Zahl vorkommt. Zum Beispiel ist die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks von V3 abhängig. Die harmonisch wirkende Form des Pentagramms ist auf den Goldenen Schnitt zurückzuführen, der seinerseits aufgrund des Auftretens der Zahl V5 ebenfalls eine irrationale Zahl ist. Bei einer anderen geometrischen Figur, dem Kreis, war jedoch alles schon immer ganz anders. Obgleich seines äußerst simpel und perfekt wirkenden Auftretens, verbirgt sich eine unglaubliche Komplexität in seiner Verhältniszahl, der wohl allseits bekannten Kreiszahl π. Obwohl manche der Fragen, die sie aufwarf, im Laufe der Zeit beantwortet werden konnten, ist sie immer noch ein Mysterium für sich, in deren tiefste philosophische Abgründe wir uns stürzen, sobald wir nur anfangen uns mit ihr auseinanderzusetzen und über sie nachzudenken.

4. Die Kreiszahl π

„Die Zahl π zu erforschen bedeutet, das Universum zu erforschen.“[¹³ ]

4.1 Definition:

Die Zahl π ist auf zwei verschiedene Arten geometrisch definiert. Einerseits ist sie das Verhältnis vom Umfang eines Kreises zu seinem Durchmesser und andererseits ist sie auch das Verhältnis vom Flächeninhalt eines Kreises zum Quadrat seines Radius. Dadurch ergeben sich die beiden bekannten Formeln U = dπ = 2ra und A = πΕ.

4.2 Irrationalität

Wie ich schon erwähnte, dauerte es ziemlich lange, bis manche Fragen über diese Zahl beantwortet werden konnten. So war es auch mit der Irrationalität. Erst durch die Fortschritte der Analysis im 17. und 18. Jahrhundert gelang es dem deutschen Mathematiker Johann Heinrich Lambert (1728-1777) im Jahre 1761 erstmals einen Beweis für die Irrationalität von π, der übrigens auch auf der reductio ad absurdum beruht, anzugeben.

Ferner gelang es dem französischen Mathematiker Adrien Marie Legendre (1752 - 1833) den Beweis zu vereinfachen und sogar zu zeigen, dass auch π2 eine irrationale Zahl ist.[¹⁴ ]

Aufgrund der Tatsache, dass der Beweis für die Irrationalität von π komplexer ist als der Beweis für die Irrationalität von V2, lässt sich sagen, dass, obwohl beide irrational sind, die Zahl π wohl eine kompliziertere Beschaffenheit aufweisen muss als die Zahl V2. Dass dem so ist wird deutlich, wenn man die Kettenbruchentwicklung dieser beiden Zahlen betrachtet.

4.3 Kettenbruchentwicklung

„Kettenbrüche sind eine eindeutige Darstellungsform der reellen Zahlen. Ein Kettenbruch ist definiert als ein Bruch [nebenstehenden] Form. ao ist dabei eine ganze Zahl und a1, a2, ... sind natürliche Zahlen ungleich 0. Eine alternative Schreibweise für Kettenbrüche ist [a0; a1, a2, ...].“[¹⁵ ] [16] Ein einfaches Beispiel zur Verdeutlichung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In der alternativen Schreibweise ist 13/5 = [2;1,1,2].

Wie wir sehen, lassen sich rationale Zahlen als endliche Kettenbrüche darstellen. Konsequenterweise stellen unendliche Kettenbrüche irrationale Zahlen dar. Diese Kettenbrüche können entweder periodisch oder nichtperiodisch sein. Genau hier liegt der Unterschied zwischen den beiden Zahlen V2 und π. Die Zahl V2 kann nämlich durch den periodisch unendlichen Kettenbruch der Form [1;2,2,2,..] und π durch den nichtperiodisch unendlichen Kettenbruch [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,...] dargestellt werden. Doch woraus ergibt sich der Unterschied, der für den oben beschriebenen Effekt verantwortlich ist?

Der Unterschied liegt in der Tatsache begründet, dass es zwei verschiedene Arten von irrationalen Zahlen gibt. Die einen, zum Beispiel V2, sind sogenannte algebraische Zahlen, während diejenigen Zahlen, die nicht algebraisch sind, transzendent genannt werden.¹⁶

3.4 Transzendenz

Eine Zahl heißt transzendent, wenn sie nicht Nullstelle eines endlichen Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist. Dass V2 demnach keine transzendente Zahl sein kann, wird leicht verständlich, wenn man sich die Tatsache bewusst macht, dass sie Nullstelle der Gleichung x2 - 2 = 0 ist.

Der Beweis für die Transzendenz von π wurde im Jahre 1882 vom deutschen Mathematiker Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852 - 1939) erbracht.

Man muss sich klar machen, was der Beweis impliziert, da er, wie wir im nächsten Kapitel noch sehen werden, von erlösender Bedeutung für die Mathematiker der damaligen Zeit war. Da keine noch solange Formel, in der Potenzen von π und elementare Operationen vorkommen, jemals gleich Null sein kann, ist π nicht endlich definierbar. Mit anderen Worten, man wird niemals einen endlichen Ausdruck finden können, der genau π entspricht.[¹⁷ ]

Die Transzendenz sorgt also für die Unperiodizität der Kettenbruchentwicklung einer irrationalen Zahl. Dies bedeutet aber nicht zwangsläufig, dass kein System hinter ihr stecken kann. Betrachtet man nämlich die Kettenbruchentwicklung der ebenfalls irrationalen und transzendenten Zahl e, so wird das Muster, welches sich hinter ihr verbirgt, sofort deutlich. e = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,...].

