Aufgaben und Lösungen zum Thema Rotation starrer Körper

Physik-Aufgaben

1. Es ist das Trägheitsmoment einer Sehwungseheibe aus Stahl mit einem Durchmesser von 200mm und einer Höhe von 25mm bezüglich der Symmetrieachse zu bestimmen. (Dichte von Stahl g = 7,8g/em3)

Wie kann man das Trägheitsmoment der Scheibe durch konstruktive Veränderung um 20% erhöhen, ohne den Durchmesser zu vergrößern und ohne die Masse wesent­lich zu verändern?

2. Die Arbeitsspindel einer Werkzeugmaschine (Drehzahl n = ббОтш-1) hat ein Träg­heitsmoment von J = 0.4 kgm2 und die Bremskraft der Maschinenbremse beträgt F = 27.4N. Der Bremstrommeldurchmesser beträgt d = 180mm. Wie lange dauert das Abbremsen bis zum Stillstand der Trommel?

3. Wie groß ist der Drehimpuls der Erde?

4. Auf ein Schwungrad (Radius r = 0.5 m, Trägheitsmoment J = 5 kgm2) ist ein Seil gewickelt, an dem man mit der konstanten Kraft F = 300 N zieht.

(a) Wie groß ist die Winkelbeschleunigung a?
(b) Welche Winkelgeschwindigkeit ω und welche Rotationsenergie Erot hat das Rad nach ti = 10s erreicht?
(c) Nach welcher Zeit hat es eine Umdrehung ausgeführt?
(d) Wieviel Umdrehungen hat es in den ersten 10s ausgeführt?

Lösungen

1. Das Trägheitsmoment ist ganz allgemein

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es ist also eine Eigenschaft, die von der Geometrie des Körpers, der Massenverteilung und der Lage der betrachteten Rotationsachse abhängt. Die letzte Bemerkung sagt aus, daß die gegebene Scheibe auch verschiedene Trägheitsmomente haben kann, je nachdem, um welche Achse man sie rotieren läßt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In dieser Aufgabe ist die Rotationsachse gleich der Symmetrieachse des Körpers. Ei­ne Scheibe ist geometrisch nichts anderes als ein Vollzylinder. Glücklicherweise kann man die Trägheitsmomente einiger einfacher Körper bezüglich ihrer Symmetrieach­sen im Tafelwerk nachlesen, z.B. ist für einen Zylinder [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Die Formeln unterscheiden sich meist nur durch einen Vorfaktor.

Wenn man weiß, daß die Masse [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und daß das Zylindervolumen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], dann findet man für das Trägheitsmoment des Vollzylinders:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Im zweiten Teil der Aufgabe soll man das Trägheitsmoment um 20% erhöhen. Das heißt, man will ein neues Trägheitsmoment J* mit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da man am Durchmesser nichts ändern darf, können wir die Höhe des Zylinders vergrößern. Das heißt wir suchen die zugehörige Höhe h*. Setze nun für J* den gleichen Ausdruck ein wie für J nur mit einer neuen Höhe h*.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Man muß die Höhe also ebenfalls um 20% erhöhen, es ist h* = 30mm. Natürlich wird jetzt auch die Masse der Scheibe größer, genau um Am = gnr2(h* — h). Eine weitere Möglichkeit das Trägheitsmoment zu erhöhen liegt übrigens darin, die Masse weiter von der Rotationsachse weg zu verteilen.

2.Zunächst eine Skizze. Die Trommel bewegt sich anfangs mit konstanter Drehzahl (=Frequenz) also mit einer anfänglichen Winkelgeschwindigeit ω = 2πf. Die Kraft bremst die Trommel, wirkt also entgegen der Winkelgeschwindigkeit. Außerdem neh­men wir der Einfachheit halber an, daß F tangential an den Trommelumfang angreift, d.h. F Fr. Es ist ja in der Aufgabe auch kein spezieller Winkel gegeben.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nun gibt es mehrere Wege. Mir gefällt der folgende am besten.

1. Möglichkeit (Drehimpuls) Die Trommel hat einen Drehimpuls (vergleiche mit dem Impuls der Massenpunkte p = mv)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Bremskraft verursacht ein zeitlich konstantes Drehmoment

M = Fr

und ändert den Drehimpuls (zeitliche Änderung des Drehimpulses ist gleich dem angreifenden Drehmoment)

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Nur ω ist zeitlich veränderlich, man zieht J vor die Ableitung:

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F, г und J sind zeitlich konstant, also kann man schreiben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2. Möglichkeit

Man kann das auch lösen, wenn man sich erinnert, daß die Gesetze der Rotation ganz ähnlich denen der Translation der Massepunkte sind. Die Trommel wird mit konstan­ter Kraft gebremst, sie führt also eine gleichmäßig beschleunigte (bzw. verzögerte) Rotation aus. Vergleiche mit der Translation und nimm die analogen Größen. Dann ist das cu-/-Gesetz

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- ωο die Anfangs Winkelgeschwindigkeit: ωο = 2·ττη mit n = 650 min^1
- a die Winkelbeschleunigung; hier ist a negativ, da es eine verzögerte Bewegung ist. Ich schreibe deswegen —a. Mit dem Drehmoment bestimmt man (ganz analog zu F = ma):

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den Zusammenhang zwischen Drehmoment und Kraft eingesetzt:

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So ist a auch wirklich negativ, denn F, г und J sind positiv.

- t die Zeit. Man kann ja mal anhand der Zeit überlegen, ob bisher alles noch sinnvoll ist. Bei t = 0 ist ω = ωο, alles klar das muß so sein. Mit wachsendem t wird die Trommel immer langsamer (a ist negativ), denn die Kraft bremst ja. Schließlich wird ω bei tf Null. Genau dieses tf suchen wir.

Wie kommen wir da ran? Wir setzen ω = 0 und stellen nach tf um. Man schreibt das so:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Ergebnis kennen wir ja schon.

3. Man muß natürlich ein paar Daten über die Erde wissen. Sie ist eine Kugel! Außer­dem ist

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Mit dem Trägheitsmoment einer Kugel (siehe Tafelwerk)

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4. Man mache sich die Verhältnisse wieder an einer Skizze klar. Die Kraft bewirkt ein Drehmoment an der Schwungscheibe und versetzt diese in Rotation. Die Kraft ist konstant. Also ist auch die Winkelbeschleunigung konstant. Es handelt sich um eine gleichmäßig beschleunigte Rotation.

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Analog zur Translation gilt das ω-t-Gesetz (diesmal ist ωο = 0, weil die Schwung­scheibe sich bei t = 0 noch nicht dreht):

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Jetzt kann man die gegebenen Größen einsetzen und erhält unter (b) für die Win­kelgeschwindigkeit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dort setzt man dann einfach ω ein. Wieder fällt auf, daß man sich bei der Rotation nicht unbedingt viele neue Formeln merken muß, sofern man die Gleichungen der Translation kann. Die Rotationsformeln haben fast durchgängig ähnliche Gestalt, man muß lediglich die richtige analoge Größe zuordnen.

Um mit den Umdrehungen zu rechnen, will man den Drehwinkel in Abhängigkeit von der Zeit ermitteln. Einmal rum bedeutet nämlich einen Winkel von 2π. Entweder man integriert das ^-/-Gesetz nach t oder man erinnert sich daran, wie das analoge Gesetz der Translation aussah. In jedem Fall erhält man

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Winkel ψ ist in Umdrehungen и ausgedrückt immer das 27r-fache von u: φ = 2mi

Für die Aufgabe (c) stellt man nach t um und setzt и = 1, für Aufgabe (d) setzt man einfach t\ ein. Die Zeit für eine Umdrehung ist t = 0.65 s und die Zahl der Umdrehungen nach 10 s ist u(ti = 10 s) = 238.7