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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik - Erklärungen zur Stochastik und alltägliche Statistiken

Facharbeit (Schule) 2004 24 Seiten

Mathematik - Stochastik

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Einführung in die Stochastik
1.1 Geschichte und Anfänge
1.2 Jakob Bernoulli

2. Begriffserklärungen
2.1 Zufällige Ereignisse
2.2 Was ist Stochastik?
2.3.1 Zufallsexperimente
2.3.2 Die mehrstufigen Zufallexperimente

3. Bernoulliversuche
3.1 Bernoulli-Experiment und Bernoulli-Kette

4. Die Statistik
4.1 Geschichte der Statistik und historische Kommentare
4.2.1 Was versteht man unter Statistik?
4.2.2 Darstellungsarten / beschreibende Statistiken an selbst gewählten Beispielen das Leipziger Alltags
4.2.3 Einige Umfragen in Statistiken umgesetzt

Ich werde versuchen ihnen die Themen Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik über verschiedene Begriffserklärungen, Darstellungsmöglichkeiten und teilweise auch mit historischen Hintergrundinformationen, auf eine anschauliche Art und Weise näher zu bringen. So hoffe ich, dass ein gründliches Studium der gesamten Informationen, zum besseren Verständnis, der Notwendigkeit von Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik in der Schule, führt.

1. Einführung in die Stochastik

1.1 Geschichte und Anfänge

Die erste schriftliche Dokumentation, des Wortes Stochastik befand sich in Platons Werk Philebos. Er lässt dort Sokrates sprechen:

„Wenn jemand von allen Fertigkeiten und Künsten die Rechenkunst, die Messkunst und die Kunst des Wägens wegnimmt, so bleibt, um es offen zu sagen, nur etwas übrig, was fast minderwertig ist[…]. Es bleibt nichts anderes übrig als ein Erraten, ein Schließen durch Vergleichen und ein Schärfen der Sinneswahrnehmung durch Erfahrung und eine gewisse Übung, wobei man die – Fähigkeiten des geschickten Vermutens benützt, die durch stete Handhabung und mühevolle Arbeit herangebildet werden.“

In den letzten 300 Jahren hat sich die Technik des Schätzens zu einer wissenschaftlichen Methode, der Stochastik, entwickelt. In dieser Methode sind die Statistik und die Wahrscheinlichkeitstheorie zusammengefasst. (Quelle 1)

Jakob Bernoulli schrieb im 17. Jahrhundert die erste sinnvolle Darstellung einer „Mutmassungskunst“, die er „Ars conjectandi sive stochastice“ nannte, in welcher er die Kunst, so genau wie möglich die Wahrscheinlichkeit der Dinge zu messen, erklärte. Obwohl er in seinem Werk auf die Arbeiten seiner Vorgänger aufbauen konnte, ging er weit über die Entwicklungen seiner Zeit hinaus. Für Bernoulli ist die „ Wahrscheinlichkeit ein Grad der Gewissheit“.

Die Begriffe der ersten Methoden dieser Wissenschaft entwickelten sich aus den Problemen der Glücksspiele. Der Aufschwung der Naturwissenschaften im 19. Jahrhundert machte den Aufbau der Wahrscheinlichkeitsrechnung über den Rahmen der Glücksspiele hinaus erforderlich. So wurden Gesetzmäßigkeiten zufälliger Ereignisse und Gesetzmäßigkeiten von Massenerscheinungen untersucht. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung bildet somit eine enge Verbindung zu vielen Teilbereichen der Naturwissenschaften, der Technik und der Ökonomie.

(Quelle 2)

1.2 Jakob Bernoulli

Die Schweizer Gelehrten Familie der Bernoullis ist eine der wenigen, die in vielen aufeinander folgenden Generationen bedeutende Persönlichkeiten hervorbrachte. Acht Mitglieder der Bernoullis waren Professoren für Mathematik, Physik und andere naturwissenschaftliche Zweige. Die Bernoullis stammten ursprünglich aus den protestantischen Verhältnissen ihrer niederländischen Vorfahren. Nach dem holländischen Befreiungskampf siedelte Jacob Bernoulli nach Basel. Sein Sohn Nikolaus gilt als Begründer des Erfolgs der Familie Bernoulli. Er war ein reicher Pharmazeut und gleichzeitig Ratsherr zu Basel. Nikolaus hatte drei Söhne: Jakob, Johann und Nikolaus. Nikolaus widmete sich der Kunst, während sich seine beiden Brüder mit der Wissenschaft beschäftigten.