Im Gegensatz zu e konnte bei π jedoch noch keine Regelmäßigkeit in der Kettenbruchentwicklung gefunden werden.[¹⁸ ] Muss es aber nicht irgendein System hinter π geben, oder sind die Zahlen alle rein zufällig? Wie wäre dies aber möglich, wenn sie doch fest determiniert ist?

5. Die Quadratur des Kreises

Die Quadratur des Kreises ist eines der drei berühmten unlösbaren klassischen Probleme der antiken Mathematik[¹⁹ ]. Die Aufgabe besteht darin, nur mit einem Zirkel. und einem unbeschriftetem Lineal in einer endlichen Anzahl von Konstruktions­schritten ein Quadrat mit dem Flächeninhalt eines gegebenen Kreises zu konstruieren Dieses Problem sollte Mathematiker über 23 Jahrhunderte lang mit Besessenheit erfüllen, da einfach keine Lösung dafür gefunden werden konnte. Dennoch waren sie der Meinung, dass es eine Lösung geben müsse, und dass man auch eine finden würde, wenn man nur lange genug danach suchen würde. Wieso sollte es denn auch keine geben? Dies würde bedeuten, dass es von Natur aus unmöglich, um nicht zu sagen verboten, sei, die Figur eines Kreises exakt in die eines Quadrates zu transformieren. Also suchten sie unaufhaltsam weiter, fanden aber auf dem Wege der geometrischen Argumentationsmöglichkeiten keinen Anhaltspunkt weder für, noch gegen ihre Lösbarkeit. Ihre Hoffnung auf eine Lösung wurde wohl vor allem von der Tatsache genährt, dass durch Kreisbögen begrenzte Flächen, sogenannte Möndchen [²⁰ ], quadrierbar sind. Hippokrates von Chios (5. Jahrhundert v. Chr.) war der erste, dem solch eine Quadratur gelang.

5.1 Die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises

Es dauerte lang, bis endlich Licht in die Dunkelheit der Unwissenheit trat und ihre Unlösbarkeit bewiesen werden konnte. Zur Klärung des Problems mussten sich die Mathematiker erst von den Fesseln, die ihnen die Geometrie aufzwang, befreien. Im Laufe dieses Prozesses zeigte sich, dass ein Zusammenhang zwischen Geometrie und Algebra existiert. Dieser liegt darin, dass mit Zirkel und Lineal nicht nur Punkte, sondern auch Zahlen, konstruiert werden können.[²¹ ]

5.1.1 Konstruierbare Zahlen

All diejenigen Zahlen, die in einer endlichen Anzahl von Konstruktionsschritten durch die alleinige Verwendung von einem Zirkel und einem unbeschriftetem Lineal, auf der reellen Zahlengerade, von welcher nur die Zahlen 0 und 1 als Basis bekannt sind, markiert werden können, bilden den Körper der konstruierbaren Zahlen. Hierbei darf mit dem Lineal eine Gerade durch zwei bereits gegebene Punkte gelegt werden und mit dem Zirkel kann ein Kreis gezeichnet werden, bei dem der Mittelpunkt ein konstruierter Punkt und der Radius gleich dem Abstand vom Mittelpunkt zu einem weiteren bereits konstruierten Punkt sein muss.

Durch einfache geometrische Überlegungen[²² ] kann man zeigen, dass alle Zahlen, die sich aus den vier Grundrechenarten und den Quadratwurzeln bilden lassen, konstruierbar sind. Die Grundlage für die Beweise, dass alle drei Probleme unlösbar sind, bildete die Erkenntnis, dass es außer den oben erwähnten Zahlen keine weiteren konstruierbaren Zahlen gibt. Dies hängt damit zusammen, dass Geraden Gleichungen ersten Grades[²³ ] und Kreise Gleichungen zweiten Grades[²⁴ ] entsprechen.

Konstruierbare Punkte beziehungsweise Zahlen ergeben sich dadurch entweder als Schnittpunkte zweier Geraden, Schnittpunkte einer Gerade und eines Kreises, oder als Schnittpunkte zweier Kreise und sind damit entweder Lösung einer Gleichung ersten oder zweiten Grades. Der Beweis hängt jedoch mit weiteren größeren und komplexeren Teilgebieten der Mathematik, nämlich der Körper- und der nach Evariste Galois benannten Galoistheorie, die sich mit der Lösbarkeit von Gleichungen beschäfftigt, zusammen, so dass ich im Rahmen dieser Arbeit nicht näher darauf eingehen möchte.

Das Problem der Quadratur des Kreises konnte nun in der algebraischen Sprache exakt definiert werden und dadurch auch gelassen eine negative Antwort in Betracht gezogen werden. Das Problem lautete nun: Man finde einen endlichen algebraischen Ausdruck, der durch Zuhilfenahme der elementaren Rechenoperationen und des Quadratwurzelziehens genau ^π entspricht.[²⁵ ]

5.1.2 Die Folgen der Transzendenz

Bei diesem langen erleuchtenden Prozess sprach Ferdinand von Lindemann das letzte Wort. Erinnern wir uns noch einmal, was die Transzendenz der Zahl π bedeutet. Keine noch so lange Formel, in der Potenzen von π und elementare Rechenoperationen auftreten, kann jemals gleich Null sein. Die Zahl π ,und damit auch ^π, ist nicht endlich definierbar. Für eine Lösung der Quadratur des Kreises müssten wir ^π durch einen endlichen Ausdruck, wenn nötig durch die Zuhilfenahme der Quadratwurzeln, exakt beschreiben. Lindemann bewies, dass dies nicht möglich ist, woraus folgt, dass die Quadratur des Kreises nur mit Zirkel und Lineal unmöglich ist.

