Geometrische Grundkonstruktion

Inhaltsverzeichnis:

1 Einleitung

2 Geometrische Grundkonstruktionen
2.1 Die Seitenhalbierende
2.2 Die Mittelsenkrechte
2.3 Das Lot
2.4 Die Winkelhalbierende
2.5 Die Mittelparallele
2.6 Dreiecke
2.6.1 Rechtwinklige Dreiecke
2.6.2 Spitzwinklige Dreiecke
2.6.3 Stumpfwinklige Dreiecke
2.6.4 Gleichschenklige Dreiecke
2.6.5 Gleichseitige Dreiecke
2.6.6 Ähnlichkeitssätze
2.6.7 Kongruenzsätze
2.6.7.1 SSS
2.6.7.2 SSW
2.6.7.3 SWS
2.6.7.4 WWS
2.6.7.5 WSW

3 Anlagen
3.1 Konstruktionen
3.2 Konstruktionsanleitungen

4 Literaturverzeichnis

1. Einleitung

Zunächst möchte ich Geometrische Grundkonstruktion erklären. Dazu gehe ich von den Wörtern Geometrie und Konstruktion aus.

Geometrie bedeutet im eigentlichen Sinne Erdmessung. Sie ist das Gebiet der Mathematik, das die gestaltlichen Gesetzmäßigkeiten und Größenbeziehungen an und zwischen Linien, Flächen und Körpern behandelt.

Die Konstruktion in der Mathematik ist die zeichnerische Darstellung einer Figur oder eines Körpers aus gegebenen Größen.

Also ist, um die Wörter wieder zusammenzusetzen, eine geometrische Grundkonstruktion eine zeichnerische Darstellung einer Figur oder eines Körpers, die sehr wichtig für die Be- handlung gestaltlicher Gesetzmäßigkeiten und Größenbeziehungen an und zwischen Linien, Flächen und Körpern.

Ich werde im Folgenden vor allem das Wesen und einige Anwendungen von bestimmten geometrischen Grundkonstruktionen, vor allem in Dreiecken, benennen und ihre Konstruk- tion erläutern.

2. Geometrische Grundkonstruktionen

Geometrische Grundkonstruktionen sind Seitenhalbierende, Mittelsenkrechte, Winkelhal- bierende, Lot und Mittelparallele.

2.1 Die Seitenhalbierende

Eine Seitenhalbierende einer Strecke ist jede Gerade, die diese Strecke nur in ihrem Mittel- punkt schneidet. Eine Seitenhalbierende in einem Dreieck ist die Gerade vom Mittelpunkt der Dreiecksseite zum ihr gegenüberliegenden Punkt. Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks treffen sich im Schwerpunkt (S) des Dreiecks.

2.2 Die Mittelsenkrechte

Die Mittelsenkrechte auf einer Strecke ist die Gerade, die durch den Mittelpunkt der Stre- cke verläuft und mit ihr einen Winkel von 90° bildet. Die drei Mittelsenkrechten in einem Dreieck treffen sich im Mittelpunkt des Umkreises dieses Dreiecks.

2.3 Das Lot

Das Lot auf einer Geraden ist die von einem Punkt gezogene Gerade, die mit einer zweiten Geraden oder einer Ebene einen Winkel von 90° bildet. In einem Dreieck ist das Lot auf einer Seite durch den gegenüberliegenden Punkt die Höhe dieser Seite.

2.4 Die Winkelhalbierende

Die Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleich große Winkel. Im Dreieck ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Winkels mit den Winkelhalbierenden der Au- ßenwinkel der anderen beiden Winkel.

2.5 Die Mittelparallele

Die Mittelparallele ist die Gerade, die zwischen zwei parallelen Geraden liegt und immer den gleichen Abstand zu beiden hat.

2.6 Dreiecke

Dreiecke sind ebene oder zweidimensionale Figuren, die von drei Seiten begrenzt werden und demnach drei Ecken haben. Sie lassen sich durch die Größe der Winkel und die Ver- hältnisse der Längen der Seiten einteilen. Wenn man sie nach der Größe des größten Win- keln einteilt, erhält man folgende Gruppen: rechtwinklige, spitzwinklige und stumpfwinkli- ge Dreiecke. Diese Einteilung erfolgt nach der Größe des größten Winkels.

Wenn man sie nach den Verhältnissen der Seiten einteilt, unterscheidet man gleichseitige, gleichschenklige und ungleichseitige Dreiecke. Bei gleichschenkligen Dreiecken sind 2 und bei gleichseitigen Dreiecken alle 3 Seiten gleich lang. Bei ungleichseitigen Dreiecken ist keine Seite so lang wie eine andere.

Einige wichtige Gesetzmäßigkeiten gelten für alle Dreiecke. So liegt der größte Winkel im- mer der größten und der kleinste Winkel immer der kleinsten Seite gegenüber. Die Summe zweier Seiten muss immer größer als die dritte Seite sein. Die Summe der Innenwinkel be- trägt immer 180°. Der Flächeninhalt berechnet sich für alle Dreiecke aus dem Halbprodukt der Grundseite und ihrer Höhe (A = ½· g · h). Die Höhe einer Seite in einem Dreieck ist das Lot auf der Seite vom ihr gegenüber liegenden Punkt.

Auch kann man jedes Dreieck mit Hilfe der Trigonometrie berechnen, auf die ich hier nicht weiter eingehen möchte.

Besondere Punkte in jedem Dreieck sind ...

a) ... der Mittelpunkt M des Umkreises. Der Umkreis eines Dreiecks ist der Kreis, auf des- sen Peripherie alle Eckpunkte des Dreiecks liegen. In diesem Punkt treffen sich die 3 Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten treffen.
b) ... der Schnittpunkt H der drei Höhen auf den Dreiecksseiten.
c) ... der physikalische Schwerpunkt S des Dreiecks in welchem sich die drei Seitenhalbie- renden der Dreiecksseiten treffen.
d) ... der Mittelpunkt W des Inkreises mit dem Radius r, der alle Dreiecksseiten in je einem Punkt berührt.
e) ... die Mittelpunkte der drei Ankreise, von denen jeder je eine Seite und die Verlängerun- gen der beiden anderen Seiten berührt. Sie sind die Schnittpunkte der Winkelhalbieren- den der Innen- und Außenwinkel.

2.6.1 Rechtwinklige Dreiecke

Rechtwinklige Dreiecke sind Dreiecke, deren größter Winkel (allgemein als g bezeichnet) ein rechter Winkel ist d.h. g = 90° beträgt. Diesem Winkel liegt die größte Seite gegenüber, die Hypothenuse genannt und allgemein als Seite c bezeichnet. Die folgenden Formeln zur Berechnung von rechtwinkligen Dreiecken basieren auf der Grundlage eines Dreieckes

DABC mit den folgenden Winkeln: Winkel BAC = a, Winkel CBA = b und dem Winkel ACB = g = 90° (rechter Winkel). Die an den rechten Winkel grenzenden Seiten werden Katheten genannt. Die Höhe h auf der Hypothenuse teilt sie in die Hypothenusenabschnitte p und q, wobei p der Kathete a und q der Kathete b zugeordnet ist. Die Höhe einer Kathete ist jeweils die andere Kathete.

Rechtwinklige Dreiecke haben besondere Eigenschaften und Berechnungsmöglichkeiten gegenüber anderen Dreiecken. Eine davon ist der sogenannte Pythagoräische Lehrsatz, der fälschlicherweise dem mathematisch interessierten griechischen Philosophen Pythagoras von Samos und seiner Schule zugeschrieben wurde. Pythagoras lebte von ca. 580 v. Chr. bis ca. 496 v. Chr. „Sein“ Lehrsatz sagt aus, dass die Summe der Quadrate über den Kathe- ten genauso groß ist, wie das Quadrat über der Hypothenuse (c² = a² + b²). Auch weitere Sätze gelten am rechtwinkligen Dreieck und nur dort. Zum Beispiel die Kathetensätze des Euklid: Sie besagen, dass das Quadrat über einer Kathete genauso groß ist, wie das Recht- eck, das aus dem zur Kathete gehörigen Hypothenusenabschnitt und der Hypothenuse (a²

= c · p und b² = c · p). Der Höhensatz des Euklid sagt aus, dass das Produkt der Hypo- thenusenabschnitte das Quadrat der Höhe über der Hypothenuse ergeben (h² = p · q).

2.6.2 Spitzwinklige Dreiecke

Als spitzwinklige Dreiecke bezeichnet man alle Dreiecke, in dem jeder Winkel kleiner als 90° ist.

2.6.3 Stumpfwinklige Dreiecke

Stumpfwinklige Dreiecke sind Dreiecke, deren größter Innenwinkel größer als 180° ist. Bei ihnen liegen 2 Höhen, nämlich die auf den Schenkeln des stumpfen Winkels, außerhalb des Dreiecks.