Jakob Bernoulli wurde am 27.12.1654 in Basel geboren. Er studierte auf Wunsch seines Vaters Theologie und schon im Jahr 1671 wurde er Magister der Philosophie. Jakobs Liebe galt jedoch nicht der Theologie sondern der Mathematik. Während seines Studiums eignete er sich in einem Selbststudium mathematische Kenntnisse an. Nach seiner Abschlussprüfung 1676 reiste er sechs Jahre durch England, Holland, Frankreich, die Schweiz und durch Deutschland, und lernte bedeutende Naturforscher wie R. Boyle, J. Huddle und R. Hooke persönlich kennen.

1687 kehrte er nach Basel zurück um dort Vorlesungen über Experimentalphysik, insbesondere über Mechanik zu halten. Ab 1687 bis zu seinem Tod wurde ihm der Lehrstuhl für Mathematik an der Universität Basel übertragen.

Jakob Bernoulli zählt zu den bedeutendsten Mathematikern seiner Zeit. Er verfasste Arbeiten zur Analysis, zur Reihenlehre, zur Variationsrechnung und zur Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Bernoulli gilt als Begründer der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Disziplinen Variationsrechnung. Seine Erkenntnisse über Differential- und Integralrechnung erlangte er durch die Auseinadersetzung mit der Leibnizschen Infinitesimalrechnung. Sein Werk „Analysia magni problematici isopermetrici“ von 1701 gilt als erster Schritt zur Variationsrechnung.

„Die Stärke seiner wissenschaftlichen Leistung lag nicht im Aufbau weitreichender Theorien, sondern in der klugen Behandlung von Einzelproblemen durch tiefgründige Überlegungen und Einsichten in mathematischen Zusammenhängen.“

Jakob Bernoulli starb am 16.04.1705 in seiner Heimatstadt Basel. (Quelle 3)

2. Begriffserklärungen

2.1 Zufällige Ereignisse

Bevor ich den Begriff der Stochastik einführe, beschäftige ich mich mit den Grundbausteinen der Stochastik, den so genannten zufälligen Ereignissen.

Ergebnisse, die bei gegebenem Bedingungskomplex nicht streng determiniert sind, heißen zufällige Ereignisse. Solche Ereignisse sind zum Beispiel das Ergebnis Wappen beim Münzwurf, eine bestimmte Aufteilung der Karten beim Skatspiel oder die Feststellung des Intelligenzquotienten eines Kindes. Die Untersuchung der Gesetzmäßigkeiten, die bei den zufälligen Ereignissen wirken, bildet den Gegenstand der Wahrscheinlichkeitsrechnung. (Quelle 4)

2.2 Was ist Stochastik?

Stochastik bzw. Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein wichtiger Zweig in der Mathematik, der es ermöglicht, aus gegebenen Wahrscheinlichkeiten weitere zu berechnen. Ihren Ursprung hatte sie in Untersuchungen vieler verschiedener Glücksspiele. Im 19. Jahrhundert wuchs die Stochastik zu einer reichhaltigen Theorie heran. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist in vielen wissenschaftlichen Disziplinen unentbehrlich geworden, so z. B. in der statistischen Mechanik, Quantenmechanik und in der Statistik.