5.2 Lösungsversuch durch die Quadratrix des Hippias

Wie ich schon erwähnte, setzten sich die Griechen der klassischen Antike im Allgemeinen zwei Prämissen zur gültigen Lösung des Problems der Quadratur des Kreises. Sie muss erstens in einer endlichen Anzahl an Konstruktionsschritten und zweitens durch alleinige Verwendung eines Zirkel und eines unmarkiertem Lineal als Hilfsmittel realisierbar sein. Wir wissen nun, dass es unter diesen Voraussetzungen unmöglich ist, eine exakte Lösung anzugeben. Sobald jedoch auf eine dieser beiden Einschränkungen verzichtet wird, sind zahlreiche Lösungen möglich.

Im Jahre 335 v. Chr. schlug Dinostratos eine erste Lösung für die Quadratur des Kreises vor, die auf der Zuhilfenahme eines weiteren Hilfsmittels, der sogenannten Quadratrix des Hippias, beruht und deshalb, obwohl die Quadratur gelingt, nicht als eine gültige Lösung des Problems angesehen wird.[²⁶ ]

5.2.1 Definition der Quadratrix des Hippias

Die Quadratrix ist eine sogenannte kinematische Kurve, die um 480 v. Chr. vom griechischen Philosophen Hippias von Elis entdeckt und in die griechische Geometrie eingeführt wurde. Sie wurde nicht nur zur Lösung der Quadratur des Kreises, sondern auch zur Lösung des Problems der Dreiteilung eines Winkels verwendet, weshalb sie auch unter dem Namen Trisectrix bekannt ist.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Quadratrix lässt sich aus der Kombination zweier Bewegungen erzeugen, die mit konstanter Geschwindigkeit verlaufen, gleichzeitig beginnen und enden. Man stelle sich einen Punkt L vor, der den Viertelkreisbogen AP mit konstanter Winkelgeschwindigkeit durchläuft, während sich eine zu OP parallele Gerade d von A nach O bewegt. Die sich aus den Radien OL und den Geraden d ergebenden

Schnittpunkte M bilden die Quadratrix. Der Punkt Q ist allerdings nicht konstruierbar, da an dieser Stelle der Radius OL auf der Geraden d liegt und dadurch kein Schnittpunkt existieren kann. Er ergibt sich nur aus dem Grenzübergang, wenn der Winkel θ gegen 0 strebt.[²⁷ ]

5.2.2 Der Satz von Dinostratos und die Quadratur des Kreises

Dinostratos erkannte, dass das Verhältnis zwischen der Länge der Strecke AB und der Länge der Strecke OQ der Kreiszahl π entspricht. Diese Erkenntnis bildete die Grundlage für den Lösungsversuch der Quadratur des Kreises. Dinostratos kennzeichnete den Radius r eines Kreises als mittlere Proportionale zwischen dem Viertelkreisbogen und der Strecke OQ seiner dazugehörigen Quadratrix. Daraus ergibt sich die Möglichkeit, durch den Strahlensatz eine Strecke s zu konstruieren, die der Länge des Viertelkreisbogens entspricht. Dies ist die Grundlage dafür, den Kreis in ein flächengleiches Rechteck zu transformieren, welches wiederrum durch den Höhensatz des Euklids in ein flächengleiches Quadrat umgewandelt werden kann.[²⁸ ] Diese kurze Schilderung des Lösungsversuchs wird leicht verständlich, sofern man den Beweis im Anhang auf den Seiten 22 und 23 betrachtet. Aus zwei Gründen kann der Lösungsversuch jedoch nicht als gültige Lösung aufgefasst werden. Die Quadratrix wird erstens, wie ich schon am Anfang dieses Kapitels erwähnte, als ein weiteres Hilfsmittel neben dem Zirkel und dem Lineal betrachtet und zweitens ergibt sich der Punkt Q, der ja so enorm wichtig ist für diesen Lösungsvorschlag, nur durch einen Grenzübergang, da es an dieser Stelle keinen Schnittpunkt geben kann.

6. Die Berechnung der Zahl π

6.1 π in Babylonien und Ägypten

Die ältesten bekannten Werte für π stammen von den Babyloniern und Ägyptern. Die Babylonier verwendeten vor ungefähr 4000 Jahren den Wert π = 3 + 1/8. Sie erhielten ihn vermutlich durch eine Abschätzung für das Verhältnis zwischen dem Umfang eines Kreises mit Radius 1 und dem Umfang eines einbeschriebenen regulären Sechsecks, der bekanntlichermaßen das Dreifache des Durchmessers seines umbeschriebenen Kreises ist. Die Ägypter entwickelten ein interessantes Verfahren, das in dem 1855 entdeckten und im British Museum aufbewahrten Papyrus Rhind gefunden wurde. Das Verfahren, das auf etwa 1800 v. Chr. datiert wird, lautet: „Substrahiere vom Durchmesser ein Neuntel desselben und multipliziere das Ergebnis mit sich selbst.“[²⁹ ]

Diese Rechnung impliziert für π den Wert π = (16/9)2. Es ist jedoch nicht bekannt, wie sie auf dieses bemerkenswert einfache Verfahren gekommen sind, und ob sie sich der Tatsache bewusst waren, das es sich hierbei nur um einen Näherungswert handelte.[³⁰ ] Aufgrund der Tatsache, dass π nicht endlich definierbar ist, kann es immer nur Näherungen für diese Verhältniszahl geben. Seit nun mehr als 2000 Jahren haben sich Mathematiker viele Gedanken darüber gemacht, wie man diese Zahl genauer berechnen kann. In diesem Punkt gelang es dem berühmten Mathematiker, Physiker und Ingenieur Archimedes von Syrakus (287 - 212 v. Chr.) unser Wissen über die Zahl π entscheidend voranzubringen.

