Berechnung des Volumens von Rotationskörpern

Inhaltsverzeichnis:

1. Einleitung

2. Hauptteil
1. Geschichte und Entwicklung der Integralrechnung
2. Rotationskörper im Alltag
3. Was ist ein Rotationskörper
4. Herleitung der allgemeinen Formel zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern
5. Anwendung der Formel an ausgesuchten Beispielen

3. Schlussbetrachtung

4. Literatur- und Quellenverzeichnis

5. Anhang

1. Einleitung

In meiner Facharbeit versuche ich eine Formel für die Berechnung des Volumens von Rotationskörpern zu finden. Als grobe Beschreibung soll zunächst ausreichen, dass dies Körper sind, die durch Rotation einer beliebigen Funktion um eine Achse des Koordinatensystems^[1] entstehen (genauer gehe ich darauf in Abschnitt 2.3. ein). Mit dem Wissen, dass wir bisher im Unterricht erlangt haben, können wir die Flächen von Viel-ecken und Kreisen berechnen; außerdem noch das Volumen von bestimmten Körpern (zum Beispiel von Würfeln, Zylindern, Kegeln). Seit der Einführung des Integrals ist es uns zudem noch möglich, Flächeninhalte von Flächen zu berechnen, die durch Funktionsgraphen begrenzt sind. Aber wie funktioniert die Volumenberechnung von Körpern, die durch Funktionen beschrieben werden? Entsteht dabei, wie in einigen Beispielen in 2.3., ein Körper, von denen uns die Formel zur Berechnung des Volumens bekannt ist, können wir es ohne weiteres ausrechnen. Bei komplizierteren (z.B. durch krummlinige Graphen entstehende) Formen kommen wir damit jedoch nicht weiter. Am Ende von Abschnitt 2.4. werde ich eine Formel hergeleitet haben mit der man die Volumina von sämtlichen Rotationskörpern ausrechnen kann. Damit werde ich anschließend ein paar ausgewählte Aufgaben berechnen.

Als äußerst hilfreich bei der Arbeit erwies sich der Umgang mit speziellen Computerprogrammen um die Funktionen und ihre Rotationskörper zu visualisieren. Diese Funktionsplotter bekommt man teilweise gratis zum Download im Internet oder zumindest als Testversion für einen bestimmten Zeitraum. Nach einer gewissen Einarbeitungszeit in diese Programme erleichterten sie mir die Arbeit enorm; vor allem Derive erwies sich bei der Berechnung der Aufgaben in 2.5. als nützlich. Eine detaillierte Liste der benutzten Programme inkl. Downloadmöglichkeit befindet sich im Literatur- und Quellenverzeichnis.

Erweitert wird die Arbeit durch Exkurse in die Geschichte der Integralrechnung (Abschnitt 2.1.) und die Suche nach Beispielen für Rotationskörper im Alltag (2.2.).

2. Hauptteil

In diesem Abschnitt geht es zunächst darum, die historische Entwicklung der Integralrechnung aufzuzeigen, um zu verdeutlichen, auf welche Weise man sich bereits in der Antike mit diesem Thema beschäftigte und mit welchen Problemen die Mathematiker konfrontiert wurden. Ihre Ergebnisse und unsere Vorkenntnisse nutzen wir anschließend zur Herleitung der allgemeinen Formel zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern. Diese findet dann in einigen Beispielen ihre Anwendung. Um den Zugang zu Rotationskörpern zu erleichtern, werden wir uns ein paar Beispiele aus dem täglichen Leben anschauen.

2.1. Geschichte und Entwicklung der Integralrechnung

Das Grundproblem der Integralrechnung ist die Berechnung des Flächeninhalts einer krummlinig berandeten Fläche, zum Beispiel unter der Funktion f im Intervall [a; b].

