Das Kursänderungsrisiko fest und variabel verzinslicher Wertpapiere - ein kritischer Überblick über die wichtigsten Kurswertsensitivitätskennziffern

Das Kursänderungsrisiko fest und wariabel verzinslicher Wertpapiere - ein kritischer Überblick über die wichtigsten Kurs- wertsensitivitätskennziffern

1 Zum Rentenmarkt in Deutschland

„Die Absatztätigkeit am deutschen Rentenmarkt nahm im April weiter zu.“¹ Dieses Zitat zeigt, daß der Rentenmarkt in der Bundesrepublik Deutschland ein wichtiger Bestandteil des Wertpapiermarktes ist. So belief sich der gesamte Umlauf fest und variabel verzinslicher Wertpapiere in der Bundesrepublik Deutschland im April 2000 auf 2.640 Mrd. DM.² Wenn also immer mehr Anleger und Gelder auf den Rentenmarkt drängen, dann können sich Risiken dieses Marktes nicht nur auf mehr Persone n auswirken, sondern erhalten auch eine qualitativ höhere Bedeutung. Zukünftige Entwicklungen auf den Wertpapiermärkten lassen sich jedoch nicht vorhersagen (wenngleich dies einzelnen Experten hin und wieder gelingt). Es sind also intelligente und professionelle Ansätze gefragt, um eventuelle Risiken und Uns i- cherheiten, die Tätigkeiten auf dem Rentenmarkt mit sich bringen können, analysieren und abschätzen zu können. Denn: Nichts ist so unsicher wie die Zukunft!³

2 Begriffsbestimmung: Anleihetypen und Zinsänderungsrisiko

2.1 Anleihetypen

2.1.1 Festverzinsliche Wertpapiere

Die festverzinslichen Wertpapiere stellen mit 89% den größten Anteil auf dem deutschen Rentenmarkt.⁴ Im Kern kann dabei zwischen Straight Bonds und Zerobonds unterschieden werden.

Straight Bonds, auc h Kuponanleihen genannt, weisen eine feste Verzinsung auf. Dem Inhaber dieser Papiere wird ein im voraus fest vereinbarter Zinssatz ausgezahlt. Die Zinszahlungen erfolgen dabei für gewöhnlich jährlich (überwiegend in Deutschland) oder halbjährlich (überwiegend in den USA) zu vorher festgelegten Terminen. Straight Bonds werden von in- und ausländischen Emittenten ebenso wie von öffentlichen wie privaten Schuldnern begeben.⁵ Bei Zerobonds, auch Nullkuponanleihen genannt, ist keine feste, periodische Zinszahlung vorgesehen. Das heißt, die Zinsen werden nicht während der Laufzeit ausgeschüttet, sondern mit Zinseszinsen im Zeitpunkt der Anleihetilgung zurückgezahlt.

Zerobonds treten dabei als Zinssammler oder sogenannte echte Zerobonds auf. Ein Zinssammler liegt vor, wenn das Papier zu 100% emittiert wird und der Rückzahlungskurs im Zeitpunkt der Tilgung über dem Emissionkurs liegt. Der echte Zerobond hingegen ist ein Diskontpapier, das unter pari (abgezinst) emittiert und zu 100% zurück gezahlt wird.⁶

Weitere Anleihevarianten existieren in Form von Wandel-, Options-, Doppelwährungs- oder Aktienanleihen. Die unter oder über dem Marktzins liegende Verzinsung dieser Anleihetypen wird durch zusätzliche Rechte (Options- oder Wandelrechte) bzw. Risiken (Rückzahlung der Anleihe in Aktien) ausgeglichen.⁷

Im Mittelpunkt der weitere Betrachtungen werden -aufgrund ihrer größeren Bedeutung am Rentenmarkt- Straight Bonds und Zero Bonds stehen.

2.1.2 Variabel verzinsliche Wertpapiere

Wertpapiere mit variabler Verzinsung werden gemein hin als Floating Rate Notes (FRN) oder kurz Floater bezeichnet. Die Festlegung des Anleihezinses erfolgt hier nicht, wie bei den Straight Bonds, schon zu Beginn der Laufzeit, sondern während der Laufzeit in Abhängigkeit von Referenzzinssätzen.

Bis zur Einführung der dritten Stufe der Europäischen Wirtschafts- und Währungsunion am 1. Januar 1999 hatten sich hier LIBOR und FIBOR (=London, resp. Frankfurt Interbank Offered Rate) als Referenzzinssätze durchgesetzt. Seit der Einführung des Euro ist der EURIBOR an die Stelle des FIBOR getreten. Der EURIBOR wird börsentäglich als Durchschnittszinssatz von 57 europäischen Banken für die untereinander gehandelten Gelder in verschiedenen Laufzeitbändern ermittelt.⁸

Grundidee variabel verzinslicher Einlagen ist es, durch eine regelmäßige Anpassung der Ver- zinsung an die Referenzzinssätze eine dauerhaft marktgerechte Verzinsung eines Wertpapiers zu erreichen. Diese Anpassung erfolgt i.d.R. in drei- oder sechsmonatigen Abständen, wobei kürzere Intervalle ebenfalls denkbar sind. Besitzt der Emittent eines Floaters eine bessere oder schlechtere Bonität, als die bei der Bildung des Referenzzinssatzes zu Grunde liegende, so kann dies durch Auf- oder Abschläge (Spreads) zum Referenzzinssatz ausgeglichen werden.⁹ Neben diesen klassischen Floatern sind in letzter Zeit weitere innovative Floating Rate Notes entwickelt worden; hierzu gehören die Reverse Floater. Bei ihnen wird zu Beginn der Lauf- zeit ein fester Zinssatz vereinbart, von dem ein in regelmäßigen Abständen zu ermittelnder repräsentativer Marktzinssatz (LIBOR oder EURIBOR) abgezogen wird. Somit vermindert sich der Wert eines Kupons mit steigendem Referenzzinssatz und umgekehrt.¹⁰ Dieser Effekt wird bei Super Floatern erhöht, indem bei der Berechnung des Kuponzinses ein Hebeleffekt eingebaut wird, z.B. 2¥Referenzzinssatz-4%. Chance und Risiko erhöhen sich so bei einer Veränderung des Referenzzinssatzes um einen Prozentpunkt überproportional.¹¹

Die weiteren Betrachtungen werden sich auf klassische Floating Rate Notes und Reverse Floater konzentrieren.