6.2 Archimedes von Syrakus und die Exhaustionsmethode

6.2.1 Archimedes von Syrakus

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Archimedes von Syrakus gilt als einer der bedeutesten Mathematiker aller Zeiten. Zum Beispiel nahm er mit seinen Infinitesimalmethoden die Erfindung der Differential- und Integralrechung durch Leibnitz und Newton um etwa 2000 Jahre vorweg. Er gilt auch als der Entdecker der Hebelgesetze. Nach Pappos wird ihm daher folgender Ausspruch zugeschrieben: „Gib mir einen Punkt, auf dem ich stehen kann, und ich bewege die Erde!“. Ihm wird außerdem zugeschrieben, das Prinzip des Auftriebs entdeckt zu haben. Angeblich soll ihm vom Tyrannen Hieron II die Aufgabe gestellt worden sein, den Goldgehalt einer Krone zu bestimmen, ohne sie dabei zu beschädigen. Nachdem Archimedes tagelang an diesem Problem verzweifelte, soll er eines Nachmittags, als er gerade ein Bad nahm, plötzlich festgestellt haben, dass das Badewasser über den Rand schwappte. Dies war die Lösung des Problems. Sofort lief er „Heureka“ (Ich hab’s) rufend durch die Straßen von Syrakus. Dadurch fand er nämlich eine Möglichkeit, die Dichte eines Körpers zu bestimmen. Diese Erkenntnis sollte allerdings sehr zum Leidwesen des Goldschmiedes sein.

Ferner wurde er durch seine Mithilfe an der Verteidigung des Stadtstaates Syrakus gegen die römische Belagerung im zweiten Punischen Krieg (218 - 201 v. Chr.) bekannt. Ihm wird nachgesagt, die Römer mit seinen Kriegsmaschinen praktisch eigenhändig aufgehalten zu haben. Zu den Kriegsmaschinen zählte zum Beispiel der sogenannte Greifer des Archimedes. Diese Erfindung sollte es ermöglichen feindliche Boote zu packen und in Stücke zu reissen. Die Abwehr der römischen Armee gelang jedoch nur für drei Jahre. Archimedes starb noch während der Eroberung. Der Legende nach soll er, wieder einmal tief in geometrische Überlegungen versunken, geometrische Konstruktionen in den Sand vor seinem Haus gezeichnet haben. Als ein römischer Soldat vorbeikam, der ihn vielleicht gefangen nehmen wollte, herrschte ihn Archimedes nur an: „Störe meine Kreise nicht!“. Dies soll den Soldaten so erzürnt haben, dass er den mittlerweile alten Archimedes einfach erschlug.[³¹ ] Doch wie ich schon erwähnte, brachte er auch das Wissen über die Zahl π entscheidend voran. In seinem Buch „Über Kreismessung“ beginnt er mit dem Beweis, dass sich der Umfang eines Kreises zu seinem Durchmesser genauso verhält wie die Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius. Vor allem aber entwickelte er das erste Verfahren, das es rein theoretisch gestattete, die Zahl π mit beliebiger Genauigkeit zu berechnen.[³² ]

6.2.2 Die Exhaustionsmethode

6.2.2.1 Das Prinzip der Exhaustionsmethode

Das Prinzip der Exhaustionsmethode (lat. exhaurire: ausschöpfen) des Archimedes besteht darin, den Kreisumfang durch ein- und umbeschriebene reguläre Vielecke einzuschachteln. Mit wachsender Seitenzahl nähert sich der Umfang der individuellen Vielecke immer mehr dem des Kreises an. Dadurch entsteht eine zweiseitige Annäherung - von innen und von außen. Aufgrund der Tatsache, dass der Umfang eines Kreises das Produkt aus dem Durchmesser des Kreises und der Kreiszahl π ist, stellt diese Methode ein Verfahren zur Berechnung der Zahl π dar. Durch die Verwendung zweier Polygone mit 96 Seiten kam er zu dem Schluss, dass die Zahl π zwischen 223/71 und 22/7 liegen muss. Oder anders ausgedrückt: 3,1408 < π < 3,1429. Ihm gelang es also durch diese Methode die ersten beiden Nachkommastellen dieser unendlich langen Zahl exakt zu berechnen. Seine Rechnungen basierten allerdings auf rein abstrakten geometrischen Überlegungen und Rechnungen. Erwähnt sei nämlich, dass er zur Durchführung seiner Rechnungen nicht unser Positionssystem benutzte. Außerdem stand zu dieser Zeit noch gar keine algebraische Schreibweise zur Verfügung und um seine oben genannte Abschätzung zu bekommen, musste er bei jedem Schritt Quadratwurzeln mittels kleinerer beziehungsweise größerer Werte bestimmen.[³³ ] Im Folgenden möchte ich ein modernes Algorithmusverfahren dieser Methode darstellen.

6.2.2.2 Definition Algorithmus

„Ein Algorithmus ist eine genau definierte Berechnungsvorschrift zur Lösung eines Problems oder einer bestimmten Art von Problemen. Ein Algorithmus wird durch eine endliche Menge von Regeln definiert, die nacheinander angewendet und oft nach bestimmten Bedingungen wiederholt werden.“[³⁴ ] Der Algorithmus zur Exhaustionsmethode beruht auf dem Prinzip der Iteration.

