Optische und elektrische Eigenschaften von mikrostrukturierten Halbleitern

Versuchsvorbereitung von Oliver Fischer

Emission, Absorption und Re exion elektromagnetischer Strahlung Das Plancksche Strahlungsgesetz

Die spektrale Strahlungsdichte eines schwarzen Strahlers berechnet sich zu

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[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]ist die Leistung, die durch elektromagnetische Wellen mit einer Wellenlänge zwischen und + d abgestrahlt wird.

Das Wiensche Verschiebungsgesetz

Durch nullsetzten der ersten Ableitung des Planckschen Strahlunggesetzes nach erhält man das Maximum der Strahlungsdichte in Abhängigkeit von der Temperatur.

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Das Maximum der Strahlungsdichte verschiebt sich also für höhere Temperaturen zu kleineren Wellenlängen. Diese Tatsache wird als Wiensches Verschiebungsgesetz bezeichnet. Durch die Messung der Wellenlänge, bei der ein Körper die meiste Energie abstrahlt, kann so seine (Ober ächen-)Temperatur bestimmt werden.

Das Beersche Absorptionsgesetz

Wenn Licht auf Materie tri t, wird es teilweise re ektiert und teilweise absorbiert. Bei einer auftre enden Strahlungsleistung P0 und einem Re ektionsfaktor R dringt eine Strahlungs- leistung von P0(1 R) in das Medium ein, die umso mehr abgeschwächt wird, je weiter sie in das Medium eindringt. Nach zurückgelegtem Weg x im Medium beträgt die Strahlung- leistung

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mit Absorptionskoe zient , der von der Wellenlänge der einfallenden Strahlung und von der Art des absorbierenden Mediums abhängt, jedoch nicht von x.

Re exion an der Grenz äche zweier Medien

Der re ektierte Anteil einer eingestrahlten Lichtleistung beim Übergangvon von einem Medium mit Brechungsindex n1 in ein anderes mit Brechungsindex n2 berechnet sich bei senkrechtem Lichteinfall zu

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Die Brechzahl von GaAs bei einer Wellenlänge von 900 nm ist 3.59. Der re ektierte Anteil von Licht der Wellenlänge 900 nm beim Übergang von Luft (nLuf t 1) zu GaAs beträgt demnach ca. 0.32.

Fabry-Perot-Oszillationen

Fabry-Perot-Oszillationen sind Mehrfachre exionen, die beim Durchgang von Licht durch eine Schicht der Dicke d auftreten können. Bei einer Schicht bzw. Platte mit ebenen zuei- nender parallelen Seiten, bei der Licht auf die Vorderseite auftri t, kann der transmittierte Anteil nochmals an der Rückseite teilweise re ektiert werden, dieser re ektierte Anteil wird wiederum an der Vorderseite teilweise re ektiert und teilweise transmittiert usw. Die an der Vorderseite re ektierten bzw. an der Rückseite transmittierten Anteile sind jeweils zueinander parallel und phasenverschoben. Sie unterliegen ausserdem einer Schwächung, d.h. mit zunehmender Anzahl der Re exionen nimmt ihre Intensität ab.

Aus diesen Oszillationen läÿt sich nun auf folgende Weise die Dicke der für die Resonanz verantwortlichen Schicht ableiten. Die genannte Phasenverschiebung hängt von der Wellenlänge des eingestrahlten Lichts und von der Dicke der Platte ab. Die transmittierten Lichtstrahlen können bei genügend groÿer Koherenzlänge des eingestrahlten Lichts konstruktiv oder destruktiv interferieren. Nach G. B. Airy gilt

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mit transmittierter/re ektierter Intensität It, Ir und Kreiswellenzahl[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]wobei die Wellenlänge in der Platte gegeben ist durch [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (n ist der Brechungsindex der Platte,[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Wellenlänge des verwendeten Lichts im Vakuum).

Für kd = N (N=1,2,3...) ist die transmittierte geich der eingestrahlten Intensität.

Mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]folgt:

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Bestimmt man nun aus einen Transmissionsspektrum die Wellenlängen N und N +1, die zwei benachbarte Intensitätsmaxima ergeben, ergibt sich mit

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die Dicke der Platte

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Da die Brechzahl von der Wellenlänge abhängt, erhält man nur für nah beieinander liegende Maxima gute Resultate.

