Beweis des Innenwinkelsatzes bei Dreiecken

1 Themen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[1]

2 Didaktischer Schwerpunkt

„Aufbauend auf den geometrischen Erfahrungen früherer Jahrgangsstufen soll in den Jahrgangsstufen 7/ 8 stärker argumentierend gearbeitet werden. Beobachtete geometrische Eigenschaften werden im Zusammenhang mit bereits entdeckten Gesetzmäßigkeiten beschrieben und begründet. Zusammenhänge und Abhängigkeiten, die langsam systematisiert werden (Sätze der Geometrie, Begründungen, Beweisansätze, Satzgefüge, ...), bestimmen zunehmend die Argumentation und das Denken.“^[2]

Ausgehend von den Anforderungen der Richtlinien bzw. des Lehrplans findet in der Jahrgangsstufe 7 der Übergang von der Propädeutik der Geometrie zum beweisenden Geometrieunterricht statt. Es soll nun stärker Wert gelegt werden auf das Argumentieren und Begründen von Aussagen. An dieser Stelle haben die SuS oft zum ersten Mal Kontakt mit Beweisen in der Mathematik. Da jedoch die Beweise in der Geometrie meist sehr anschaulich geführt werden können, bietet sich dieses Thema an, um dieses neue mathematische Verfahren einzuführen.

In der geplanten Stunde sollen die SuS die Aussage des Innenwinkelsatzes selbständig entdecken und eine Beweisidee entwickeln bzw. nachvollziehen. Problematisch hieran ist vor allem, dass die aus der Winkelmessung entstehende Vermutung („Die Summe der Innenwinkel beträgt in jedem Dreieck 180°“) von den SuS meist sofort für richtig gehalten wird, ein Beweisbedürfnis besteht nicht. Dieses wird aber dringend benötigt, wenn die SuS wirklich kritisch über eine Beweisidee nachdenken sollen. Um die SuS dahingehend zu motivieren, werde ich versuchen, sie mit konkreten Fragen zu provozieren.

In den meisten Schulbüchern findet man den „Parallelenbeweis“. Das Problem bei diesem Beweis liegt in der Entdeckung der Hilfslinie (der Parallelen zur Grundseite durch den gegenüberliegenden Eckpunkt). Es gibt jedoch verschiedene Ansätze, damit diese Hilfslinie nicht „vom Himmel fällt“. Ich habe die „Abreißmethode“ gewählt, bei der die Ecken eines beliebigen Dreiecks abgerissen und zu einem gestreckten Winkel zusammengelegt werden. Das anschließende Finden der Beweisidee soll durch eine anschauungsgebundene Aufgabenstellung unterstützt werden.

Das Verfahren der Beweisentwicklung wird am Beispiel des Innenwinkelsatzes zum ersten Mal mit den SuS eingeübt. Dabei halte ich mich an den in der Literatur vorgegebenen Ablauf:

1) mündlicher Beweis
2) schriftlich- umgangssprachlicher Beweis
3) Beweis in mathematisch- symbolischer Form.

In dieser Stunde sollen lediglich die erste Stufe thematisiert werden. Erst wenn die SuS einen Beweis verstanden haben und ihn mündlich führen können, kann dazu übergegangen werden, den Beweis zunächst schriftlich- umgangssprachlich, dann in symbolischer Form festzuhalten. Diese beiden Stufen werde ich in den Folgestunden mit den SuS behandeln.

3 Lernziele

Gesamtziel: Die SuS sollen die Notwendigkeit des Beweisens mathematischer Sätze einsehen und den Beweisansatz des Innenwinkelsatzes bei Dreiecken mündlich formulieren können.

Feinziele: Die SuS sollen

- die Vermutung „Die Innenwinkelsumme beträgt in jedem Dreieck 180°“ formulieren;
- die Notwendigkeit sehen, diese Vermutung beweisen zu müssen;
- eine Beweisidee unter Zuhilfenahme der abgerissenen Ecken entwickeln;
- einen Beweis für die Aussage des Innenwinkelsatzes mündlich führen und formulieren.

4 Intendierter Stundenverlauf

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

5 Anhang

- Arbeitsblatt mit den Hausaufgaben zu dieser Stunde inkl. Lösungsblatt zu den Aufgaben 3 und 4
- Kopien der eingesetzten Folien
- 2 Dreiecke zum Einsatz der „Abreißmethode“

Geplantes Tafelbild:

entfällt: siehe Verlaufsplan

[...]

^[1] NW: Nebenwinkel, SchW: Scheitelwinkel, StW: Stufenwinkel, WW: Wechselwinkel

^[2] vgl.: Sekundarstufe I Gymnasium, Richtlinien und Lehrpläne für das Fach Mathematik, Ritterbachverlag, S. 48