6.2.2.3 Definition Iteration

„Iteration (lat. iterare: wiederholen) (...) bezeichnet eine Methode, sich der Lösung eines Rechenproblems schrittweise, aber zielgerichtet anzunähern. Sie besteht in der wiederholten Anwendung desselben Rechenverfahrens. Meist iteriert man mit Rückkopplung: Die Ergebnisse eines Iterationsschrittes werden als Ausgangswert des jeweiligen nächsten Schrittes genommen.“[³⁵ ]

6.2.2.4 Algorithmus zur Exhaustionsmethode

Augsangspunkt für den Algorithmus[³⁶ ] sind zwei gleichseitige Dreiecke, eines ist dem Kreis einbeschrieben, das andere umbeschrieben. Sie besitzen eine für dieses Verfahren wichtige Eigenschaft. Die Mittelsenkrechten, Winkelhalbierenden und die Seitenhalbierenden, auch Schwerlinien genannt, schneiden sich nämlich alle in einem Punkt. Dieser Punkt ist daher zugleich der Mittelpunkt des Um- und des Inkreises, sowie auch der Schwerpunkt dieser beiden Dreiecke. Aufgrund der Tatsache, dass der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilt, kann der Satz des Pythagoras allein abhängig vom Radius des Kreises zur Berechnung der Seitenlänge des einbeschriebenen Dreiecks verwendet werden. Für die Berechnung der Seitenlänge des umbeschriebenen Dreiecks ergibt sich aufgrund der Ähnlichkeit zum einbeschriebenen Dreieck die Möglichkeit, den Strahlensatz anzuwenden. Da nun der Umfang des ein- und umbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks berechnet werden kann, ist die erste Einschachtelung von unten und von oben möglich. Nun wird die Seitenanzahl erhöht, um ein genaueres Ergebnis zu bekommen. Die Erhöhung der Seitenanzahl geschieht durch Verdoppelung, da dadurch weitere geometrische Eigenschaften ausgenutzt werden können. Die drei neuen Ecken des einbeschriebenen Dreiecks ergeben sich aus den Schnittpunkten der Mittelsenkrechten mit dem Kreisbogen. Dieses Verfahren wird bei jedem Schritt von neuem für die Verdoppelung der Seitenanzahl des einbeschriebenen Vielecks verwendet. Die Ecken des umbeschriebenen Vielecks ergeben sich aus den Schnittpunkten der Tangenten, deren Berührpunkte die Ecken des nächstgrößeren einbeschriebenen Vielecks sind. Die Seitenlängen der einbeschriebenen Polygone ergeben sich jeweils aus dem Satz des Pythagoras, der in den jeweiligen Teildreiecken angewendet wird und neben dem Radius des Kreises von der Seitenlänge des vorherigen Polygons abhängig ist. Die Seitenlängen der umbeschrieben Polygone lassen sich dann wiederrum mit Hilfe des Strahlensatzes als ein Vielfaches der Seitenlänge des einbeschriebenen Polygons berechnen. Jeder nächste Schritt ist also von der Seitenlänge des vorherigen einbeschriebenen Vielecks abhängig - Iteration mit Rückkopplung.

Durch dieses Verfahren kann man also theoretisch den Umfang eines Polygons mit beliebig großer Seitenanzahl berechnen und dadurch den Kreisumfang beliebig genau von unten und von oben einschachteln. Wählt man r = U, dann entspricht der Umfang des Kreises der Kreiszahl π. Dies ergibt sich aus U = 2rn. Mit wachsender Seitenzahl kann man also theoretisch π beliebig genau berechnen, da die Ergebnisse mit wachsender Seitenzahl immer genauer werden.

Zum Beispiel verwendete Ludolph van Ceulen (1593 - 1610), Professor der Mathematik an der Universität Leiden, die Methode des Archimdes, um die Dezimalstellen der Zahl π zu berechnen. Mit Hilfe eines Vielecks von 60 χ 233 Seiten gelang es ihm im Jahre 1596 20 Dezimalen von π zu berechnen. Diesen damaligen Rekord sollte er 1609 sogar noch auf 34 Stellen erweitern. Er äußerte die Bitte die Dezimalen auf seinen Grabstein zu meißeln, der leider im 19. Jahrhundert zerstört wurde. Zu Ehren dieser Leistung wurde die Zahl π in Deutschland auch als Ludolphsche Zahl bezeichnet.[³⁷ ]

6.3 Die Rekordjagd

Durch die Entstehung der modernen[³⁸ ] Analysis gelang es Mathematikern, neue Definitionen für die Zahl π zu finden. Die gefundenen Formeln waren von nun an rein arithmetisch. Es handelte sich hierbei nun um unendliche Produkte, unendliche Summen und unendliche Brüche. Mit all diesen Formeln konnte die Zahl π effizienter berechnet werden. Doch wo liegt der Sinn für die Berechnung weiterer Dezimalen, wenn doch 30 Nachkommastellen für alle nur denkbaren Anwendungen ausreichen? Dies liegt in dem Glauben begründet, dass sich ein System hinter der Zahl π verbergen muss. Anfangs suchten Mathematiker noch nach einer Periodizität in ihren Dezimalstellen. Sie hofften also darauf, dass π eine rationale Zahl ist. Die Quadratur des Kreises wäre somit ohne Probleme möglich gewesen. Doch wie wir bereits wissen, bewies Johann Heinrich Lambert im Jahre 1761, dass dem nicht so ist. Zu diesem Zeitpunkt waren schon über 100 ihrer unendlich vielen Dezimalen berechnet. Aufgrund des technologischen Fortschritts des 20. Jahrhunderts und der daraus resultierenden Entwicklung und Verwendung des Computers, entstand ein gnadenloser Wettkampf um die Vormachtstellung als Rekordhalter für die Berechnung der Dezimalen der Zahl π.