Entstanden ist die Infinitesimalrechnung^[2] aus der antiken griechischen Geometrie, denn vermutlich berechnete schon der 400 Jahre v.Chr. lebende Philosoph Demokrit die Volumina von Kegeln und Pyramiden aufgrund der Einteilung der Körper in unendlich viele Abschnitte, die unendlich dünn sind, so wie wir uns im Unterricht auch der Integralrechnung genähert haben. Weiter ist von den Griechen (sowie Archimedes) bekannt, dass sie bei der Berechnung des Flächeninhalts von Kreisen mithilfe von Zirkel und Lineal ein Quadrat erstellt haben, das den gleichen Flächeninhalt hat. Erst im 19. Jahrhundert bewies Lindemann, dass dieses Verfahren zu keiner Lösung führen kann, da man die Zahl [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] nicht durch Addition von einzelnen ‚Teilflächeninhalten’ des Kreises erreichen kann. Man legte vorerst einen Näherungswert von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] fest, und zwar [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Im 17. Jahrhundert näherte man sich schließlich auf verschiedenen Wegen einer systematischen Theorie zur Berechnung des Flächeninhalts von krummlinig berandeten Flächen: So erweiterten Francesco B. Cavalieri und Evangelista Torricelli die Verwendung infinitesimaler Größen, während René Descartes und Pierre de Fermat bestimmte Elemente der Algebra benutzten, um Flächeninhalte und Tangenten zu berechnen; sie entwickelten somit schon erste Verfahren zur Integral- und Differentialrechnung. Man wusste bereits, dass diese beiden Vorgänge miteinander in Verbindung stehen, und Isaac Newton und Gottfried W. von Leibniz bewiesen den Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung, wonach diese Berechnungen invers zueinander sind; sie sind also die Umkehrung des jeweils anderen Verfahrens:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In anderen Worten:

“Ist die Funktion f stetig (d.h. hat f einen durchgehenden Graphen), so ist die Ableitung der Integralfunktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gleich der Integrandenfunktion f.“^[3]

Die allgemeine Integralformel lautet demnach: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Im 18. Jahrhundert wurde die Infinitesimalrechnung häufig angewendet, aber auch aufgrund ihrer Grundlage (der Rechnung mit unendlich kleinen Größen) kritisiert. Im 19. Jahrhundert wurden genaue Definitionen von Grenzwerten, Ableitungen, Integralen und reellen Zahlen gegeben um feste Grundlagen zu haben. Der deutsche Mathematiker Bernhard Riemann legte als Erster eine einwandfreie Definition des Integrals fest, die zu Beginn des 20. Jahrhunderts von Henry Lebesgue erweitert wurde.

Die Einführung der Integralrechnung bedeutete vor allem in ihren ersten Jahren eine gewaltige Erleichterung (nicht nur) für die Mathematiker^[4].

2.2. Rotationskörper im Alltag

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^{[5] [6] [7] [8] [9]}

Diese Gegenstände sind nur wenige Beispiele für Rotationskörper, mit denen man im täglichen Leben zu tun hat (Flaschen, bestimmte Töpfe und Kunstobjekte sind beispielsweise ebenfalls Rotationskörper). Alle haben eins gemeinsam: Man erhält solche Objekte durch das Rotieren einer entsprechenden Funktion um die x-Achse des Ko-ordinatensystems. Dies macht man sich beispielsweise bei der Herstellung von Glocken zunutze: Für die äußere Form erstellt man eine abschnittsweise definierte Funktion, die die ‚Funktionsschablone’ bildet.^[10]

Für die Glocke im oberen Bild (abzüglich der Halterung) hätte die Funktion zum Beispiel so aussehen können:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.3. Was ist ein Rotationskörper?

Ein Rotationskörper entsteht, wenn man eine beliebige Funktion f(x)= y in einem bestimmten Intervall um die x-Achse rotieren lässt (vorrausgesetzt sie ist in diesem Intervall stetig). Den Vorgang der Rotation kann man sich so vorstellen wie die Benutzung eines Schleifaufsatzes an einer Bohrmaschine:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Illustration aus^[11]

Betrachten wir zur Veranschaulichung zunächst als einfaches Beispiel die Funktion f(x)=x im Intervall [0; 10]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch Rotation dieser Funktion um die x-Achse erhalten wir folgenden Kegel, den wir, der Übersichtlichkeit halber, dreidimensional visualisieren^[12]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da wir nun wissen, wie Rotationskörper entstehen, schauen wir uns noch eine Übersicht von weiteren Möglichkeiten der Rotation eines Geradenstücks um die x-Achse an:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Illustration aus ^[13]

In (1) ließ man den Graph einer konstanten Funktion x[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]c rotieren; das Ergebnis ist ein Zylinder. Im zweiten Beispiel hat man, ähnlich wie in unserem vorherigen Beispiel, eine Funktion x[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]mx im Intervall [a; b] um die x-Achse rotieren lassen. Aufgrund dieser Einschränkung entsteht kein vollständiger Kegel, sondern nur ein Kegelstumpf. Beispiel (3) bildet einen Sonderfall, da der ursprüngliche Graph die x-Achse schneidet. Der entstandene Rotationskörper nennt sich in diesem Fall Doppelkegel, weil praktisch zwei einzelne Kegel vorhanden sind.