Anfangs steht ein Zufallsexperiment, zum Beispiel das Werfen eines Würfels, und die Frage nach den Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Ergebnisse des Experiments. Man nennt nun die Menge dieser möglichen Ausgänge den Ergebnisraum. Im Experiment wird sich jedoch meist nur für Ereignisse wie zum Beispiel Werfen einer geraden Zahl interessiert. Des Ergebnisraums beinhaltete Elemente treten also mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit auf; durch relative Häufigkeiten erfolgt oft die Bestimmung dieser Wahrscheinlichkeit: man führt das Experiment mehrmals durch und notiert, wie oft ein bestimmtes Ereignis eintritt; „dividiert man diese Zahl durch die Gesamtzahl der Versuche, erhält man eine gute Näherung für die gesuchte Wahrscheinlichkeit.“

Wenn man alle Ausgänge als gleich wahrscheinlich betrachten kann („idealer Würfel”, „ideale Münze”, ...), nennt man solche Versuche auch Laplace-Experimente (benannt nach Pierre Simon Laplace).

Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit:

Können im Ergebnis eines Versuchs n gleichmögliche Ereignisse eintreten und zieht das Auftreten eines von m dieser n Ereignisse, die als günstige Ereignisse bezeichnet werden, das Eintreten eines Ereignisses E nach sich, so ist die Wahrscheinlichkeit für dessen Eintreten

P(E)=m/n

Für die Wahrscheinlichkeit des Nichteintretens Q(E) eines Ereignisses gilt:

Q(E) = 1-P(E) ; Q(E) = 1-m/n

Beispiel:

Man betrachte die Wahrscheinlichkeit, eine sechs zu würfeln!

Wahrscheinlichkeit., dass es eintritt: P(E) = 1/6 (unwahrscheinlich)

Wahrscheinlichkeit, dass es nicht eintritt: Q(E) = 1-(1/6) = (5/6)

Additionsgesetz:

„Betrachtet man einander ausschließende Ereignisse, z. B. Werfen einer geraden Zahl und Werfen einer 3, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eines von beiden Ereignissen eintritt, gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten für die beiden Ereignisse.“

Beispiel: P(E) = (3/6) + (1/6) = (4/6)

Multiplikationsgesetz:

Wenn Ereignisse gleichzeitig eintreten, z. B. Werfen einer geraden Zahl und Werfen einer 2, dann „ist die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Auftreten beider Ereignisse gleich dem Produkt aus der Wahrscheinlichkeit des ersten Ereignisses mit der (bedingten) Wahrscheinlichkeit dafür, dass das zweite Ereignis eintritt, wenn das erste Ereignis schon eingetreten war.“

Beispiel:

Die Wahrscheinlichkeit für das Werfen einer geraden Zahl: (1/2)

Wenn man schon eine gerade Zahl geworfen hat, tritt das Ergebnis 2 in (1/3) der Fälle auf. Daraus lässt sich schließen, dass die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreten von Werfen einer geraden Zahl und Werfen einer 2 gleich

P(E) = (1/2) · (1/3) = (1/6)

ist.

(Quelle 5)

2.3.1 Zufallsexperimente

In den Naturwissenschaften, wie Mathematik, Biologie und Physik werden Erkenntnisse durch Experimente gewonnen und die daraus resultierenden Schlussfolgerungen durch Experimente überprüft. Dieses Verfahren wird auch in der Medizin, der Psychologie, der Soziologie und den Wirtschaftswissenschaften angewandt.

Bei vernünftigen Experimenten werden die Bedingungen, unter denen das Experiment durchgeführt werden soll, präzise festgelegt. Das Ergebnis dabei darf nicht schon davor feststehen. Man muss sich jedoch schon einen Überblick über den möglichen Ergebnisbereich verschafft haben. „Man kann sich in einer derartigen Situation auf den Standpunkt stellen, dass das auftretende Ergebnis vom Zufall bestimmt ist.“

In diesem Sinne nennt man diese Experimente auch Zufallsexperimente.

Bekannte Beispiele für Zufallsexperimente sind:

1. Der Würfelwurf

Wenn man das Experiment mehrfach nacheinander durchführt, ohne die Situationen der Würfel steht auf einer Kante oder der Würfel steht auf einer Ecke zu beachten, kann man das wirken des Zufalls besonders eindrucksvoll sehen.

In der Tabelle (Tab 9.1) auf der nächsten Seite sehen Sie die Ergebnisse von 1200 Würfelwürfen aufgezeichnet.

Tab 9.1 :

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2. Das Ziehen von Kugeln aus einer Urne

Diese enthält rote und schwarze Kugeln, von denen eine gezogen wird. Als mögliche Ergebnisse kommen dann in Frage „rot“ und „schwarz“.

Urnen sind besonders bei Losspielen beliebt.

(Quelle 6)

2.3.2 Die mehrstufigen Zufallsexperimente

1. Ziehen ohne Zurücklegen

Eine Urne ist mit 8 Kugeln gefüllt, davon sind 4 rot, 3 schwarz und eine grün. Ich entnehme der Urne eine Kugel und notiere die Farbe. Dies tue ich ein weiteres Mal und notiere ebenfalls die Farbe. Da die jeweils gezogene Kugel nicht in die Urne zurückgelegt wurde, nennt man diesen Vorgang ziehen ohne Zurücklegen.

Diagr 10.1

Die Ergebnisse dieses zweistufigen Experiments konnte man nun in einem Baumdiagramm darstellen. Das Diagramm muss zum zeichnen in seine Stufen zerlegt und die möglichen Teilergebnisse jeder Stufe notiert werden. Dabei ist zu beachten: „Die Teilergebnisse einer Stufe sind vom Teilergebnis der vorhergehenden Stufe abhängig.“ Deshalb kann zum Beispiel die grüne Kugel beim 2. Zug nicht mehr gezogen werden, wenn sie bereits beim 1. Zug gezogen wurde.

2. Ziehen mit Zurücklegen

Eine Urne ist mit 8 Kugeln gefüllt, davon sind 4rot, 3 schwarz und 1grün. Ich entnehme wieder zwei Kugeln, diesmal lege ich jedoch die Kugeln nach jedem Zug zurück in die Urne. Einen solchen Vorgang nennt man ziehen mit Zurücklegen. Die Teilergebnisse sind nun nicht mehr von den Teilergebnissen der vorhergehenden Stufe abhängig, da sich der Urneninhalt während des Experiments nicht ändert. (Quelle 7)

3. Bernoulliversuche

3.1 Bernoulli-Experiment und Bernoulli-Kette

Wenn ein Zufallsexperiment nur zwei mögliche Ergebnisse hat, wird das eine mit 1 für Treffer und das andere mit 0 für Niete bezeichnet. Damit ist Ω = {0;1} ein Ergebnisraum für ein solches Experiment.

Definition: „Ein Zufallsexperiment heißt Bernoulli-Experiment mit dem Parameter p wenn für seinen Wahrscheinlichkeitsraum gilt:

1. Der Ergebnisraum ist Ω = {0;1}.

2. P({1}) = p, das heißt, die Trefferwahrscheinlichkeit ist p.“

Wenn ein Zufallsexperiment mit zwei möglichen Ausgängen n-mal unter denselben Bedingungen durchgeführt wird, wobei die einzelnen Versuchsergebnisse sich gegenseitig nicht beeinflussen sollen, so kann man davon ausgehen, dass es sich dabei um ein Bernoulli-Experiment handelt.

Einige Beispiele zum Auftreten von Bernoulli-Experimenten sind:

- der n- fache Würfelwurf mit Fünf als Treffer
- Geburten in einer Klinik mit Jungen als Treffer
- der n -fache Münzenwurf mit Wappen als Treffer

Definition: „ Ein Zufallsexperiment heißt Bernoulli-Kette der Länge n mit dem Parameter p, wenn für seinen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) gilt:

1. Ω = {0,1}ˆn = Menge aller n -Tupel*¹ aus {0,1}.

2. Ist ω ein n -Tupel mit genau k Einsen, so ist [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

d.h., die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Serie mit genau k Treffern ist[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]“

Beispiel: Prüflingen werden bei einem Test 4 von einander unabhängige Fragen mit je 3 Antworten, von denen jeweils nur eine richtig ist, vorgelegt. Wenn sie 2 aufeinander folgende Fragen richtig beantworten gilt der Test als bestanden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht ein Kandidat durch reines Raten?

Bestimmung der Merkmale einer Bernoulli-Kette:

A i = „ i -te Frage wird richtig beantwortet“, p = (1/3) und n = 4.

Die Unabhängigkeit der A i ist plausibel, da die Fragen unabhängig sein sollen.

Man interessiert sich nun für das Ereignis B = {1111, 1110, 1100, 0111, 1101, 1011,0110, 0011}.

Nun erhält man: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Quelle 8)

4. Die Statistik

4.1 Geschichte der Statistik und historische Kommentare

Einfache Formen der Statistik gab es schon bei den Babyloniern. Sie benutzten 3000 v. Chr. kleine Tontafeln für tabellarische Aufzeichnungen von getauschten und verkauften Waren, sowie von wirtschaftlichen Erträgen. Auch die alten Ägypter benutzten Statistiken um ihre Bevölkerungszahlen und ihren Reichtum überblicken zu können. In den biblischen Büchern Numeri und 1.Buch der Chronik sind ebenfall statistische Angaben zu Volkszählungen und Reichtum enthalten. Als Grundlage der Steuererhebung führte das antike Griechenland schon 594 v. Chr. Volkszählungen durch.

Die Römer sammelten Datenmaterial über die Fläche ihres Gebietes, ihr Vermögen und die Bevölkerung. Im mittelalterlichen Europa wurden jedoch nur wenige Volkszählungen durchgeführt. Könige, wie Karl der Große und Pippin III. ließen Übersichten über die Besitztümer der Kirche anfertigen. In England begann die Registrierung von Geburten und Todesfällen Anfang des 16. Jahrhunderts. 1662 wurde dann die erste statistische Studie Observations on the London Bills of Mortality (Beobachtungen zu Londons Sterblichkeitsraten) geschrieben.

Die Statistik erlebte im 19. Jahrhundert „mit zunehmender Anwendung mathematischer Methoden in den Naturwissenschaften einen großen Aufschwung.“

„Andrew Lang (1844 – 1912, schottischer Gelehrter und Schriftsteller) Wir benutzen die Statistik wie ein Betrunkener einen Laternenpfahl: vor allem zur Stütze unseres Standpunktes und weniger zum Beleuchten eines Sachverhalts.

Otto Fürst von Bismarck (1815 – 1898) Ich glaube nur den von mir selbst gefälschten Statistiken“

(Quelle 9)

4.2.1 Was versteht man unter Statistik?

Statistik ist ein Zweig der Mathematik, welcher sich mit der Zusammenstellung, Sammlung und Analyse von Zahlenmaterial – den statistischen Daten – für wirtschaftliche, wissenschaftliche, politische und soziale Zwecke beschäftigt. Sie ist ein Verfahren um Massenerscheinungen zu erfassen, nach Merkmalen auszuzählen, zu ordnen und die Ergebnisse auszuwerten. Zum statistischen Themengebiet gehört u. a. auch die mathematische Untersuchung von Zufallsgrößen. Ohne Berücksichtigung der inhaltlichen Bedeutung arbeitet die Statistik mit großen Datenmengen. Jede statistische Aussage ist mit einer abschätzbaren, jedoch prinzipiell unvermeidlichen Unsicherheit behaftet.

(Quelle 10)

4.2.2 Darstellungsarten / beschreibende Statistiken an selbst gewählten Beispielen des Leipziger Alltags

In diesem Abschnitt meiner Arbeit habe ich einige Beispiele aus dem Alltag Leipzigs in verschiedenen Kategorien und unterschiedlichen Diagrammen zusammengestellt, um die Relevanz der Wahrscheinlichkeit und vor allem die der Statistik zu verdeutlichen.

Statistiken werden heute vor allem auch in Zeitschriften genutzt, um Vergleiche von Proben z.B. medizinischer Herkunft anzustellen oder auch um über Gefährlichkeitsgrade von unterschiedlichen Krankheiten und deren Ausbreitungsgebieten zu berichten.

Es gibt viele verschiedene Darstellungsmöglichkeiten von Statistiken. Einige bekannte Darstellungsarten solcher Daten sind Strichlisten, Kreisdiagramme, Liniendiagramme, Stabdiagramme, Histogramme (Balkendiagramme) und Säulendiagramme.

Das unten dargestellte Säulendiagramm (Diagr 15.1) stellt die Einwohnerzahlen der Stadt Leipzig nach Alter geordnet dar.

Man kann in dem Diagramm eindeutig erkennen, dass die Altersklasse der 18 bis unter 65 jährigen mit 66,4% überwiegt. Die flachste Säule, die das Diagramm aufzuweisen hat, ist die der 15 bis 18 jährigen Jugendlichen, das heißt, dass ihr Anteil an der Bevölkerung mit 3,3% der niedrigste ist.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diagr 15.1 :

Das Kreisdiagramm (Diagr 15.2) stellt die Anteile der Stadtflächennutzung farbig dar. Dabei wird deutlich, dass der größte Teil der 297,6 km² großen Stadtfläche Landwirtschaftliche Nutzfläche ist. Hier mit 41,8% blau dargestellt.

Diagr 15.2 : Stand: 2000

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Im folgenden Balkendiagramm (Diagr 16.1) sind Erwerbstätige Leipziger in Wirtschaftsbereiche gegliedert. In der sich unter dem Diagramm befindlichen Legende sind die besagten Gewerbe aufgeführt und in Farben eingeteilt. Dem Balken sind die Anteile an der Gesamtwirtschaft zu entnehmen.

Diagr 16.1 : Stand: 2001

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Im Kegeldiagramm (Diagr 17.1) auf Seite 17 sind Behinderte nach Altersgruppen und Geschlecht eingeordnet.

Die nachfolgend ausgewiesenen Zahlen basieren auf den vom Sächsischen Landesamt für Familie und Soziales anonymisierten Einzeldaten für die Stadt Leipzig.

In diesem Abschnitt sind auch die Behinderten mit einem GdB (Grad der Behinderung) von unter 50% mit einbezogen, also nicht nur die Schwerbehinderten. Von vier Behinderten sind in Leipzig etwa drei Schwerbehindert, haben also einen GdB von über 50%.

Im Diagramm ist eindeutig zu erkennen, dass die Zahl der Behinderten mit dem Lebensalter zunimmt und es insbesondere in den höheren Jahrgängen deutlich mehr behinderte Frauen als Männer gibt.

Stand: 31.12.2002

Diagr 17.1 :Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Punktdiagramm (Diagr 18.1) stellt die Anzahl von Verunglückten bei Straßenverkehrsunfällen dar.

Es weist unmissverständlich daraufhin, dass die Zahlen der leicht verletzten Personen von 1991 bis 2000 immer weiter anstiegen und danach fielen.

Die Zahlen der getöteten Personen hatten 1994 mit 689 Verunglückten ihren Höchststand erreicht und fielen langsam bis 2002 in den dreihunderter Bereich.

Diagr 18.1 Stand: 2002

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das mit Balken dargestellte Diagramm (Diagr 19.1) bezieht sich auf die natürliche Bevölkerungsbewegung von 1993 bis 2002.

Die Statistik unterscheidet zwischen Lebendgeborenen, Gestorbenen und dem Geburtendefizit. Sie verweist darauf hin, dass deutlich mehr Menschen gestorben als geboren sind, jedoch dass das Geburtendefizit von 1993 bis 2002 allmählich gesunken ist.

Diagr 19.1 : Stand: 31.12.2002

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Quelle 11)

4.2.3 Einige Umfragen in Statistiken umgesetzt

Im letzten Teil meiner Facharbeit habe ich mich mit zwei Fragen auseinander gesetzt, welche ursprünglich vom Amt für Statistik und Wahlen durchgeführt wurden. Weiterhin

habe ich eine Befragung in der Stadt Leipzig durchgeführt und diese in einem Diagramm verarbeitet.

Die erste Frage lautete: Wie oft und mit wem treiben Sie Sport?

Die möglichen Antworten waren vorgegeben und zwischen 4 Aussagen zu unterschieden. Diese sind: nie, seltener, einmal pro Woche und mehrmals pro Woche. Ebenfalls wurden die Antwortmöglichkeiten auf: „im Sportverein, mit Freunden oder allein“ beschränkt.

Über die Hälfte der 100 Befragten gehen nie in einen Sportverein. 19% treiben einmal pro Woche Sport mit Freunden. Ebenfalls 19% der befragten Personen treiben mehrmals in der Woche allein Sport. Mein Fazit daraus, die Leipziger treiben zu wenig Sport.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mit der nächsten Frage wollte ich das Verhältnis zwischen Deutschen und Ausländern darstellen. Es wurden wiederum 100 Deutsche gefragt: Wie oft haben Sie in den folgenden Lebensbereichen Kontakte zu Ausländern bzw., deren Familien?

73% hatten noch nie Kontakte zu Ausländern in ihrer eigenen Familie. Knapp 40% treffen Ausländer häufig an ihrem Arbeitsplatz. 49% gaben an, dass sie eher selten Kontakte zu Ausländern in der Schule haben und über die Hälfte antwortete mir, dass sie auch in ihrem Freundes- und Bekanntenkreis keine Ausländer antreffen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(Quelle 11)

In meiner eigenen Umfrage ging es um die Meinungen von 200 Männern und Frauen zur Leipziger Olympiabewerbung. 88,5% aller Männer und Frauen stimmen der Olympiabewerbung zu und 6,5% der Frauen und 5% der Männer lehnen diese ab.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Resümee: Heute ist die Statistik ein verlässliches Instrument, um soziale, wirtschaftliche, politische, medizinische, physikalische und biologische Daten genau zu beschreiben; sie dient als Werkzeug, um solche Daten miteinander in Beziehung zu setzen und auszuwerten. Gegenwärtig beschränkt sich die Arbeit nicht nur auf das Durchsuchen und Wiedergeben von Daten, sondern sie dient der Interpretation der Information. Das Spektrum von statistischen Anwendungen wurde durch die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsrechnung erweitert. Durch Wahrscheinlichkeitsverteilung können viele Werte von statistischen Aussagen näherungsweise bestimmt werden. Die Ergebnisse daraus können zur Analyse von statistischen Daten verwendet werden.

Ziel meiner Arbeit war die Sensibilisierung für einige Probleme bei den vielen Graphiken und Statistiken, mit denen wir täglich konfrontiert werden.

Quellenverzeichnis

1 Barth, Friedrich; Haller, Rudolf, Stochastik Leistungskurs, München, 1985, Vorwort

2 Barth, Friedrich; Haller, Rudolf, Stochastik Leistungskurs, München, 1985, Vorwort

Ineichen, Robert, Würfel und Wahrscheinlichkeit, Heidelberg, 1996

3 www.mschaad.ch/bernoulli.html

4 Bosch, Karl, Elementare Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung, Braunschweig/Wiesbaden, 1995

5 Microsoft Encarta Enzyklopädie Plus 2003, Suchbegriff: Wahrscheinlichkeitsrechnung

6 Barth, Friedrich; Haller, Rudolf, Stochastik Leistungskurs, München, 1985, Seite 10-12

7 Barth, Friedrich; Haller, Rudolf, Stochastik Leistungskurs, München, 1985, Seite 15-17

8 Barth, Friedrich; Haller, Rudolf, Stochastik Leistungskurs, München, 1985, Seite 219, 221, 222 Burghardt, Robert, Mathehefter Klasse 11, Aufzeichnungen der Unterrichtsstunden

9 Microsoft Encarta Enzyklopädie Plus 2003, Suchbegriff: Statistik www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/foyer/projekte/hennproj/henn/inhalt.htm

10 Der Brockhaus in einem Band, Leipzig, 1998

11 Stadt Leipzig Amt für Statistik und Wahlen, 2002, 2003

Selbstständigkeitserklärung

Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig und ohne fremde Hilfe verfasst und keine anderen Hilfsmittel als angegeben verwendet habe.

Insbesondere versichere ich, dass ich alle wörtlichen und sinngemäßen Übernahmen aus anderen Werken als solche gekennzeichnet habe.

Ort: Leipzig

Datum: 22.02.2004 Unterschrift:

Details

Seiten
24
Jahr
2004
Dateigröße
694 KB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v109065
Note
2+
Schlagworte
Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik Erklärungen Stochastik Statistiken

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Titel: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik - Erklärungen zur Stochastik und alltägliche Statistiken