Dabei konkurrierten in den letzten 15 Jahren vor allem die ukrainischen Chudnovsky Brüder mit dem letztenendes siegreicheren japanischen Professor Yasumasa Kanada. Die dabei erzielten Rekorde bewegen sich in Zahlenbereichen, die für den menschlichen Verstand gigantisch wirken, jedoch aufgrund der unendlichen Länge der Zahl π von noch unvorstellbarer Bedeutungslosigkeit sind. Der letzte, allerdings noch nicht verifizierte, Rekord des Japaners liegt bei 1,2411 Billionen (!) Stellen hinter dem Komma. Wir befinden uns hierbei in Größenrelationen, die letztendlich nur mit den unendlichen unerreichbaren Weiten des Universums vergleichbar sind.

7. Auf der Suche nach einem System hinter der Kreiszahl π

Die Zahl π ist sicherlich eine der faszinierendsten, wenn nicht sogar die faszinierendste Zahl, unseres Kosmos. Seit mehreren Jahrtausenden sorgt sie nun schon für Verwunderung. Die Menschheit hat in den letzten Jahrhunderten ständig neues Wissen über diese Zahl angehäuft und sich schließlich gefragt, welch ein System wohl hinter dieser Zahl stecken könnte. So begannen sie also, längst fernab irgendeiner praktischen Bedeutung, immer mehr und mehr ihrer Dezimalen zu berechnen. Sie hofften zunächst, eine Periode in ihr finden zu können. Nachdem jedoch ihre Irrationalität bewiesen wurde, mussten sie nach einem anderen, wohl komplexeren, System suchen. Über die Kettenbruchdarstellung gelang es, wie ich schon im vierten Kapitel erwähnte, die ebenfalls irrationale Zahl V2 periodisch auszudrücken. Selbst die nichtperiodisch unendlich lange Kettenbruchentwicklung der ebenfalls transzendenten Zahl e zeigt ein einfaches Muster. Wie ist es nun aber mit π? Mathematiker berechneten also nicht nur Millionen, sondern Milliarden von Dezimalstellen und untersuchten sie durch statistische Tests auf irgendwelche Besonderheiten. Niemals ist etwas Besonderes gefunden worden.

„Traten dennoch mitunter irgendwelche Eigentümlichkeiten auf, dann sind diese leider nie bestätigt worden - entweder weil die Dezimalen falsch waren, oder weil die betreffende Eigentümlichkeit verschwand, als man die Entwicklung weiterführte.“[³⁹ ] Statistische Untersuchungen an verschieden großen Intervallen der Dezimalstellen der Zahl π riefen, vom philosophischen Gesichtspunkt aus betrachtet, höchst interessante Fragen hervor. Es zeigte sich, dass die relativen Häufigkeiten der einzelnen zehn Ziffern stets nahe um den Wert 1/10 - also dem Wert der Einzelwahrscheinlichkeiten einer laplaceschen Zufallsverteilung mit zehn Elementen - schwankten.

„Jeder neue Test, wie sich wohl die Folge der Dezimalen von π verhält, führt zu dem stets gleichbleibenden Schluss, dass sie einer Folge ähnelt, deren Ziffern zufällig gezogen wurden. Diese Schlussfolgerung überrascht heute niemanden mehr, denn sie bestätigt nur die im Laufe der letzten Jahrzehnte immer wieder gefunden Ergebnisse.

Dennoch sind all diese Ergebnisse ganz und gar nicht offensichtlich und richten sich sogar gegen unser Verständnis von π.“[⁴⁰ ]

Zum Einen ist π eine vollständig determinierte Zahl und kann deshalb nicht zufällig sein; und zum Anderen gibt es gewisse andere Darstellungssysteme in denen sie nicht zufällig ist.[⁴¹ ] Doch überlegen wir uns einmal, was dies bedeuten könnte. Wären die Dezimalen der Zahl π wie nach Zufall verteilt, dann gäbe es aufgrund ihrer unendlichen Länge alle möglichen Zahlenfolgen. Solche Zahlen werden Zahlenuniversen genannt.[⁴² ] Dies könnte enorme Auswirkungen auf unser philosophisches Verständnis unseres Kosmos haben. Irgendwo in den Ziffern befänden sich alle digitalisierten Daten, die ja nichts anderes sind als Folgen von Ziffern. Darunter zum Beispiel Musik. Selbst ein digitalisierter Film über das eigene Leben könnte in ihr gefunden werden. Dieser Film würde nicht nur das tatsächliche Leben zeigen, sondern auch alle möglichen Ereignisse, die in diesem Leben eintreten könnten.[⁴³ ] Wörter können in Zahlensystemen codiert werden. Kämen alle möglichen Zahlenfolgen vor, wäre es letztenendes auch egal welch ein System dazu verwendet werden würde. Da Sätze aus vielen Wörtern und Bücher aus vielen Sätzen bestehen, könnte man jedes geschriebene Buch in den Dezimalen der Zahl π finden. Da Gedanken auf Sprache basieren, wäre π der Träger alles Denkbaren - des kompletten Gedankenguts aller Ebenen des Bewusstseins. Es scheint so, als verberge sich eine unendliche philosophische Tiefe des kosmischen Seins in dieser geheimnisvollen Kreiszahl π. Sie tritt dabei in so vielen Zusammenhängen der Natur und des Universums auf, dass es den Eindruck erweckt, alles um uns herum sei entweder auf ihr aufgebaut, oder von ihr abhängig. Überall sind Kreise, Kugeln, Kreisbewegungen, physikalische Gesetze, die von π abhängen. Ohne sie könnten wir gar nicht existieren. Wir können uns dieser Zahl nicht entziehen. Sie hat nie angefangen zu existieren. Zeit ist gar kein Maß in ihrer Welt. Sie ist mit den geometrischen Gesetzmäßigkeiten gleich ewig wie der Geist Gottes selbst.