2.2 Das Zinsänderungsrisiko

„Bei Anleihen besteht das systematische Risiko in dem Zinsänderungsrisiko.“¹²

Im engeren Sinne versteht man hierunter das Endwertänderungsrisiko: Das bedeutet, daß sich der für eine Wiederanlage erhaltene r Kuponzahlungen relevante Marktzins ändert und eine geplante Rendite bis zu einem bestimmten Planungshorizont nicht erzielt werden kann. Hie r- von abzugrenzen ist das Risiko, welches durch die Veränderung des Kurswertes nach einer Zinsänderung hervorgerufen wird: das Marktwertänderungsrisiko. Marktzinsänderungen wirken sich gegenläufig auf den aktuellen Kurswert und die zukünftigen Wiederanlagebedingungen aus: Bei steigendem Marktzins kommt es zu sinkenden Kurswerten bei besseren Wiederanlagemöglichkeiten für erhaltene Kuponzahlungen und umgekehrt. Die Kursänderung wird dabei durch die Vermögenswirkung des veränderten Wiederanlagezinses bis zum Laufzeitende bei Kuponanleihen überkompensiert (vgl. Abb. 1 auf Seite 4).¹³

Zerobonds unterliegen im Gegensatz zu Kuponanleihen keinem Zinsänderungsrisiko im Sinne des Endwertrisikos. Im Vergleich zu Kuponanleihen besitzen sie jedoch ein erhöhtes Marktwertänderungsrisiko. Ihre Kurswerte reagieren stärker auf Marktzinsänderungen, da Kuponzahlungen nicht zum jeweiligen Marktzins wieder angelegt werden können.¹⁴

Floating Rate Notes besitzen aufgrund ihrer regelmäßigen Anpassung an den Referenzzins nur ein relativ niedriges Marktwertänderungsrisiko.¹⁵ Reverse Floater hingegen weisen durch ihre Hebelfunktion ein ausgeprägtes Zinsänderungsrisiko auf, welches stärker ist als das von Straight Bonds.¹⁶

3 Sensitivitätskennziffern zur Beurteilung des Zinsänderungsrisikos

3.1 Duration

3.1.1 Voraussetzungen und Annahmen

In den USA, aber auch in anderen Ländern ist die Duration ein von Wissenschaftlern und

Praktikern weitgehend akzeptiertes Maß für die Zinsänderungssensitivität der Rendite festve rzinslicher Wertpapiere. Sie wird angewendet, um Portfolios festverzinslicher Wertpapiere zusammenstellen zu können und deren Risiko zu analysieren. Wichtige Gründe hierfür sind die einfache Berechenbarkeit und die Tatsache, daß alle das Ausmaß des Zinsänderungsris i- kos bestimmenden Merkmale (Kupon, Laufzeit, aktueller Barwert) berücksichtigt werden.¹⁷ Die Kennzahl wurde 1938 von Frederick H. Macaulay in den USA entdeckt. Nach seiner In- terpretation ist sie als mittlere Bindungsdauer des eingesetzten Kapitals in Jahren zu verste- hen. Nach Macaulay soll, wenn der individuelle Anlagehorizont mit der Duration überein- stimmt, ein vorab angestrebter Endwert unabhängig von eventuellen Marktzinsänderungen realisiert werden.¹⁸

Bei der Berechnung der Duration wird von folgenden Annahmen ausgegangen:

a) Es herrscht eine flache Zinskurve, d.h. die Höhe des Marktzinses ist unabhä ngig von der Restlaufzeit der Wertpapiere (vgl. Abb. 2).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

b) Zinsänderungen treten nur in Form einer parallelen Verschiebung der gesamten Zins-strukturkurve auf.
c) Im zu beobachtenden Planungszeitraum gibt es nur eine Zinsänderung. Diese kann positiv oder negativ sein.
d) Die Zinsänderung tritt unmittelbar nach dem Erwerb der Anleihe ein.¹⁹

3.1.2 Herleitung und Bedeutung

Fällt nach dem Erwerb einer Anleihe deren Marktzins, so steigt ihr Marktwert (Present Va- lue), wie in Abb. 1 dargestellt. Gleichzeitig sinkt der sich ändernde Endwert der Anleihe unter den geplanten Endwert. Diese beiden Auswirkungen kompensieren sich im Schnittpunkt der beiden hieraus entstehenden Kurven genau. Dieser Punkt D stellt die Duration der untersuc h- ten Anleihe dar.²⁰

Die Duration ist demnach der Punkt, an dem sich die aus einer Zinsänderung ergebenden Endwert- und Marktwertänderungsrisiken exakt ausgleichen und dem Anleger die geplante Ursprungsrendite gesichert wird. Chance und Risiko sind hier also identisch. Wählt ein Anle- ger nun eine Anlage, deren Duration seinem Planungshorizont entspricht, hat er sich risiko- neutral verhalten.²¹

Mathematisch läßt sich der Punkt D, der in der Einheit Jahre gemessen wird, als Zinselastizi- tät des Marktpreises oder Kurses K auf eine Änderung der Marktrendite r (in %) darstellen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.²²

K stellt dabei den auf einem arbitragefreien Markt ermittelten Barwert der Anleihe dar, der sich mittels des Barwertkonzeptes errechnen läßt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.²³

t=1(1+r)

Differenziert man diesen Ausdruck nach der Rendite (1+r), so ergibt sich die Duration durch einsetzen und umformen als:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.²⁴

Aus den oben dargestellten Formeln lassen sich folgende Schlußfolgerungen ziehen:

- Mit zunehmender Restlaufzeit einer Anleihe nimmt ceteris paribus auch deren Du-ration zu.
- Je höher der Nominalzins einer Anleihe ist, desto kürzer ist ceteris paribus auch deren Duration.
- Die Duration eines Zero Bonds entspricht ihrer Restlaufzeit, da nur ein Zahlungs- zeitpunkt existiert.²⁵

Unter der Betrachtung, daß der Planungsbeginn t=0 als Bezugszeitpunkt der Berechnung an- gesehen wird, ergibt sich die Duration als gewichtetes arithmetisches Mittel, bei dem die ein- zelnen Zahlungszeitpunkte mit den Barwerten der jeweiligen Zahlungen aus der Anleihe ge- wichtet werden; dies ergibt die durchschnittliche Bindungsdauer des eingesetzten Kapitals.²⁶ Stimmen Planungshorizont und Duration überein, wird, unabhängig von steigenden oder fa l- lenden Zinsen, das Endvermögen erreicht, daß bei konstantem Marktzinsniveau realisiert werden könnte.²⁷

Existiert nun kein Wertpapier am Markt, dessen Duration gleich dem Planungshorizont eines Anlegers ist, so kann ein Anleger die gewünschte Duration mittels eines Wertpapierportfolios erzielen, wenn mindestens ein Wertpapier am Markt verfügbar ist, dessen Duration den Planungshorizont des Anlegers übersteigt. Der Anleger kann dieses Wertpapier z.B. mit einem variabel verzinslichen Wertpapier kombinieren, so daß die Duration des Wertpapierportfolios wiederum seinem Planungshorizont entspricht.²⁸

Die Duration eines Wertpapierportfolios errechnet sich in diesem Zusammenhang als die mit den Anteilen der einzelnen Papiere am Gesamtwert des Portfolios gewichteten arithmetischen Mittel der Einzeldurationen. Die Genauigkeit der Portfolioduration hängt dabei vom Ausmaß der Zinsänderung und den individuellen Ausgestaltungsformen der Portfoliowertpapiere ab.²⁹ Die Duration kann auch als Zinshebel einer Anleihe verstanden werden, stellt also den Betafaktor einer Anleihe gegenüber Zinsänderungen dar. Dabei wird die relative Kursänderung der Anleihe in % näherungsweise über

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

errechnet, wobei die Änderung der Rendite in Prozentpunkten angegeben wird.³⁰

Bis heute haben sich zwei Hauptanwendungsgebiete der Durations-Analyse durchgesetzt:

a) Die Abschätzung des Einflusses nicht vorhersehbarer Zinsänderungen auf den Barwert einer Zahlungsreihe, bzw. auf den Kurs einer Anleihe.
b) Die Absicherung des zukünftigen Wertes einer einzelnen Kapitala nlage oder eines Anlageportfolios gegen die Einflüsse unerwarteter Zinsänderungen (Immunisie- rung).³¹

3.1.3 Berechnungsbeispiele

Exemp larisch soll nun die Berechnung der Duration anhand von vier beispielhaften Anlage- möglichkeiten durchgeführt werden, zwei festverzinslichen und zwei variabel verzinslichen Wertpapieren.

Es seien folgende Wertpapiere gegeben:

a) Eine festverzinsliche Anleihe („Straight Bond“), mit exakt 5-jähriger Restlaufzeit und einer Verzinsung von 4,896%. Der Marktrendite liegt ebenfalls bei 4,896%, was zu einem Kurswert von 100% führt.³²
b) Ein Zerobond, 5 Jahre Restlaufzeit, mit einer Emissionsrendite von 4,896%, einem Emissionskurs von 78,7418% und einem Tilgungskurs von 100%.
c) Ein Floater mit Emissionskurs von 100%. Die Restlaufzeit beträgt ebenfalls 5 Jahre, die Verzinsung richtet sich am 6-Monats-EURIBOR. Die Zinszahlungen erfolgen je- weils am Ende der Zinsperiode, die laufe nde Zinsanpassung wird zu Beginn einer Zinsperiode durchgeführt. Die Tilgung der Anleihe erfolgt zu 100%. Der EURIBOR betrage 4,896% (aus der Annahme einer flachen Zinsstrukturkurve).
d) Ein Reverse Floater mit Emissionskurs 100% und 5 Jahren Restlaufzeit. Die Verzin-sung liegt bei 9,792% abzüglich 6-Monats-EURIBOR. Die Zinszahlungen erfolgen jeweils am Ende der Zinsperiode, die laufende Zinsanpassung wird zu Beginn einer Zinsperiode durchgeführt. Die Tilgung erfolgt zu 100%.

Die Duration zu a) ergibt sich somit als:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für die Duration zu b) muß, da es sich um einen Zerobond handelt, gemäß den Ausführungen in 3.1.2 gelten, daß die Duration gleich der Restlaufzeit ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten⁵

Die variable Verzinsung des Floaters im Beispiel b) basiert im Gegensatz zum Straight Bond aus Beispiel a) darauf, daß der Floater nicht als durchgehende Geldanlage für fünf Jahre, son- dern als zehnmalige, nacheinander für jeweils ein halbes Jahr zu erfolgende Anlage angesehen werden kann. So wird der Termin der Zinssatzänderung als fiktiver Rückzahlungstermin in-terpretiert, an dem eine Prolongation der Anlage erfolgt. Es wird also von einem Zero Bond mit einer Laufzeit entsprechend dem Zinsbindungszeitraum des Floaters ausgegangen.³³ Für die Duration von c) ergibt sich, daß sie identisch mit der fiktiven Restlaufzeit sein muß:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Duration eines Revers Floaters errechnet sich, in dem man ihn in drei Einzelgeschäfte aufteilt: Zwei festverzinsliche Anleihen mit jeweils gleicher Verzinsung, deren Zinssumme dem fixen Zinsblock des Reverse Floaters entspricht (Long Position) und einen Floater, wel- cher gedanklich als Kreditaufnahme interpretiert wird, aus welcher der Anleger Zinsen in Hö- he des zugrunde liegenden Geldmarktsatzes zu zahlen hat (Short Position). So gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten³⁴

Die Beispielanleihe d) läßt sich somit in zwei Straight Bonds des Typs aus Be ispiel a) und einen Floater des Typs aus Beispiel c) zerlegen. Die Duration von d) ergibt sich dann als:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.1.4 Kritische Betrachtung

Der Nutzen der Duration in ihrer Eigenschaft als Risikomaß liegt in ihrer Interpretation als Kurswertsensitivität von Anleihen auf Marktzinsänderungen: Je niedriger die Duration eines Wertpapiers ist, desto geringer ist sein Zinsänderungsrisiko. Besitzt eine Anleihe eine niedrige Duration, bedeutet dies einen schnellen Rückfluß des eingesetzten Kapitals; ein schneller Ka- pitalrückfluß kann Zinsänderungsrisiken logischerweise weniger stark unterliegen, als ein langsamer Kapitalrückfluß.³⁵

Jedoch werden bei der Berechnung der Duration Annahmen getroffen, die in der Wirklichkeit nie gegeben sind: So wird der Verlauf einer flachen Zinsstrukturkurve vorausgesetzt und ve r- langt, daß die Zinsstrukturkurve bei einer Zinsänderung parallel verschoben wird. Beide Aspekte werden in der Realität jedoch nicht erfüllt.³⁶ Liegt keine flache Zinsstrukturkurve vor, ist die Aussagekraft der Duration nicht nur eingeschränkt, sie nimmt mit zunehmender Krümmung der Zinsstrukturkurve auch noch weiter ab.³⁷

Ebenso kommt es nur in den seltensten Fällen zu einer einzigen Zinsveränderung im Planungszeitraum, wie die Zinsentwicklung am deutschen Rentenmarkt zeigt.³⁸ Um die Duration dann konstant halten zu können, müßten Änderungen im Wertpapierportfolio eines Anlegers durchgeführt werden, was nicht annahmegemäß wäre. Konsequenz wären zusätzliche Transaktionskosten, die nicht durch die Durationsformel berücksichtigt werden: Der geplante Endwert könnte trotz Umschichtungen nicht erreicht werden. Ebenso werden Bonitätsrisiken durch die Durationsformel nicht berücksichtigt.³⁹

Des weiteren sind die mit Hilfe der Duration errechneten Kursänderungen sehr ungenau und können nur für sehr kleine Zinsänderungen durchgeführt werden.⁴⁰

3.2 Modified Duration

3.2.1 Herleitung und Bedeutung

Mit der Frage der Vorausberechnung von Kurswertänderungen beschäftigte sich John Richard Hicks 1939 unabhängig, aber parallel, zu Macaulay. Er befaßte sich mit der Abschätzung der relativen Kursänderung einer Anleihe bei einer Zinsänderung. Gebräuchliche Begriffe für diese Abschätzung sind Modified Duration oder auch Volatility.⁴¹

Errechnet man die erste Ableitung des Ausgangskurses K (also des Preises) eines Wertpapiers zum Zinssatz r aus der Barwertformel, bildet sich diese als

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten⁴²

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Werden nun beide Seiten dieser Formel durch den Kurs Ausgangskurs K des Wertpapiers dividiert, ergibt sich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei D die unter 3.1 beschriebene Macaulay-Duration darstellt.⁴³

Der Wert -[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] beschreibt die von Hicks entwickelte Modified Duration, die im Vergleich zur Macaulay Duration nicht in Jahren, sondern in Prozent angegeben wird. Sie gibt an, um wieviel Prozent sich der Kurs eines Wertpapiers ändert, wenn sich die Marktrendite r um ei- nen Prozentpunkt ändert. Die prozentuale Kursveränderung bezieht sich nach Hicks auf den Dirty Price, das ist der aktuelle Wertpapierkurs erhöht um die aufgelaufenen Stückzinsen.⁴⁴

Die Kursveränderung kann für jede beliebige Renditeänderung berechnet werden, wenn ein linearer Zusammenhang zwischen Modified Duration und Renditeänderung gesehen wird:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei R die Marktrendite in Basispunkten (1 Prozentpunkt entspricht 100 Basispunkten) dar-stellt. Für einen Renditeanstieg um R Basispunkte gilt[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]bei einer Renditeverringerung muß der Ausdruck[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] sein.⁴⁵

Neben der prozentualen Kursveränderung läßt sich mittels der Modified Duration aber auch die absolute Kursveränderung berechnen. Die Fragestellung ist dabei, um wieviel Geldeinhe i- ten G sich der Kurs einer Anleihe verändert, wenn eine Änderung des Marktzinsniveaus um einen Basispunkt (d.h. 0,01 Prozentpunkte) erfolgt:

K stellt hier wiederum den Dirty Price dar.⁴⁶

Diese absolute Änderung ist auch als Price Value of a Basis Point (PVBP) bekannt. Bei einer Division [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] erhält man die absolute Kursänderung bei einer Renditeveränderung von 100 Basispunkten, die auch als Price Risk oder Dollar Duration bezeichnet wird.⁴⁷

3.2.2 Berechnungsbeispiele

Modified Duration und PVBP sollen nun für die vier Beispiele aus 3.1 berechnet werden. Die Marktrendite entspricht weiterhin der Rendite/Verzinsung der Be ispielanleihen. Die Modified Duration des Straight Bonds errechnet sich wie folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da der Ausgangskurs 100% beträgt, entspricht die absolute Kursänderung pro Basispunktve r- änderung der Modified Duration dividiert durch 100.

Für den Zero Bond errechnet sich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für den Floater gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für den Reverse Floater gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es zeigt sich, daß die prozentualen und absoluten Kursveränderungen einer Anleihe (und somit ihre Zinsänderungsrisiken und -chancen) um so größer sind, je größer die Duration und somit die modifizierte Duration sind.⁴⁸

Dies zeigt sich vor allem beim Reverse Floater: Da dieser die doppelte Verzinsung eines Straight Bonds abzüglich des Referenzzinssatzes bei einfachem Kapitaleinsatz aufweist, müs- sen die Kursschwankungen doppelt so hoch abzüglich der Kursschwankungen des Floaters sein: 2 x 4,34% - 0,48% = 8,2% (der Unterschied von 0,01% ergibt sich durch Rundungsdif- ferenzen).⁴⁹

3.2.3 Kritische Betrachtung

Da die Modified Duration auf der Duration aufbaut, gelten für sie auch die Einwände, die der Duration aufgrund ihrer modellhaften Annahmen entgegen gesetzt werden.⁵⁰ Des weiteren unterstellt die Modified Duration bei der Berechnung der Kursschwankung einen linearen Zusammenhang zwischen dem Kurs der Anleihe und der Marktrendite, welcher in der Realität nicht gegeben ist. Der Zusammenhang läßt sich eher im Rahmen einer links gekrümmten, d.h. konvexen Funktion darstellen (vgl. Abb. 3).⁵¹

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Daraus folgt, daß die geschätzte Kursentwicklung bei größeren Zinsänderungen (ab 100 Basispunkten) mit Ungenauigkeiten behaftet ist. Dieser Schätzfehler nimmt mit höheren Zinsänderungen und höheren Restlaufzeiten weiter zu. Bei Zinsrückgänge n führt dies zu einer Unterschätzung des Kursanstiegs, bei Zinserhöhungen zu einer Überschätzung des Kursverlustes. Dabei verhält sich dieser Schätzfehler nicht symmetrisch, fällt also bei betragsmäßig gleicher Zinserhöhung oder Zinssenkung unterschiedlich aus.⁵²

3.3 Convexity

3.3.1 Herleitung und Bedeutung

Aufgabe der Kennzahl Convexity ist es, den Schätzfehler der Modified Duration zu ermit- teln.⁵³

Die Convexity C, die auch als Tracking Error der Duration verstanden werden kann, mißt die Krümmung der Anleihe-Marktzins-Funktion. Die Berechnung von C erfolgt, in dem man die zweite Ableitung der Barwertformel berücksichtigt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ergänzt man nach der Ermittlung von C die Gleichung der Modified Duration im Rahmen einer quadratischen Taylorreihenentwicklung um C, so läßt sich die Kursänderung einer Anleihe errechnen als:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten⁵⁵

Die mit zunehmender Größe der Marktzinsänderung auftretende Ungenauigkeit der Durationsmethoden kann somit durch die Convexity nahezu eliminiert werden. Dieser Vorteil fällt noch stärker ins Gewicht, je höher die Restlaufzeit ist.⁵⁶

Aus der erweiterten Formel zur Bestimmung der Kursänderung werden weitere Möglichkeiten der Convexity-Anwendung deutlich:

Je höher die Convexity eines Papiers ist, desto schneller ändert sich der Einfluß auf Modified Duration und Kurs des Wertpapiers, wenn sich die Marktverzinsung r ändert. Wenn zwei Papiere mit gleicher Modified Duration vorliegen, sollte der Anleger bei steigendem Marktzins grundsätzlich das Wertpapier mit der höheren Convexity erwerben, da dieses höhere Kursgewinne und geringere Kursverluste aufweisen wird, als bei der Modified Duration ermittelt wurden (je größer die Krümmung, um so größer der Schätzfehler). Das Papier mit der geringeren Convexity würde sich den Schätzungen der Modified Duration eher annähern. Gleichzeitig kann die Effizienz von Hedgingaktivitäten durch Abstimmung der Convexity des zu sichernden Wertpapierportfolios erhöht werden.⁵⁷

Das Kursgewinnpotential für hochkonvexe Titel und Portfolios wird bei sinkendem Markt-

zinsniveau höher, das Verlustpotential bei steigenden Zinsen hingegen geringer ausfallen als bei Wertpapieren mit gleichen Durationskennziffern, aber geringerer Konvexität.⁵⁸

3.3.2 Berechnungsbeispiele

Für die vier Beispiele sollen nun jeweils die Convexity und die daraus folgenden Kursveränderungen bei einer Marktzinsänderung von einem Prozentpunkt berechnet werden. Die Convexity des Straight Bonds ergibt sich als:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Daraus ergibt sich, wenn sich der Marktzins um einen Prozentpunkt ändert, eine relative

Kursveränderung von[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Für den Zero Bond errechnet sich die Convexity über:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die relative Kursänderung lautet dann bei einer Erhöhung des Marktzinses um einen Prozent-

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Floater besitzt aufgrund seines geringen Kursrisikos nur eine Convexity von

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Kursänderung hieraus lautet: -0,48%×1%+ 0,6816 × (0,01) ª -0,48%

Für den Reverse Floater gilt erneut die Vereinfachung, daß sich die Convexity durch die Zu- sammensetzung eines Portfolios aus zwei Straight Bonds und einem Floater ermitteln läßt:⁵

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wenn sich der Marktzins um einen Prozentpunkt verändert.

Je größer die Hebelwirkung einer Anleihe ist (Zero Bond, Reverse Floater), um so größer ist auch der Schätzfehler der Modified Duration, der durch die Verwendung der Convexity ausgeglichen werden kann.⁶⁰

3.3.3 Kritische Betrachtung

„Die Güte der Abschätzung hat sich bei Einbeziehung der Konvexität beträchtlich verbes- sert.“⁶¹

Wie die Beispielrechnungen zeigen, können schon bei einer Marktzinsänderung von einem Prozentpunkt Schätzfehler in Höhe von 0,3% des erwarteten Kurswertes auftreten, wenn die Kursänderung mit der Modified Duration berechnet wird. Diese im positiven und negativen Bereich nicht gleichen Schätzfehler werden durch die Convexity ausgeglichen.⁶² Die Berechnung, Handhabung und Interpretation von Kurswertveränderungen gestaltet sich durch den Einsatz der Konvexität zwar komplizierter, allerdings können auch genauere Er- gebnisse erzielt werden. Diese Eigenschaft dürfte in Zukunft dazu führen, daß die Bedeutung der Convexity zunehmen wird.⁶³

Wiederum ist zu berücksichtigen, daß Schwankungen der Zinsstrukturkurve nicht immer pa- rallel auftreten (siehe Kritik an Duration und Modified Duration). Bei der Berechnung von Kurswertänderungen eines Wertpapierportfolios muß beachtet werden, daß die Anleihen eines Portfolios aufgrund ihrer unterschiedlichen Restlaufzeiten Zinsschwankungen in verschiede- nen Höhen unterliegen. Der Vorteil der Convexity-Berechnung kann nur dann genutzt wer- den, wenn zu vergleichende Wertpapiere oder Wertpapierportfolios Zinsänderungen in glei- cher Höhe erfahren.⁶⁴

4 Erweiterung durch multidimensionale Sensitivitätskennziffern

4.1 Effective Duration

Um die Duration eines Wertpapiers ermitteln zu können, ist bislang immer die Annahme einer flachen Zinsstrukturkurve getroffen worden. Somit konnte die Duration mit Hilfe eines einzigen Zinssatzes ermittelt werden.⁶⁵

Wie aber aufgezeigt worden ist, kommen flache Zinsstrukturkurven in der Realität nicht vor. Dies führt dazu, daß die Duration mit unterschiedlichen Zinssätzen pro Zahlungszeitpunkt t ermittelt werden muß:

Dies kann erreicht werden, in dem versucht wird, eine Kuponanleihe als eine Kombination verschiedener Zero Bonds darzustellen. Da Zero Bonds nur in einem Zeitpunkt Zahlungen an den Anleger liefern, weisen sie auch eine laufzeitabhängige, unterschiedliche Effektivverzin- sung auf. Dieser Effekt kann genutzt werden, um die Annahme einer flachen Zinsstrukturkur- ve aufzulösen.⁶⁶

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die geänderte Berechnung der Duration, die nun zur Effective Duration wird, erfolgt als:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei die Zinssätze r im Vergleich zur Duration um den Index t ergänzt worden sind; [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] stellt die Effektivverzinsung eines Zero Bonds mit der Laufzeit t dar (Spot Rate). Beliebige Zinsstrukturen können so bei der Berechnung in die Berechnung von Kurswertänderungen einfließen, wobei Macaulays Annahme einer parallelen Verschiebung der Zinsstrukturkurve im Falle einer Marktzinsänderung allerdings bestehen bleibt.⁶⁷

4.2 Key-Rate-Duration

T.Y. Ho befaßte sich 1992 damit, eine Kennzahl zu entwickeln, mit deren Hilfe die Annahme einer parallelen Verschiebung der Zinsstrukturkurve vermieden werden kann.⁶⁸ Wie bei der Effective Duration, wird auch bei der Key-Rate-Duration davon ausgegangen, daß man ein Wertpapier in Zero Bonds zerlegen kann und deren Preise dann getrennt analysiert. Jedoch wird bei der Key-Rate-Duration nicht mehr von der Veränderung aller Spot Rates um den gleichen Betrag, sondern nur noch von der Veränderung einiger bestimmter Zerozinssätze ausgegangen. Die Veränderung einer Zinsstrukturkurve soll dabei durch die Verschiebung einiger Schlüsselzinssätze, daher der Begriff Key-Rates, abgebildet werden (z.B. Zerosätze für 1, 5 und 10 Jahre als Key-Rates).⁶⁹

Die Zerosätze, die zwischen den Key-Rates liegen, werden jedoch ebenfalls von einer Verän-derung des Key-Rates beeinflußt, da es zu keinen Brüchen in der Zinsstrukturkurve kommen kann. Diese Veränderungen der Key-Rates werden durch lineare Interpolation berechnet ermittelt (vgl. Abb. 4).⁷⁰

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Kurswert eines Wertpapiers und auch seiner Kurswertsensitivität können somit für jede Key-Rate gesondert bestimmt werden. Daraus folgt, daß beliebige Veränderungen der Zins- strukturkurve simuliert und deren Auswirkungen auf den Kurswert berechnet werden kön- nen.⁷¹

Eine einfache analytische Formel zur Bestimmung der Key-Rate-Duration, wie bei Duration und Effective Duration, kann jedoch nur angewendet werden, wenn die Zeitpunkte der Za h- lungen aus dem Wertpapier mit den Zeitpunkten der Key-Rates exakt übereinstimmen. Die Berechnung erfolgt dann in Annäherung zur Modified Duration als:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Key-Rate-Duration für den Zeitpunkt i gibt demnach die prozentuale Veränderung eines Wertpapierkurses an, wenn sich der Markzins r im Zeitpunkt i um einen Prozentpunkt ändert.⁷²

Für verzinsliche Wertpapiere, deren Zahlungstermine nicht mit denen der Key-Rates identisch sind (z.B. während der Laufzeit kündbare Bonds), müssen die einzelnen Key-Rate-Durations numerisch ermittelt werden.⁷³

Wie bei der Key-Rate-Duration von Wertpapieren, deren Zahlungszeitpunkt i mit der Key- Rate i übereinstimmt, entspricht die Key-Rate-Duration auch hier dem negativen Wert der prozentualen Preisänderung des Wertpapiers als eine Reaktion auf eine Veränderung der Key- Rate zum Zeitpunkt i. Zur numerischen Ermittlung der Key-Rate-Duration müssen nun der Preis des Wertpapiers vor und nach der Veränderung der Key-Rate i um [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bestimmt wer-

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

den, um sie in der nachstehenden Formel ergänzen zu können:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten⁷⁴

Die Summe aller Key-Rate-Bewegungen entspricht bei einer jeweils gleichen Veränderung von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] der Effective Duration, da eine parallele Verschiebung der Zinsstrukturkurve vorliegt.

Des weiteren läßt sich die -te Key-Rate-Duration eines Wertpapierportfolios als barwertge- wichtete Summe der Key-Rate-Durations der einzelnen Wertpapiere zum Zeitpunkt i errech- nen.⁷⁵

Im Rahmen einer kritischen Beurteilung der Key-Rate-Duration läßt sich feststellen, daß die Veränderungen von Zinsstrukturkurven um so genauer berechnet werden kann, je mehr Key- Rates eingesetzt werden. Allerdings ist der Zusammenhang zwischen Key-Rate und Kurs ei- nes Wertpapiers konvex, was dazu führt, daß eine lineare Bestimmung der Preisveränderung wie bei der Modified Duration Abweichungen zur tatsächlichen Kursänderung ergibt.⁷⁶

5 Fazit

Die Sensitivitätskennziffern Duration, Modified Duration und Convexity zum Ausgleich des Schätzfehlers sind leicht berechenbare und interpretierbare Kennzahlen. Ihnen allen ist jedoch gemeinsam, daß sie die in der Realität nicht auftretenden Fälle einer flachen Zinsstrukturkurve und parallelen Verschiebung der Zinsstrukturkurve unterstellen.⁷⁷

Die Key-Rate-Duration erlaubt es jedoch, das Zinsänderungsrisiko noch genauer zu erfassen: Nicht nur parallele Verschiebungen der Zinsstrukturkurve können berücksichtigt werden, sondern auch mögliche Drehungen der Strukturkurve.⁷⁸ Zuvor ist durch den Einsatz der Effective Duration die Annahme flacher Zinsstrukturkurven ausgehebelt worden.⁷⁹

Die Vorteile dieser Kennzahlen haben dazu geführt, daß sie in der Portfolioverwaltung weit verbreitet sind. Auch für Banken bieten sich die Kurswertsensitivitätsmaße an, um Zinsände- rungsrisiken aus bilanziellen und außerbilanziellen Geschäften abwägen und hedgen zu kön- nen. Im Rahmen des Grundsatz I über die Liquidität der Kreditinstitute werden die Laufzeiten der einzelnen Nettopositionen über die Duration bestimmt. Die Möglichkeiten zur Messung von Zinsänderungsrisiken sind vorhanden; sie warten nur darauf, genutzt werden!⁸⁰

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¹ Deutsche Bundesbank: Monatsbericht Juni 2000, Frankfurt am Main 2000, S. 10.

² vgl. Deutsche Bundesbank: Kapitalmarktstatistik Juni 2000, Frankfurt am Main 2000, S. 26f.

³ vgl. Saxinger, Raimund: Traditionelle und neuere Risikomaße im Asset-Management, in: Eller, Roland (Hrsg.), Handbuch des Risikomanagements, S tuttgart 1998, S. 336.

⁴ vgl. Deutsche Bundesbank (2000b), a.a.O., S. 26f.

⁵ vgl. Steiner, Manfred / Bruns, Christoph: Wertpapiermanagement, 7. Auflage, Stuttgart 2000, S. 133f.

⁶ vgl. Steiner, M. / Bruns, Chr.: (2000), a.a.O., S. 135.

⁷ vgl. Finsterwalder, Ottokarl: Internationale Kapitalmärkte, in: Hagen, Jürgen von / Stein, Johann H. von (Hrsg.), Geld - Bank- und Börsenwesen, 40. Auflage, Stuttgart 2000, S. 1112f.

⁸ vgl. Steiner, M. / Bruns, Chr.: (2000), a.a.O., S. 135f.

⁹ vgl. Rizos, Loukas / Köster, Joachim: Floating Rate Notes, in: Eller, Roland (Hrsg.), Handbuch des Risikomanagements, Stuttgart 1998, S. 508 f.

¹⁰ vgl. Steiner, Manfred / Padberg, Max: Neuere Finanzprodukte zur Steuerung des Zinsänderungsrisikos, in: Schierenbeck, Henner (Hrsg.), Handbuch Bank Controlling, Wiesbaden 1995, S. 761f.

¹¹ vgl. Rudolph, Bernd: Management des Zinsänderungsrisikos, in: Gerke, Wolfgang / Steiner, Manfred, Handwörter- buch des Bank- und Finanzwesens, 2. Auflage, Stuttgart 1995, Sp. 2044.

¹² Steiner, Manfred / Bruns, Christoph: (2000), a.a.O., S. 56.

¹³ vgl. Wondrak, Bernhard: Management von Zinsänderungschancen und-risiken, Heidelberg / Wien 1986, S. 21.

¹⁴ vgl. Perridon, Louis / Steiner, Manfred: Finanzwirtschaft in der Unternehmung, 10. Auflage, München 1999, S. 195.

¹⁵ vgl. Rudolph, Bernd: (1995), a.a.O., Sp. 2043.

¹⁶ vgl. Rizos, Loukas / Köster, Joachim: (1998), a.a.O., S. 522f.

¹⁷ vgl. Bußmann, Johannes: Das Management von Zinsänderungsrisiken, Frankfurt am Main 1988, S. 94f.

¹⁸ vgl. Wondrak, Bernhard: (1986), a.a.O., S. 27f.

¹⁹ vgl. Wondrak, Bernhard: (1986), a.a.O., S. 21f.

²⁰ vgl. Steiner, Manfred / Bruns, Christoph: (2000), a.a.O., S. 157.

²¹ vgl. Schulte, Michael: Bank-Controlling II: Risikopolitik in Kreditinstituten, Frankfurt am Main 1996, S. 141.

²² v gl. Maier, Jürgen: Duration und Konvexität, in: „Das Wirtschaftsstudium“ (WISU), 24. Jahrgang, 1995, S. 295.

²³ vgl. Maier, Jürgen: (1995), a.a.O., S. 295.

²⁴ vgl. Steiner, Manfred / Bruns, Christoph: (2000), a.a.O., S. 157.

²⁵ vgl. May, Stefan: Drei Interpretationen des Duration-Konzeptes, in „Wirtschaftswissenschaftliches Studium“ (WiSt), 28. Jahrgang, 1999, S. 494f.

²⁶ vgl. Wondrak, Bernhard: (1986), a.a.O., S. 24f.

²⁷ vgl. Perridon, Louis / Steiner, Manfred: (1999), a.a.O., S. 196.

²⁸ vgl. Wondrak, Bernhard: (1986), a.a.O., S. 52.

²⁹ vgl. Maier, Jürgen: (1995), a.a.O., S. 296f.

³⁰ vgl. Eller, Roland / Riechert, Matthias S.: Geld verdienen mit kalkuliertem Risiko, 2. Auflage, München 2000, S. 53f.

³¹ vgl. Wondrak, Bernhard: (1986), a.a.O., S. 29.

³² vgl. Eller, Roland: Bond Research -Seminarunterlagen-, Meitingen 1996, S. 6.

³³ vgl. Rizos, Loukas / Köster, Joachim: (1998), a.a.O., S. 509ff.

³⁴ vgl. Eller, Roland / Riechert, Matthias S.: (2000), a.a.O., S. 219f.

³⁵ vgl. Steiner, Manfred / Bruns, Christoph: (2000), a.a.O., S. 159.

³⁶ vgl. Biermann, Bernd: Modernes Risikomanagement in Banken, in: Eller, Roland (Hrsg.), Handbuch des Risikomanagements, Stuttgart 1998, S. 11.

³⁷ vgl. Steiner, Manfred / Bruns, Christoph: (2000), a.a.O., S. 161.

³⁸ vgl. Deutsche Bundesbank: (2000a), a.a.O., S. 21f.

³⁹ vgl. Perridon, Louis / Steiner, Manfred: (1999), a.a.O., S. 197f.

⁴⁰ vgl. Eller, Roland / Riechert, Matthias S.: (2000), a.a.O., S. 52.

⁴¹ vgl. Eller, Roland / Dreesbach, Stefan: Technische und quantitative Wertpapieranalyse, Stuttgart 1997, S. 246f.

⁴² vgl. Bühler, Alfred / Hies, Michael: Zinsrisiken und Key-Rate-Duration, in: „Die Bank“, Heft 2/1995, S. 112.

⁴³ vgl. May, Stefan: (1999), a.a.O., S. 495.

⁴⁴ vgl. Eller, Roland: Modified Duration und Convexity - Analyse des Zinsrisikos, in „Die Bank“, Heft 6/1991, S. 322f.

⁴⁵ vgl. Eller, Roland / Dreesbach, Stefan: (1997), a.a.O., S. 249f.

⁴⁶ vgl. Steiner, Manfred / Bruns, Christoph: (2000), a.a.O., S. 161.

⁴⁷ vgl. Eller, Roland / Dreesbach, Stefan: (1997), a.a.O., S. 255ff.

⁴⁸ vgl. Eller, Roland: (1991), a.a.O., S. 323.

⁴⁹ vgl. Eller, Roland / Riechert, Matthias S.: (2000), a.a.O., S. 223.

⁵⁰ vgl. Biermann, Bernd: (1998), a.a.O., S. 13.

⁵¹ vgl. Perridon, Louis / Steiner, Manfred : (1999), a.a.O., S. 199.

⁵² vgl. Eller, Roland: (1991), a.a.O., S. 323.

⁵³ vgl. Kruschwitz, Lutz / Wolke, Thomas: Duration und Convexity, in: „Wirtschaftswissenschaftliches Studium“ (WiSt), 24. Jahrgang, 1994, S. 387.

⁵⁴ vgl. Perridon, Louis / Steiner, Manfred: (1999), a.a.O., S. 199

⁵⁵ vgl. Doerks, Wolfgang / Hübner, Stefan: Konvexität festverzinslicher Wertpapiere, in: „Die Bank“, Heft 2/1993, S. 103.

⁵⁶ vgl. Steiner, Manfred / Bruns, Christoph: (2000), a.a.O., S. 163.

⁵⁷ vgl. Eller, Roland: (1991), a.a.O., S. 323f.

⁵⁸ vgl. Doerks, Wolfgang / Hübner, Stefan: (1993), a.a.O., S. 103.

⁵⁹ vgl. Steiner, Manfred / Bruns, Christoph: (2000), a.a.O., S. 164.

⁶⁰ vgl. Rizos, Loukas / Köster, Joachim: (1998), a.a.O., S. 522.

⁶¹ Maier, Jürgen: (1995), a.a.O., S. 299.

⁶² vgl. Schulte, Michael: (1996), a.a.O., S. 147.

⁶³ vgl. Maier, Jürgen: (2000), a.a.O., S. 299f.

⁶⁴ vgl. Doerks, Wolfgang / Hübner, Stefan: (1993), a.a.O., S. 104.

⁶⁵ vgl. Bode, Hans-Joachim: Risiken aus einer Veränderung der Zinsstrukur quantifizieren und hedgen, in: Eller, Roland (Hrsg.), Handbuch des Risikomanagements, Stuttgart 1998, S. 193.

⁶⁶ vgl. Steiner, Manfred / Bruns, Christoph: (2000), a.a.O., S. 147.

⁶⁷ vgl. Bühler, Alfred / Hies, Michael: (1995), a.a.O., S. 113.

⁶⁸ vgl. Bühler, Alfred / Hies, Michael: (1995), a.a.O., S. 113.

⁶⁹ vgl. Bode, Hans-Joachim: (1998), a.a.O., S. 196.

⁷⁰ vgl. Bühler, Alfred / Hies, Michael: (1995), a.a.O., S. 117.

⁷¹ vgl. Biermann, Bernd: (1998), a.a.O., S. 13.

⁷² vgl. Bühler, Alfred / Hies, Michael: (1995), a.a.O., S. 114.

⁷³ vgl. Bode, Hans-Joachim: (1998), a.a.O., S. 196f.

⁷⁴ vgl. Bühler, Alfred / Hies, Michael: (1995), a.a.O., S. 114.

⁷⁵ vgl. Bühler, Alfred / Hies, Michael: (1995), a.a.O., S. 114.

⁷⁶ vgl. Bühler, Alfred / Hies, Michael: (1995), a.a.O., S. 118.

⁷⁷ vgl. Hartmann-Wendels, Thomas / Pfingsten, Andreas / Weber, Martin: Bankbetriebslehre, 10.Auflage, Berlin 2000, S. 619.

⁷⁸ vgl. Bode, Hans-Joachim: (1998), a.a.O., S. 208.

⁷⁹ vgl. Hartmann-Wendels, Th. / Pfingsten, A. / Weber, M.: (2000), a.a.O., S. 619.

⁸⁰ vgl. Bühler, Alfred / Hies, Michael: (1995), a.a.O., S. 118.