Das Bändermodell des Festkörpers Bandaufspaltung der Elektronenenergie

Die gebundenen Elektronen eines einzelnen Atoms können verschiedene diskrete Energiezu- stände einnehmen. In einem Festkörper kann jedoch infolge des relativ geringen zwischena- tomaren Abstands ein Elektron nicht mehr nur im Potential eines einzelnen Atomrumpfes betrachtet werden, es wird dem gesamten Kristall zugeordnet .Da nach dem Pauli-Prinzip keine zwei Elektronen in allen Quantenzahlen übereinstimmen können, spalten die ener- giegleichen Niveaus der Einzelatome bei der gedachten Annäherung der Atome zu Ener- giebändern auf. Die entstehenden Energieniveaus sind zwar immer noch diskret, können aber wegen der groÿen Anzahl von Elektronen im Kristall als quasi-kontinuierlich auf die Energieskala verteilt betrachtet werden.

Bei dieser Betrachtungsweise der Elektronen im Festkörper berücksichtigt man im allge- meinen nur das oberste (bei einer Temperatur von 0 K) vollbesetzte Band, das Valenzband, und das darüber folgende erste unbesetzte Band, das Leitungsband. Welche Eigenschaf- ten - isolierend, leitend, halbleitend - dem betrachteten Material zugeschrieben werden hängt von der Gröÿe der Bandlücke - dem Abstand zwischen Valenzbandoberkante und Leitungsbandunterkante - ab. Beträgt dieser Abstand ca. 1 eV, ist der Kristall halbleitend, da wenig thermische Energie nötig ist, um Elektronen vom Valenzband ins Leitungsband zu heben. Bei metallischen Leitern ist dieser verbotene Bereich nicht vorhanden, Valenz- und Leitungsband sind zu einem einzigen, teilweise besetztem Band vereinigt. Bei Isolato- ren ist die Bandlücke gröÿer als bei Halbleitern, es besteht also kein prinzipieller sondern nur ein quantitativer Unterschied zwischen Isolatoren und Halbleitern.

Die Fermi-Verteilung

Da ein Energiezustand immer nur von maximal 2 Elektronen besetzt wird, können sich bei T=0 K nicht alle Elektronen des Kristalls im niedrigsten Energiezustand be nden. Die Energieterme werden sukzessive bis zu einer oberen Grenze, dem Fermi-Niveau[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], aufgefüllt. Für die Besetzungswahrscheinlichkeit eines Energieniveaus E durch ein Elektron

gilt deshalb bei T=0 K:

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Bei Temperaturen T>0 K können Niveaus mit höherer Energie als E0F besetzt werden, und entsprechend Niveaus, die unterhalb der Fermi-Energie liegen unbesetzt bleiben. Die Verteilungsfunktion für T>0 K lautet:

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mit k Boltzmannkonstante, µ chemisches Potential der Elektronen.

Zustandsdichte

Die Zustandsdichte D(E) gibt die Anzahl der verfügbaren Zustände pro Energie- und Volumeneinheit an, die ein Elektron einnehmen kann. Die Zustandsdichte eines 2-dimensionalen Systems berechnet sich wie folgt.

Die Anzahl der Zustände im k-Raum in Abhängigkeit vom Maximalwert k ist

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Für die E(k)-Abhängigkeit wird im Bereich der geringsten Energiedi erenz zwischen Leitungs- und Valenzband eine quadratische Näherung angesetzt.

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mit der e ektiven Masse m , die durch

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de niert ist. Somit ergibt sich dann mit

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die Zustandsdichte

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Bandübergänge und Absorption

Durch die Absorption eines Photons kann ein Elektron aus dem Valenzband ins Leitungs- band gehoben werden, es entsteht ein Elektron-Loch-Paar. Dieser Übergang kann direkt erfolgen, oder unter Beteiligung eines dritten Partners, man spricht dann von einem indirek- ten Übergang. Welche Art von Elektronenübergang statt ndet hängt in erster Linie von der Bandstruktur des Halbleiters ab. Für einen Bandübergang muss neben der Energie auch der Impuls erhalten sein. Folgende Überlegungen gehen davon aus, dass ein Elektronen- übergang an der Stelle mit der geringsten Energiedi erenz von Leitungsbandunterkante und Valenzbandoberkante statt ndet. Die Impulserhaltung entspricht der Erhaltung der Wel- lenzahl k. In einem Halbleiter, in dem das Energie-Maximum des Valenzbandes im k-Raum direkt unter dem Minimum des Leitungsbandes liegt, kann ein direkter Übergang erfolgen. Wenn jedoch Leitungsbandminimum und Valenzbandmaximum im k-Raum gegeneinander verschoben sind, muss ein dritter Partner eine Änderung des k-Werts des Elektrons ver- ursachen, der Impuls des absorbierten Photons ist dafür zu klein. Dafür in Frage kommen Phononen (Gitterschwingungsquanten) oder Exzitonen (gebundene Elektron-Loch Paare).

Dotierung von Halbleitern

Wenn das Kristallgitter eines Halbleiters durch Fremdatome verunreinigt ist, die ein Elek- tron in der Valenzschale mehr besitzen, als zur Ausbildung der Kristallbindung mit den Atomen des Halbleiters nötig ist, kann dieses Elektron leicht vom Fremdatom gelöst und ins Leitungsband gehoben werden. Zurück bleibt ein einfach positiv geladener Atomrumpf. Dotiert man einen Halbleiter hingegen mit Atomen, die ein Valenzelektron weniger besit- zen als die Atome des Halbleiters, kann das Fehlende Elektron aus dem Kristall für die Bindung mit dem Fremdatom zur verfügung gestellt werden. Es entsteht dann ein Loch im Valenzband. Im ersten Fall spricht man von einem n-dotierten Halbleiter, die Fremdatome nennt man Donatoren. Im zweiten Fall handelt es sich um einen p-dotierten Halbleiter mit Akzeptoren. Das Donatorniveau liegt unterhalb des Leitungsbandes, das Akzeptorniveau oberhalb des Valenzbandes.

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Betrachtet man die Zahl der Ladungsträger, so überwiegen im n-dotierten Halbleiter die Elektronen und im p-dotierten Halbleiter die Löcher. Die Ladungsträger, die in gröÿerer Zahl vorhanden sind, nennt man Majoritätsträger und entsprechend die in geringerer Zahl vorhandenen Ladungsträger Minoritätsträger.

Der pn-Übergang

Im thermischen Gleichgewicht

In p-dotierten und n-dotierten Halbleiterkristallen ist das Fermi-Niveau nach unten bzw. nach oben verschoben wenn man diese jeweils für sich betrachtet. Bei einem pn-Übergang handelt es sich aber insgesamt um den gleichen Halbleiterkristall, der nur einen abrupten

Übergang von einer p- zu einer n-Dotierung aufweist. Deshalb muÿ das Fermi-Niveau als elektrochemisches Potential für den Gesamten Halbleiterkristall konstant sein. Dies ist nur möglich, wenn im Übergangsbereich eine Verbiegung der Bandstruktur vorliegt.

Auf Grund des Konzentrationsgefälles von freien Ladungsträgern in der Nähe des Über- gangs di undieren Elektronen aus der n-dotierten in die p-dotierte Schicht und umgekehrt Löcher aus der p-dotierten in die n-dotierte Schicht. Durch diesen Di usionsstrom geht die Ladungsneutralität im Übergangsbereich verloren. Die p-Seite wird in der Nähe des Übergangs negativ aufgeladen, die n-Seite positiv. Diese entstehende Raumladung erzeugt ein elektrisches Feld, das wiederum einen Strom uÿ bewirkt, der dem Di usionsstrom ent- gegengesetzt gerichtet ist. Zwischen dem Feldstrom und dem Di usionsstrom stellt sich ein dynamisches Gleichgewicht ein.

Mit Vorspannung

Legt man nun eine äuÿere Spannung an den pn-Übergang an, so wird das Gleichgewicht, das sich durch Di usion der Ladungsträger gebildet hat, gestört. Man kann die Verbiegung der Bänder auf diese Art und Weise beein ussen. Je nach Polung der Spannung erleichtert man den Majoritätsträgern das Di undieren (Durchlaÿrichtung) bzw. man erschwert es ihnen (Sperrichtung).

Photostrom

Wenn man einen pn-Übergang der in Sperrichtung gespannt ist beleuchtet, werden in der Sperrschicht durch Absorption von Photonen Elektron-Loch-Paare erzeugt. Aufgrund des Potentialgefälles driften die Elektronen zur n-Seite, die Löcher zur p-Seite. Wenn sie nicht vorher rekombinieren tragen sie dann jeweils als Majoritätsladungsträger in ihrer Schicht zum Strom uÿ im äuÿeren Kreis bei.

Struktur der pin-Probe

Bei der im Versuch verwendeten Probe handelt es sich um eine pin-Struktur. Die oberste Schicht ist p-dotiertes AlGaAs, die mittlere Schicht intrinsisches (eigenleitendes) GaAs und die unterste Schicht n-dotiertes AlGaAs. Die Bandlückenenergie von AlGaAs ist höher als die von GaAs, deshalb ist bei der spektralen Transmissionsmessung nur die intrinsische GaAs-Schicht von Bedeutung.