8. Anhang

Beweis für die Irrationalität von V2 durch die reductio ad absurdum

Behauptung:

Die Diagonale d ist mit der Seitenlänge a eines Quadrates inkommensurabel, das heißt, dass beide nicht im Verhältnis zweier ganzer Zahlen m und n dargestellt werden können.

Indirektes Beweisverfahren nach der reductio ad absurdum[⁴⁴ ]:

Wir nehmen an, dass d und a kommensurabel seien. Demnach müsse es zwei Zahlen m und n derart geben, dass gilt: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Wir dürfen allerdings davon ausgehen, dass m und n nur die 1 als gemeinsamen Teiler haben, da wir den Bruch andernfalls einfach durch alle anderen Teiler kürzen würden. Für d und a gilt gemäß des Satzes des Pythagoras: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Aus (1) und (2) folgt nun, dass [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Aus der Tatsache, dass das Produkt einer Zahl mit 2 stets gerade ist, folgt, dass m2 gerade sein muss. Da das Quadrat einer geraden Zahl gerade und das Quadrat einer ungeraden Zahl ungerade ist, ist auch m gerade. Da nun m auch gerade ist, ist sie ebenfalls das Doppelte einer anderen Zahl p, so dass gilt: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Aus (3) und (4) folgt: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Hierraus ergibt sich analog zu m, dass auch n eine gerade Zahl sein muss.

Die Zahl n muss jedoch ungerade sein, da sich aus (3) ergibt, dass m eine gerade Zahl sein muss und sie laut Voraussetzung keinen gemeinsamen Teiler außer 1 haben dürfen. Es stellt sich heraus, dass n sowohl ungerade als auch geraden zugleich sein muss - eine Absurdität, da keine Zahl beides zugleich sein kann.

Betrachtet man die Folgerung aus (1) und (2) und die Schlussfolgerung des Beweises, so kann man erkennen, dass die Zahl V2 nicht durch das Verhältnis zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann - sie ist damit irrational.

Die Möndchen des Hippokrates

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Möndchen A4 und A5 ergeben sich aus den Thaleskreisen um die Seiten a,b und c. In dem Dreieck ABC gilt daher der Satz des Pythagoras: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Fläche des Dreiecks ABC:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Fläche A2 + A3:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Flächen A2 + A4 und A3 und A5:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Flächen der beiden Möndchen A4 und A5:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus dem Satz des Pythagoras folgt, dass [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist. Daraus folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die beiden Möndchen besitzen also die gleiche Fläche, wie das rechtwinklige Dreieck, über welches sie aufgespannt werden.

Beweis des Satzes von Dinostratos[⁴⁵ ]

Behauptung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Per Definition gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für die Länge des Viertelkreisbogens von A bis P gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Daraus folgt für die Länge des Kreisbogenausschnitts von A bis L:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für die Länge der Strecke AL’ gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Länge der Strecke AO ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch Einsetzen in (1) folgt: Kürzen und Stürzen der Gleichung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus dem Grenzübergang für θ ^ 0 folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Quadratur des Kreises durch den Satz von Dinostratos[⁴⁶ ]

Definitionen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus dem Satz von Dinostratos folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für das Verhältnis des Viertelkreisbogens zum dazugehörigen Radius gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Daraus folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch den Strahlensatz kann man eine Länge s konstruieren, die genauso lang ist wie der Viertelkreisbogen, woraus folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dadurch gelingt es den Kreis in ein Rechteck umzuwandeln:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch den Höhensatz des Euklids kann dieses Rechteck in ein Quadrat umgewandelt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Seitenkante h des Quadrats ist die Strecke DC. Der Punkt C ist der Schnittpunkt zwischen dem Lot auf die Strecke AB durch D und dem Thaleskreis um die Strecke AB. Die Quadratur des Kreises ist damit gelungen.

Algorithmus zur Exhaustionsmethode des Archimedes⁴⁷

Annäherung an den Umfang eines Kreises durch ein- und umbeschriebene reguläre Vielecke der Seitenzahl 3 x2n-1 mit n e N.

Annäherung durch einbeschriebene Viele[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

gleichseitiges Dreieck für n = 1 Schwerpunkt eines Dreiecks:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Satz des Pythagoras:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

reguläres Sechseck für n = 2

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

reguläres Zwölfeck für n = 3

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Rekursivformel für sn+i und un+i:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Annäherung durch umbeschriebene Viele:[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

gleichseitiges Dreieck für n = 1 Schwerpunkt eines Dreiecks: siehe einbeschriebene Vielecke Strahlensatz:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Seitenlänge eines umbeschriebenen regulären Vielecks:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Daraus folgt für den Umfang:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zweiseitige Abschätzung für π

Wählt man den Radius r = кг, dann ist der Umfang eines Kreises gleich der Zahl π.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zweiseitige Abschätzung durch ein- und umbeschriebene Vielecke mit r = 1/2 :

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Rekorde im Laufe der Zeit[47]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

9. Literaturverzeichnis

Literatur:

Delahaye J., π - Die Stroy, Berlin, Birkhäuser Verlag, 1999

Pickover, C., Die Mathematik und das Göttliche, Berlin, Spektrum Akademischer Verlag, 1999

Blatner, D., The joy of π, London, Penguin Books, 1997

Thiel, C., Elementare Logik Kurseinheit 1, Hagen, Fern Universität, 1983

e-books:

Hischer, H., Klassische Probleme der Antike - Beispiele zur „Historischen Verankerung“