Schauen wir uns nun das erste Beispiel noch einmal genauer an und versehen es mit Parametern, um einige Eigenschaften von Rotationskörpern zu erkennen, die für die anschließende Volumenberechnung von Bedeutung sind.

Wir stellen die Funktion x[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]c im Intervall [a; b] auf:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch Rotation um die x-Achse entsteht also ein Zylinder:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Man erkennt, dass seine Höhe h= b – a ist und sein Radius c. Wir kennen bereits die Formel zur Berechnung des Volumens V von Zylindern: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] r² h; wir könnten es also schon berechnen. Ähnliche Formeln kennen wir auch für das Volumen von Kegeln und anderen geometrischen Figuren, doch gibt es nicht vielleicht auch eine allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens von beliebigen Rotationskörpern? Diese herauszufinden ist das Ziel des nächsten Abschnitts.

2.4. Herleitung der allgemeinen Formel zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern

Zur Herleitung der Formel zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern machen wir uns die Erkenntnisse aus Abschnitt 2.3. und aus der analytischen Definition des Integrals^[14] zunutze.

Wir stellen uns also eine beliebige monotone, stetige Funktion f(x) = y vor:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Vorüberlegung:

Wir könnten bei der Berechnung des Volumens von Rotationskörpern ähnlich vorgehen wie bei der Berechnung des Integrals von Funktionen, da sich die beiden Rechnungen prinzipiell sehr ähneln, wenn wir in Betracht ziehen, dass wir bei Rotationskörpern nicht auf der Grundlage von (eindimensionalen) Rechtecken, sondern (dreidimensionalen) Zylindern rechnen. Wir übertragen diese Ergebnisse dann auf unseren Fall und können schließlich eine eigene Formel aufstellen. Schauen wir und also noch einmal an, wie die Grundidee zur Berechnung des Flächeninhalts zwischen einer bestimmten Funktion f und der x-Achse aussah:

Es bietet sich zunächst die Aufteilung des Graphen in dem gegebenen Intervall in gleich lange Teilintervalle an. Von der x-Achse ausgehend bilden wir dann in diesen Teilintervallen Rechtecke, die allesamt unter dem Graphen liegen. Außerdem stellen wir noch Rechtecke auf, die ihn überragen.

Zum näheren Verständnis schauen wir uns dazu eine Grafik an:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Illustration aus^[15]

Man erkennt, dass der grüne Teil der Rechtecke durch den Graph, den sie umschreiben, in zwei gleich große Teile geteilt wird. Rechnet man nun die Untersumme [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

und die Obersumme [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]^[16] aus, und bildet ihr arithmetisches Mittel, so erhält man einen Näherungswert des gesamten Flächeninhaltes, dessen Genauigkeit mit wachsender Anzahl an Rechtecken zunimmt.

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Idee: Einteilung des Rotationskörpers in unendlich viele Zylinder, die eine unendlich kleine Höhe haben. Durch Addition der einzelnen Volumina erhält man einen Näherungswert für das Volumen des gesamten Körpers; durch Bildung des Grenzwerts die allgemeine Formel

1. Schritt:

Wir teilen das Intervall [0; b] des Graphen in n gleich lange Teilintervalle ein, für die gilt:

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten][Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Die Breite jedes Teilintervalls ist [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Weiterhin bietet sich wieder (wie bei der Herleitung des Integrals) die Einteilung in Rechtecke an, die unter und über dem Graphen liegen. Wir betrachten die einbeschriebenen und umbeschriebenen^[17] Rechtecke, die wir nun, zusammen mit dem Graphen, um die x-Achse rotieren lassen. Es entsteht ein Rotationskörper mit Treppenfiguren aus einbeschriebenen und umbeschriebenen zylindrischen Scheiben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Illustration aus^[18]

Die Funktionswerte in den einzelnen Teilpunkten lauten demnach:

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] , [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] , [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] . In 2.3. haben wir bereits festgestellt, dass die Funktionswerte zugleich auch die Radien der Zylinder sind; die Breite der Teilintervalle [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]bezeichnet also die Höhe h. Wir können nun also die Volumina jedes einzelnen Zylinders berechnen: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

2. Schritt:

Wir berechnen die Volumina der einbeschriebenen Zylinder, addieren sie miteinander und erhalten das Volumen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (die Untersumme) des gesamten einbeschriebenen Treppenkörpers:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Des Weiteren benötigen wir noch das Volumen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]; also die Summe der Volumina der umbeschriebenen Zylinder. Es errechnet sich wie folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3. Schritt:

Wir bilden die Grenzwerte von Ober- und Untersumme indem wir n über alle Grenzen wachsen lassen. Wir wissen bereits, dass sie nach der analytischen Definition des Integrals gleich sind. Wir erhalten demzufolge für das Volumen V des Rotationskörpers [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] für alle [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]:

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] [sofern f in dem Intervall [0; b] integrierbar ist.^[19] ]

Wir können also als Ergebnis festhalten:

Die Funktion f sei über dem Intervall [a; b] stetig und erzeugt durch Rotation um die x-Achse einen Rotationskörper. Es gilt dann:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.5. Anwendung der Formel an ausgesuchten Beispielen

1. Beispiel^[20]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

„Der Graph der Funktion f über dem Intervall [a; b] rotiere um die Achse a[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten][x; d. Verf.]. Bestimme das Volumen des entstandenen Rotationskörpers. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]“

Es ergibt sich dieser Rotationskörper:

Sein Volumen errechnet sich durch: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten][V.E.]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2. Beispiel^[21]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3. Beispiel^[22]:

„ Durch Rotation der Graphen der Funktionen f mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]und g mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]über den Intervallen [0; 20] bzw. [5; 20] um die 1. Achse entsteht ein schalenförmiger Körper. Berechne sein Volumen. Berechne auch das Fassungsvermögen der Schale.“

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Gesucht: Volumen des rotierenden Bereichs zwischen f und g

Lösungsansatz:

- Wir berechnen die Volumina der Körper, die durch Rotation der Funktionen f und g um die x-Achse entstehen
- Wir subtrahieren V[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] von V[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und erhalten das Volumen der Schale [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten[V.E.]

Der schalenartige Körper hat ein Volumen von ca. 3495,02 [V.E.].

Das Fassungsvermögen der Schale ist durch das Volumen des Rotationskörpers von g(x) gegeben; es entspricht demnach ca. 5301,44 [V.E.].

3. Schlussbetrachtung

Wir haben in dieser Facharbeit erfolgreich eine Integralformel herleiten können, um das Volumen von Rotationskörpern berechnen zu können, sie lautet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mit dieser Formel können wir nun die Volumina von Flaschen, Vasen und anderen Körpern ausrechnen, die auf der Rotation einer Funktion um eine Achse basieren. Wie sich in den berechneten Aufgaben gezeigt hat, lassen sich damit bestimmte Sachverhalte auf einfache Weise lösen. Ohne die Formel wäre uns diese Berechnung so gut wie gar nicht möglich gewesen; in dieser Hinsicht bedeutet sie eine enorme Entlastung. Dadurch, dass sie auch tatsächlich Anwendung in alltäglichen Situationen findet (beispielsweise bei der Herstellung von Glocken), zeigt sich, dass die Berechnung des Volumens von Rotationskörpern nicht nur ein mathematisches Thema, sondern auch realitätsbezogen ist.

4. Literatur- und Quellenverzeichnis

Literatur:

- Oberstudiendirektor Dr. Hermann Athen/ Prof. Dr. Heinz Griesel: Mathematik heute – Materialen für den Sekundarbereich II (Einführung in die Analysis). Hannover. 1991
- Prof. Dr. rer. Nat. Albert Fetzer/ Prof. Dr. rer. Nat. Heiner Fränkel: Mathematik: Lehrbuch für Fachhochschulen; Band 2. Düsseldorf. 1985
- Prof. Dr. Heinz Griesel/ Prof. Helmut Postel: Elemente der Mathematik 12/13 – Grundkurs/ Nordrhein-Westfalen. Hannover. 2000
- Prof. Dr. Heinz Griesel/ Prof. Helmut Postel: Elemente der Mathematik – Leistungskurs Analysis. Hannover. 2001

Internet:

- Bild eines Eis: http://www2.crosstalk.or.jp/sobido/dalian/img/bf/egg.jpg 24.03.04
- Bild eines Glases: http://hem.passagen.se/rage82/b/grafik/glas.jpg 24.03.04
- Bild einer Glo />
- Bild einer Vase: http://www.anitarosenberg.com/images/orangemagnolialarge%20vase.jpg 24.03.04
- Bild einer weiteren Vase: http://www.aestheticdesign.com/images/vase.jpg 24.03.04
- Microsoft Encarta: Differential- und Integralrechnung. http://de.encarta.msn.com/encyclopedia_761568582/Differential-_und_Integralrechnung.html. 05.03.04 [liegt als Anlage bei]
- Die Glocke als Rotationskörper. http://www.mued.de/html/aufsatz/arra/an1_4.htm 12.03.04 [liegt als Anlage bei] Ben-tzte Programme :
- Derive 6 Trial Edition (als Download erhältlich unter ftp://ftp.ti.com/pub/graph-ti/sw-apps/derive/setup.exe 24.03.04)
- Kurvenprofi Version 4.0.1 (http://people.freenet.de/strautz/kurve.exe 24.03.04)
- MuPAD Pro Version 2.5.3 Demo ( über http://www.mupad.de zu erhalten)
- TurboPlot Version 3.0 Demo (http://www.turboplot.de/zip/tplotwin.exe 24.03.04)

[...]

---

^[1] Ich widme mich später ausschließlich der Rotation um die x-Achse; die Rotation um die y-Achse ist dennoch auch möglich

^[2] früher verwendeter Oberbegriff für die Differential- und Integralrechnung, die sich auf das Rechnen mit unendlich kleinen Größen konzentrierte (infinitesimal = unendlich). Heute stützt man sich eher auf den Grenzwertbegriff

^[3] Prof. Dr. Heinz Griesel/ Prof. Helmut Postel: Elemente der Mathematik 12/13 – Grundkurs/ Nordrhein-Westfalen. Hannover. 2000. S. 80

^[4] Vgl. Microsoft Encarta: Differential- und Integralrechnung. http://de.encarta.msn.com/encyclopedia_761568582/Differential-_und_Integralrechnung.html. 05.03.04 sowie: Prof. Dr. Heinz Griesel/ Prof. Helmut Postel: Elemente der Mathematik 12/13 – Grundkurs/ Nordrhein-Westfalen. Hannover. 2000. S. 108f

^[5] http://hem.passagen.se/rage82/b/grafik/glas.jpg. 24.03.04

^[6] http://www.anitarosenberg.com/images/orangemagnolialarge%20vase.jpg. 24.03.04

^[7] http://www.mmap.de/images/glocke.gif. 24.03.04

^[8] http://www.aestheticdesign.com/images/vase.jpg. 24.03.04

^[9] http://www2.crosstalk.or.jp/sobido/dalian/img/bf/egg.jpg. 24.03.04

^[10] Vgl. Rotationskörper. http://www.mued.de/html/aufsatz/arra/an1_4.htm. 05.03.04

^[11] Prof. Dr. Heinz Griesel/ Prof. Helmut Postel: Elemente der Mathematik 12/13 – Grundkurs/ Nordrhein-Westfalen. Hannover. 2000. S. 89

^[12] es versteht sich, dass der entstandene Rotationskörper geschlossen ist. Bei der Darstellung wurde zur Veranschaulichung darauf verzichtet

^[13] Prof. Dr. rer. Nat. Albert Fetzer/ Prof. Dr. rer. Nat. Heiner Fränkel: Mathematik: Lehrbuch für Fachhochschulen; Band 2. Düsseldorf. 1985. S. 217

^[14] vgl. Prof. Dr. Heinz Griesel/ Prof. Helmut Postel: Elemente der Mathematik 12/13 – Grundkurs/ Nordrhein-Westfalen. Hannover. 2000. S. 55

^[15] Prof. Dr. Heinz Griesel/ Prof. Helmut Postel: Elemente der Mathematik 12/13 – Grundkurs/ Nordrhein-Westfalen. Hannover. 2000. S. 45

^[16] die Summe der Flächeninhalte der über bzw. unter den Graphen liegenden Rechtecken

^[17] unter bzw. über dem Graphen liegend

^[18] Prof. Dr. Heinz Griesel/ Prof. Helmut Postel: Elemente der Mathematik – Leistungskurs Analysis. Hannover. 2001. S. 186

^[19] vgl.: Prof. Dr. Heinz Griesel/ Prof. Helmut Postel: Elemente der Mathematik – Leistungskurs Analysis. Hannover. 2001. S. 186

^[20] aus: Oberstudiendirektor Dr. Hermann Athen/ Prof. Dr. Heinz Griesel: Mathematik heute – Materialen für den Sekundarbereich II (Einführung in die Analysis). Hannover. 1991. S.37 Aufgabe 5c)

^[21] aus: Siehe 12. S.37 Aufgabe 5f)

^[22] aus: Prof. Dr. Heinz Griesel/ Prof. Helmut Postel: Elemente der Mathematik 12/13 – Grundkurs/ Nordrhein-Westfalen. Hannover. 2000. S. 92. Aufgabe 5