Dr. Elsholtz, Kombinatorische Geometrie

Quellen aus dem Internet:

www.wikipedia.de

http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/archimedes.html

http://www.anderegg-web.ch/phil/archimedes.htm

http://www.welt.de/data/2004/11/15/360485.html7prxM

http://www.wiwi.uni-

bielefeld.de/StatCompSci/lehre/material_spezifisch/statalg00/historisch/histnet.html#SECTIO

N00061000000000000000

Quellen der Bilder und Graphiken:

Alex Grey „Nature of mind” (Cover): http://www.iol.ie/~ias/alexgrey/alexmind.gif

Nautilus-Muschel:

http://www.vision.caltech.edu/feifeili/101 ObjectCategories/nautilus/image 0026.jpg

Pythagoras: http://btmdx1.mat.uni-bayreuth.de/~rockstroh/pics/geschichte/pythagoras.gif

Johann Heinrich Lambert:

http://www.wetterwahnsinn.de/Images/lambert.jpg

Carl Louis Ferdinand von Lindemann:

http://www.math.univ-mulhouse.fr/Pi/LINDEMANN.JPG

Quadratrix des Hippias: „π - Die Story“ Seite 71

Archimedes: http://www.inria.fr/actualites/inedit/images/Archimedes.jpg

Greifer des Archimedes: http://www.anderegg-web.ch/phil/archimedes-greifer.gif

Chudnovsky Brüder: http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/Chudnovsky.gif

Yasumasa Kanada: http://www.cage.curtin.edu.au/~jfk/pics/kanada.gif

[...]

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^[1] Maximilian Cohen in Darren Aronofskys Film „π" vgl.: http://www.lupi.ch/PiSites/piINHALT.htm

^[2] Johannes Kepler, Harmonices Mundi, 1619 vgl.: http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrie (10.01.2005)

^[3] [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

^[4] Wie von Johannes Kepler festgestellt wurde, nähert sich der Quotient zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen dem Goldenen Schnitt Φ an. vgl.: http://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Zahlen (10.01.2005)

^[5] vgl.: „Die Mathematik und das Göttliche“ Seite 17

^[6] Ralph Estling, The Skeptical Inquirer siehe „Die Mathematik und das Göttliche“, Seite 31

^[7] Pythagoras siehe „Die Mathematik und das Göttliche“, Seite 47

^[8] vgl.: „Die Mathematik und das Göttliche“ Seite 38

^[9] Beweis siehe Anhang, Seite 20

^[10] „Zurückführung auf das Absurde“

^[11] vgl.: „Elementare Logik Kurseinheit 1“ Seite 42

^[12] vgl.: „Die Mathematik und das Göttliche“ Seite 48 und „π - Die Story“ Seite 178 - 183

^[13] David Chudnovsky siehe „π - die Story“, Vorwort Seite 9 (keine Seitenzahl angegeben)

^[14] vgl.: „π - Die Story“ Seite 184/185

^[15] vgl.: http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch (24.01.2005)

^[16] vgl.: http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch (24.01.2005)

^[17] vgl.: „π - Die Story“ Seite 194/195

^[18] vgl.: http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch (24.01.2005)

^[19] Quadratur des Kreises, Winkeldreiteilung und Würfelverdoppelung

^[20] siehe hierzu „Die Möndchen des Hippokrates“ im Anhang auf der Seite 21

^[21] vgl.: „π - Die Story“ Seite 186/188

^[22] Addition und Subtraktion durch An - bzw. Abtragen der Streckenlänge; Multiplikation und Division durch den Strahlensatz, Quadratwurzelziehen durch den Höhensatz des Euklid: h2 = pq A h = Vpq

^[23] allgemeine Form der Geradengleichung: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (siehe FS, Seite 41)

^[24] allgemeine Form der Kreisgleichung: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (siehe FS, Seite 41)

^[25] vgl.: „Kombinatorische Geometrie“ Seiten 1 - 4, im Anhang Seite 33 - 36

^[26] vgl.: „π - Die Story“ Seiten 69/71

^[27] vgl.: „π - Die Story“ Seite 71

^[28] vgl.: „Klassische Probleme der Antike - Beispiele zur Historischen Verankerung“ Seite 109 - 111, im Anhang Seite 37 - 41

^[29] vgl.: „π - Die Story“ Seite 66

^[30] vgl.: „π - Die Story“ Seite 64 - 66

^[31] vgl.: http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/archimedes.html , http://www.anderegg- web.ch/phil/archimedes.htm , http://de.wikipedia.org/wiki/Archimedes (24.01.2005)

^[32] vgl.: „π - Die Story“ Seite 72

^[33] vgl.: „π - Die Story“ Seite 72/75

^[34] vgl.: http://www.welt.de/data/2004/11/15/360485.html?prx=1 (23.01.2005)

^[35] vgl.: http://de.wikipedia.org/wiki/Iteration (23.01.2005)

^[36] siehe Beweisverfahren im Anhang auf den Seiten 24 und 25

^[37] vgl.: „π - Die Story“ Seite 79

^[38] siehe Tabelle zu Rekorden im Laufe der Zeit im Anhang auf der Seite 26

^[39] vgl.: „π - Die Story“ Seite 205

^[40] vgl.: „π - Die Story“ Seite 210

^[41] vgl.: „π - Die Story“ Seite 212/213

^[42] vgl.: „π - Die Story“ Seite 216

^[43] vgl.: „π - Die Story“ Seite 217

^[44] vgl.: „π - Die Story“ Seite 179

^[45] vgl.: „π - Die Story“ Seite 71

^[46] vgl.: „Klassische Probleme der Antike - Beispiele zur Historischen Verankerung“ Seite 109 - 111

^[47] vgl.: „π - Die Story“ Seite 147/148, „The joy of π“ Seite 56 - 59 und http://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl